自動(dòng)控制原理（第4版）課件 第5章線性控制系統(tǒng)的頻域分析法

第5章

控制系統(tǒng)的頻域分析目錄5-1頻率分析的基礎(chǔ)知識(shí)5-2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5-3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5-4系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性5-5利用頻率特性對閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行分析5-6基于MATLAB的控制系統(tǒng)頻裕分析1

頻域分析法:頻域分析法的特點(diǎn):

1可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性去判斷閉環(huán)系統(tǒng)的性能。

是一種圖解分析方法，它依據(jù)系統(tǒng)的頻率特性，對系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析。

2能較方便地分析系統(tǒng)中參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。25-l頻率分析的基礎(chǔ)知識(shí)

5.1.1頻率特性的基本概念

在正弦輸入信號(hào)作用下，線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

系統(tǒng)頻率響應(yīng)與正弦輸入信號(hào)的關(guān)系稱為頻率特性。

圖5-1系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為3正弦輸入信號(hào)系統(tǒng)輸出響應(yīng)為(5-1)其中4對式(5-1)進(jìn)行拉氏反變換，可得對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng)t

+

時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量為(5-3)(5-2)5(5-3)式(5-3)表明,線性定常系統(tǒng)在正弦輸入信號(hào)作用下,其輸出的穩(wěn)態(tài)分量是與輸入正弦信號(hào)同頻率的正弦信號(hào),與輸入正弦信號(hào)的幅值之比為|G(j

)|,相角之差為∠G(j

),均與G(j

)有關(guān)。式中，即

6通常定義

(5-4)

為系統(tǒng)的頻率特性，它反映了線性定常系統(tǒng)在正弦輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與正弦輸入信號(hào)之間的關(guān)系。

A(

)=|G(j

)|系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與正弦輸入信號(hào)的幅值之比,稱為系統(tǒng)的幅頻特性,反映了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出對于不同頻率正弦輸入信號(hào)的幅值變化特性。

(

)=∠G(j

)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與正弦輸入信號(hào)的相角之差,稱為系統(tǒng)的相頻特性,表示系統(tǒng)輸出對于不同頻率正弦輸入信號(hào)的相位變化特性。

7(5-5)

因?yàn)轭l率特性G(j

)為復(fù)數(shù)，所以它還可以用如下的形式來表示，即顯然，頻率特性的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)表示形式的相互關(guān)系為式中，Re(

)為頻率特性G(j

)的實(shí)部，它是頻率

的函數(shù)，稱為系統(tǒng)的實(shí)頻特性；Im(

)為頻率特性G(j

)的虛部，它也是頻率

的函數(shù)，稱為系統(tǒng)的虛頻特性。8

(5-6)通過上述推導(dǎo)過程，可以看出系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系為

由于這種簡單關(guān)系的存在，利用頻率特性的頻率分析法和利用傳遞函數(shù)的時(shí)域分析法在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的，因此在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)時(shí)，其作用也是類似的。但頻率分析法有其獨(dú)特的優(yōu)勢。因?yàn)槔檬?5-6)不僅可以獲得穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性，而且也可獲得不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性。另外穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性還可以通過實(shí)驗(yàn)的方法獲得，這對于那些內(nèi)部結(jié)構(gòu)未知以及難以用分析的方法列出動(dòng)態(tài)方程的系統(tǒng)尤為重要。頻率特性雖然是一種穩(wěn)態(tài)特性，但它卻不僅能夠反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而且還可以用來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和暫態(tài)響應(yīng)。9根據(jù)對數(shù)頻率特性的實(shí)部和虛部(不考慮0.434)，可得：

對數(shù)幅頻特性:

對數(shù)相頻特性:

另外，由系統(tǒng)的頻率特性式(5-4)，可得系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性10對數(shù)幅相圖對數(shù)幅相頻率特性(Nichols)對數(shù)坐標(biāo)圖

對數(shù)頻率特性(Bode)頻率對數(shù)分度幅值/相角線性分度極坐標(biāo)圖

幅相頻率特性(Nyquist)以頻率為參變量表示對數(shù)幅值和相角關(guān)系：L(

)—

(

)圖5.1.2頻率特性的表示方法11(1)極坐標(biāo)圖

極坐標(biāo)圖，又稱為幅相頻率特性曲線。它是當(dāng)頻率

從0變化時(shí)，G(j

)在直角坐標(biāo)復(fù)平面上的幅值A(chǔ)(

)=|G(j

)|與相角

(

)=∠G(j

)的關(guān)系曲線。幅頻特性為

的偶函數(shù)，相頻特性為

的奇函數(shù)，則

從0+

和從0-

的幅相頻率特性曲線關(guān)于實(shí)軸對稱，因此只繪制

從0+

的曲線。用小箭頭表示

增大時(shí)曲線的變化方向。12(2)對數(shù)坐標(biāo)圖對數(shù)坐標(biāo)圖，又稱對數(shù)頻率特性曲線。對數(shù)頻率特性曲線就是將頻率特性表示在對數(shù)坐標(biāo)系中。它由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線組成。對數(shù)幅頻特性曲線：對數(shù)相頻特性曲線：(

)13注：橫坐標(biāo)都按

的自然對數(shù)值lg

分度，但為了便于觀察仍以頻率

的值進(jìn)行標(biāo)注，單位為弧度/秒(rad/s)；對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)按線性分度，單位為分貝(dB)；對數(shù)相頻特性曲線的縱坐標(biāo)按線性分度，單位為度(

)；

=0不可能在橫坐標(biāo)上表示出來；14對數(shù)頻率特性采用

的對數(shù)分度實(shí)現(xiàn)了橫坐標(biāo)的非線性壓縮，便于在較大頻率范圍反映頻率特性的變化情況。在同一張圖中，既畫出了頻率特性的中、高頻段，又能清楚地畫出其低頻段。另外，采用對數(shù)坐標(biāo)后，可將幅值的乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算，使計(jì)算簡化。在對數(shù)坐標(biāo)表圖中，對數(shù)幅頻特性可用分段直線（又稱漸近線）近似表示，它易于繪制且具有一定的精確性。對這些漸近線進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?，便可獲得精確的對數(shù)坐標(biāo)圖。通?？捎眠@種用漸近線表示的對數(shù)坐標(biāo)圖對系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。151617(3)對數(shù)幅相圖

對數(shù)幅相圖，又稱為對數(shù)幅相頻率特性曲線。它以相位

(

)為橫軸，為L(

)=20lgA(

)縱坐標(biāo)，頻率

為參變量的一種圖示法。對數(shù)幅相圖是在

為參變量的情況下，將對數(shù)幅頻和相頻特性兩張圖合成一張圖?？v坐標(biāo)為對數(shù)幅值L(

)(dB)，橫坐標(biāo)為相應(yīng)的相角

(

)()

。

18第5章

控制系統(tǒng)的頻域分析5-1引言5.1.2頻率特性的表示方法5.1.1頻率特性的基本概念頻率特性G(j

)極坐標(biāo)圖、對數(shù)坐標(biāo)圖和對數(shù)幅相圖內(nèi)容回顧195-2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.1比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為1．比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性(極坐標(biāo)圖)其頻率特性為幅頻和相頻特性分別為極坐標(biāo)圖為實(shí)軸上的一點(diǎn)202．比例環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性(對數(shù)坐標(biāo)圖)當(dāng)

從0+

變化時(shí)，對數(shù)幅頻特性為一水平直線，相角

(

)

0，

如圖：

對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻特性分別為

215.2.2積分環(huán)節(jié)

1．積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性（極坐標(biāo)圖）

其頻率特性為：幅頻和相頻特性分別為：當(dāng)

從0變化時(shí)，A(

)由

0，相角

(

)=-900，如圖所示：傳遞函數(shù)為222．積分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性（對數(shù)坐標(biāo)圖）對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻特性分別為當(dāng)

從0變化時(shí)，

每增大十倍，L(

)值下降20dB。

L(

)是斜率為–20dB/dec的直線；相角

(

)=-900

235.2.3微分環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為1．微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性(極坐標(biāo)圖)

頻率特性為幅頻和相頻特性分別為：當(dāng)

從0變化時(shí)，A(

)由0，

(

)=900

如圖中黑線所示：242．微分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性(對數(shù)坐標(biāo)圖)

對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性分別為：當(dāng)

從0變化時(shí)，

每增大十倍，L(

)值增大20dB，L(

)是斜率為20dB/dec的直線。25比較積分環(huán)節(jié)與微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)可知，兩者的函數(shù)關(guān)系互為倒數(shù)。因此，兩者的對數(shù)頻率特性曲線形狀完全相同，只是對數(shù)幅頻特性對稱于橫坐標(biāo)軸0dB線，對數(shù)相頻特性對稱于00線。但兩者的幅頻和相頻特性曲線形狀沒有可比性。265.2.4一階慣性環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)為1．幅相頻率特性（極坐標(biāo)圖）

頻率特性為幅頻特性為相頻特性為27當(dāng)頻率

從0變化時(shí)，極坐標(biāo)圖如圖所示，為一半圓。實(shí)頻和虛頻特性分別為所以：282、一階慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性（對數(shù)坐標(biāo)圖）

對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性分別為當(dāng)

從0變化時(shí)，根據(jù)以上兩式可得慣性環(huán)節(jié)對數(shù)坐標(biāo)圖的精確曲線，但這樣十分麻煩。通常先繪制對數(shù)幅頻特性的漸近線，然后再在轉(zhuǎn)折頻率附近對曲線進(jìn)行誤差修正，便可得到精確曲線。29（1）對數(shù)幅頻特性的漸近線

當(dāng)頻率

<<1/T時(shí)當(dāng)頻率

>>1/T時(shí)低頻段的漸近線是一條0分貝的水平線，高頻段的漸近線是斜率為-20(dB/dec)且與

軸交于

=1/T點(diǎn)的直線。30

L低漸(

)是一條0分貝的水平線,L高漸(

)是斜率為-20(dB/dec)且與

軸交于

=1/T點(diǎn)的直線。交點(diǎn)處的頻率

=1/T，稱為慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。3132（2）對數(shù)幅頻特性的誤差修正

在轉(zhuǎn)折頻率

=1/T)處精確曲線L(

)與漸近線的誤差最大，為：在頻率

=1/(2T)處精確曲線L(

)與漸近線的誤差為

在頻率

=2/T處精確曲線L(

)與漸近線的誤差為33

可見，離轉(zhuǎn)折頻率越遠(yuǎn)誤差越小，慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線見右圖。當(dāng)頻率

從01/T變化時(shí)，相角

(

)=0

-450

-900，其對數(shù)相頻特性如下圖所示：

在轉(zhuǎn)折頻率附近利用誤差曲線對漸近線進(jìn)行修正便可得到精確曲線。

345.2.5一階比例微分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)為1．幅相頻率特性（極坐標(biāo)圖）

頻率特性為幅頻和相頻特性分別為實(shí)頻和虛頻特性分別為如圖所示：352.一階比例微分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性(對數(shù)坐標(biāo)圖)對數(shù)幅頻和相頻特性分別為

對數(shù)坐標(biāo)圖36

比較一階比例微分環(huán)節(jié)與一階慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性表達(dá)式可知，兩者的函數(shù)關(guān)系只是符號(hào)相反。因此，兩者的對數(shù)頻率特性曲線形狀相同，只是對數(shù)幅頻特性對稱于橫坐標(biāo)軸0dB線，對數(shù)相頻特性對稱于00線但兩者的幅頻和相頻特性曲線形狀沒有可比性。375.2.6二階振蕩環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)為1．幅相頻率特性（極坐標(biāo)圖）

頻率特性為幅頻和相頻特性分別為：38(3)在

(0,0.707)時(shí)，出現(xiàn)諧振峰值，

r為諧振頻率。對于二階振蕩環(huán)節(jié)，令(2)A(

)和

(

)也隨著阻尼比改變而改變。

當(dāng)

從01/T變化時(shí)，A(

)由11/(2

)

0，

(

)=00

-900

-1800。

39得：極坐標(biāo)圖如下圖402．二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性（對數(shù)坐標(biāo)圖）

對數(shù)幅頻和相頻特性分別為當(dāng)頻率

從0變化時(shí)，根據(jù)L(

)和

(

)值可得對數(shù)坐標(biāo)圖的精確曲線，但麻煩。通常先繪制對數(shù)幅頻特性的漸近線，然后在轉(zhuǎn)折頻率附近對曲線進(jìn)行誤差修正，便可得到精確曲線。41(1)對數(shù)幅頻特性的漸近線當(dāng)頻率

<<1/T時(shí)，可得低頻段漸近線為

當(dāng)頻率

>>1/T時(shí)，可得高頻段漸近線為

低頻段的漸近線是一條0分貝的水平線，高頻段的漸近線是一條斜率為-40(dB/dec)且與

軸交于

=1/T點(diǎn)的直線。42

二階振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性的漸近線如右圖所示。高、低頻段漸近線交點(diǎn)處的頻率

=1/T=

n稱為二階振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。43(2)對數(shù)幅頻特性的誤差修正

在轉(zhuǎn)折頻率

=1/T處精確曲線L(

)與漸近線的誤差最大，誤差也隨著阻尼比

改變而改變，離轉(zhuǎn)折頻率越遠(yuǎn)誤差越小，如下圖所示。44在轉(zhuǎn)折頻率

=1/T附近，利用誤差曲線對漸近線進(jìn)行修正便可得到精確曲線L(

)；當(dāng)

從01/T

變化時(shí)

(

)=0

-900

-1800，二階振蕩環(huán)節(jié)在不同阻尼比

下的對數(shù)幅頻和相頻特性曲線如右圖所示：455.2.7純遲后環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)為1.幅相頻率特性（極坐標(biāo)圖）

頻率特性為幅頻和相頻特性分別為：當(dāng)頻率

從0變化時(shí)，A(

)=1，相角

(

)由0-

，極坐標(biāo)圖如圖中實(shí)線46另外，當(dāng)

<<1時(shí)，

所以，當(dāng)

<<1時(shí)，純遲后環(huán)節(jié)可近似為472.純遲后環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性（對數(shù)坐標(biāo)圖）

對數(shù)幅頻和相頻特性分別為：當(dāng)頻率

從0變化時(shí)，L(

)=0,相角

(

)由0-

，如圖48第5章

控制系統(tǒng)的頻域分析5-1引言5-2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.1積分環(huán)節(jié)5.2.1比例環(huán)節(jié)內(nèi)容回顧5.2.7純遲后環(huán)節(jié)495-3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

對于圖所示的系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)H(s)將s用j

來代替，便可求得系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j

)H(j

)，簡稱為開環(huán)頻率特性。

505.3.1開環(huán)頻率特性的三種圖示法開環(huán)頻率特性最常用的圖示法有以下三種。1.開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）

1)基本概念

開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖，稱開環(huán)極坐標(biāo)圖，又稱為奈奎斯特圖（Nyquist圖），簡稱奈氏圖。

在繪制開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖時(shí)，可將G(j

)H(j

)寫成直角坐標(biāo)形式：51或復(fù)指數(shù)的形式：當(dāng)

從0變化時(shí)，算出相應(yīng)的Re()、Im()或A(

)和

(

)，便可準(zhǔn)確地繪制出極坐標(biāo)圖，但麻煩。一般情況下，只需要繪制出概略的奈奎斯特圖，但是應(yīng)保持曲線的重要特征，并且在要研究的點(diǎn)附近應(yīng)有足夠的準(zhǔn)確性。522)繪制奈奎斯特圖的一般規(guī)則

假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為便可求得開環(huán)頻率特性53

(1)低頻段的的奈奎斯特曲線當(dāng)頻率

0時(shí)①當(dāng)

=0時(shí)，即0型系統(tǒng)

所以0型系統(tǒng)，曲線起始于正實(shí)軸上的K點(diǎn)。由此可見，奈奎斯特曲線的起點(diǎn)與系統(tǒng)類型

有關(guān)。54②當(dāng)

=1時(shí)，即I型系統(tǒng)

所以I型系統(tǒng)，曲線起始于負(fù)虛軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。55③當(dāng)

=2時(shí)，即II型系統(tǒng)

所以II型系統(tǒng)，曲線起始于負(fù)實(shí)軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。56④當(dāng)

=3時(shí)，即III型系統(tǒng)所以III型系統(tǒng)，奈奎斯特曲線起始于正虛軸的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。57

由于開環(huán)頻率特性的相位角還與分子和分母的時(shí)間常數(shù)以及系統(tǒng)類型有關(guān)，所以當(dāng)

=1,2,3,4時(shí)，低頻段的奈奎斯特曲線如圖5-13所示。58(2)高頻段的奈奎斯特曲線所以當(dāng)n>m時(shí)，奈奎斯特曲線以順時(shí)針方向收斂于原點(diǎn)，(n-m)值決定與哪個(gè)坐標(biāo)軸相切。①當(dāng)n-m=1時(shí)，曲線將與負(fù)虛軸相切；59②當(dāng)n-m=2時(shí)，曲線將與負(fù)實(shí)軸相切；60③當(dāng)n-m=3時(shí)，曲線將與正虛軸相切；61④當(dāng)n-m=4時(shí)，曲線將與正實(shí)軸相切。62由于開環(huán)頻率特性的相位角還與分子和分母的時(shí)間常數(shù)以及系統(tǒng)類型有關(guān)，所以當(dāng)n-m=1，2，3，4時(shí)，高頻段的奈奎斯特曲線如圖5-14所示。63(3)中頻段的奈奎斯特曲線在0<

<+

區(qū)段，奈奎斯特圖的形狀與開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)有關(guān)。如果系統(tǒng)沒有開環(huán)零點(diǎn)(m=0)，即開環(huán)傳遞函數(shù)的分子中沒有時(shí)間常數(shù)，則當(dāng)

由0增大到+

的過程中，開環(huán)頻率特性的相位角以一個(gè)方向連續(xù)變化，即由0依次減到-v900

，且奈奎斯特圖為平滑曲線。如果開環(huán)傳遞函數(shù)的分子中有時(shí)間常數(shù)，則視這些時(shí)間常數(shù)的數(shù)值大小不同，開環(huán)頻率特性的相位角可能不按同一個(gè)方向連續(xù)變化，此時(shí)奈奎斯特圖可能出現(xiàn)凸凹部。

64當(dāng)或時(shí)，系統(tǒng)的奈奎斯特圖均為平滑曲線。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的奈奎斯特圖可能會(huì)出現(xiàn)凸凹部。

例如，若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為65例如，若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)或時(shí)，系統(tǒng)的奈奎斯特圖均為平滑曲線。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的奈奎斯特圖可能會(huì)出現(xiàn)凸凹部。

66

根據(jù)奈奎斯特圖與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和幅值的極值點(diǎn)，可以進(jìn)一步確定中頻段的奈奎斯特圖。假設(shè)開環(huán)頻率特性為①求與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)令開環(huán)頻率特性G(j

)H(j

)的實(shí)部Re(

)和虛部Im()分別為零，便可得到開環(huán)頻率特性與虛軸和實(shí)軸的所有交點(diǎn)。其中，實(shí)部等于零的解，是與虛軸的所有交點(diǎn)；虛部等于零的解，是與實(shí)軸的所有交點(diǎn)。67②求極值點(diǎn)令可得極值點(diǎn)的頻率。將該頻率代入A(

)中，便可得到開環(huán)頻率特性在該頻率點(diǎn)的幅值。68例5-1

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖(奈奎斯特曲線)解系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為69②高頻段的奈奎斯特曲線因?yàn)橄到y(tǒng)的n-m=2，故曲線將于負(fù)實(shí)軸相切。①低頻段的的奈奎斯特曲線因

=0，故曲線起始于正實(shí)軸上的K=5。70令

，則

=0④曲線與虛軸的交點(diǎn)曲線僅在

=0處與實(shí)軸有交點(diǎn)。③曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)極坐標(biāo)圖712.開環(huán)頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）

1)基本概念

開環(huán)頻率特性G(j

)H(j

)的對數(shù)坐標(biāo)圖，也稱開環(huán)對數(shù)坐標(biāo)圖，又稱為伯德圖（Bode圖）。圖所示的系統(tǒng)，假設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)由n1個(gè)典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，則系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性72

開環(huán)對數(shù)相頻特性：可見：由若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的開環(huán)頻率特性，對數(shù)幅頻特性為各環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性之和，對數(shù)相頻特性為各環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性之和。

開環(huán)對數(shù)幅頻特性：732)繪制伯德圖的一般規(guī)則

(1)將開環(huán)頻率特性化成典型環(huán)節(jié)之積的形式：求出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，標(biāo)注在對數(shù)坐標(biāo)圖上。(2)確定低頻段的漸近線假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為繪制對數(shù)幅頻特性漸近線的步驟：74即低頻段(

<<

min)的漸近線方程為若因子(jτi

+1)和因子(jTi

+1)中的最小轉(zhuǎn)折頻率為

min=min{1/τi,1/Ti}，則當(dāng)

<<

min時(shí)：75系統(tǒng)低頻段的漸近線：0型系統(tǒng)是一條水平直線;I型系統(tǒng)是一條斜率為-20(dB/dec)的直線;II型系統(tǒng)是一條斜率為-40(dB/dec)的直線；依次類推。所以低頻段的漸近線是斜率為-

20(dB/dec)，且通過

=1，L低漸(

)=20lgK點(diǎn)(或與

軸交于

=K1/v點(diǎn))的直線。它從低頻段開始一直到最小轉(zhuǎn)折頻率處。當(dāng)

=1時(shí)，有L低漸(

)=20lgK當(dāng)L低漸(

)=0時(shí)，有20lgK=

20lg

，即K=

76(3)L(

)從低頻段開始向高頻段延伸時(shí)，每經(jīng)過一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，漸近線斜率的改變量為該轉(zhuǎn)折頻率所屬典型環(huán)節(jié)的高頻漸近線斜率。(4)在各轉(zhuǎn)折頻率附近對漸近線作合理修正，便可得到精確的L(

)曲線。系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性的繪制，先分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性，然后將各曲線進(jìn)行疊加。實(shí)際畫圖時(shí)，可先寫出總的系統(tǒng)開環(huán)相頻特性表達(dá)式，然后每隔十倍頻程或倍頻程計(jì)算出一個(gè)點(diǎn)，最后用光滑曲線連接。77例5-2

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖。對數(shù)坐標(biāo)紙

78解系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)由比例、積分、一階慣性、一階微分和一階慣性5個(gè)典型環(huán)節(jié)組成，其中一階慣性、一階微分和一階慣性的轉(zhuǎn)折頻率分別為：1、10和100。

min=1。79(1)開環(huán)頻率特性的對數(shù)幅頻特性

①將轉(zhuǎn)折頻率1、10和100標(biāo)注在對數(shù)坐標(biāo)圖中；80②因當(dāng)

<<

min=1時(shí)，系統(tǒng)的低頻段漸近線方程可表示為:故在對數(shù)坐標(biāo)圖中

min=1之前，畫一條斜率為-20dB/dec，且過點(diǎn)

=1，L低漸(

)=40-20lg1=40dB的低頻漸近線。81③漸近線過第1個(gè)轉(zhuǎn)折頻率1后，斜率按該一階慣性的性質(zhì)增加-20dB/dec，變?yōu)?40dB/dec；82④漸近線過第2個(gè)轉(zhuǎn)折頻率10后，斜率按該一階微分的性質(zhì)增加20dB/dec，變?yōu)?20dB/dec。83⑤漸近線過第3個(gè)轉(zhuǎn)折頻率100后，斜率按該一階慣性的性質(zhì)增加-20dB/dec，又變?yōu)?40dB/dec。系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性如圖：84在轉(zhuǎn)折頻率附近按誤差曲線修正，便可得精確曲線。85(2)開環(huán)頻率特性的對數(shù)相頻特性開環(huán)頻率特性的對數(shù)相頻特性為比例、積分、一階慣性、一階微分和一階慣性5個(gè)典型環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性的疊加，如下圖所示。86系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖873.開環(huán)頻率特性的對數(shù)幅相(Nichols)圖

開環(huán)頻率特性的對數(shù)幅相圖，也稱開環(huán)對數(shù)幅相頻率特性，又稱為尼科爾斯（Nichols）圖。它可根據(jù)開環(huán)頻率特性G(j

)H(j

)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性或直接根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖進(jìn)行繪制。開環(huán)對數(shù)幅相圖以

(

)為橫軸，L(

)為縱坐標(biāo)，以頻率

為參變量的一種圖示法。88例5-3

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如例5-2所示，試?yán)L制系統(tǒng)的尼科爾斯（Nichols）圖。解根據(jù)例5-2所繪制系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖（左圖），當(dāng)

從小到大變化時(shí)，將相應(yīng)的對數(shù)幅頻和相頻特性值分別作為對數(shù)幅相平面中的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)。

便可得該系統(tǒng)的Nichols圖，如右圖所示。895.3.2最小相位系統(tǒng)

1．最小相位系統(tǒng)的定義

非最小相位系統(tǒng)：具有非最小相位開環(huán)傳遞函數(shù)的系統(tǒng)。最小相位傳遞函數(shù)：在右半s平面上沒有零點(diǎn)和極點(diǎn)的傳遞函數(shù)，非最小相位傳遞函數(shù)：在右半s平面上有零點(diǎn)或極點(diǎn)，或有純遲延環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)稱為。最小相位系統(tǒng)：具有最小相位開環(huán)傳遞函數(shù)的系統(tǒng)。90例如非最小相位一階慣性環(huán)節(jié)和一階比例微分環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性分別為其對數(shù)坐標(biāo)圖分別如右圖中的虛線和實(shí)線所示。91非最小相位環(huán)節(jié)與同類型的最小相位環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性相同，而其對數(shù)相頻特性相反。換言之，非最小相位環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性的變化趨勢與其對數(shù)幅頻特性的變化趨勢不一致。

而最小相位環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性的變化趨勢與相頻特性的變化趨勢是一致的，即當(dāng)對數(shù)幅頻特性的斜率增加或者減小時(shí)，其相頻特性的角度也隨之增加或者減小。

92例5-4

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)坐標(biāo)圖。93解根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)可得它們的對數(shù)幅頻特性均為94對數(shù)相頻特性分別為

開環(huán)對數(shù)坐標(biāo)圖分別如圖所示：

95在具有相同幅頻率特性的一類系統(tǒng)中，當(dāng)頻率

從0變化至?xí)r，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小，如

1，且對數(shù)幅頻特性的變化趨勢與相頻特性的變化趨勢是一致的。而非最小相位系統(tǒng)則不然，它的相位變化范圍通常比最小相位系統(tǒng)要大，如

2；或者相角變化范圍雖不大，但相角的變化趨勢與對數(shù)幅頻特性的斜率變化趨勢不一致，如

3

。96

因而，對于最小相位系統(tǒng)，對數(shù)幅頻特性和相頻特性之間存在著惟一的對應(yīng)關(guān)系。但非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍通常比最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍大。因此，對于最小相位系統(tǒng)，可只根據(jù)對數(shù)幅頻特性（或相頻特性）對其進(jìn)行分析；而對于非最小相位系統(tǒng)，在進(jìn)行分析或綜合時(shí)，必須同時(shí)考慮其對數(shù)幅頻特性與相頻特性。972.根據(jù)最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性確定其傳遞函數(shù)

根據(jù)最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性（或相頻特性），就可惟一的確定該開環(huán)傳遞函數(shù)，其步驟如下：(1)確定系統(tǒng)的類型根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻段漸近線的斜率為-20vdB/dec來確定系統(tǒng)類型v的值。98(2)確定系統(tǒng)所含各環(huán)節(jié)的類型和參數(shù)

從低頻到高頻根據(jù)開環(huán)對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率變化和轉(zhuǎn)折頻率的大小來確定系統(tǒng)所含各環(huán)節(jié)的類型和參數(shù)，如在轉(zhuǎn)折頻率后斜率變化-20dB/dec，該環(huán)節(jié)對應(yīng)于慣性環(huán)節(jié)；斜率變化-40dB/dec，對應(yīng)于重慣性環(huán)節(jié)或二階振蕩環(huán)節(jié)；斜率變化20dB/dec，對應(yīng)于比例微分環(huán)節(jié)；斜率變化40dB/dec，對應(yīng)于重比例微分環(huán)節(jié)或二階微分環(huán)節(jié)。轉(zhuǎn)折頻率的倒數(shù)即為該環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。99(3)確定系統(tǒng)的開環(huán)增益（三種方法）①利用開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻段漸近線L(

)=-20vlg+20lgK或其延長線，在

=1時(shí)，L(

)=20lgK

；或

=K1/v時(shí)，L(

)=0來確定開環(huán)增益K。②首先利用穿越零分貝線的斜率-NdB/dec可列寫方程L(

)=-Nlg

0+b；然后根據(jù)在零分貝線處的頻率

0必滿足L(

0)=-Nlg

0+b=0，可求出b值；最后再利用穿越零分貝線方程上的其它已知點(diǎn)的值，便可求出開環(huán)增益K。100③利用系統(tǒng)在零分貝點(diǎn)頻率

0前的開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線方程來確定開環(huán)增益K。該漸近線方程是這樣確定的，如果某環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率小于

0

，則該環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性方程，用其低頻近線方程代替；如果某環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率大于

0

，則該環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性方程，用其高頻近線方程代替。101例5-5

已知最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性的漸近線如圖5-20所示，試確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。解(1)系統(tǒng)為I型，且有兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率

1=0.01，

2=10，設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為：102因低頻段（第1個(gè)轉(zhuǎn)折頻率之前）的漸近線為由

=25時(shí)，則開環(huán)傳遞函數(shù)為得103(2)系統(tǒng)為II型，有兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率

1=0.5,

2=2，設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為：104在

=0.5時(shí)有故可求得：又因低頻段(第1個(gè)轉(zhuǎn)折頻率之前)的漸近線方程：方法1：根據(jù)通過處的漸近線方程得由圖5-20(b)可知

則再由圖5-20(b)可知，在ω=0.5處

圖5-20(b)105可得：則開環(huán)傳遞函數(shù)為方法2:因零分貝點(diǎn)頻率=1處的漸近線方程為

利用ω=1時(shí)，

106(3)系統(tǒng)為0型，且有一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，此系統(tǒng)的幅頻特性有諧振現(xiàn)象，故為振蕩環(huán)節(jié)，設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為由圖知振蕩環(huán)節(jié)的諧振峰值為：107根據(jù)疊加性質(zhì)，有解得：K=10;ξ=0.496;

n=10則開環(huán)傳遞函數(shù)為

108第5章

控制系統(tǒng)的頻域分析5-1引言5-2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5-3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性2.開環(huán)頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）3.開環(huán)頻率特性的對數(shù)幅相(Nichols)圖1.開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）內(nèi)容回顧5.3.2最小相位系統(tǒng)5.3.1開環(huán)頻率特性的三種圖示法

1095.3.3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

在前面已經(jīng)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，并且給出了代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。本節(jié)介紹判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種方法，即奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（或簡稱奈氏判據(jù)）。這一判據(jù)由H.Nyquist于1932年提出，是一種幾何判據(jù)，它主要利用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其主要優(yōu)點(diǎn)是不僅能夠判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且還能夠看出系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響，并表明系統(tǒng)穩(wěn)定的程度。

1101.基本原理

對于右圖所示系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為要使系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)特征方程:1+G(s)H(s)=0的全部根必須位于左半s平面上。111(1)閉環(huán)特征函數(shù)的F(s)=1+G(s))H(s)零極點(diǎn)

假設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為則閉環(huán)特征函數(shù)顯然，F(xiàn)(s)的極點(diǎn)是系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)，零點(diǎn)是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。從而，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定

閉環(huán)極點(diǎn)均位于左半s平面

F(s)的零點(diǎn)均位于左半s平面。112(2)映射定理

假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為pi(i=1,2,…,n)，閉環(huán)極點(diǎn)為zj(j=1,2,…,n)，則閉環(huán)特征函數(shù)作為s的復(fù)函數(shù)，F(xiàn)(s)的每個(gè)值也可以在復(fù)平面上來表示，此復(fù)平面稱為[F]平面，如右圖所示。113可以證明：

對于s平面上一條不通過F(s)的任何零極點(diǎn)的連續(xù)封閉曲線Cs，在[F]平面上必有一條不通過坐標(biāo)原點(diǎn)的封閉曲線

與之對應(yīng)。如圖設(shè)Cs包圍了閉環(huán)特征函數(shù)F(s)的P個(gè)極點(diǎn)，Z個(gè)零點(diǎn)，則在s平面上，當(dāng)變點(diǎn)s沿Cs順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí)，曲線

將按逆時(shí)針方向包圍原點(diǎn)N=P-Z次。114證：(1)略（參復(fù)變函數(shù)）(2)假設(shè)閉環(huán)特征函數(shù)F(s)，在s平面上被封閉曲線Cs包圍的P個(gè)極點(diǎn)為pi(i=1,2,…,P)，Z個(gè)零點(diǎn)為zj(j=1,2,…,z)；不被包圍的(n-P)個(gè)極點(diǎn)為pp+i(i=1,2,…,n-P)，(n-z)個(gè)零點(diǎn)為zz+j(j=1,2,…,n-z)。115其相位角為則F(s)可寫成116由圖可知，當(dāng)s平面上的變點(diǎn)s沿曲線Cs順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí)，被Cs包圍的每個(gè)矢量的相位角改變量為-3600，而不被Cs包圍的每個(gè)矢量的相位角的改變量為00。故當(dāng)s平面上的變點(diǎn)s沿Cs順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí)，函數(shù)F(s)相位角的改變量為117函數(shù)F(s)的相位角每改變3600，[F]平面上對應(yīng)的封閉曲線

的點(diǎn)（即F(s)的端點(diǎn)）沿該封閉曲線將按逆時(shí)針方向包圍原點(diǎn)一次。故有：

N=P-Z式中，N為[F]平面上封閉曲線

逆時(shí)針方向包圍原點(diǎn)的次數(shù)；P為在s平面上被封閉曲線Cs包圍閉環(huán)特征函數(shù)F(s)的極點(diǎn)數(shù)；Z為在s平面上被封閉曲線Cs包圍閉環(huán)特征函數(shù)F(s)的零點(diǎn)數(shù)。1182.奈奎斯特路徑及其映射

(1)奈奎斯特路徑

則被s平面上的封閉曲線Cs包圍的函數(shù)F(s)的極點(diǎn)數(shù)P就是系統(tǒng)位于s右半平面上的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)，而由式Z=P-N計(jì)算得到的Z值，就是系統(tǒng)位于s右半平面上的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。這樣映射定理與系統(tǒng)的穩(wěn)定性就聯(lián)系起來了。把這樣的封閉曲線Cs稱為奈奎斯特路徑或Nyquist路徑。

選Cs包圍整個(gè)s右半平面，如圖：它由整個(gè)虛軸(s=j,從-0

+

)和半徑為無窮大的半圓?。╯=）組成。119(2)奈奎斯特路徑在[F]平面上的映射

對于閉環(huán)特征函數(shù):①當(dāng)s=j

（

從-0

+

）時(shí)，

所以,對于s平面上整個(gè)虛軸(s=j

,

從-0

+

)，它在[F]平面上的映射是頻率特性曲線(

=0

+

)及其關(guān)于實(shí)軸的鏡像的頻率特性曲線(對應(yīng)于

=-

0部分)。②當(dāng)s

+

時(shí)，

+常數(shù)=常數(shù)

故對于s平面上半徑為無窮大的半圓弧(s=

)以及虛軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)s=j

，它在[F]平面上的映射都為F(j)曲線上的同一定點(diǎn)。

120閉環(huán)特征函數(shù)的頻率特性由單位1和G(j

)H(j)組成，將[F]平面上的F(j)曲線向左平移1個(gè)單位，便得[GH]平面上的G(j)H(j)曲線。這樣，[F]平面上的原點(diǎn)就對應(yīng)于[GH]平面上的(-1,j0)點(diǎn)。所以，F(xiàn)(j)曲線在[F]平面上逆時(shí)針方向包圍原點(diǎn)的次數(shù)N，就對應(yīng)于G(j)H(j)曲線在[GH]平面上逆時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)的次數(shù)N。(3)奈奎斯特路徑在[GH]平面上的映射因?yàn)殚]環(huán)特征函數(shù)的頻率特性為121奈奎斯特路徑在[GH]平面上的映射就是G(j)H(j)曲線，即奈奎斯特(Nyquist)曲線,如圖所示。

1223.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

1)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)一

判據(jù)一：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

G(s)H(s)在s平面的原點(diǎn)及虛軸上無極點(diǎn)，當(dāng)

從-0

+

變化時(shí)，如果開環(huán)頻率特性G(j)H(j)曲線（即Nyquist曲線），逆時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)的次數(shù)N，等于開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)位于右半s平面的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，系統(tǒng)在右半s平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)為Z=P-N。123例5-6

已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解

(1)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性：當(dāng)

從0+

變化時(shí)開環(huán)頻率特性G(j)H(j)曲線(即Nyquist曲線)如圖中實(shí)線所示。124鏡像對稱得

從-0變化時(shí)的G(j)H(j)曲線，如圖中虛線:

G(s)H(s)在右半s平面有一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，故P=1。從圖知，當(dāng)K>1時(shí)，

從-0

+

變化時(shí)，Nyquist曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的1次，即N=1，此時(shí)Z=P-N=0，系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)K<1時(shí)，Nyquist曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，即N=0，此時(shí)Z=P-N=1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)K=1時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界。125

(2)利用鏡像對稱關(guān)系，根據(jù)例5-1中當(dāng)

從0+變化時(shí)，開環(huán)頻率特性曲線，如圖5-27(b)中實(shí)線所示?？傻孟到y(tǒng)當(dāng)

從-0變化時(shí)的曲線，如圖5-27(b)中虛線所示。由于該系統(tǒng)的P=0。且從圖5-27(b)中可知，當(dāng)

從-0+變化時(shí)，Nyquist曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，即N=0。Z=P-N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。1262)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)二當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s平面的原點(diǎn)及虛軸上有極點(diǎn)時(shí)，要對s平面上的Nyquist路徑進(jìn)行修正，使其不通過G(s)H(s)的極點(diǎn)。(1)G(s)H(s)在s平面的原點(diǎn)有極點(diǎn)假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為127(a)修改的Nyquist路徑若G(s)H(s)在s平面的原點(diǎn)有極點(diǎn)，為使s平面上的Nyquist路徑不通過原點(diǎn)，可對Nyquist路徑在原點(diǎn)附近進(jìn)行修正：以原點(diǎn)為圓心，做半徑為無窮小的右半圓弧，如圖將此半圓弧作為Nyquist路徑的一部分，從而將原點(diǎn)歸入了左半s平面。

128(b)修改的Nyquist路徑在[GH]平面上的映射位于原點(diǎn)附近的小半圓可表示為（

從-900

00

+900）

考慮

0，有映射為半徑為無窮大的圓弧，從+v900開始，順時(shí)針經(jīng)00，結(jié)束于-v900。129(2)G(s)H(s)在s平面的虛軸上有極點(diǎn)

在虛軸上的極點(diǎn)處作半徑為無窮小的右半圓，即在極點(diǎn)附近，?。?/p>

0，

從-900

00

+900），使Nyquist路徑不通過虛軸上的極點(diǎn)但仍包圍整個(gè)s右半平面，修改后的奈奎斯特判據(jù)仍可用。

130

修改后的Nyquist路徑在[GH]平面上的映射,一般稱為增補(bǔ)的Nyquist曲線。

判據(jù)二：當(dāng)

從-0

+

變化時(shí)，如果增補(bǔ)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)曲線（即增補(bǔ)的Nyquist曲線），逆時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)的次數(shù)N，等于開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)位于右半s平面的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，系統(tǒng)在右半s平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)為Z=P-N。131例5-7

已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解

(1)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為132當(dāng)

從0+

+

變化時(shí)，即Nyquist曲線如圖實(shí)線,鏡像對稱得

從-0-變化時(shí)的曲線，如圖中虛線,系統(tǒng)屬最小相位系統(tǒng)，故P=0。從圖中可知：N=0。Z=P-N=0，系統(tǒng)穩(wěn)定。N=-2。Z=P-N=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，133(2)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為當(dāng)

從-0+變化時(shí)，開環(huán)頻率特性G(j

)H(j

)曲線如圖5-30(b)中所示。因該系統(tǒng)為II型系統(tǒng)，故增補(bǔ)的大圓弧為半徑為無窮大的一個(gè)圓弧，如圖5-30(b)中點(diǎn)畫線所示，增補(bǔ)的Nyquist曲線順時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)的兩次，即N=-2。由于該最小相位系統(tǒng)的P=0。則Z=P-N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且其穩(wěn)定性與系統(tǒng)的參數(shù)無關(guān)。134例5-8

當(dāng)

從0++變化時(shí)，II型最小相位系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖如圖5-31所示。試?yán)媚慰固胤€(wěn)定判據(jù)判斷該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。135解(1)根據(jù)題意可以補(bǔ)畫系統(tǒng)，當(dāng)

從-0-和從0-0+變化時(shí)的開環(huán)頻率特性曲線(它們分別為圖5-32中的虛線和點(diǎn)畫線)。從而得到系統(tǒng)，當(dāng)

從-0+變化時(shí)的開環(huán)頻率特性曲線（Nyquist曲線），如圖5-32所示。136(2)對于圖5-32(a)所示最小相位系統(tǒng)（P=0），由于Nyquist曲線沒有包圍(-1,j0)點(diǎn)，因此該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。而對于圖5-32(b)所示最小相位系統(tǒng)(P=0)，由于Nyquist曲線順時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)的兩次，即N=-2。此時(shí)Z=P-N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)在右半s平面有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。1374.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的推廣

1)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在極坐標(biāo)圖中的推廣

對于比較簡單的開環(huán)頻率特性曲線，通過觀察便可看出對（-1，j0）點(diǎn)的包圍情況，而對于比較復(fù)雜的系統(tǒng)，必須借助開環(huán)頻率特性曲線在實(shí)軸（-,-1）范圍內(nèi)的正負(fù)穿越情況來判斷，如圖5-31所示。

利用奈奎斯特判據(jù)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，主要就是看系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j

)曲線對（-1，j0）點(diǎn)的包圍情況。138當(dāng)頻率

從0

+

變化時(shí)，開環(huán)頻率特性曲線從上半[GH]平面穿越負(fù)實(shí)軸到下半[GH]平面，由于這種穿越伴隨著相位角的增加，故稱其為正穿越，正穿越次數(shù)用N+表示。如果開環(huán)頻率特性曲線沿逆時(shí)針方向起始或終止于(-1,j0)點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸上，記為半次正穿越。

139當(dāng)頻率

從0

+

變化時(shí)，開環(huán)頻率特性曲線從下半[GH]平面穿越負(fù)實(shí)軸到上半[GH]平面，由于這種穿越伴隨著相位角的減小，故稱其為負(fù)穿越，負(fù)穿越次數(shù)用N-表示。如果開環(huán)頻率特性曲線沿順時(shí)針方向起始或終止于(-1,j0)點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸上，記為半次負(fù)穿越。

140奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)正、負(fù)穿越次數(shù)描述為：

正穿越意味著G(j)H(j)曲線對（-1，j0）點(diǎn)的逆時(shí)針方向的包圍，負(fù)穿越意味著順時(shí)針方向的包圍。當(dāng)

從0+變化時(shí)，若開環(huán)頻率特性G(j)H(j

)曲線在實(shí)軸（-，-1）范圍內(nèi)的正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差N'=N+-N-的兩倍，等于開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)位于右半s平面的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，系統(tǒng)在右半s平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)為Z=P-2N

'141

例5-9

試?yán)媚慰固胤€(wěn)定判據(jù)在極坐標(biāo)圖中的推廣，判定例5-6和例5-8中所給系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

(1)對于例5-6中第1個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)從0→+∞變化時(shí)，若K>1，由圖5-27（a）可知N+=0.5，N-=0，即N'=N+-N-=0.5。該系統(tǒng)因位于右半s平面的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=1，則在右半s平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)Z=P-2N'=1-2*0.5=0。故該系統(tǒng)穩(wěn)定。圖5-27(a)例5-6(a)的Nyquist曲線若K<1，由圖5-27(a)可知N+=0，N-=0，即N’=N+-N-=0，則在右半s平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)Z=P-2N'=1-2*0=0。故該系統(tǒng)不穩(wěn)定。若K=1，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。142對于例5-6中第2個(gè)系統(tǒng)。當(dāng)從0→+∞變化時(shí)，由圖5-27（b）可知N+=0，N-

=0，即N'=N+-N-=0。該系統(tǒng)因位于右半s平面的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0，則在右半s平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)Z=P-2N'=0。故該系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖5-27(b)例5-6(b)的Nyquist曲線143

(2)對于例5-8中第1個(gè)系統(tǒng)。當(dāng)從0→+∞變化時(shí)，由圖5-32（a）可知N+=1，N-

=1，即N'=N+-N-=0。該系統(tǒng)因位于右半s平面的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0，則在右半s平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)Z=P-2N'=0。故該系統(tǒng)穩(wěn)定。圖5-32(a)例5-8(a)的Nyquist曲線144對于例5-8中第2個(gè)系統(tǒng)。當(dāng)從0→+∞變化時(shí)，由圖5-32（b）可知N+=1，N-

=2，即N'=N+-N-=-1。該系統(tǒng)因位于右半s平面的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0，則在右半s平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)Z=P-2N'=2。故該系統(tǒng)不穩(wěn)定。圖5-32(b)例5-8(b)的Nyquist曲線1452)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在伯德圖中的推廣

極坐標(biāo)圖（Nyquist曲線）和對數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）的對應(yīng)關(guān)系：(2)極坐標(biāo)圖中單位圓外的部分，與對數(shù)坐標(biāo)圖中零分貝線以上的部分相對應(yīng)；(3)極坐標(biāo)圖中的負(fù)實(shí)軸，對應(yīng)于對數(shù)坐標(biāo)圖中的-180

相位線。(1)極坐標(biāo)圖中的單位圓，對應(yīng)于對數(shù)坐標(biāo)圖中的零分貝線；146因此，極坐標(biāo)圖中的頻率特性曲線在(-,-1)區(qū)段的正負(fù)穿越，在對數(shù)坐標(biāo)圖中表現(xiàn)為在對數(shù)幅頻特性曲線L(

)>0dB的范圍內(nèi)，當(dāng)

↑時(shí)，相頻特性曲線從下向上穿越-180相位線稱為正穿越N+。反之稱為負(fù)穿越N-。如圖所示：147綜上所述，在對數(shù)坐標(biāo)圖中的奈奎斯特判據(jù)可敘述為：當(dāng)

從0+

變化時(shí)，在對數(shù)幅頻特性曲線L(

)>0dB的范圍內(nèi)，如果相頻特性曲線對-180相位線的正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差N'=N+-N-的兩倍。等于開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)位于右半s平面的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，系統(tǒng)在右半s平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)為Z=P-2N'。148例5-10

設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K值范圍。

解系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為149令有令所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為：得：由于當(dāng)K<2.65時(shí)：N+-N-=0150第5章

控制系統(tǒng)的頻域分析5-1引言5-2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5-3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

5.3.1開環(huán)頻率特性的三種圖示法

5.3.2最小相位系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

5.3.3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)2.奈奎斯特路徑及其映射3.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)一和判據(jù)二1.基本原理內(nèi)容回顧4.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的推廣1515.3.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量

第3章中曾經(jīng)在s平面討論分析過系統(tǒng)相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量的概念。本節(jié)利用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來研究閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。在頻域中，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量通常用相角裕量和幅值裕量來表示。1521.穩(wěn)定裕量在極坐標(biāo)圖中的表示

對于最小相位系統(tǒng)，若Nyquist曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。若系統(tǒng)穩(wěn)定，Nyquist曲線離(-1，j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度越高，反之，穩(wěn)定程度越低。由此可見，奈氏圖不僅表明了系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而且還表明了穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，這就是所謂的相對穩(wěn)定性。153由于(-1,j0)點(diǎn)可表示幅值為1，相角為-1800的向量，即s=-1+j0，所以Nyquist曲線對(-1,j0)的靠近程度，即系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量可從幅值和相角兩個(gè)方面來考慮。一般用相位裕量

和增益裕量Kg表示最小相位系統(tǒng)的Nyquist曲線對臨界穩(wěn)定邊界點(diǎn)(-1,j0)靠近程度的定量關(guān)系，它反應(yīng)了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。1541)相位裕量

設(shè)G(j

)H(j)曲線，在極坐標(biāo)圖中與單位圓交于C點(diǎn)，C點(diǎn)處的頻率

c稱為增益穿越頻率(也稱剪切頻率或截止頻率)。如圖：

c處的相角G(jc)H(jc)與-1800的相位差稱為相位裕量或相角裕量，用

表示，即

c滿足155相位裕量

表示在增益穿越頻率

c處,G(jc)H(jc)與-1800的接近程度。當(dāng)

>0時(shí)，表示相位裕量是正的，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，如圖中G(j)1H(j)1所示；156

<0時(shí)，表示相位裕量是負(fù)的，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，如圖中系統(tǒng)G(j)2H(j)2所示；

=0時(shí)，表示相位裕量為零，閉環(huán)系統(tǒng)屬于臨界穩(wěn)定，如圖中系統(tǒng)G(j)3H(j)3所示。1572)增益裕量

設(shè)G(j

)H(j)在極坐標(biāo)圖中與負(fù)實(shí)軸相交于G點(diǎn)，G點(diǎn)處的頻率

g稱為相位穿越頻率。如圖

|G(jg)H(jg)|的倒數(shù)稱為增益裕量或幅值裕量，用Kg表示。Kg表示在

g處，幅值與單位圓1的接近程度。158當(dāng)Kg>1時(shí)，表示增益裕量大于1，系統(tǒng)穩(wěn)定，如圖中G(j)1H(j)1；

Kg<1時(shí)，表示增益裕量小于1，系統(tǒng)不穩(wěn)定，如圖中G(j)2H(j)2

；

Kg=1時(shí)，表示增益裕量等于1，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，如圖中G(j)3H(j)3。159例5-11已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的相角裕量和幅值裕量。解：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為則

，

160令得相角裕量

，

令得幅值裕量

1612.穩(wěn)定裕量在對數(shù)坐標(biāo)圖中的表示

c在Bode圖中對應(yīng)零分貝的點(diǎn)，即L(

)與

軸的交點(diǎn)。

g在Bode圖中對應(yīng)相角為-1800的點(diǎn)，即開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線與-1800水平直線的交點(diǎn)。162在Bode圖中，相位裕量和增益裕量的定義仍同上，但增益裕量通常以分貝數(shù)來表示，即對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，增益裕量為正，如圖中G(j)1H(j)1系統(tǒng)所示；163不穩(wěn)定的系統(tǒng)：

Kg<0dB為負(fù),如圖G(j)2H(j)2；臨界穩(wěn)定系統(tǒng)：

Kg=0dB，增益裕量為零，如圖中G(j)3H(j)3

164增益裕量反映系統(tǒng)開環(huán)增益對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，相位裕量反映理論上只改變開環(huán)頻率特性的哪些參數(shù)的變化對穩(wěn)定性的影響。因此增益裕量大的系統(tǒng)其相位裕量不一定大。所以一般需同時(shí)利用增益裕量和相位裕量兩種性能指標(biāo)來衡量系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。一般相位裕量應(yīng)當(dāng)在300

600之間，而增益裕量Kg應(yīng)大于2或6dB，因20lg2=6dB。165系統(tǒng)的穩(wěn)定性，除可利用相位裕量和增益裕量判斷外，也可利用開環(huán)頻率特性G(j

)H(j)的極坐標(biāo)圖和對數(shù)坐標(biāo)圖來判斷。通常，對于最小相位系統(tǒng)，當(dāng)

c<g時(shí)，一定存在

>0和Kg>1，所以系統(tǒng)必然穩(wěn)定。當(dāng)

c>g時(shí)，一定存在

<0和Kg<1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)

c=g時(shí)，一定滿足

=0和Kg=1，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

1663.穩(wěn)定裕量在對數(shù)幅相圖中的表示

在對數(shù)幅相圖中，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性參數(shù)如圖(a)穩(wěn)定系統(tǒng)

(b)不穩(wěn)定系統(tǒng)

(c)臨界穩(wěn)定系統(tǒng)

相位穿越點(diǎn)(即-180°線)和幅值穿越點(diǎn)(0分貝線)之間的水平距離是

，垂直距離是Kg。

167由于開環(huán)頻率特性G(j

)H(j

)的幅值與開環(huán)增益成正比，而相位則與開環(huán)增益無關(guān)。因此，當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益改變時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅相圖僅是上下移動(dòng)，而不改變形狀；而當(dāng)對G(j

)H(j

)增加一恒定相角，曲線為水平平移。這對分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)參數(shù)之間的相互影響是很有利的。168第5章

控制系統(tǒng)的頻域分析5-1引言5-2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5-3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性2.穩(wěn)定裕量在對數(shù)坐標(biāo)圖中的表示3.穩(wěn)定裕量在對數(shù)幅相圖中的表示1.穩(wěn)定裕量在極坐標(biāo)圖中的表示內(nèi)容回顧5.3.1開環(huán)頻率特性的三種圖示法5.3.2最小相位系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5.3.3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.3.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量1695-4系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性

5.4.1等M圓(等幅值軌跡)和等N圓(等相角軌跡)

對于單位反饋系統(tǒng)：其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)頻率特性：可逐點(diǎn)繪制出系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。但工作量太大，工程上常采用以下圖解法。170單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為則閉環(huán)頻率特性

1711、等M圓(等幅值軌跡)

根據(jù)幅值條件，有

(1)當(dāng)M=1時(shí)，式(5-43)變成一條平行于jIm軸的直線(Re=-1/2)，相當(dāng)于一個(gè)圓心在(-

,j0)，半徑為的圓；(2)當(dāng)M≠1時(shí)，式(5-43)整理可得

(5-43)

(5-44)

172式(5-44)，當(dāng)M取不同值時(shí)，在Re-Im復(fù)平面上，是一個(gè)圓族，如圖：①當(dāng)M>1時(shí)，所有圓均位于M=1這一直線的左側(cè)；②當(dāng)M<1時(shí)，所有圓均位于M=1這一直線的右側(cè)。圓心在半徑為1732．等N圓(等相角軌跡)

有由令174得式(5-45)，當(dāng)N取不同值時(shí)，在Re-Im復(fù)平面上，是一個(gè)圓族，如圖：(5-45)圓心在半徑為175

(1)等N圓上以

值進(jìn)行標(biāo)注，對于同一N值，

是多值的，但僅標(biāo)注(-180

+180

)范圍的

值；

(2)當(dāng)Re=0,Im=0和Re=-1,Im=0時(shí)，所有的等N圓均通過（0，j0）和（-1，j0）點(diǎn)；

(3)對于給定

值的等N圓軌跡，實(shí)際上是一段圓弧，如

=60

和

=-120

的圓弧是同一個(gè)圓的一部分。故對于位于實(shí)軸以上的圓弧

值標(biāo)以相應(yīng)的正值（0+180

），位于實(shí)軸以下的圓弧

值標(biāo)以相應(yīng)的負(fù)值（-1800

）。176

(4)當(dāng)N=0(

=0)時(shí)，相應(yīng)的“圓”是與實(shí)軸重疊的直線，其中位于（-1，0）之間線段的

值為

180

，其余部分的

值為0。

(5)由于在等N圓上

是多值的，因此利用等N圓來確定系統(tǒng)的相角時(shí)，就必須適當(dāng)指出

值的范圍，為了避免錯(cuò)誤，應(yīng)從對應(yīng)于

=0的零頻開始，一直到高頻，相位曲線必須是連續(xù)的。

1775.4.2利用等M圓和等N圓求系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性

1.單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性將G(j

)的極坐標(biāo)圖(Nyuist圖)與等M圓(或等N圓)按相同的比例重疊畫出，如圖178

適當(dāng)選取曲線G(j

)與一系列等M圓(或等N圓)的交點(diǎn)，并讀取這些交點(diǎn)(或切點(diǎn))對應(yīng)的頻率

和M(或N)值，便得到單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性M(

)和閉環(huán)相頻特性

(

)。其中曲線G(j)和等M圓的切點(diǎn)處對應(yīng)的頻率

就是諧振頻率

r，M值就是諧振峰值Mr。如圖

1792.非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性

非單位反饋系統(tǒng)，可將其變換為等效的單位反饋系統(tǒng)，如圖圖(b)系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性Y(j

)/R(j

)可按以上方法求取，它們再與頻率特性1/H(j

)相乘(或相加)，便得總的閉環(huán)頻率特性(A(

)和

(

))曲線。1803.系統(tǒng)的閉環(huán)頻域性能指標(biāo)

頻率特性在數(shù)值和曲線形狀上的特點(diǎn)，常用頻域性能指標(biāo)來衡量。系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻和相頻特性曲線如圖:181(1)諧振頻率

r

：最大幅值時(shí)所對應(yīng)的頻率。(2)諧振峰值Mr

：最大幅值，越大，超調(diào)量越大。(3)閉環(huán)截止頻率(或頻帶

b)：幅值衰減到起始值的0.707倍時(shí)的頻率。越大，系統(tǒng)的快速性越好，階躍響應(yīng)的上升時(shí)間短，調(diào)節(jié)時(shí)間短。(4)零頻幅值A(chǔ)(0)：頻率

=0時(shí)的幅值。表示系統(tǒng)階躍響應(yīng)的終值。A(0)與1之差越接近于1，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度越高。由圖可得以下閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo):1825.4.3利用尼科爾斯圖求系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性

在對數(shù)幅相平面上也可繪制出等幅值軌跡（等M軌跡）和等相角軌跡（等N軌跡）。它們被稱為對數(shù)幅相平面上的尼科爾斯（Nichols）軌跡，如圖：183在繪有等M軌跡和等N軌跡的對數(shù)幅相平面上，畫出單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅相圖。該圖與等M軌跡和等N軌跡的交點(diǎn)給出了相應(yīng)頻率下閉環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)幅值和相角，如圖：

184據(jù)此可畫出系統(tǒng)的閉環(huán)對數(shù)頻率特性曲線，如圖：其中開環(huán)對數(shù)幅相圖與等M軌跡的切點(diǎn)處對應(yīng)的頻率

就是諧振頻率

r，等M軌跡的幅值就是諧振峰值Mr的對數(shù)值。185第5章

控制系統(tǒng)的頻域分析5-1引言5-2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5-3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5-4系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性5.4.2利用等M圓和等N圓求系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性5.4.3利用尼科爾斯圖求系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性5.4.1等M圓(等幅值軌跡)和等N圓(等相角軌跡)內(nèi)容回顧1865-5利用頻率特性對閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行分析

5.5.1系統(tǒng)頻域特性與穩(wěn)態(tài)性能的關(guān)系

1.用開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻段分析系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能低頻段指L(

)的漸近線在第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率以前的頻段，特性完全由系統(tǒng)的積分環(huán)節(jié)數(shù)v和開環(huán)增益K決定，它對應(yīng)的頻率特性為則低頻段（

0）的對數(shù)幅頻特性的漸近線為187當(dāng)

=1時(shí)，L低漸(

)=20lgK；當(dāng)L低漸(

)=0時(shí)，20lgK=20log

，即

K=

所以低頻段的漸近線是斜率為-20

(dB/dec)，的直線，且通過

=1，L低漸(

)=20logK點(diǎn)；低頻段反映了閉環(huán)系統(tǒng)的靜態(tài)特性。積分環(huán)節(jié)越多，低頻段的漸近線越傾斜，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差越小?；蚺c

軸交于點(diǎn)1882.利用閉環(huán)幅頻特性分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能

單位階躍輸入信號(hào)，根據(jù)終值定理可得系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為顯然，可根據(jù)閉環(huán)頻率特性的零頻幅值來確定穩(wěn)態(tài)誤差：零頻幅值越接近于1，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差越小，穩(wěn)態(tài)精度越高。1895.5.2系統(tǒng)頻域特性與時(shí)域性能的關(guān)系

1.典型二階系統(tǒng)的開環(huán)頻域與動(dòng)態(tài)時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系

對于典型二階振蕩系統(tǒng)，其開環(huán)頻率特性阻尼比無阻尼自然振蕩頻率。開環(huán)幅頻特性為190開環(huán)相頻特性為令M(

)=1，可得幅值穿越頻率

c為可得系統(tǒng)的相位裕量為由此可見，

c是無阻尼自然振蕩頻率

n和阻尼比

的函數(shù)；而γ僅是

的函數(shù)，且成正比關(guān)系。

當(dāng)0<

≤0.7時(shí)，可近似為如下線性關(guān)系191(1)二階振蕩系統(tǒng)的相位裕量γ與超調(diào)量Mp的關(guān)系

Mp也是

的單值函數(shù)。由此可見，Mp與γ之間也有單值關(guān)系。且γ越小，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的Mp便越大，隨之對應(yīng)的系統(tǒng)相對穩(wěn)定性也就越差。因此，可用γ來表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的相對穩(wěn)定性。192(2)開環(huán)幅值穿越頻率

c與調(diào)整時(shí)間ts的關(guān)系

對于二階振蕩系統(tǒng)，調(diào)整時(shí)間ts為：

由此可見，ts

c隨γ的增加而單調(diào)下降。如果γ不變，則ts與

c成反比。即

c越大，ts越短，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的快速性就越好。因此，

c表征了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的快速性。將

和

n代入ts得1932.典型二階系統(tǒng)的閉環(huán)頻域與動(dòng)態(tài)時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系

閉