自動控制原理（第4版）課件 第8章線性離散控制系統(tǒng)的分析與設計

第8章

線性離散控制系統(tǒng)的分析與設計

目錄8-l離散系統(tǒng)的基礎知識8-2z變換及其反變換

8-3

離散系統(tǒng)的數(shù)學模型

8-4

離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

8-5

離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差8-6離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能8-7

離散控制系統(tǒng)的校正

1

近年來，隨著脈沖技術、數(shù)字計算機和微處理器的迅速發(fā)展和廣泛應用，數(shù)字控制器在許多場合已經(jīng)逐步取代了模擬控制器。由于數(shù)字控制器接收、處理和傳送的是數(shù)字脈沖信號，因此稱采用數(shù)字控制器的系統(tǒng)為離散控制系統(tǒng)或采樣控制系統(tǒng)。離散控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)相比，盡管在信號傳遞方式上有所不同，但在分析方法方面有很多相似之處。2

有關連續(xù)系統(tǒng)的理論雖然不能直接用來分析離散系統(tǒng)，但通過z變換法，可以把連續(xù)系統(tǒng)中的許多概念和方法，推廣應用到離散控制系統(tǒng)的分析和設計中。本章主要介紹離散信號的采樣過程、采樣定理、采樣信號的復現(xiàn)、z變換、離散控制系統(tǒng)的數(shù)學模型、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差和瞬態(tài)響應等離散控制系統(tǒng)分析和設計的基礎內(nèi)容。38-l離散系統(tǒng)的基礎知識

在連續(xù)系統(tǒng)中，系統(tǒng)各處的信號都是時間的連續(xù)函數(shù)，這種在時間上連續(xù)，在幅值上也連續(xù)的信號稱為連續(xù)信號或模擬信號。近年來，隨著脈沖技術和數(shù)字計算機的蓬勃發(fā)展，離散控制系統(tǒng)的應用越來越廣泛。與連續(xù)系統(tǒng)顯著不同的特點是離散系統(tǒng)中至少有一處或幾處信號在時間上為離散的脈沖或數(shù)字信號。實際中，當連續(xù)系統(tǒng)中的信號以間斷方式獲得時，該連續(xù)系統(tǒng)也就變成離散系統(tǒng)。4

圖8-l計算機控制系統(tǒng)方框圖

對于圖8-l所示的計算機控制系統(tǒng)。由于數(shù)字計算機只能處理二進制的斷續(xù)信號，所以計算機接收和輸出的信號均為離散信號。5模數(shù)轉(zhuǎn)換器A/D的作用是定時地將連續(xù)的誤差信號e(t)轉(zhuǎn)換成計算機能接收的離散的數(shù)字誤差信號e(kT)。離散的誤差信號e(kT)以二進制脈沖數(shù)碼送入計算機，計算機按一定要求進行運算后輸出數(shù)字控制信號u(kT)。這樣，計算機以采樣周期T輸出的數(shù)字量，可以用一個與輸入采樣開關同步的采樣開關的輸出來代替。6由于受控對象的執(zhí)行裝置通常按連續(xù)信號進行控制，所以由數(shù)字計算機輸出的離散信號，應先轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號，這種轉(zhuǎn)換是由模數(shù)轉(zhuǎn)換器D/A來實現(xiàn)的。由于A/D轉(zhuǎn)換器精度足夠高，所形成的量化誤差可以不計，因而輸入通道一般把A/D轉(zhuǎn)換器用周期為T的采樣開關來代替。而D/A相當于一個保持器。這樣，由計算機作為控制器的采樣控制系統(tǒng)可以等效為一個典型的離散控制系統(tǒng)，如圖8-2所示。7

下面將進行討論在怎樣的條件下，離散信號可以按一定的方式恢復出原來的連續(xù)信號，以及對離散控制系統(tǒng)如何進行分析等。采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)均稱為離散控制系統(tǒng)。

由于離散信號僅是連續(xù)信號在離散采樣點上的值，所以離散信號與連續(xù)信號的關系是局部與整體的關系。88.1.1信號的采樣

離散系統(tǒng)的特點是系統(tǒng)中有一處或數(shù)處的信號是脈沖序列或數(shù)字序列。在離散系統(tǒng)中，為了把連續(xù)信號變換為脈沖信號，需要使用采樣器；另一方面，為了控制連續(xù)式元部件，又需要使用保持器將脈沖信號變換為連續(xù)信號，因此，為了定量研究離散系統(tǒng)，必須對信號的采樣過程和保持過程用數(shù)學的方法加以描述。91.采樣過程

在采樣控制系統(tǒng)中總存在一個把連續(xù)信號f(t)轉(zhuǎn)換成離散信號（采樣信號）f*(t)的過程，這樣的過程稱為采樣過程。實現(xiàn)這個采樣過程的的裝置稱為采樣開關或采樣器。

10圖8-3采樣過程

(1)采樣信號的描述

連續(xù)信號f(t)加到采樣開關輸入端，如果采樣開關每隔時間T閉合一次，閉合持續(xù)時間為

，于是采樣開關輸出端得到寬度為

的脈沖序列f*(t)。通常閉合時間

比采樣周期T及系統(tǒng)各元件的時間常數(shù)要小得多，即

<<T，這樣連續(xù)信號f(t)經(jīng)過采樣后變成一串脈沖序列f*(t)，如圖8-3所示。11

這種理想的采樣過程，可以借助于數(shù)學上的脈沖信號來描述。連續(xù)信號f(t)經(jīng)采樣后的脈沖序列f*(t)在kT時刻的脈沖信號f(kT)可表示為

(8-1)

式中，

(t)為單位脈沖信號。

連續(xù)信號f(t)經(jīng)采樣開關得到的脈沖序列f*(t)可表示為(8-2)12(8-3)

或?qū)懗?/p>

式中，

為單位理想脈沖序列。采樣過程的物理意義可由式(8-3)看出，采樣過程可以看作是單位理想脈沖序列

T(t)對輸入信號f(t)進行幅值調(diào)制的過程，其中

T(t)為載波信號，f(t)為調(diào)制信號，采樣器為幅值調(diào)制器，輸出為脈沖序列f*(t)，如圖8-4所示。圖8-4調(diào)制過程13由于連續(xù)信號f(t)在采樣時刻kT有故式(8-2)也可寫成

(8-4)

14(2)采樣信號的頻譜由于采樣信號的信息并不等于連續(xù)信號的全部信息，所以采樣信號的頻譜與連續(xù)信號的頻譜相比，要發(fā)生變化，研究采樣信號的頻譜，目的是找出采樣信號的頻譜與連續(xù)信號的頻譜之間的互相聯(lián)系。

因為單位脈沖序列

T(t)是周期為T的周期函數(shù)，其采樣頻率15

T(t)可以展開成富里葉級數(shù)

(8-5)

此時脈沖序列f*(t)可以表示為

(8-6)

取拉普拉斯變換，可得

(8-7)

16令得f*(t)的頻域表達式

(8-8)

可以看到，采樣信號f*(t)的頻譜F*(j

)是頻率

s的周期函數(shù)，它的頻譜將沿著頻率軸，從

=0開始，左右每隔一個采樣周期

s重復依次采樣前連續(xù)信號f(t)的頻譜，但幅值減小為原來的1/T。

172.采樣定理

對一個連續(xù)信號f(t)經(jīng)過采樣后，只能得到采樣信號f*(t)在采樣點上的數(shù)值f(0)，f(T)，f(2T)，…，因此，從時域上來看，采樣過程將損失f(t)所含的信息。怎樣才能使采樣信號f*(t)基本上反映連續(xù)信號f(t)的變化呢?下面先從采樣過程及信號頻譜的變化，給出采樣定理。18

連續(xù)信號f(t)經(jīng)采樣后的脈沖信號f*(t)可由式(8-8)頻域表達式給出。連續(xù)信號f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)，通常為一孤立的連續(xù)頻譜，頻帶寬度是有限的

ωmax，如圖8-5(a)所示。而采樣信號f*(t)的頻譜F*(jω)則具有以采樣頻率

s為周期的無窮多個頻譜之和，如式(8-8)所示。圖8-5連續(xù)信號及采樣信號的頻譜19式(8-8)中，當

時，

稱為采樣信號的主頻譜，其余

分量，稱為高次頻譜分量或附加頻譜分量。也就是，連續(xù)信號經(jīng)采樣后的采樣信號頻譜中，除包含有主頻譜之外，還有很多高次頻譜，可以分兩種情況作出采樣頻譜特性，如圖8-5(b)和(c)。時的頻譜

20

時的采樣信號頻譜，

圖8-5(b)為滿足

F*(j

)的各頻譜分量彼此不發(fā)生重疊，則有可能通過一個理想的低通濾波器，將

的高頻分量全部濾掉，而F*(j

)中僅留下主頻譜部分。這樣連續(xù)信號經(jīng)采樣后再通過一個理想低通濾波器就可復現(xiàn)原連續(xù)信號。21對圖8-5(c)，時采樣信號頻譜分量彼此相互重疊，不可能實現(xiàn)既濾掉所有高頻頻譜分量，而又不損失主頻譜，因此不能復現(xiàn)原來的連續(xù)信號。通過以上分析，可得采樣定理(Shinnon定理)：如果對一個具有有限頻譜的連續(xù)信號采樣，當采樣頻率，那么采樣后的信號可以無失真地復現(xiàn)原連續(xù)信號。22

實際中應注意以下兩點：

(1)如果是一非周期連續(xù)函數(shù)的信號，這時頻譜中的最高頻率是無限的，如圖8-6所示，這時，無論采樣頻率多高，采樣后的頻譜波形總是互相重疊的，但通常頻率相當高時，幅值不大，因此可做近似處理，將連續(xù)信號頻譜時截斷，此時頻率作為最高角頻率ωmax，b為給定的信號損失允許值。圖8-6非周期函數(shù)的處理23

(2)采樣定理給出了采樣頻率的最低限度，

,s不能太低，否則信息損失太大，原信號不能準確恢復。而s也不能過大，實現(xiàn)起來有困難，同時干擾信號影響也增大。

24離散控制系統(tǒng)設計的一個主要問題是采樣周期T的選取。采樣定理給出了采樣周期的最大值。顯然，采樣周期T選得越小，也就是采樣角頻率s選得越高，對系統(tǒng)控制過程的信息了解就越多，控制效果就會更好。但是，采樣周期T選得過短，將增加不必要的計算負擔；采樣周期T選得過長，又會給控制過程帶來較大的誤差，降低系統(tǒng)的動態(tài)性能，甚至有可能導致整個控制系統(tǒng)失去穩(wěn)定性。因此，采樣周期T的選擇要根據(jù)實際情況綜合考慮，合理選擇。在一般工業(yè)過程控制中，微型計算機所能提供的運算速度，對于采樣周期T的選擇來說，有很大的回旋余地。25

應當指出，采樣信號f*(t)完全復現(xiàn)連續(xù)信號f(t)的前提是選擇恰當?shù)牟蓸又芷?。然而，實際中并不存在理想濾波器，只能用特征接近理想濾波器的低通濾波器來實現(xiàn)，零階保持器是常用的低通濾波器，為此需要研究信號的保持過程。268.1.2信號的保持1.信號恢復

連續(xù)信號采樣后的脈沖信號的頻譜中除主頻譜之外，還包含了無窮多高頻頻譜。顯然，高頻分量相當于給系統(tǒng)加入了噪聲，嚴重時會使系統(tǒng)部件受損。當采樣頻率滿足采樣定理時，在采樣開關后串入一個信號復現(xiàn)濾波器，通過它使離散信號復原成原連續(xù)信號。27

當采樣頻率滿足采樣定理時，采樣信號頻譜F*(j

)的各頻譜分量彼此不發(fā)生重疊，即當

時，有

或28

由此可見，如果讓采樣信號f*(t)通過一個僅讓主頻譜通過的理想低頻濾波器G(j

)，則可濾出原信號f(t)的頻譜F(j

)，從而在其輸出端就可得到恢復的原連續(xù)信號f(t)。理想低頻濾波器G(j

)的頻譜特性：29

但是在實際中，這種理想的低通濾波器是不存在的。工程上，通常只能采用接近理想濾波器性能的保持器來代替。保持器是將采樣信號轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號的元件，其任務是解決各采樣時刻之間的插值問題，即按現(xiàn)時刻或過去時刻

的采樣值，推算下一采樣時刻到來之前，這一段時間的函數(shù)值。30通常把具有恒值、線性和拋物線外推規(guī)律的保持器分別稱為零階、一階和二階保持器。其中最簡單、應用最廣的是零階保持器。312.零階保持器

零階保持器的作用是將采樣時刻的采樣值f(kT)恒定不變地保持到下一個采樣時刻(k+1)T，從而使采樣信號f*(t)變成階梯信號fh(t)，如圖8-7所示。由于是常值外推，在每個采樣區(qū)間內(nèi)的值為常數(shù)，其導數(shù)為零，故稱零階保持器。32圖8-7零階保持器的輸入-輸出特性

圖8-8零階保持器的脈沖輸出函數(shù)33從圖8-7可看出，零階保持器輸入為單位脈沖時，其輸出為一高度為l，寬度為T的矩形波，如圖8-8所示的gh(t)，其可分解為兩個階躍函數(shù)之和。

(8-9)兩邊取拉普拉斯變換，可得零階保持器的傳遞函數(shù)

(8-10)

34以代入，可得零階保持器的頻率特性(8-11)

幅頻特性：

(8-12)相頻特性：

(8-13)35

零階保持器的幅頻和相頻特性曲線如圖8-9所示。由圖可見，其幅值隨頻率增加而衰減，是一低通濾波器、但不是一個理想的低通濾波器。它除了允許采樣信號的主頻譜分量通過以外，尚允許部分高頻分量通過。因此，由零階保持器恢復的連續(xù)信號與原來的連續(xù)信號是有差異的。且從相頻特性看，零階保持器是一個相位滯后元件，滯后相位隨

增加而增加。36圖8-9零階保持器的頻率特性圖8-10零階保持器的相位滯后特性37如果將零階保持器階梯形輸出信號的每個區(qū)間的中點連接起來，如圖8-10所示，則可得到一條與原信號形狀一致而在時間上滯后T/2的時間響應，它反映了零階保持器的相位滯后特性。在閉環(huán)系統(tǒng)中，保持器的引入，將降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。但相對于一階、二階保持器來說，零階保持器的相位滯后是最小的。因此，在離散系統(tǒng)中經(jīng)常采用零階保持器。38零階保持器可采用無源網(wǎng)絡來近似實現(xiàn)，若將零階保持器傳遞函數(shù)中eTs展開成級數(shù)形式，則Gh(s)有

(8-14)39式(8-14)可用圖8-11所示的RC網(wǎng)絡來實現(xiàn)。圖8-11近似零階保持器的RC網(wǎng)絡403.一階保持器一階保持器以兩個采樣值為基礎實行外推，其外推關系可表示為(8-15)

式中，t為kT到(k+1)T之間的時間變量。外推函數(shù)的斜率為一階差分，即經(jīng)一所保持器后采樣信號的輸出如圖8-12所示。41圖8-12一階保持器輸出信號圖8-13一階保持器的單位脈沖響應(a)(b)42一階保持器的單位脈沖函數(shù)，如圖8-13(a)所示，也可以分解成一系列階躍函數(shù)和斜坡函數(shù)之和，如圖8-13(b)所示。根據(jù)一階保持器脈沖響應函數(shù)的分解，可得一階保持器的傳遞函數(shù)為(8-16)

43一階保持器的頻率特性為一階保持器的頻率特性如圖8-14所示。圖中虛線為零階保持器的頻率特性。與零階保持器相比較，一階保持器的幅頻特性普遍高一些，因此，高頻分量通過一階保持器也容易一些。

44

此外，一階保持器的相位滯后比零價保持器更大，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性更不利，再加上一階保持器的結構更為復雜，因此一般在實際中很少應用一階保持器，也不用高階保持器，而廣泛采用零階保持器。圖8-14一階保持器的頻率特性458-2z變換及其反變換在連續(xù)系統(tǒng)分析中，應用拉普拉斯變換作為數(shù)學工具，將系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，建立了以傳遞函數(shù)為基礎的復頻分析法，使得問題得以大大簡化。在離散系統(tǒng)分析中，采用z變換作為數(shù)學工具，將系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，建立了以脈沖傳遞函數(shù)為基礎的復頻分析法。468.2.1z變換定義對式(8-4)兩邊取拉普拉斯變換就可得脈沖序列的拉普拉斯表達式

(8-17)

由于上式是一個關于超越函數(shù)e-kTs的無窮級數(shù)，不便于分析系統(tǒng)，故令

代入

47式(8-17)，并將F*(s)寫成F(z)，則由上式可得：

即一個離散函數(shù)f*(t)的z變換的定義為：(8-18)

因為z變換只對采樣點上的信號起作用，因此也可寫成(8-19)48

在z變換中，由于只考慮采樣時刻的采樣值，因而不能反映在采樣點之間的特性。通常稱F(z)是f(t)的z變換，實質(zhì)上是指經(jīng)過采樣后f*(t)的z變換。采樣函數(shù)f*(t)對應的z變換是唯一的，反之亦然。但是，離散函數(shù)f*(t)對應的連續(xù)函數(shù)卻不是唯一的，可以有無窮多個。498.2.2z變換方法

1．級數(shù)求和法直接根據(jù)z變換的定義式(8-19)來求取。上式級數(shù)展開式是開放形式的，有無窮多項，但對一些常用的z變換的級數(shù)展開式可以用閉合型函數(shù)表示。50例8-1

求單位階躍函數(shù)和指數(shù)的z變換。解①對于單位階躍函數(shù)，其

函數(shù)這是一個公比為z-1的等比級數(shù)，若51即

時，級數(shù)收斂，則上式可寫成閉合型。②對于指數(shù)函數(shù)同理可得522．部分分式法

設連續(xù)函數(shù)f(t)的拉普拉斯式為有理分式函數(shù)，將F(s)按它的極點可以展開成部分分式和的形式，即(8-20)

式中，pi為F(s)的極點；Ai為系數(shù)。根據(jù)

便可求得相應函數(shù)的z變換。

(8-21)

53例8-2

求的z變換。解由于

故

由于連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換是唯一的，它的z變換也是唯一的，所以有54

3．留數(shù)法若

，根據(jù)留數(shù)，連續(xù)函數(shù)f(t)的z變換為：

(8-22)式中，為F(s)的全部極點。55（1）對于F(s)的單極點pi的留數(shù)為

(8-23)

（2）對于F(s)的具有q階重極點pj的留數(shù)為

(8-24)

56例8-3

求

的z變換。

解因為

處有二重極點，其留數(shù)為在s=-157故

附錄表A-1給出了一些常見函數(shù)及其相應的拉普拉斯變換和z變換。利用此表根據(jù)已知函數(shù)或其拉氏變換式直接查出其對應的z變換，這也是實際中廣泛使用的方法。58598.2.3z變換的基本定理與拉普拉斯變換類似，在z變換中有一些基本定理，可以使z變換運算變得簡單和方便。1．線性定理若

則有

，且a,b為常數(shù)

(8-25)

推廣到一般情況(8-26)60

2．滯后定理(負偏移定理)設連續(xù)函數(shù)f(t)，若則有

(8-27)

證明61

滯后定理表明，原函數(shù)在時域中延遲n個采樣周期，相當于其z變換乘以z-n。特別，當

時，，上式為

(8-28)62

3．超前定理(正偏移定理)

設，則(8-29)63證明:若滿足則64

4．初值定理設且

存在，則

(8-30)

證明

兩邊取

的極限，則

65

5．終值定理

設f(t)的z變換為F(z)，且以原點為圓心的單位圓上以及圓外沒有極點，則

(8-31)

證明因為

在z平面上66所以即

兩邊取

的極限，則有

67所以

z變換的終值定理形式亦可表示為在離散系統(tǒng)分析中，常采用終值定理求取系統(tǒng)的的穩(wěn)態(tài)誤差，它和用拉氏變換的終值定理求取連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差時的情況極為類似。68

6．復偏移定理設

，則

(8-32)

證明

令

，則

69

7．卷積和定理

設

的z變換分別為

且

時，

若

卷積和定理可表示為

，則

(8-33)

證明略708.2.4z反變換

和拉普拉斯反變換類似，z反變換就是根據(jù)F(z)求出原連續(xù)函數(shù)f(t)的離散序列f*(t)，反變換可表示為

(8-34)1．長除法長除法是將F(z)的分母除分子，可以求出按z-k降冪排列的級數(shù)展開式，然后用z反變換式求出相應的采樣函數(shù)的脈沖序列。這是一種常用而簡便的z反變換法，但該方法不易得到閉合形式。71

F(z)的一般表達式為

(8-35)

首先將上式F(z)按z降冪排列，然后根據(jù)多項式除法將其表示成z-k降冪級數(shù)的形式則F(z)的z反變換為

(8-36)

(m

n)72例8-4

已知

，試求其z反變換。解首先將F(z)表示成如下按z降冪排列的形式然后利用綜合除法，將F(z)表示成所以F(z)的z反變換為73綜合除法742．部分分式法部分分式法是將F(z)展開成若干個分式和的形式，每一個分式可通過查附錄表A-1，求出對應的時間函數(shù)f(t)，并將其轉(zhuǎn)換為采樣信號f*(t)。由于在z變換表中，所有的分子中都有z因子，進行部分分式展開時，需先把結果的每一項都乘以z，即得F(z)的展開式。展開成部分分式，然后將所得75例8-5

已知

，試求z反變換。

解

首先將展開成部分分式

所以

查附錄表A-1得

或

解

首先將展開成部分分式

解

首先將解

首先將763．留數(shù)法

若

，根據(jù)留數(shù)，則F(s)的z反變換為：

(8-37)

式中，為F(z)的全部極點。

77(1)對于F(z)的單極點pi的留數(shù)為(8-38)(2)對于F(z)的具有q階重極點pj的留數(shù)為(8-39)78

例8-6

用留數(shù)法求

解在處為二重極點，其留數(shù)為的z反變換。在處為單極點，其留數(shù)為79所以

或

強調(diào)指出，z反變換只能給出采樣信號f*(t)，而不能提供連續(xù)信號f(t)。808-3離散系統(tǒng)的數(shù)學模型8.3.1差分方程對連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)過程，通常采用微分方程來描述，而對于離散系統(tǒng)，則采用差分方程來描述其動態(tài)過程。如同用拉普拉斯變換法求解微分方程一樣，在離散系統(tǒng)中用z變換解差分方程也很方便。811．差分的定義

連續(xù)函數(shù)f(t)，采樣后的離散信號f(kT)，通常為方便起見，當T為常數(shù)時，書寫中略去T，即f(kT)縮寫為f(k)。一階前向差分的定義為82n階前向差分定義為

(8-40)

二階前向差分定義為83二階后向差分定義為

n階后向差分定義為

(8-41)

同理，一階后向差分定義為84

2．差分方程

如果一個方程中除含有函數(shù)本身外，還有函數(shù)的差分，則稱此方程為差分方程，即(8-42)

對于輸入、輸出均為離散信號的線性定常離散系統(tǒng)，描述其動態(tài)過程的線性定常差分方程為85上式也可寫為

(8-43)

式中，r(k)為輸入信號；y(k)為輸出信號；a1,a2,…,an，b0,b1,…,bm為常數(shù)。86差分方程的階次應是最高差分與最低差分之差。式(8-43)中，方程階次為

n階差分方程也可寫成

次。

(8-44)87

3．差分方程的求解

(1)迭代法根據(jù)式(8-44)可得

若已知k時刻的輸入和k時刻以前的輸入、輸出值，可求出k時刻的輸出。

(8-45)

88例8-7

已知系統(tǒng)差分方程為輸入序列初始條件為

試用迭代法求系統(tǒng)的輸出序列y(k)。解根據(jù)初始條件及差分方程得例8-7

已知系統(tǒng)差分方程為例8-7

已知系統(tǒng)差分方程為89圖8-15例8-7輸出波形系統(tǒng)在階躍信號作用下的輸出如圖8-15所示。

90

(2)z變換法用z變換法解差分方程，與用拉普拉斯變換求解微分方程一樣，z變換能夠?qū)⒉罘址匠套儞Q為以z為變量的代數(shù)方程。然后，通過z反變換，就可求出差分方程的解。

例8-8

用z變換法解二階離散系統(tǒng)差分方程初始條件。

91解對方程式兩邊取z變換整理代入初始條件得z反變換得92可以看出，同采用拉氏變換解微分方程一樣，z變換解差分方程時初始條件已自動地包含在代數(shù)表達式中。另外，此方程的輸入信號統(tǒng)響應是由初始條件激勵的。

，系938.3.2脈沖傳遞函數(shù)與連續(xù)系統(tǒng)中的傳遞函數(shù)概念相對應，脈沖傳遞函數(shù)是描述離散系統(tǒng)的數(shù)學模型。它反映了離散系統(tǒng)輸入輸出序列之間的轉(zhuǎn)換關系。根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)可以獲得離散系統(tǒng)與系統(tǒng)性能指標之間的關系等信息，它是離散系統(tǒng)分析與設計的基礎。

94

如果離散系統(tǒng)的初始條件為零，輸入信號r(t)經(jīng)采樣后為離散信號r*(t)，其z變換為R(z)，連續(xù)部分輸出為y(t)，采樣后y*(t)的z變換為Y(z)，如圖8-17所示。圖8-17系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

1．脈沖傳遞函數(shù)的定義95

即零初始條件下，系統(tǒng)輸出的z變換與輸入z變換之比。離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)與輸入信號R(z)和輸出信號Y(z)的關系，如所示。

如果已知系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)，及輸入信號的z變換R(z)，那么系統(tǒng)輸出的z變換為(8-46)

(8-47)

脈沖傳遞函數(shù)定義為96

對離散系統(tǒng)，輸入信號r(t)經(jīng)采樣后為r*(t)，其z變換為R(z)，但是對于大多數(shù)實際系統(tǒng)，其輸出為連續(xù)信號y(t)而不是采樣信號y*(t)。在這種情況下，可以在連續(xù)信號的輸出端虛設一個采樣開關，它與輸入端采樣開關同步工作，如圖8-17中虛線。這樣y(t)經(jīng)采樣開關后，變?yōu)椴蓸有盘杫*(t)，它的z變換為Y(z)，就可以用脈沖傳遞函數(shù)的概念。97在連續(xù)系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應的拉普拉斯變換。同樣對離散系統(tǒng)，脈沖傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應的z變換。實際上，若離散系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù)

(t)，其z變換為系統(tǒng)的輸出為脈沖響應g(t)，由式(8-47)，得(8-48)

982．脈沖傳遞函數(shù)的求取

(1)根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義，若已知系統(tǒng)連續(xù)傳遞函數(shù)G(s)或脈沖響應函數(shù)g(t)，則脈沖傳遞函數(shù)G(z)為(8-49)

(2)若已知系統(tǒng)的差分方程，在零初始條件下，輸出的z變換和輸入的z變換之比即為脈沖傳遞函數(shù)，即(8-50)99例8-9

系統(tǒng)結構如圖8-18所示，其中連續(xù)部分的傳遞函數(shù)試求系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解將G(s)展開成部分分式直接由z變換公式得100例8-10

已知系統(tǒng)差分方程

試求系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解在零初始條件下，對差分方程兩邊求z變換，得根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)定義，則

1013．離散系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)是由許多環(huán)節(jié)按不同的連接方式組成的，若已知每個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，?？梢岳媒Y構圖變換方法，求得整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。但與連續(xù)系統(tǒng)不同，在離散系統(tǒng)中，既有連續(xù)信號又有離散信號，且采樣開關位置也有所不同，因此，不能簡單照搬連續(xù)系統(tǒng)結構圖變換方法來處理。102

(1)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關

對于如圖8-19所示，系統(tǒng)串聯(lián)的兩個環(huán)節(jié)Gl(s)和G2(s)之間無采樣開關時，系統(tǒng)輸出為圖8-19環(huán)節(jié)串聯(lián)之間無采樣開關103信號采樣后z變換為開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

(8-51)104即當串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關時，等效開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積的變換。顯然這個結論同樣可以推廣到n個環(huán)節(jié)串聯(lián)而各相鄰環(huán)節(jié)之間都沒有采樣開關分隔的情況。

(8-52)

105對每一環(huán)節(jié)輸入輸出均有采樣開關，每一環(huán)節(jié)輸入輸出均為采樣信號，則有圖8-20環(huán)節(jié)串聯(lián)之間有采樣開關

和

(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關系統(tǒng)串聯(lián)的兩個環(huán)節(jié)之間有采樣開關，如圖8-20所示。106信號采樣后

和

z變換后

和

所以

(8-53)

開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為107即當環(huán)節(jié)串聯(lián)且環(huán)節(jié)之間有采樣開關時，等效開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為各環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積。這個結論同樣可以推廣到n個環(huán)節(jié)串聯(lián)而各相鄰環(huán)節(jié)之間都有采樣開關分隔的情況。(8-54)

注意：前者表示兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相乘后取z變換，后者表示先各自取z變換后再相乘。108零階保持器的傳遞函數(shù)為

Gp(s)為連續(xù)部分的傳遞函數(shù)。

圖8-21有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)(3)有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)具有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)如圖8-21(a)所示。109系統(tǒng)的輸出

z變換后開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

(8-55)

110

離散系統(tǒng)結構圖如圖8-22所示，輸入信號未經(jīng)采樣開關直接進入G1(s)，連續(xù)環(huán)節(jié)G1(s)的輸入為連續(xù)信號r(t)，其輸出也是連續(xù)信號x(t)(4)輸入端無采樣開關時圖8-22開環(huán)離散系統(tǒng)111和

信號采樣后

和

z變換后和所以

所以112故有

(8-56)由上式看出當連續(xù)信號直接進入連續(xù)環(huán)節(jié)時，換表達式Y(z)，而求不到脈沖傳遞函數(shù)G(z)。求不出的形式，即只能求得輸出的變113

4．閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)由于采樣開關位置的不同，離散系統(tǒng)可以有多種結構形式。圖8-23是一種比較常見的閉環(huán)離散系統(tǒng)結構圖。

圖8-23閉環(huán)采樣系統(tǒng)結構圖

114圖中虛線所示的采樣開關是為了分析方便而虛設的，且它們均以周期T同步工作。從圖中可得反饋信號輸出信號和偏差信號為信號采樣后

和

115信號z變換為和

即

(8-57)

所以閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為(8-58)

116例8-11

求圖8-24所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。圖8-24閉環(huán)離散系統(tǒng)

解由圖可得117采樣后

Z變換后

118由此可見，求取閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的方法與連續(xù)系統(tǒng)完全類似，唯一需要注意的是，獨立環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)一定是在兩個采樣開關之間才能求得。即

119

如圖8-23，前向通道脈沖傳遞函數(shù)G1(z)G2G3(z)，而回路的獨立環(huán)的脈沖傳遞函數(shù)為G1(z)G2G3H(z)。實際上，對于同一離散系統(tǒng)，其采樣開關的位置可能有很大的差別。因此，它們的脈沖傳遞函數(shù)或輸出表達式可能不同。表8-1中列出了一些典型離散系統(tǒng)的結構圖及其輸出表達式。120表8-1典型采樣系統(tǒng)結構圖及輸出表達式1211228-4離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析8.4.1離散系統(tǒng)穩(wěn)定的條件

我們知道，連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的閉環(huán)特征根均在s平面的左半平面。在z平面上來研究離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先要弄清s平面與z平面的映射關系。

123根據(jù)z變換的定義，復變量z和s的關系為(8-59)

式(8-59)就是s平面與z平面之間的映射關系。將s平面上任意一點

代入得

(8-60)

式中，

1．s平面到z平面的映射124(a)s平面(b)z平面圖8-24s平面和z平面的映射關系125(1)s平面上的虛軸，即即s平面上的虛軸，映在z平面上為：，那么射到z平面上是以原點為圓心的單位圓。如圖8-24所示。126

(2)s平面上左半平面，即即s平面的左半平面映射到z平面是以原點為圓心的單位圓內(nèi)部。如圖8-24所示。(3)s平面上右半平面，即

即s平面的右半平面映射到z平面是以原點為圓心的單位圓外部。如圖8-24所示。127在此應注意，

+時,z的角度也從-變到+，現(xiàn)在取s平面內(nèi)j軸上一點，當這個點在j軸上從移動到，z平面上的相應點沿單位圓從-π剛好逆時針變化到π，正好轉(zhuǎn)了一圈。當

從-到+變化時，對應

z平面上便重復地畫了無窮多個圓，把

從，所以當

從-變到到的頻帶稱為主頻帶，其它稱為次頻帶，如圖8-25所示。128離散函數(shù)

z變換的這種周期性，也說明了函數(shù)離散化后的頻譜會產(chǎn)生周期性的延拓。圖8-25s平面內(nèi)頻帶區(qū)域1292．離散系統(tǒng)穩(wěn)定條件

根據(jù)s平面與z平面的映射關系，對線性離散系統(tǒng)如圖8-23所示，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為特征方程式為(8-61)

系統(tǒng)特征根p1，p2，…，pn即閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點。130

閉環(huán)離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：離散系統(tǒng)特征方程的所有根（即閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點）均位于z平面上以原點為圓心的單位圓之內(nèi)，也就是特征根的模均小于l。

131

用上述方法研究離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對于一、二階系統(tǒng)還可以采用，對于高階系統(tǒng)來說，求解是件非常麻煩的工作。特別是要研究當系統(tǒng)結構和參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響時，更不方便，是否可以像連續(xù)系統(tǒng)那樣，不解特征根，而是根據(jù)方程的系數(shù)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性呢？下面詳細討論。1328.4.2代數(shù)判據(jù)對于線性離散系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是閉環(huán)系統(tǒng)的特征根均在z平面上單位圓內(nèi)部，而勞斯判據(jù)只能判斷系統(tǒng)特征根是否在s平面虛軸的左半部。因此，需將z平面上的單位圓變換為另一復變量w平面的虛軸，并使z平面的單位圓內(nèi)部變換為w平面的左半平面，這樣連續(xù)系統(tǒng)的各種代數(shù)判據(jù)，就可以用來判別線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。133這種坐標變換經(jīng)過s到z，z到w兩次線性變換，稱為雙線性變換或稱w變換。圖8-26表示雙線性換過程。圖8-26雙線性變換134雙線性變換有以下兩種定義

或

則

則

式中，z和w均為復變量，可寫為和

(8-62)

135根據(jù)式(8-62)有

(8-63)

當

時，即在右半w平面上任取一點時，

，對應于z平面的單位圓外；時，即在左半w平面上任取一點時，

，對應于z平面的單位圓內(nèi)；時，即在w平面虛軸上任取一點時，

，對應于z平面的單位圓上。

136所以，對離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，令或

可直接應用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。進行w變換后，137

例8-12

已知系統(tǒng)結構圖如圖8-27所示，采樣周期T＝0.1s。試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍。解系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為138特征方程為

令

代入得

139根據(jù)代數(shù)判據(jù)知，對于線性二階系統(tǒng)，只要系統(tǒng)中各項系數(shù)大于零，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。由

得

由此可見，要使系統(tǒng)穩(wěn)定。增益K應在0~4.32之間取值。對于二階系統(tǒng)加采樣開關后，系統(tǒng)穩(wěn)定時K

的范圍就有了限制，加大K會導致系統(tǒng)不穩(wěn)定.140一般而言，當采樣頻率增高時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性會得到改善。應該指出，在許多情況下加入采樣開關對系統(tǒng)穩(wěn)定性不利。但對一些特殊情況，例如系統(tǒng)有大滯后環(huán)節(jié)時，加入采樣開關往往還能改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。上面我們直接應用了連續(xù)系統(tǒng)的Routh判據(jù)來判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。141

實際上，采用雙線性獲得w平面的特征多項式D(w)后，凡是適合線性連續(xù)系統(tǒng)分析穩(wěn)定性的方法，均可用來分析線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如在w平面繪制離散系統(tǒng)的極坐標圖、對數(shù)坐標圖及求解離散系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量等等。但對于繪制離散系統(tǒng)的根軌跡，可直接在z平面進行，根軌跡與單位圓的交點，即為離散系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界，其余繪制方法和步驟和連續(xù)系統(tǒng)相同.

1428-5離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一個重要指標。連續(xù)系統(tǒng)中，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的大小與系統(tǒng)自身的結構、參數(shù)及輸入信號有關，并且穩(wěn)態(tài)誤差可以利用拉普拉斯變換中的終值定理求取。對于離散系統(tǒng)，同樣可以采用類似于連續(xù)系統(tǒng)的分析計算方法來求采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差。1438.5.1典型輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差

設圖8-28所示的單位反饋離散系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為G(z)。由圖可求得給定信號r(t)作用下誤差的z域表達式圖8-28單位反饋采樣系統(tǒng)144(8-64)

設閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，根據(jù)z變換的終值定理，離散系統(tǒng)采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為(8-65)145離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號的形式及系統(tǒng)結構、參數(shù)有關。下面討論三種典型輸入。由于s平面的

，對應于z平面的

點，所以仿照連續(xù)系統(tǒng)中系統(tǒng)類型的劃分，對離散系統(tǒng)按開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)中含有為0型、I型和II型等系統(tǒng)。的極點個數(shù)分1461．輸入信號為單位階躍函數(shù)，則有將R(z)代入(8-65)式得

(8-66)(8-67)KP稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。147

對0型系統(tǒng)，G(z)中不含

的極點，此時KP為一有限值，對I型或I型以上系統(tǒng)，G(z)中至少含一個

的極點，此時

所以單位反饋系統(tǒng)在階躍信號作用下穩(wěn)態(tài)采樣瞬時無差的條件是G(z)中至少有一個的極點。148

2．輸入信號為單位斜坡函數(shù)

則有

將R(z)代入(8-65)式得

(8-68)

(8-69)KV稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)149對0型系統(tǒng)，G(z)中不含的極點，此時

對I型系統(tǒng)，G(z)中含一個

時Kv=有限值，的極點，此

對II型或II型以上系統(tǒng)，G(z)中至少含2個的極點，

所以單位反饋系統(tǒng)在斜坡信號作用下穩(wěn)態(tài)采樣瞬時無差的條件是G(z)中至少有兩個

的極點。150

3．輸入信號為單位加速度函數(shù)

則有

將R(z)代入(8-65)式得(8-70)

(8-71)Ka稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。151對于0型或I型系統(tǒng)，

對于II型系統(tǒng)，=有限值，

對于III型或III型以上系統(tǒng)，

所以，單位反饋系統(tǒng)在加速度信號輸入下穩(wěn)態(tài)采樣瞬時無差的條件是G(z)中至少有三個的極點。152綜上所述，在三種典型輸入信號作用下，靜態(tài)誤差系數(shù)的定義如表8-2所示。從表中可見，連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的誤差系數(shù)的計算非常相似，但離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差還與采樣周期

T有關。在三種典型輸入信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差如表8-3所示。但應注意，上面是針對單位反饋系統(tǒng)討論的，對非單位反饋，穩(wěn)態(tài)誤差的定義與連續(xù)系統(tǒng)類似。153表8-2連續(xù)與采樣系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的定義154表8-3典型輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差1558.5.2干擾信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差圖8-29所示系統(tǒng)，在擾動信號n(t)單獨作用下系統(tǒng)的輸出為圖8-29離散系統(tǒng)結構圖(8-72)

故擾動單獨作用下系統(tǒng)誤差為(8-73)

156其穩(wěn)態(tài)誤差為

(8-74)和連續(xù)系統(tǒng)類似，為了消除干擾所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差，要求系統(tǒng)在干擾作用點之前應具有一定數(shù)量的積分環(huán)節(jié)。1578-6離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能在線性連續(xù)系統(tǒng)中，若已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和輸入信號，由拉普拉斯反變換便可求出該信號作用下的輸出響應。即

(8-75)式(8-75)中,R(s)為輸入信號的拉氏變換；GB(s)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。158根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)極點和零點在s平面的分布，可估算出它對應的瞬態(tài)響應形狀。與此類似，離散系統(tǒng)中的瞬態(tài)響應與閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)極點、零點在z平面上的分布也有著密切關系。1598.6.1離散系統(tǒng)的輸出響應若已知離散系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)則在給定信號r(t)下的響應y*(t)為

(8-76)例8-13已知單位反饋離散系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為試求時的系統(tǒng)輸出響應。160解離散系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為輸出的z變換為161長除得

z反變換得162離散系統(tǒng)輸出響應曲線如圖8-30所示。由圖可見，系統(tǒng)的階躍響應為衰減振蕩，最大超調(diào)量約40%，上升時間tr約2T，峰值時間tp約3.5T。圖8-30離散系統(tǒng)的階躍響應在此注意，輸出響應僅能得到采樣點上的值，即輸出為脈沖序列。當采樣周期T很小時，可用虛線來近似連續(xù)輸出，如圖所示。1638.6.2閉環(huán)零點、極點分布對瞬態(tài)晌應的影響

設系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為(8-77)164式中,zj(j=l,2,…,m)為GB(z)的零點；pi(i=l,2,…,n)為GB(z)的極點，且當輸入信號為階躍信號即，且假設閉環(huán)極點pi無重極點時，有按極點展開成部分分式165進行z反變換，得

(8-78)

式中，第一項為穩(wěn)態(tài)分量，第二項為瞬態(tài)分量，瞬態(tài)分量是收斂、發(fā)散還是振蕩完全取決于極點pi在z平面上的分布。下面分幾種情況討論。1661．閉環(huán)極點為實根(1)若，極點在單位圓外的正實軸上，隨k增大而增大，即時間響應是單調(diào)發(fā)散；

(2)若，極點在正實軸的單位圓上，為常值，即時間響應為等幅振蕩；

167

(3)若，極點在單位圓內(nèi)的正實軸上，總為正，且隨n增大而單調(diào)減小，故時間響應單調(diào)衰減。愈靠近原點，衰減愈快；

(4)若，極點在單位圓內(nèi)的負實軸上，隨k變換出現(xiàn)正負交替衰減，即時間響應是正負交替的衰減振蕩，振蕩頻率為

/T；168

(5)若，極點在負實軸的單位圓上，其時間響應是正負交替的等幅振蕩，振蕩頻率為

/T；

(6)若，極點在單位圓外的負實軸上，時間響應為正負交替的發(fā)散振蕩過程。169

2．閉環(huán)極點為復根若存在一對共軛復極點對應的暫態(tài)分量為

(8-79)式中

，為共軛復系數(shù)，

則式(8-79)變?yōu)?70所以，共軛復極點對應的暫態(tài)響應是以余弦規(guī)律振蕩的，振蕩頻率為，即它與共軛復極點的幅角

有關，幅角越大，振蕩頻率越大，當

時，一對共軛復極點成為負實軸上一對極點，此時振蕩頻率最大，等于

/T，暫態(tài)分量的模值與成正比。171(l)若，極點在單位圓內(nèi)，時間響應是衰減振蕩的，復極點離原點越近，衰減越快。(2)若，極點在單位圓上，時間響應是等幅振蕩的。(3)若，極點在單位圓外，時間響應是振蕩發(fā)散的，越大，發(fā)散越快。172

閉環(huán)極點在z平面上位置不同，對應的暫態(tài)分量也不同，如圖8-31所示。當閉環(huán)極點位于單位圓內(nèi)時，其對應的暫態(tài)分量是衰減的。極點距z平面坐標原點越近，則衰減速度越快。若極點位于單位圓內(nèi)的正實軸上，則對應的暫態(tài)分量單調(diào)衰減。若極點是位于單位圓內(nèi)的共軛復極點，其對應的暫態(tài)分量為衰減振蕩的，極點的幅角越大，振蕩頻率越高。若閉環(huán)極點位于單位圓外，則對應的暫態(tài)分量是發(fā)散的。這意味著閉環(huán)離散系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。173為了使離散系統(tǒng)具有比較滿意的暫態(tài)響應性能，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點位于單位圓內(nèi)的右半部，并盡量靠近

z平面的坐標原點。而閉環(huán)零點影響暫態(tài)分量的系數(shù)Ai即影響響應的快慢。圖8-31極點分布與暫態(tài)響應1743．主導極點仿照線性連續(xù)系統(tǒng)中主導極點的概念，對離散系統(tǒng)中主導極點的定義為：若離散系統(tǒng)的一對單位圓內(nèi)極點靠近單位圓，而其它零、極點均在原點附近，離這對極點相當遠，那么系統(tǒng)瞬態(tài)響應主要由這一對極點來決定，稱為主導極點。設系統(tǒng)的一對主導極點為175而其余閉環(huán)極點均在單位圓內(nèi)，并且相對地遠離單位圓，則系統(tǒng)暫態(tài)響應的峰值時間tp和最大超調(diào)量可近似計算為

（8-80）式(8-80)表明，主導極點距z平面的原點越近，系統(tǒng)的超調(diào)量越小。主導極點的相角

越大，系統(tǒng)的峰值時間越小。176另外，由于越大，則超調(diào)量Mp越小，所以Mp和tp這兩者是相互矛盾的。因此，在確定閉環(huán)主導極點時，應在指標Mp和tp間選取一個折衷方案。如果除了一對主導極點外、系統(tǒng)還有一些距原點較近的零、極點，它們也會對系統(tǒng)暫態(tài)響應帶來一些影響。177例8-14若系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為試求其單位階躍響應的離散值，并分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。采樣周期T=0.2秒。178解系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為當輸入量時，輸出量的z變換為：179180基于z變換定義，由上式求得系統(tǒng)在單位階躍外作用下的輸出序列y(kT)為181根據(jù)上面各離散點數(shù)據(jù)繪出系統(tǒng)單位階躍響應曲線如圖8-32由圖求得給定離散系統(tǒng)的近似性能指標為：上升時間，峰值時間，超調(diào)量圖8-32單位階躍響應曲線1828.6.3離散系統(tǒng)的根軌跡分析上面討論了線性離散系統(tǒng)的瞬態(tài)響應與閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)零、極點分布的關系。在開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)零、極點已知的條件下，也可利用根軌跡法分析離散系統(tǒng)。設離散系統(tǒng)結構圖如圖8-33所示。圖8-33離散控制系統(tǒng)183系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(8-81)式中，zj(j=l,2,…,m)為系統(tǒng)開環(huán)零點；pi(i=l,2,…,n)為系統(tǒng)開環(huán)極點。系統(tǒng)的特征方程為(8-82)

184可見，它的形式與連續(xù)系統(tǒng)繪制根軌跡的形式完全一樣，所以，連續(xù)系統(tǒng)繪制根軌跡的一切規(guī)則和步驟均可用于離散系統(tǒng)根軌跡的繪制。185例8-15

設單位反饋系統(tǒng)的結構圖如圖8-34，試用根軌跡法分析系統(tǒng).圖8-34單位反饋系統(tǒng)結構圖186解系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)根據(jù)繪制根軌跡的規(guī)則，可得到

(1)根軌跡共有兩條，分別起始于兩個開環(huán)極點，當K

時，一條根軌跡趨向于–0.722，另一條根軌跡趨向-

處；187

(2)實軸上的[0.368,1]線段和[-

,-0.722]線段為根軌跡；

(3)根軌跡的分離點由求得：。利用相角條件可以證明根軌跡為一圓，圓心為(-0.72，0)，半徑為1.37，根軌跡如圖8-35所示。188

根軌跡與單位圓的交點為臨界狀態(tài)，它的求取不能直接采用連續(xù)系統(tǒng)中臨界狀態(tài)的方法。常采用根與系數(shù)的關系或雙線性變換后，再用連續(xù)系統(tǒng)臨界狀態(tài)的求取方法。圖8-35例8-15系統(tǒng)根軌跡圖189

本例根軌跡與單位圓交點處為一對共軛復極點，設為。閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程為根據(jù)根與系數(shù)關系有同時

求得

190對于連續(xù)二階系統(tǒng)只要系統(tǒng)就穩(wěn)定，而系統(tǒng)離散后穩(wěn)定性變差，穩(wěn)定范圍K的取值為1918-7離散控制系統(tǒng)的校正在設計離散控制系統(tǒng)時，為了滿足對系統(tǒng)性能指標所提出的要求，常常需要對系統(tǒng)進行校正。與線性連續(xù)系統(tǒng)類似，離散系統(tǒng)的校正也需考慮校正裝置的特性和校正方式。校正裝置可以串聯(lián)在系統(tǒng)的前向通道中或并聯(lián)在系統(tǒng)的局部反饋通道中。按校正裝置的作用分為超前校正、滯后校正和滯后-超前校正。就校正裝置的信號而言分為連續(xù)校正和斷續(xù)校正(或數(shù)字校正)。192校正步驟與線性連續(xù)系統(tǒng)相似，根據(jù)對系統(tǒng)提出的性能指標及某些約束條件，先確定校正裝置的脈沖傳遞函數(shù)，然后實現(xiàn)校正裝置。1938.7.1采用伯德圖的方法對連續(xù)系統(tǒng)中的各種校正方法，經(jīng)過一些變換后，都可以推廣到離散系統(tǒng)中來。1．近似方法確定串聯(lián)校正裝置設單位反饋采樣系統(tǒng)如圖8-36所示。圖中Gh(s)為零階保持器；Gc(s)為串聯(lián)校正裝置的傳遞函數(shù)；G0(s)為被控對象的傳遞函數(shù)。194由圖8-36可得系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為(8-83)

圖8-36帶數(shù)字控制器的離散系統(tǒng)圖195從上式可見，校正裝置的脈沖傳遞函數(shù)Gc(z)很難從GhGcG0(z)中分解出來，也就是說只能試探地選擇Gc(z)，求出GhGcG0(z)的特性，并校驗是否能滿足要求的性能指標。若不能滿足，應重新選擇Gc(z)，經(jīng)過多次試探，才能得到較為滿意的結果。196實際設計中，常采用一些近似方法來簡化設計過程。

(1)若采樣頻率比較高，并大于閉環(huán)系統(tǒng)和保持器的帶寬時，可以把采樣開關和零階保持器忽略，這樣處理后采樣系統(tǒng)可近似為連續(xù)系統(tǒng)，可利用連續(xù)系統(tǒng)的校正方法對采樣系統(tǒng)進行校正。最后，要對經(jīng)過校正的采樣系統(tǒng)的各項性能指標校驗。197

(2)把采樣開關和零階保持器近似為一個滯后元件，滯后時間為T/2，等效后系統(tǒng)結構圖如圖8-37，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(8-84)

圖8-37等效后的系統(tǒng)結構圖此時，可按連續(xù)系統(tǒng)校正方法求校正裝置Gc(s)，這種近似較第一種方法精度要高。1982．在ω域進行Bode圖校正串聯(lián)校正裝置采用數(shù)字控制器；如圖8-38所示，圖中D(z)為數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為圖8-38帶數(shù)字控制器的離散系統(tǒng)199為了采用Bode圖進行校正設計，可對系統(tǒng)進行雙線性變換，其基本步驟為

(1)求出校正前系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞；

(2)進行z-ω的線性變換,，將變換

(3)令，代入，繪制的Bode圖；為200

(4)根據(jù)ω域的Bode圖，用和連續(xù)系統(tǒng)同樣的方法確定ω域的校正裝置的傳遞函數(shù)；

(5)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(8-85)校驗校正后系統(tǒng)的性能指標。

201(6)若滿足性能指標，則將反變換成。否則返回步驟(4)，重新設計；(7)實現(xiàn)D(z)。2028.7.2最少拍控制系統(tǒng)的校正連續(xù)系統(tǒng)中，暫態(tài)過程在理論上只有當時間時才能結束。但是，在離散系統(tǒng)中，暫態(tài)過程卻可在有限時間內(nèi)結束。我們將在典型輸入信號作用下，經(jīng)過最少采樣周期(通常一個采樣周期也稱為一拍)，使系統(tǒng)輸出的采樣誤差為零，達到完全跟蹤系統(tǒng)，稱之為最少拍控制系統(tǒng)或最快響應系統(tǒng)。下面討論最少拍控制系統(tǒng)的設計。203在圖8-39所示單位反饋線性離散系統(tǒng)中，系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為圖8-39離散控制系統(tǒng)(8-86)

204式中，

(8-88)

根據(jù)對控制系統(tǒng)性能指標的要求及典型輸入信號和其它約束條件，確定希望的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)GB(z)，再由式(8-88)去確定控制器。2051．從準確性看控制系統(tǒng)在典型輸入信號，如階躍輸入、斜坡輸入和加速度輸入時，在采樣時刻無穩(wěn)態(tài)誤差。對圖8-39所示系統(tǒng)，誤差脈沖傳遞函數(shù)為式中，。206采樣瞬時穩(wěn)態(tài)誤差為

(8-89)而當?shù)湫洼斎胄盘杛(t)為階躍信號、斜坡信號和加速度信號時的z變換，可用以下一般形式表示，即

(8-90)

式中，

為不包含

r由典型輸入信號來確定。

的

的多項式；207將式(8-90)代入式(8-89)得(8-91)

要實現(xiàn)系統(tǒng)采樣瞬時無穩(wěn)態(tài)誤差，則有如下形式

應具

(8-92)

式中，是不含有的的多項式。2082．從快速性要求看為了使離散系統(tǒng)在最少采樣周期內(nèi)結束過渡過程，需使系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)或中所含項最少。為此，最好選取，此時系統(tǒng)的暫態(tài)響應過程可在最少拍內(nèi)完成，因此，有和

由上式求得的或輸入信號作用下無穩(wěn)態(tài)誤差，又同時使過渡過程最快。是既保證了在典型2093．從穩(wěn)定性角度考慮或由式(8-88)來看，為保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和的極點均在單位圓內(nèi)。若開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)中包含有z平面上單位圓外或圓上的零點和極點時，為保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定及可實現(xiàn)，對閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和提出附加要求。210

(1)的零點應能補償中所含單位圓外或圓上的極點；

(2)的零點去抵消中所含單位圓外或圓上的零點；

(3)為保證的分母階次大于或等于分子階次，由于中常含有因子，故要求也應包含有因子。又考慮到，所以，應為包含常數(shù)項為1的的多項式。211例8-16

已知圖8-39所示系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為試求在單位階躍信號作用下最少拍系統(tǒng)的數(shù)字控制器。212解單位階躍信號為中含有因子及單位圓上極點和單位圓外的零點。為此，從穩(wěn)定性、準確性、最少拍及可實現(xiàn)等方面考慮和，設解得

213所以

由式(8-90)得系統(tǒng)的單位階躍響應為214系統(tǒng)的暫態(tài)響應過程經(jīng)兩個采樣周期內(nèi)結束，如圖8-40所示。它比當穩(wěn)定時的單位階躍響應的暫態(tài)過程多了一拍，這是由于中含有一個單位圓外的零點所造成的圖8-40單位階躍響應215最少拍系統(tǒng)設計只能保證在采樣點上穩(wěn)態(tài)誤差為零，而在采樣點之間系統(tǒng)的輸出可能會出現(xiàn)波動，因而這種系統(tǒng)稱為有紋波系統(tǒng)。紋波的存在不僅影響響應精度，而且會增加系統(tǒng)的機械磨損和功耗。為改進其動態(tài)特性，可以延長暫態(tài)響應時間；達到消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差且在輸入輸出相等后，無紋波存在。這就是最少拍的無紋波系統(tǒng)，讀者若有興趣可參閱有關文獻。2168-8基于MATLAB的離散控制系統(tǒng)的分析與設計

MATLAB提供了多種求取離散系統(tǒng)的函數(shù)，使用它們可以很方便對離散控制系統(tǒng)進行分析和設計。2178.8.1利用MATLAB實現(xiàn)z變換

MATLAB的符號工具箱中，給出了求解z變換及其反變換的函數(shù)ztrans()和iztrans()，其調(diào)用格式分別為：F=ztrans(f,n,z)和f=iztrans(F,z,n)其中，f表示時域序列f(n)或時間函數(shù)f(t)；n表示時間序列；F表示Z域函數(shù)F(z)；z表示Z域變量。218例8-17求函數(shù)的z變換和函數(shù)的z反變換。解MATLAB命令如下>>symsktz;f=k*t^1;F1=ztrans(f),F=k*z/(z-1)^2;f1=iztrans(F)

結果顯示：

F1=k*z/(z-1)^2f1=k*n2198.8.2利用MATLAB實現(xiàn)連續(xù)系統(tǒng)的離散化利用MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中提供的函數(shù)c2dm()可將連續(xù)系統(tǒng)的模型離散化，其作用相當于在連續(xù)環(huán)節(jié)輸入端加一個采樣開關和零階保持器，調(diào)用格式為[numd,dend]=c2dm(num,den,T)式中，num,den為連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子分母系數(shù)；numd,dend為離散化后脈沖傳遞函數(shù)的分子分母系數(shù)；T為采樣周期。220例8-18已知系統(tǒng)如圖8-41所示。利用MATLAB求系統(tǒng)在T=1秒時的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。圖8-41單位反饋系統(tǒng)結構圖221解

MATLAB命令如下>>num=1;den=conv([1,0],[1,1]);T=1;>>[numd1,dend1]=c2dm(num,den,T);printsys(numd1,dend1,'z')結果顯示：num/den=0.36788z+0.26424------------------------------z^2-1.3679z+0.367882228.8.3利用MATLAB分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性在分析控制系統(tǒng)時，首先遇到的問題就是系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判斷一個線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種最有效的方法是直接求出系統(tǒng)所有的極點，然后根據(jù)極點的分布情況來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對線性系統(tǒng)來說，如果一個離散系統(tǒng)的所有極點都位于左半z平面的單位圓內(nèi)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。223

MATLAB中根據(jù)特征多項式求特征根的函數(shù)為roots()，其調(diào)用格式為r=roots(P)其中，P為特征多項式的系數(shù)向量；r為特征多項式的根。利用MATLAB中的函數(shù)abs(r)可以求出特征根r的模值。224

另外，MATLAB中的函數(shù)zplane()可繪制離散系統(tǒng)的零極點圖，其調(diào)用格式為zplane(dnum,dden)其中，dnum和dden分別為離散系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母多項式的系數(shù)按降冪排列構成的系數(shù)行向量；圖中的極點用“×”表示，零點用“o”表示。225

例8-19

判定例8-18所示系統(tǒng)在T=1時的穩(wěn)定性，并畫出系統(tǒng)的零極點圖。解

MATLAB命令如下>>num=1;den=conv([1,0],[1,1]);T=1;>>[numd1,dend1]=