自動控制原理（李國勇第4版）課件 第1-3章 引論、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、線性控制系統(tǒng)的時域分析法

自動控制原理(第4版)1第1章緒論目錄1-1自動控制的定義1-2自動控制系統(tǒng)的組成1-3自動控制系統(tǒng)的基本控制方式1-4自動控制系統(tǒng)的分類1-5自動控制系統(tǒng)的基本要求1-6自動控制理論的產(chǎn)生及其發(fā)展2

自動控制理論是研究自動控制系統(tǒng)共同規(guī)律的技術(shù)科學(xué)。隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，自動控制系統(tǒng)在工業(yè)和國防的科研、生產(chǎn)中逐漸起著越來越重要的作用，計算機的廣泛應(yīng)用給自動控制系統(tǒng)的發(fā)展提供了更廣泛的前景。3

自動控制技術(shù)的廣泛應(yīng)用，不僅將人們從繁重的體力勞動和大量重復(fù)性的操作中解放出來，而且也將極大地提高了勞動生產(chǎn)率和產(chǎn)品質(zhì)量。本章將從自動控制理論的基本概念出發(fā)，介紹自動控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)、工作原理、控制方式以及分類。在對自動控制系統(tǒng)進行深入分析之前，明確自動控制理論研究的內(nèi)容和對控制系統(tǒng)的基本要求。41-1自動控制的定義

下面通過一實際生產(chǎn)過程的自動控制系統(tǒng)來給出控制和自動控制的定義。對于如圖1-1所示的恒溫箱水位控制系統(tǒng)，在生產(chǎn)過程中，常常需要維持被加熱箱體的水位高度，以滿足工業(yè)生產(chǎn)的需要。51.工藝過程用戶通過用戶閥門R2不定時、不定量地從加熱的水箱中取走熱水Q2以滿足工業(yè)生產(chǎn)的需要。即R2

Q2

H實。2.控制要求人需要控制進水閥門R1來改變流入量Q1，即通過不斷調(diào)節(jié)進入箱體內(nèi)的流量，使得水箱中的實際水位H實等于規(guī)定的水位H0。水位過高

溢出

不經(jīng)濟；水位過低

干箱

不安全。

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在控制過程中，人要連續(xù)不斷地觀測箱體內(nèi)的水位，并與要求水位比較，反映到大腦中，然后大腦根據(jù)水位差的大小和方向，產(chǎn)生控制指令，加大或減小進水閥門的開度，以減少差異，人通過連續(xù)不斷的操作，達到箱體水位維持在要求值附近。通過研究上述人工控制恒溫箱的水位過程，可以看到，所謂控制就是使某個對象中物理量按照一定的目標(biāo)來動作。本例中，對象指箱體，其中的物理量指箱體水位，一定目標(biāo)就是事先要求的高度期望值H0。7

若液位控制要求精度較高，那么由人來控制就很難滿足要求，這時就需要用控制設(shè)備代替人，形成液位自動控制系統(tǒng)。采用杠桿機構(gòu)作為控制設(shè)備來代替人進行操作的杠桿水箱液位自動控制系統(tǒng)，如圖所示。8

圖中用杠桿機構(gòu)一端連接的浮子代替人的眼睛來測量液位的高低。用杠桿機構(gòu)代替人的大腦來計算水箱中實際液位H實與規(guī)定液位H0的偏差（調(diào)節(jié)杠桿中間支撐點的位置，可改變水箱液位期望值H0的大小）。用杠桿機構(gòu)另一端連接的閥門擋板代替人的手來調(diào)節(jié)閥門開度。9

當(dāng)用戶用水量增大時，水箱液位開始下降，浮子也隨之降低，通過杠桿的作用，使閥門擋板上提，進水閥門開度增大，進水流量增大，使液位回升至期望值附近。反之，若用水量減小，水箱液位及浮子上升，則進水閥門開度關(guān)小，進水流量減小，使液位下降至期望值附近。其結(jié)果是無論用戶用水量多還是少，實際液位H實的高度總是在期望值H0附近變化。

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顯然，以上是一種簡單的自動控制系統(tǒng)，如果對液位控制精度要求很高，這時就必須采用其它高精度的控制設(shè)備，如圖l-3所示就是采用電控儀表作為控制設(shè)備的水箱液位自動控制系統(tǒng)。圖l-311

圖中用壓力變送器代替人的眼睛來測量液位的高低。用控制器代替人的大腦來計算水箱中實際液位H實與規(guī)定液位H0的偏差（控制器內(nèi)部可設(shè)置水箱液位期望值H0的大?。?。用電動調(diào)節(jié)閥代替人的手來調(diào)節(jié)進水閥門開度大小。

圖l-3123．控制設(shè)備圖1-3所示的水箱液位自動控制系統(tǒng)由壓力變送器、控制器、電動調(diào)節(jié)閥和水箱等構(gòu)成。

(1)壓力變送器壓力變送器又稱為測量變送儀表或測量變送裝置。常用測量液位的儀表為壓力變送器，它將水箱液位位置的變化，轉(zhuǎn)換及放大為儀表系統(tǒng)中的（電）信號。它的作用類似于人工控制中人的眼或杠桿自動控制中的浮子，將液位的變化輸送到大腦中或控制器中。13(2)控制器控制器將水位變化的(電)信號與設(shè)定的(電)信號（相應(yīng)于規(guī)定的水位）進行比較。它的作用類似于人工控制中人的腦。若

1為進水調(diào)節(jié)閥門的開度。當(dāng)H測>H0時，要求

1

Q1

H實

H測

；當(dāng)H測<H0時，要求

1

Q1

H實

H測

；當(dāng)H測=H0時，要求

1不變。14(3)電動調(diào)節(jié)閥常用的執(zhí)行器為電動調(diào)節(jié)閥或氣動調(diào)節(jié)閥，它包括執(zhí)行電機和閥體兩部分，它根據(jù)控制器的命令，改變進水調(diào)節(jié)閥門的開度

1。調(diào)節(jié)閥的作用類似于人工控制中人的手，去執(zhí)行大腦的命令。15

自動控制和人工控制的基本原理是相同的，它們都是建立在“測量偏差，修正偏差”的基礎(chǔ)上，并且為了測量偏差，必須把系統(tǒng)的實際輸出反饋到輸入端。

自動控制和人工控制的區(qū)別在于自動控制用控制器代替人完成控制?？傊?，所謂自動控制就是在沒有人直接參與的情況下，利用控制裝置使被控對象中某一物理量或數(shù)個物理量準(zhǔn)確地按照預(yù)定的要求規(guī)律變化。16

為了方便技術(shù)人員討論問題，一般將控制系統(tǒng)表示成方框圖的形式。方框圖是由若干方框，信號走向箭頭信號的匯交點與分離點所組成的框圖。它是實際工藝設(shè)備圖中控制系統(tǒng)的信號傳遞的一種抽象簡明的表示，它可用在自動控制系統(tǒng)的分析中，去表明每個重要設(shè)備在系統(tǒng)中的功能和各個重要設(shè)備之間的相互關(guān)系。17

例把圖(a)的水位自動控制系統(tǒng)表示成如圖(b)所示的形式。

圖(a)圖(b)進一步表示成如下圖所示的方框圖

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在自動控制系統(tǒng)中，通常表示成如圖所示的方框圖。

(a)形式一(b)形式二圖1-6水箱液位自動控制系統(tǒng)的方框圖191-2自動控制系統(tǒng)的組成

為了實現(xiàn)各種復(fù)雜的控制任務(wù)，首先要將被控對象和控制裝置按照一定的方式連接起來，組成一個有機總體，這就是自動控制系統(tǒng)。

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雖然自動控制系統(tǒng)根據(jù)被控對象和具體用途的不同，可以有各種各樣的結(jié)構(gòu)形式。但是，就其工作原理來說，一個典型自動控制系統(tǒng)的基本組成可用如圖l-7所示的方框圖來表示。

圖l-721(2)給定值：在控制系統(tǒng)中被控量y(t)所希望的值，也稱為參考輸入，一般用r(t)表示。如以上水位的設(shè)定值H0。

被控量：是指控制系統(tǒng)中被控制的物理量，也稱為輸出量，一般用y(t)或c(t)表示。如以上水位的實際值H實。22(3)擾動信號：使被控量偏移給定值的所有因素，它是系統(tǒng)要排除影響的量，一般用n(t)或d(t)表示。它包括內(nèi)擾和外擾。內(nèi)擾為控制閥不動作時，控制閥所在通道中物資的各種因素變化引起的干擾，如以上進水管道的水壓力波動引起進水流量Q1的變化；外擾為除內(nèi)擾以外的一切干擾，如以上用戶用水量Q2的變化。23(4)輸入信號：泛指對系統(tǒng)的輸出量有直接影響的外界輸入信號，既包括參考輸入r(t)，又包括擾動信號n(t)。通常將系統(tǒng)的輸入信號到輸出信號的通道稱為前向通道，如以上從液位給定值H0

控制器

執(zhí)行器

被控對象

液位實際輸出值H實的通道。24(5)反饋信號：將系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的輸出信號經(jīng)變換、處理送到系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的輸入端的信號，稱為反饋信號。若此信號是從系統(tǒng)輸出端取出送入系統(tǒng)輸入端，這種反饋信號稱主反饋信號，一般用ym(t)表示。而其它反饋信號稱為局部反饋信號。通常將系統(tǒng)的輸出信號到反饋信號的通道稱為反饋通道，如以上從液位實際輸出值H實

測量變送儀表

液位測量值H測的通道。

25(6)偏差：給定值r(t)與主反饋信號ym(t)之差，一般用e(t)表示，即e(t)=r(t)-ym(t)。26(7)被控對象：它是控制系統(tǒng)所控制和操作的對象。如以上恒溫水箱。(8)校正裝置：對系統(tǒng)的參數(shù)和結(jié)構(gòu)進行調(diào)整，用于改善系統(tǒng)控制性能的儀表或裝置，也稱為控制器或調(diào)節(jié)器。如以上水箱液位控制器。27(9)執(zhí)行器：接收校正裝置的輸出信號，并將其轉(zhuǎn)換為對被控對象進行操作的裝置或設(shè)備。如以上的調(diào)節(jié)閥。(10)反饋環(huán)節(jié)：它用來測量被控量y(t)的實際值，并經(jīng)過信號轉(zhuǎn)換及放大為與被控制量有一定函數(shù)關(guān)系，且與輸入信號同一物理量的信號。反饋環(huán)節(jié)一般也稱為測量變送儀表或測量變送環(huán)節(jié)。28

閉環(huán)控制是自動控制系統(tǒng)最基本的控制方式，也是應(yīng)用最廣泛的一種控制方式。除此之外，還有開環(huán)控制方式和復(fù)合控制方式，它們都有其各自的特點和不同的適合場合。1-3自動控制系統(tǒng)的基本控制方式291．開環(huán)控制系統(tǒng)開環(huán)控制系統(tǒng)是指無被控量反饋的控制系統(tǒng)，即需要控制的是被控對象的某一量(被控量)，而測量的只是給定信號，被控量對于控制作用沒有任何影響的系統(tǒng)。信號由給定值至被控量單向傳遞。如數(shù)控線切割機進給系統(tǒng)、包裝機等多為開環(huán)控制。開環(huán)控制系統(tǒng)原理框圖如圖l-8所示。

圖l-830

開環(huán)控制系統(tǒng)的信號流動由輸入端到輸出端單向流動。這種控制較簡單，但有較大的缺陷，即對象或控制裝置受到干擾，或工作中特性參數(shù)發(fā)生變化，會直接影響被控量，而無法自動補償。因此，系統(tǒng)的控制精度難于保證。從另一種意義理解，意味著對受控對象和其它控制元件的技術(shù)要求較高。

312．閉環(huán)控制系統(tǒng)若控制系統(tǒng)中信號除從輸入端到輸出端外，還有輸出到輸入的反饋信號，則構(gòu)成閉環(huán)控制系統(tǒng)，也稱反饋控制系統(tǒng)，方框圖如l-9所示。

圖l-932

閉環(huán)控制的定義是有被控制量反饋的控制。從系統(tǒng)中信號流向看，系統(tǒng)的輸出信號沿反饋通道又回到系統(tǒng)的輸入端，構(gòu)成閉合通道，故稱閉環(huán)控制系統(tǒng)，或反饋控制系統(tǒng)。這種控制方式，無論是由于干擾造成，還是由于結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化引起被控量出現(xiàn)偏差，系統(tǒng)就利用偏差去糾正偏差，故這種控制方式為按偏差調(diào)節(jié)。

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閉環(huán)控制系統(tǒng)的突出優(yōu)點，利用偏差來糾正偏差，使系統(tǒng)達到較高的控制精度。但與開環(huán)控制系統(tǒng)比較，閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，構(gòu)造比較困難。需要指出的是，由于閉環(huán)控制存在反饋信號，利用偏差進行控制，如果設(shè)計得不好，將會使系統(tǒng)無法正常和穩(wěn)定地工作。另外，控制系統(tǒng)的精度與系統(tǒng)的穩(wěn)定性之間也常常存在矛盾。

343．復(fù)合控制系統(tǒng)開環(huán)控制和閉環(huán)控制方式各有優(yōu)缺點，在實際工程中應(yīng)根據(jù)工程要求及具體情況來決定。如果事先預(yù)知輸入量的變化規(guī)律，又不存在外部和內(nèi)部參數(shù)的變化，則采用開環(huán)控制較好。如果對系統(tǒng)外部干擾無法預(yù)測，系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)又經(jīng)常變化；為保證控制精度，采用閉環(huán)控制則更為合適。如果對系統(tǒng)的性能要求比較高，為了解決閉環(huán)控制精度與穩(wěn)定性之間的矛盾，可以采用開環(huán)控制與閉環(huán)控制相結(jié)合的復(fù)合控制系統(tǒng)。

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自動控制系統(tǒng)根據(jù)控制方式及其結(jié)構(gòu)性能和完成的任務(wù)，有多種分類方法。除以上按控制方式分為開環(huán)控制、反饋控制和復(fù)合控制等外。還可以根據(jù)系統(tǒng)輸入信號分為恒值控制系統(tǒng)、隨動控制系統(tǒng)和程序控制系統(tǒng)等；按系統(tǒng)性能又可以分為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)、連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)、定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)、確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng)等等。下面簡單介紹幾種常見的分類方法。

1-4自動控制系統(tǒng)的分類36

1．按系統(tǒng)輸入信號劃分

(1)恒值控制系統(tǒng)(自動調(diào)節(jié)系統(tǒng))

這種系統(tǒng)的特征是給定值為一恒值，通常稱為系統(tǒng)的給定值?？刂葡到y(tǒng)的任務(wù)是盡量排除各種干擾因素的影響，使輸出量維持在給定值(期望值)附近。如工業(yè)過程中恒溫、恒壓、恒速等控制系統(tǒng)。

(2)隨動控制系統(tǒng)(跟蹤系統(tǒng))

該系統(tǒng)的控制輸入量是一個事先無法確定的任意變化的量，要求系統(tǒng)的輸出量能迅速平穩(wěn)地復(fù)現(xiàn)或跟蹤輸入信號的變化。如雷達天線的自動跟蹤系統(tǒng)和高炮自動描準(zhǔn)系統(tǒng)就是典型的隨動系統(tǒng)。

37(3)程序控制系統(tǒng)系統(tǒng)的控制輸入信號不是常值，而是事先確定的運動規(guī)律，編成程序裝在輸入裝置中，即控制輸入信號是事先確定的程序信號，控制的目的是使被控對象的被控量按照要求的程序動作。如數(shù)控車床就屬此類系統(tǒng)。

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2．按系統(tǒng)微分方程的形式劃分

(1)線性系統(tǒng)

組成系統(tǒng)元器件的特性均為線性的，可用一個或一組線性微分方程來描述系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系。線性系統(tǒng)的主要特征是具有齊次性和疊加性。

(2)非線性系統(tǒng)

在系統(tǒng)中只要有一個元器件的特性不能用線性微分方程描述其輸入和輸出關(guān)系，則稱為非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)還沒有一種完整、成熟、統(tǒng)一的分析法。通常對于非線性程度不很嚴(yán)重，或做近似分析時，均可用線性系統(tǒng)理論和方法來處理。非線性系統(tǒng)分析將在第八章專門討論。

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3．按系統(tǒng)參數(shù)與時間有無關(guān)系劃分

(1)定常系統(tǒng)如果描述系統(tǒng)特性的微分方程中各項系數(shù)都是與時間無關(guān)的常數(shù)，則稱為定常系統(tǒng)。該類系統(tǒng)只要輸入信號的形式不變，在不同時間輸入下的輸出響應(yīng)形式是相同的。

(2)時變系統(tǒng)如果描述系統(tǒng)特性的微分方程中只要有一項系數(shù)是時間的函數(shù)，此系統(tǒng)稱為時變系統(tǒng)。

404．按系統(tǒng)信號的形式劃分

(1)連續(xù)系統(tǒng)系統(tǒng)中所有元件的信號都是隨時間連續(xù)變化的，信號的大小均是可任意取值的模擬量，稱為連續(xù)系統(tǒng)。

(2)離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)是指系統(tǒng)中有一處或數(shù)處的信號是脈沖序列或數(shù)碼。若系統(tǒng)中采用了采樣開關(guān)，將連續(xù)信號轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散的脈沖形式的信號，此類系統(tǒng)稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)。若采用數(shù)字計算機或數(shù)字控制器，其離散信號是以數(shù)碼形式傳遞的，此類系統(tǒng)稱為數(shù)字控制系統(tǒng)。

415．按系統(tǒng)控制作用點的個數(shù)劃分

(1)單輸入單輸出系統(tǒng)(單變量系統(tǒng))

系統(tǒng)的輸入量和輸出量各為一個，稱為單輸入單輸出系統(tǒng)。

(2)多輸入多輸出系統(tǒng)(多變量系統(tǒng))

若系統(tǒng)的輸入量和輸出量多于一個，稱為多輸入多輸出系統(tǒng)。對于線性多輸入多輸出系統(tǒng)，系統(tǒng)的任何一個輸出等于數(shù)個輸入單獨作用下輸出的疊加。

426．按系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差劃分按系統(tǒng)在給定值或擾動信號的作用下是否存在穩(wěn)態(tài)誤差而分為有差控制系統(tǒng)和無差控制系統(tǒng)。恒值控制系統(tǒng)的主要任務(wù)是當(dāng)存在擾動信號時，保證被控量維持在希望值上，也就是說，要在有擾動信號的情況下保持被控量不變。隨動控制系統(tǒng)主要是確定系統(tǒng)對給定值有差還是無差。

43(1)有差控制系統(tǒng)在恒值控制系統(tǒng)中，如果某個系統(tǒng)的擾動信號作用經(jīng)過一段時間而趨于某一恒定的穩(wěn)態(tài)值，而被控量的實際值與期望值之差也逐漸趨于某一恒值，且這個值取決于擾動信號作用的大小，那么這個系統(tǒng)就稱為對擾動有差的系統(tǒng)。在隨動控制系統(tǒng)中，如果給定值經(jīng)過一段時間之后趨于某一穩(wěn)態(tài)值，系統(tǒng)的誤差也趨于某一穩(wěn)態(tài)值，則稱此系統(tǒng)為對給定值有差的系統(tǒng)。

44(2)無差控制系統(tǒng)在恒值控制系統(tǒng)中，如果一個系統(tǒng)的擾動信號作用經(jīng)過一段時間而趨于某一恒定的穩(wěn)態(tài)值，而被控量的實際值與期望值之差逐漸趨于零，且與擾動信號作用的大小無關(guān)，那么這個系統(tǒng)就稱為對擾動無差的系統(tǒng)。在隨動控制系統(tǒng)中，如果不論給定值的大小如何變化，系統(tǒng)的誤差趨于零，則稱這一系統(tǒng)為對給定值無差的系統(tǒng)。強調(diào)指出，同一系統(tǒng)可能對擾動輸入信號是有差的，而對給定輸入信號是無差的，或者相反。因此在研究一個控制系統(tǒng)是有差還是無差時，必須指出是對擾動信號而言，還是對給定值而言。

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除了上述分類之外，自動控制系統(tǒng)還可以按照其動態(tài)特性是否與系統(tǒng)的空間分布特性有關(guān)而分成集中參數(shù)控制系統(tǒng)和分布參數(shù)控制系統(tǒng)，等等。另外，自動控制系統(tǒng)還可以按系統(tǒng)的其它特征來分類，如按元件類型可分為機械系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)、機電系統(tǒng)、液壓系統(tǒng)、氣動系統(tǒng)、生物系統(tǒng)等；按系統(tǒng)功用可分為溫度控制系統(tǒng)、壓力控制系統(tǒng)、位置控制系統(tǒng)等。

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一般為了全面反映自動控制系統(tǒng)的特點，常常將上述各種方法組合應(yīng)用。本書將從線性連續(xù)系統(tǒng)、非線性連續(xù)系統(tǒng)和線性離散系統(tǒng)三方面來研究自動控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計問題。

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盡管自動控制系統(tǒng)有不同的類型，對每個系統(tǒng)也都有不同的特殊要求，但對于各類系統(tǒng)來說，在已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)時，我們感興趣的都是系統(tǒng)在某種典型輸入信號作用下，其被控變量變化的全過程。例如，對于恒值控制系統(tǒng)是研究擾動作用引起被控量變化的全過程；對隨動控制系統(tǒng)是研究被控量如何克服擾動影響并跟隨輸入量的變化全過程。但是，對每一類系統(tǒng)被控量變化全過程提出的共同基本要求都是一樣的，且可以歸結(jié)為穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和快速性，即穩(wěn)、準(zhǔn)、快的要求。

1-5自動控制系統(tǒng)的基本要求48

1．穩(wěn)定性自動控制系統(tǒng)的種類很多，完成的功能也千差萬別，有的用來控制液位的變化，有的卻要跟蹤飛機的飛行軌跡，但是所有系統(tǒng)都有一個共同的特點，也就是要滿足穩(wěn)定性的要求。當(dāng)一個實際系統(tǒng)處于一個平衡的狀態(tài)時，如果受到外來作用的影響而偏離該平衡態(tài)后，當(dāng)外力撤消后，系統(tǒng)經(jīng)過有限的一段時間仍然能夠回到原來的平衡狀態(tài)，稱這個系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定；或者說當(dāng)系統(tǒng)持續(xù)受到有限外力作用時，系統(tǒng)經(jīng)過有限的一段時間后將穩(wěn)定在一個新的平衡狀態(tài)，也稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。所以穩(wěn)定性是針對系統(tǒng)的平衡點來討論的。

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如圖1-10所示，當(dāng)小球位于圖中A點和B點時，都有可能保持不動，或者說小球的速度、加速度均為0，因此小球在圖示的區(qū)域，有兩個平衡點，即A點和B點。圖1-10平衡點穩(wěn)定性示意圖先對圖1-10中的A點進行討論，當(dāng)給小球施加一個外力，使小球動起來，只要外力的大小不致使小球運動到B點，則當(dāng)外力撤消后，小球?qū)⒃诎疾蹆?nèi)往復(fù)運動。在與接觸面間摩擦力的作用下，小球運動的幅度將不斷減小，當(dāng)時間足夠長時，小球最終將會停止在A點，而保持不動，因此對小球來說，平衡點A是穩(wěn)定的。

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圖1-10平衡點穩(wěn)定性示意圖再對B點進行討論，此時只要稍微給小球施加一個外力，小球就會偏離B點，則當(dāng)外力消失后，小球?qū)⒂肋h再回不到B點，因此對小球來說，平衡點B是不穩(wěn)定的。

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在實際控制系統(tǒng)中，一般都存在儲能元件或慣性元件，由于這些元件的能量不可能突變，因此當(dāng)給系統(tǒng)一個輸入激勵時，輸出量不可能立刻達到期望值，而是有一個響應(yīng)過程，這一過程又稱為動態(tài)過程。在這一變化過程中，穩(wěn)定系統(tǒng)輸出信號的幅值是隨著時間的推移逐漸減小的，而不穩(wěn)定系統(tǒng)輸出信號的幅值是逐漸增大的。前者系統(tǒng)的輸出信號最后會穩(wěn)定在一個新的平衡狀態(tài)，后者系統(tǒng)的輸出信號卻會不斷增大甚至到系統(tǒng)被損壞。

52

圖1-11為三種系統(tǒng)對輸入信號為r(t)=1（稱此信號為單位階躍信號）的響應(yīng)曲線。圖1-11(a)所示系統(tǒng)輸出信號y(t)振蕩過程逐漸減弱，最終停留在期望值1附近，說明該系統(tǒng)是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)；圖1-11(b)所示的系統(tǒng)輸出信號離期望值1越來越遠，振蕩過程逐步增強，說明該系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)；圖1-11(c)所示的系統(tǒng)在期望值1附近等幅振蕩，說明該系統(tǒng)介于穩(wěn)定與不穩(wěn)定之間，此類系統(tǒng)稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，在經(jīng)典控制理論中，一般將該類系統(tǒng)歸為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

圖1-11控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線53

穩(wěn)定性是系統(tǒng)重新恢復(fù)平衡狀態(tài)的能力。任何一個能夠正常工作的控制系統(tǒng)，首先必須是穩(wěn)定的，穩(wěn)定是對自動控制系統(tǒng)的最基本要求。一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，其被控量偏移期望值的初始偏差應(yīng)隨時間的增長逐漸減小并趨于零。具體來講，對于穩(wěn)定的恒值控制系統(tǒng)，被控量因擾動而偏移期望值后，經(jīng)過一個過渡過程時間，被控量應(yīng)恢復(fù)到原來的期望值狀態(tài)；對于穩(wěn)定的隨動控制系統(tǒng)，被控量應(yīng)能始終跟蹤輸入量的變化。54

如對于爐溫控制系統(tǒng)，該控制系統(tǒng)穩(wěn)定的目標(biāo)是使得爐膛溫度控制在期望的范圍內(nèi)；而對于火炮隨動控制系統(tǒng)，當(dāng)目標(biāo)位置發(fā)生變化時，火炮炮管如果能跟隨目標(biāo)的運動，且穩(wěn)定瞄準(zhǔn)目標(biāo)并不產(chǎn)生劇烈的擺動，則說明對炮管的控制是穩(wěn)定的。55

反之，不穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，其被控量偏離期望值的初始偏差將隨時間的增長而發(fā)散。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)無法正常工作，也無法完成控制任務(wù)，甚至?xí)脑O(shè)備，造成重大損失。考慮到實際系統(tǒng)工作環(huán)境或參數(shù)的變動，可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此，我們除要求系統(tǒng)穩(wěn)定外，還要求其具有一定的穩(wěn)定裕量。

562．快速性為了很好完成控制任務(wù)，控制系統(tǒng)僅僅滿足穩(wěn)定性的要求是不夠的，還必須對其動態(tài)過程的形式和快慢提出要求。例如，對于穩(wěn)定的高射炮射角隨動系統(tǒng)，雖然炮身最終能跟蹤目標(biāo)，但如果目標(biāo)變動迅速，而炮身跟蹤目標(biāo)所需過渡過程時間過長，就不可能擊中目標(biāo)；對于穩(wěn)定的自動駕駛儀系統(tǒng)，當(dāng)飛機受陣風(fēng)擾動而偏離預(yù)定航線時，具有自動使飛機恢復(fù)預(yù)定航線的能力，但在恢復(fù)過程中，如果機身搖晃幅度過大，或恢復(fù)速度過快，乘員就會感到不適。因此，對控制系統(tǒng)動態(tài)過程的最大振蕩幅度和快速性一般都有具體求。

57

快速性是對系統(tǒng)動態(tài)性能的要求。動態(tài)過程是指控制系統(tǒng)的被控量在輸入信號作用下隨時間變化的全過程，衡量系統(tǒng)最大振蕩幅度和快速性的品質(zhì)好壞常采用單位階躍信號作用下動態(tài)過程中的超調(diào)量、上升時間和過渡過程時間等性能指標(biāo)。描述系統(tǒng)的動態(tài)性能也可以用平穩(wěn)性和快速性加以衡量。平穩(wěn)性是指系統(tǒng)由初始狀態(tài)過渡到新的平衡狀態(tài)時，具有較小的超調(diào)量和振蕩性；快速性是指系統(tǒng)過渡到平衡狀態(tài)所需要的過渡過程時間較短。

583．準(zhǔn)確性準(zhǔn)確性是對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的要求。對一個穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，當(dāng)過渡過程結(jié)束后，系統(tǒng)輸出量的實際值與期望值之差稱為穩(wěn)態(tài)誤差，它是衡量系統(tǒng)控制精度的重要指標(biāo)。穩(wěn)態(tài)誤差越小，表示系統(tǒng)的準(zhǔn)確度越好，控制精度越高。

59

由于被控對象的具體情況不同，各種系統(tǒng)對穩(wěn)、準(zhǔn)、快的要求應(yīng)有所側(cè)重。例如，恒值控制系統(tǒng)一般對穩(wěn)態(tài)性能限制比較嚴(yán)格，隨動控制系統(tǒng)一般對動態(tài)性能要求較高。同一系統(tǒng)穩(wěn)、準(zhǔn)、快是相互制約的。過分提高響應(yīng)動作的快速性，可能會導(dǎo)致系統(tǒng)的強烈振蕩；而過分追求系統(tǒng)的平穩(wěn)性，又可能使系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍，控制過程拖長，最終導(dǎo)致控制精度也變差。如何分析與解決這些矛盾，是自動控制理論研究的重要內(nèi)容。

60

自動控制理論研究的主要內(nèi)容是闡述對自動控制系統(tǒng)進行分析和設(shè)計的基本理論。在對實際控制系統(tǒng)進行分析和設(shè)計時，首先要建立研究問題的數(shù)學(xué)模型，進而利用所建立的數(shù)學(xué)模型來討論對自動控制系統(tǒng)進行分析和設(shè)計的基本理論和方法。

61

在已知系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型下，計算和研究自動控制系統(tǒng)的性能并尋找系統(tǒng)性能與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)之間的關(guān)系，稱為系統(tǒng)的分析。如果已知對工程系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求，尋找合理的控制方案，這類問題稱為系統(tǒng)的設(shè)計或校正。621-6自動控制理論的產(chǎn)生及其發(fā)展

自動控制理論由經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論和智能控制理論組成，它是研究自動控制共同規(guī)律的技術(shù)科學(xué)，它的誕生與發(fā)展源于自動控制技術(shù)的應(yīng)用。63

人類發(fā)明具有“自動”功能的裝置的歷史，可以追溯到公元前14～11世紀(jì)在中國、埃及和巴比倫出現(xiàn)的自動計時漏壺。我國漢朝科學(xué)家張衡發(fā)明了渾天儀和地動儀。公元235年，我國發(fā)明了按開環(huán)控制的自動指示方向的指南車。公元1086年左右，我國蘇頌等人發(fā)明了按閉環(huán)控制工作的具有“天衡”自動調(diào)節(jié)機構(gòu)和報時機構(gòu)的水運儀象臺。古埃及和古希臘出現(xiàn)了半自動的簡單機器，如教堂廟門自動開啟裝置、自動灑圣水的銅祭司、投幣式圣水箱和在教堂門口自動鳴叫的青銅小鳥等自動裝置，這些都是一些互不相關(guān)的原始的自動裝置，是一些個別的發(fā)明。

1．自動控制技術(shù)的發(fā)展6417世紀(jì)以后，隨著生產(chǎn)的發(fā)展和科學(xué)的進步，1642年法國物理學(xué)家帕斯卡發(fā)明了能自動進位的加法器；1657年荷蘭機械師惠更斯發(fā)明了鐘表；1745年英國機械師E．李發(fā)明了帶有風(fēng)向控制的風(fēng)磨；1765年俄國機械師波爾祖諾夫發(fā)明了浮子閥門式水位調(diào)節(jié)器。英國瓦特于1788年發(fā)明的離心式節(jié)速器。1854年俄國機械學(xué)家和電工學(xué)家康斯坦丁諾夫發(fā)明的電磁調(diào)速器。1868年法國工程師法爾科發(fā)明了反饋調(diào)節(jié)器，通過它來調(diào)節(jié)蒸汽閥，操縱蒸汽船的舵。65

雖然各種簡單自動控制裝置的發(fā)明在18世紀(jì)以前經(jīng)歷了漫長的歷史過程，但是它們對自動化技術(shù)的形成起到了先導(dǎo)作用；它們都是從實際經(jīng)驗中總結(jié)出來的，但是還沒有理論分析和數(shù)學(xué)描述。17～18世紀(jì)是自動化技術(shù)的逐漸形成時期，接下來是近代自動化技術(shù)的發(fā)展時期，數(shù)學(xué)描述和理論分析起到了至關(guān)重要的作用。

2．自動控制理論的發(fā)展和形成66

人們最初遇到的是自動調(diào)節(jié)器的穩(wěn)定性問題，由于瓦特發(fā)明的離心式調(diào)速器有時會造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定，使蒸汽機產(chǎn)生劇烈的振蕩；到19世紀(jì)又發(fā)現(xiàn)了船舶上自動操舵機的穩(wěn)定性問題。這些問題引起了人們的廣泛關(guān)注，一些數(shù)學(xué)家嘗試用微分方程來描述和分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。對自動控制系統(tǒng)最初的數(shù)學(xué)描述是英國物理學(xué)家麥克斯韋（J.C.Maxwell），他在1868年發(fā)表了《論調(diào)速器》的文章，該文章總結(jié)了無靜差調(diào)速器的理論。671876年在法國科學(xué)院院報上，俄國機械學(xué)家H.A.維什涅格拉茨基發(fā)表了題為《論調(diào)節(jié)器的一般理論》的文章，進一步總結(jié)了調(diào)節(jié)器的理論。

1875年英國數(shù)學(xué)家勞斯（E．J．Routh）提出了著名的勞斯穩(wěn)定判據(jù)。

1895年德國數(shù)學(xué)家赫爾維茨（A．Hurwitz）提出著名的赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)。

1892年俄國數(shù)學(xué)家李雅普諾夫（A.M.Lyapunov）發(fā)表了《論運動穩(wěn)定性的一般問題》的專著，以數(shù)學(xué)語言形式給運動穩(wěn)定性的概念下了嚴(yán)格的定義，給出了判別系統(tǒng)穩(wěn)定的兩種方法。

68

到了20世紀(jì)20年代以后，美國開始采用比例、積分、微分調(diào)節(jié)器，簡稱PID調(diào)節(jié)器。1922年N.米諾爾斯基發(fā)表了《關(guān)于船舶自動操舵的穩(wěn)定性》。

1925年英國電氣工程師O.亥維賽把拉普拉斯變換應(yīng)用到求解電網(wǎng)絡(luò)的問題上，提出了運算微積分，求得瞬態(tài)過程。

1927年美國貝爾電話實驗室在解決電子管放大器失真問題時，電氣工程師H.S.布萊克從電信號的角度引入了反饋的概念。

1932年美國電信工程師奈奎斯特（H．Nyquist）提出了著名的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。691934年前蘇聯(lián)科學(xué)家H.H.沃茲涅先斯基發(fā)表了《自動調(diào)節(jié)理論》。

1934年美國科學(xué)家H.L.黑發(fā)表了《關(guān)于伺服機構(gòu)理論》。

1938年前蘇聯(lián)電氣工程師A.B.米哈伊洛夫應(yīng)用頻率法研究自動控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提出著名的米哈伊洛夫穩(wěn)定判據(jù)。通過理論的發(fā)展和積累，經(jīng)典控制理論逐漸形成，這些論文的發(fā)表標(biāo)志著經(jīng)典控制理論的誕生。

1939年美國麻省理工學(xué)院建立了伺服機構(gòu)實驗室，同年前蘇聯(lián)科學(xué)院成立了自動學(xué)和運動學(xué)研究所。70

經(jīng)典控制理論主要是研究單變量單回路控制系統(tǒng)，它包括了對單變量單回路控制系統(tǒng)的一系列分析方法。1939年美國麻省理工學(xué)院建立了伺服機構(gòu)實驗室，同年前蘇聯(lián)科學(xué)院成立了自動學(xué)和運動學(xué)研究所。這是世界上第一批系統(tǒng)與控制的專業(yè)研究機構(gòu)，他們?yōu)?0世紀(jì)40年代形成經(jīng)典控制理論和發(fā)展局部自動化積累了理論和人才，也做了理論上和組織上的準(zhǔn)備。經(jīng)典控制理論是在20世紀(jì)40～50年代完善的。在這一時期，伯德于1945年提出了基于頻率響應(yīng)的分析與綜合反饋控制系統(tǒng)的伯德圖法。美國電信工程師埃文斯于1948年提出了根軌跡法。71

當(dāng)時在分析和設(shè)計反饋伺服系統(tǒng)時廣泛采用了傳遞函數(shù)和頻率響應(yīng)的概念。最常用的方法是奈奎斯特法（1932年）、伯德法（1945年）和根軌跡法（1948年）。1945年美國數(shù)學(xué)家維納，把反饋的概念推廣到一切控制系統(tǒng)。1948年維納出版《控制論》一書，為控制理論奠定了基礎(chǔ)。同年，美國電信工程師香農(nóng)發(fā)表了《通信的數(shù)學(xué)理論》，為信息論奠定了基礎(chǔ)。維納和香農(nóng)從控制和信息這兩個側(cè)面研究系統(tǒng)的運動，維納還從信息的觀點研究反饋控制的本質(zhì)。從此人們對反饋和信息有了較深刻的理解。72

自動控制理論學(xué)科的發(fā)展經(jīng)歷了以下三個時期。經(jīng)典控制理論時期現(xiàn)代控制理論時期智能控制理論時期3．自動控制理論的發(fā)展經(jīng)歷和研究內(nèi)容

73(1)“經(jīng)典控制理論”時期經(jīng)典控制理論形成于20世紀(jì)20～50年代，它以拉氏變換或z變換為數(shù)學(xué)工具，以傳遞函數(shù)或z傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，主要研究單輸入、單輸出自動控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計問題?；緝?nèi)容包括時域分析法、根軌跡法、頻率特性法、相平面分析和描述函數(shù)法等。經(jīng)典控制理論雖然能夠較好地解決單輸入單輸出反饋控制系統(tǒng)的問題，但它具有明顯的局限性，突出的是難以有效地應(yīng)用于時變系統(tǒng)和多變量系統(tǒng)，也難以揭示系統(tǒng)更為深刻的特性。74(2)“現(xiàn)代控制理論”時期現(xiàn)代控制理論形成于20世紀(jì)50～70年代。這個時期由于計算機技術(shù)、航空航天技術(shù)的迅速發(fā)展，控制理論有了重大的突破和創(chuàng)新。它所研究的對象不再局限于單變量的、線性的、定常的、連續(xù)的系統(tǒng)，而擴展為多變量的、非線性的、時變的、離散的系統(tǒng)?，F(xiàn)代控制理論以線性代數(shù)和微分方程為主要數(shù)學(xué)工具，以狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)，研究多輸入、多輸出、時變、非線性等自動控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計問題。75

基本內(nèi)容包括線性系統(tǒng)基本理論、系統(tǒng)辨識、最優(yōu)控制理論、自適應(yīng)控制理論和最佳濾波理論等。所謂狀態(tài)空間法，本質(zhì)上是一種時域分析方法，它不僅描述了系統(tǒng)的外部特性，而且揭示了系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)和性能?，F(xiàn)代控制理論分析和綜合系統(tǒng)的目標(biāo)是在揭示其內(nèi)在規(guī)律的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)系統(tǒng)在某種意義上的最優(yōu)化，同時使控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不再限于單純的閉環(huán)形式。

76(3)“智能控制理論”時期智能控制的發(fā)展始于20世紀(jì)60年代，它是一種能更好地模仿人類智能、能適應(yīng)不斷變化的環(huán)境、能處理多種信息以減少不確定性、能以安全可靠的方式進行規(guī)劃、產(chǎn)生和執(zhí)行控制作用、獲得系統(tǒng)全局最優(yōu)的性能指標(biāo)的非傳統(tǒng)的控制方法。智能控制理論是自動控制理論發(fā)展的高級階段。它突破了傳統(tǒng)的控制中對象有明確的數(shù)學(xué)描述和控制目標(biāo)是可以數(shù)量化的限制。它的基本內(nèi)容包括專家控制理論、模糊控制理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制理論和進化控制理論等。77

自動控制理論經(jīng)過經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論和智能控制理論三個階段的發(fā)展，產(chǎn)生了PID控制、自適應(yīng)控制、最優(yōu)控制、預(yù)測控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、多變量控制、智能控制等適用于不同對象環(huán)境的控制算法，而控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)也從單一對象閉環(huán)控制系統(tǒng)，逐步發(fā)展到單一對象多環(huán)控制系統(tǒng)、多變量控制系統(tǒng)、分級控制系統(tǒng)、集散控制系統(tǒng)及綜合自動化系統(tǒng)和復(fù)雜控制系統(tǒng)。78本章小結(jié)自動控制是指在沒有人直接參與的情況下，利用控制裝置使被控對象中某一物理量或數(shù)個物理量準(zhǔn)確地按照預(yù)定的要求規(guī)律變化。自動控制系統(tǒng)的基本要求是在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，穩(wěn)態(tài)精度要高，動態(tài)響應(yīng)要快，這些要求可以歸結(jié)為穩(wěn)、準(zhǔn)、快三個字。自動控制理論研究的主要內(nèi)容是闡述對自動控制系統(tǒng)進行分析和設(shè)計的基本理論。自動控制理論由經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論和智能控制理論組成。其中經(jīng)典控制理論以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，主要研究單輸入、單輸出自動控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計問題。

79第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型目錄2-l

微分方程2-2

傳遞函數(shù)

2-3

結(jié)構(gòu)圖

2-4

信號流圖

2-5

利用MATLAB描述和求解系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型80

自動控制理論以自動控制系統(tǒng)為研究對象，無論是對控制系統(tǒng)進行分析還是對校正裝置進行綜合，都需要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

所謂數(shù)學(xué)模型是指能夠描述系統(tǒng)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。工程系統(tǒng)一般都是動態(tài)系統(tǒng)，時域內(nèi)連續(xù)時間集中參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是反映系統(tǒng)輸入量和輸出量之間關(guān)系的微分方程。81

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型不是惟一的，根據(jù)不同的建模目的可以建立不同的數(shù)學(xué)模型，即使對于相同的建模目的也可以建立不同形式的數(shù)學(xué)模型，對于工程上常見的線性定常連續(xù)系統(tǒng)，常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表達式、結(jié)構(gòu)圖和信號流圖等。822-l微分方程建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有解析法和實驗法兩種。解析法也稱機理分析法，屬于理論建模的范疇，是通過分析控制系統(tǒng)的工作原理，利用系統(tǒng)各組成部分所遵循的物理學(xué)基本定律來建立變量之間的關(guān)系式。實驗法也稱實驗辨識法，是通過實驗對系統(tǒng)在已知輸入信號作用下的輸出響應(yīng)數(shù)據(jù)進行測量，利用模型辨識方法，來建立反映輸入量和輸出量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。83

一般只有較簡單的系統(tǒng)可以通過機理分析法建立其數(shù)學(xué)模型，大多數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型還需要通過實驗法獲得，這里只是為了滿足系統(tǒng)分析和系統(tǒng)綜合的需要，從認(rèn)識數(shù)學(xué)模型和理解不同數(shù)學(xué)模型之間轉(zhuǎn)換關(guān)系的角度出發(fā)，介紹通過機理分析建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法。

84用解析法建立控制系統(tǒng)微分方程的一般步驟：1)確定系統(tǒng)的輸入量（包括擾動量）和輸出量，引入必要的中間變量；2)分析系統(tǒng)的工作原理，根據(jù)系統(tǒng)運動過程中各個部分所遵循的物理學(xué)基本定律建立描述變之間關(guān)系的方程式；3)將上面這些關(guān)系式聯(lián)立起來，消去中間變量，并寫成微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式；4)必要時將所得微分方程的系數(shù)整理并表示為具有一定物理意義的量（如時間常數(shù)等）。85

復(fù)雜系統(tǒng)是由一些簡單裝置按照一定的方式聯(lián)結(jié)起來構(gòu)成的，在已建立系統(tǒng)各組成部分的微分方程基礎(chǔ)上，依據(jù)它們在系統(tǒng)中的連接關(guān)系消去中間變量，并寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，就是描述系統(tǒng)總的輸入和總的輸出之間關(guān)系的微分方程。需要注意的是：在對系統(tǒng)組成部分進行劃分時，只有不存在負載效應(yīng)的前后兩級才能夠分開建立各自的數(shù)學(xué)模型，對于有負載效應(yīng)的前后兩級，由于后一級的存在會對前一級的運動狀態(tài)產(chǎn)生影響，所以只能作為一個整體建模。當(dāng)負載效應(yīng)很小或串聯(lián)的兩級之間有隔離放大器時，可不考慮負載效應(yīng)。861.電氣系統(tǒng)

電氣系統(tǒng)中最常見的是由電阻元件、電容元件、電感元件以及運算放大器等組成的無源或有源電路，也稱電氣網(wǎng)絡(luò)。2.1.1微分方程的建立

例2-1

圖2-1所示為典型的RLC串聯(lián)電路，以ui(t)為輸入量，uo(t)為輸出量。列寫該電路的微分方程。C＋＋－－

圖2-1RLC串聯(lián)電路87

整理，可得描述系統(tǒng)輸入量和輸出量之間關(guān)系的微分方程解：引入回路電流作為中間變量，列寫變量關(guān)系方程令——二階線性定常系統(tǒng)（2-3）88選擇電容器極板上的電荷量q作為輸出量代入式（2-3）中，可得（2-6）電感值為零時——常用的RC濾波網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型：892.機械系統(tǒng)

機械系統(tǒng)是指存在有機械運動的裝置，典型的機械位移系統(tǒng)由質(zhì)量、彈簧和阻尼器構(gòu)成。例2-2

圖2-2所示由質(zhì)量、彈簧和阻尼器構(gòu)成得機械位移系統(tǒng)。其中m為物體的質(zhì)量，k為彈簧的彈性系數(shù)，f為阻尼器的阻尼系數(shù)。要求確定外力F(t)為輸入量，位移y(t)為輸出量時，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。解：質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)m（2-9）（2-10）90（2-12）（2-11）根據(jù)牛頓第二定律，可以寫出物體的受力平衡方程為

將式（2-9）和式（2-10）帶入式（2-11）中，消去中間變量并將所得方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，有顯然，這也是一個二階線性定常系統(tǒng)。91（2-12）（2-4）

比較式（2-4）和式（2-12）可以看出，兩個不同性質(zhì)的物理系統(tǒng)可以具有相同的數(shù)學(xué)模型來。

像這樣具有相同數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)我們稱之為相似系統(tǒng)，稱相似系統(tǒng)中位于對應(yīng)位置上的物理量為相似量。根據(jù)相似系統(tǒng)的輸入變量對相似系統(tǒng)進行分類：力-電壓相似系統(tǒng)、力-力矩相似系統(tǒng)、力-電流相似系統(tǒng)等。923.熱力系統(tǒng)

凡是包含有能將熱量從一種物質(zhì)傳遞到另一種物質(zhì)過程的稱為熱力系統(tǒng)。例2-3圖2-3所示熱力系統(tǒng)，要求建立平衡狀態(tài)下，輸入到系統(tǒng)的熱流量（由加熱器提供熱量）改變量為hi、其它因素不變時，輸出液體溫度的改變量θ與hi的關(guān)系方程。假設(shè)：1.容器處于隔絕狀態(tài)，不向周圍的空氣散發(fā)熱量；2.容器中的液體混合均勻，液體中各點的溫度是相同的；3.表示變量的符號為建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

圖2-3熱力系統(tǒng)93θi——流入容器液體的穩(wěn)態(tài)溫度(oC)θo——流出容器液體的穩(wěn)態(tài)溫度(oC)G——穩(wěn)態(tài)液體的流量(kg/s);M——容器內(nèi)的液體質(zhì)量(kg)c——液體的比熱(千卡/kg.oC);R

——熱阻(oC.s/千卡)C——熱容(千卡/oC);H——穩(wěn)態(tài)時輸入的熱流量(千卡/s)解：根據(jù)熱力學(xué)基本定律，有聯(lián)立方程，消去中間變量ho，可得944.液位系統(tǒng)出水流量Q2

圖2-4液位控制系統(tǒng)示意圖閥門目標(biāo)水位H0實際水位H進水流量Q1

例2-4考慮圖2-4所示液位控制系統(tǒng)，其中水箱水位H為被控量，忽略次要因素，引起水箱水位變化的物理量主要是輸入流量Q1和負載流量Q2。試確定該系統(tǒng)，節(jié)流閥開度一定時水箱水位與輸入流量的關(guān)系方程。95解：根據(jù)物質(zhì)守恒定律，列出液位系統(tǒng)流體過程的關(guān)系方程——非線性微分方程式中，A為容器截面積。當(dāng)節(jié)流閥開度一定時，通過包含連接導(dǎo)管和容器的液體流量為式中，K為節(jié)流閥的流量系數(shù)。將式（2-18）代入（2-17）中可得水箱水位與進水流量的關(guān)系方程（2-17）（2-18）965.直流電動機調(diào)速系統(tǒng)功率放大器＋＋＋－－電動機負載運算放大器Ⅰ運算放大器Ⅱ電位器測速發(fā)電機＋－ωuf反饋連接ugu1u2Mc圖2-5轉(zhuǎn)速自動控制系統(tǒng)原理圖····例2-5

圖2-5所示為一直流調(diào)速系統(tǒng)，其中執(zhí)行機構(gòu)是一臺電樞控制的他勵直流電動機，利用測速發(fā)電機實現(xiàn)速度的負反饋，圖中ω為電動機轉(zhuǎn)速，Mc為折合到電動機軸上的總負載轉(zhuǎn)矩，Ua為電動機電樞電壓，建立系統(tǒng)的微分方程。97運算放大器運算放大器功率放大器電動機測速機ugufueu1u2uaωMc＋－

圖2-6轉(zhuǎn)速自動控制系統(tǒng)方塊圖·解：直流調(diào)速系統(tǒng)中，電動機和負載組成廣義被控對象，系統(tǒng)輸出量為電動機轉(zhuǎn)速ω，ug為給定輸入，Mc是擾動作用。系統(tǒng)由輸入電位器、運算放大器I、運算放大器II、控制對象和反饋部分組成。運算放大器I起信號求差作用；運算放大器II起校正作用，它使系統(tǒng)穩(wěn)定工作且有較好的動態(tài)性能，圖2-6所示為該系統(tǒng)的方框圖。981）運算放大電路I：2）運算放大電路II：3）功率放大器：（2-19）（2-20）（2-21）

電樞控制的他激直流電動機原理圖如圖2-7所示。

4）電動機：99__電氣時間常數(shù)(s)__機電時間常數(shù)__電壓作用系數(shù)__轉(zhuǎn)矩作用系數(shù)（2-27）聯(lián)立式（2-22）~式（2-25），消去中間變量，可得與轉(zhuǎn)速ω與電樞電壓ua以及負載擾動Mc的關(guān)系方程為整理可得1005）發(fā)電機測速反饋部分：（2-28）合并式（2-19）~（2-21）和式（2-27）、式（2-28），可得（2-29）進一步整理，并令；，則有101

被控量ω，既受到給定輸入量Ug的控制也受擾動量Mc變化的影響。由于線性系統(tǒng)符合疊加原理，即Ug和Mc共同作用下系統(tǒng)的輸出響應(yīng)等于它們各自單獨作用下系統(tǒng)響應(yīng)的疊加，所以式（2-30）也可表示成下面的兩個方程，即Ug單獨作用下（Mc=0）的系統(tǒng)微分方程和Mc單獨作用下（Ug=0）的系統(tǒng)微分方程102

上述系統(tǒng)微分方程建立中，不同類型系統(tǒng)可具有形式相同的數(shù)學(xué)模型，這些具有形式相同數(shù)學(xué)模型的相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系，當(dāng)這些相似系統(tǒng)中相似的參數(shù)取同樣的數(shù)值、輸入變量具有相同的函數(shù)形式時，這兩個系統(tǒng)輸出量的變化規(guī)律是相同的。因此，利用相似系統(tǒng)的概念，可以用一個易于實現(xiàn)的系統(tǒng)來研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng)。相似系統(tǒng)的理論也是控制系統(tǒng)仿真研究法的依據(jù)。103

一般情況下，描述線性定常連續(xù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程，可表示為（2-33）

式中，r(t)為輸入量，y(t)為輸出量，ai(i=0,1,2,…,n)和bj(j=0,1,2,…,m)是由系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定的系數(shù)，實際系統(tǒng)中這些系數(shù)都是實數(shù)，且104

從微分方程式可以看出，若電動機處于平衡狀態(tài)，變量的各階導(dǎo)數(shù)均為零，則微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程，式（2-27）表示的電動機轉(zhuǎn)速與電樞電壓及負載轉(zhuǎn)矩的關(guān)系為2.1.2微分方程的增量表示

這是平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的輸入量和輸出量之間的關(guān)系方程，稱為靜態(tài)特性方程，也稱靜態(tài)數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的靜態(tài)數(shù)模模型是一個代數(shù)方程，也可以用關(guān)系曲線來表示，稱為靜態(tài)特性曲線。105

在恒轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)中，直流電動機的平衡狀態(tài)是一種恒定轉(zhuǎn)速的非零平衡狀態(tài)。這時輸出量和輸入量可表示為代入式（2-27）中，整理可得且有（2-36）

（2-35）

這是電動機微分方程在平衡狀態(tài)附近的增量化表示，描述的是平衡狀態(tài)附近變量的變化量之間的關(guān)系。位置隨動系統(tǒng)中，直流電動機的平衡狀態(tài)就是零平衡狀態(tài)，增量本身就是變量。

106

在構(gòu)成控制系統(tǒng)的各部分中只要有一個非線性環(huán)節(jié)，這部分的微分方程就是非線性的，致使得出整個系統(tǒng)的微分方程是非線性微分方程。事實上，任何一個元件都存在有非線性，只是非線性的程度不同而已，因此，嚴(yán)格意義上講實際系統(tǒng)的微分方程都是非線性的，但由于非線性微分方程不像線性微分方程那樣有一個統(tǒng)一的求解方法，這給控制系統(tǒng)的分析帶來很大的困難。如果我們能夠在提出合理假設(shè)的前提條件下或在一定的范圍內(nèi)對非線性微分方程進行線性化處理，得到非線性系統(tǒng)的線性化微分方程，這樣就可以將線性系統(tǒng)的理論應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的研究中。2.1.3非線性數(shù)學(xué)模型的線性化

107

非線性特性線性化的基本思路是在控制系統(tǒng)工作在一個平衡狀態(tài)附近工作時，在平衡狀態(tài)處將非線性特性展開用泰勒級數(shù)表示，若系統(tǒng)在工作中滿足偏離靜態(tài)工作點不大的條件，則可忽略泰勒級數(shù)表示中偏差的那些非線性項，用只含有偏差線性項的關(guān)系式近似表示工作點附近的非線性特性。幾何上表現(xiàn)為在靜態(tài)工作點處的小范圍內(nèi)用工作點處的切線代替實際的非線性特性曲線來對系統(tǒng)進行分析。因此，在對非線性特性微分方程進行線性化時，應(yīng)滿足下面幾個基本假定：1081）非線性環(huán)節(jié)具有靜態(tài)非線性特性，即式中，x、y分別表示非線性環(huán)節(jié)的輸入量和輸出量，非線性函數(shù)f(.)連續(xù)且各階導(dǎo)數(shù)存在。。xyy2y1y0x1x0x2圖2-8非線性函數(shù)的線性化2）控制系統(tǒng)有一個額定的工作狀態(tài)，即系統(tǒng)有一個靜態(tài)工作點（平衡狀態(tài)），如圖2-8中的A(x0,y0)。3）系統(tǒng)工作過程中，自變量偏離工作點的偏差量Δx很小，即滿足微偏條件。

109

將式（2-39）表示的非線性特性在圖2-8中的A點處展開成泰勒級數(shù)，有而且還滿足當(dāng)上述三個條件滿足時，系統(tǒng)中的變量可表示為110當(dāng)滿足微偏條件，即（x-x0）的高階項很小時，可忽略，所以有式中，是一個與工作點有關(guān)的常數(shù)。

線性化后的系統(tǒng)方程是增量形式的方程，在求取系統(tǒng)總的數(shù)學(xué)模型時，構(gòu)成系統(tǒng)的其它部分也要用增量形式的方程表示，得到系統(tǒng)的線性化數(shù)學(xué)模型是一個增量形式的線性微分方程。為了方便，一般可略去增量符號，直接用x、y等來表示增量。將式（2-41）代入上式并整理，可得即111例2-6

三相橋式可控硅整流電路的輸入量為觸發(fā)器的控制角，輸出量為整流輸出電壓。控制角與整流輸出電壓之間的關(guān)系為：其中，是輸入交流電電壓的有效值。求其線性化數(shù)學(xué)模型。解：顯然，整流輸出電壓是觸發(fā)器的控制角的非線性連續(xù)函數(shù)，連續(xù)，且各階導(dǎo)數(shù)存在。設(shè)額定工作點為，當(dāng)系統(tǒng)在額定工作點附近工作時，可以在處將非線性函數(shù)展開成泰勒級數(shù)表示，有112寫成增量形式式中，是一個由工作點

在額定工作點附近的變化量不大，即很小時，可以忽略的高次項，得到控制角與輸出直流電壓線性關(guān)系式確定的常數(shù)。113

微分方程是在時域中描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型。在給定輸入和初始條件已知的情況下，直接對微分方程進行求解，可得系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。這種方法具有直觀、準(zhǔn)確的特點，但當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時，微分方程的求解將十分困難。雖然微分方程的解與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，但要找出兩者之間的這種對應(yīng)關(guān)系并不容易。另外，如果微分方程的解（即系統(tǒng)輸出響應(yīng)）不滿足設(shè)計要求，根據(jù)時域響應(yīng)確定系統(tǒng)應(yīng)有的結(jié)構(gòu)和參數(shù)幾乎是不可能的。114

傳遞函數(shù)是線性定常連續(xù)系統(tǒng)最重要的數(shù)學(xué)模型之一，是數(shù)學(xué)模型在復(fù)頻域內(nèi)的表示形式。利用傳遞函數(shù)，不必求解微分方程就可以求取初始條件為零的系統(tǒng)在任意形式輸入信號作用下的的輸出響應(yīng)，還可以研究結(jié)構(gòu)和參數(shù)的變化對控制系統(tǒng)性能的影響。經(jīng)典控制理論的主要研究方法——根軌跡分析法和頻域分析法都是建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上的。2-2傳遞函數(shù)

1152.2.1傳遞函數(shù)的定義

傳遞函數(shù)定義為：零初始條件下，線性定常連續(xù)系統(tǒng)輸出量的拉氏變換像函數(shù)與輸入量的拉氏變換像函數(shù)之比。

控制系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型是時域內(nèi)的微分方程，n階系統(tǒng)微分方程的一般形式為116零初始條件下對微分方程進行拉氏變換則有若用G(s)表示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，則（2-50）117

顯然，傳遞函數(shù)是以復(fù)變量s為自變量、且具有有理分式形式的復(fù)變函數(shù)，傳遞函數(shù)的分母多項式對應(yīng)于微分方程等號左邊與輸出量有關(guān)的各項，且對應(yīng)項系數(shù)相同，只是用si代替了輸出量的i(i=0,1,2,…,n)階導(dǎo)數(shù)；分子多項式對應(yīng)于微分方程中等號右邊與輸入量有關(guān)的各項，且對應(yīng)項系數(shù)相同，只是用sj代替了輸入量的j(j=0,1,2,…,m)階導(dǎo)數(shù)。據(jù)此，傳遞函數(shù)可以由微分方程直接寫出。式（2-49）也可以寫作

（2-51）118

式（2-51）說明，若已知傳遞函數(shù)，利用傳遞函數(shù)可以求取在任意輸入信號作用下系統(tǒng)的時域響應(yīng)需要注意的是：1.傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，利用傳遞函數(shù)只能求取系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，是初始條件為零時系統(tǒng)的全響應(yīng)。當(dāng)初始條件不為零時，為求系統(tǒng)的全解還應(yīng)該考慮非零初始條件對系統(tǒng)輸出的影響。2.一個傳遞函數(shù)只能反映控制系統(tǒng)中的一個輸入量和一個輸出量之間的關(guān)系，如果系統(tǒng)的輸入量不止一個（如給定輸入和擾動輸入）或輸出量不止一個（如被控制量和偏差），那么就需要同時使用多個傳遞函數(shù)來描述系統(tǒng)。119

例2-7已知系統(tǒng)的微分方程為其中，u(t)是系統(tǒng)輸入變量；y(t)是系統(tǒng)輸出變量。求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解：在零初始條件下，對微分方程式兩邊同時進行拉氏變換，可求得故系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：120例2-8

圖2-9所示有源RC電路,假設(shè)電容兩端的初始電壓為零，求該電路的傳遞函數(shù)。

圖2-9運算放大電路＋－＋－（a）（b）解：用Z來表示運算放大電路的輸出運算阻抗121根據(jù)運算放大器反向輸入時的特性，可得122

例2-9已知例2-5轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的微分方程（式（2-19）~（2-21）、式（2-27）和式（2-28）），寫出各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：微分方程式兩邊同時進行拉氏變換，可求得系統(tǒng)各組成部分的傳遞函數(shù)。1.運算放大電路I：2.運算放大電路II：故有1233.功率放大器：4.電動機：故有對式（2-27）進行拉氏變換，當(dāng)初始條件為零時有124可得轉(zhuǎn)速對應(yīng)電樞電壓的傳遞函數(shù)為1)當(dāng)2)當(dāng)可得轉(zhuǎn)速對應(yīng)負載轉(zhuǎn)矩的傳遞函數(shù)為時，負載擾動單獨作用下電動機轉(zhuǎn)速時，電樞電壓單獨作用下電動機轉(zhuǎn)速125

根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，電樞電壓和負載擾動共同作用下，電動機的轉(zhuǎn)速為5.測速發(fā)電機連同分壓器的傳遞函數(shù)可得由式（2-28）得126

式（2-53）~式（2-59）為速度控制系統(tǒng)各組成部分的傳遞函數(shù)，合并系統(tǒng)各組成部分傳遞函數(shù)，可得到整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。式（2-53）~式（2-55）代入式（2-58）中，可得再將式（2-59）代入式（2-60）中整理，可得127____系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)速對應(yīng)給定輸入的傳遞函數(shù)____系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)速對應(yīng)負載轉(zhuǎn)矩的傳遞函數(shù)128

在求取傳遞函數(shù)時，一般都要先列寫微分方程，但對于電氣網(wǎng)絡(luò)來說，可以采用電路理論中運算阻抗的概念和方法，對于輸入輸出變量均為電壓的電路網(wǎng)絡(luò)，電壓之比等于對應(yīng)的運算阻抗之比。

合并系統(tǒng)各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)時，也可以先畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，然后再利用結(jié)構(gòu)圖的等效變換求取控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及結(jié)構(gòu)圖的等效變化方法將在下一節(jié)中討論。129

利用傳遞函數(shù)分析系統(tǒng)時，不同的分析方法中往往采用傳遞函數(shù)的不同表示形式，常用的有三種：有理真分式形式、零-極點表示形式和時間常數(shù)表示形式2.2.2傳遞函數(shù)的常用形式

1.有理真分式形式

130傳遞函數(shù)的零點，也稱環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的零點2.傳遞函數(shù)的零-極點表示形式傳遞函數(shù)的極點，也稱環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的極點（2-61）131共軛復(fù)數(shù)零點為共軛復(fù)數(shù)極點為（2-62）

這里zj和pi可能是實數(shù)，也可能是成對出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)。通常在傳遞函數(shù)的零-極點表示中將一對共軛復(fù)數(shù)的一階因子合并用一個系數(shù)為實數(shù)的二階因子表示，并考慮傳遞函數(shù)中有v個等于0的極點，那么式（2-61）可寫為132

將式（2-62）所示傳遞函數(shù)零-極點表示形式中各簡單因子的常數(shù)項整理成1，可得式中，τi、τk為分子各因子的時間常數(shù)；Tj、Tl為分母各因子的時間常數(shù)；K為傳遞系數(shù)，也稱放大系數(shù)。時間常數(shù)和實數(shù)零點、極點以及二階因子參數(shù)之間的關(guān)系為（2-63）3.傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表示形式，，，133放大系數(shù)和根軌跡增益之間的關(guān)系為（2-64）1341．作為一種數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，這是由于傳遞函數(shù)是經(jīng)拉普拉斯變換導(dǎo)出的，而拉氏變換是一種線性積分運算。2.2.3傳遞函數(shù)的特點

2．傳遞函數(shù)是以系統(tǒng)本身的參數(shù)描述的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量的關(guān)系式，它表達了系統(tǒng)內(nèi)在的固有特性，只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，而與輸入量或輸入函數(shù)的形式無關(guān)。1353．傳遞函數(shù)可以是無量綱的，也可以是有量綱的，視系統(tǒng)的輸入、輸出量而定，它包含著聯(lián)系輸入量與輸出量所必須的單位，它不能表明系統(tǒng)的物理特性和物理結(jié)構(gòu)。許多物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，有著相同的傳遞函數(shù)，正如一些不同的物理現(xiàn)象可以用相同的微分方程描述一樣。4．傳遞函數(shù)只表示單輸入和單輸出(SISO)之間的關(guān)系，對多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，可用多個傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)陣表示。5．傳遞函數(shù)的零、極點完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。將傳遞函數(shù)的零、極點標(biāo)在復(fù)平面上，則得傳遞函數(shù)的零極點分布圖，其中零點用“o”表示，極點用“×”表示。傳遞函數(shù)的零極點分布決定系統(tǒng)響應(yīng)的過渡過程。1366．傳遞函數(shù)分母多項式稱為特征多項式，記為而D(s)=0稱為特征方程。傳遞函數(shù)分母多項式的階次總是大于或等于分子多項式的階次，即n≥m，這是由于實際系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的慣性所造成的。7．傳遞函數(shù)的拉氏反變換是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)

單位脈沖響應(yīng)是在零初始條件下，線性系統(tǒng)對理想單位脈沖輸入信號的輸出響應(yīng)。此時，

即（2-66）所以有137例2-10已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)。解：根據(jù)式（2-66）有1382.2.4典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

自動控制系統(tǒng)是由一些元件或裝置組合而成的，這些有著不同物理結(jié)構(gòu)和作用原理的元件裝置卻可能具有相同的傳遞函數(shù)，也就具有了相同的動態(tài)性能。從方便研究控制系統(tǒng)動態(tài)性能的角度考慮，我們可以按照傳遞函數(shù)的形式去劃分環(huán)節(jié)。式（2-62）和式（2-63）將傳遞函數(shù)寫成了實系數(shù)最簡因子的乘積形式。這些最簡因子就是典型環(huán)節(jié)對應(yīng)的傳遞函數(shù)，線性定常系統(tǒng)中的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、二階振蕩環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。139

屬于同一典型環(huán)節(jié)的元件裝置，它們的物理過程可以有很大的差異，但其運動規(guī)律卻是相同的。任何一個系統(tǒng)傳遞函數(shù)都可以寫成典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積形式.

需要指出的是：典型環(huán)節(jié)是根據(jù)數(shù)學(xué)模型劃分的，和構(gòu)成系統(tǒng)的實際環(huán)節(jié)一般沒有一一對應(yīng)關(guān)系。一個簡單的系統(tǒng)可能就是一個典型環(huán)節(jié)，而一個復(fù)雜的環(huán)節(jié)，其數(shù)學(xué)模型可能包含多個典型環(huán)節(jié)。140比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1.比例環(huán)節(jié)

實際中分壓器、測速發(fā)電機、忽略彈性變形后的杠桿以及不考慮非線性和慣性的電子放大器等都可以近似地認(rèn)為是比例環(huán)節(jié)。

比例環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量成一定比例，時域中的的數(shù)學(xué)模型是一個代數(shù)方程141積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的輸出量是輸入量的積分。時域中輸出量和輸入量之間的關(guān)系表示為

在單位階躍輸入信號，即或作用下，積分環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)如圖2-10（a）所示，輸出隨時間變化直線上升。積分環(huán)節(jié)在處有一個極點，在復(fù)平面上用“×”表示,見圖2-10（b）。1423.慣性環(huán)節(jié)T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)

一階慣性環(huán)節(jié)的輸出量和輸入量之間的關(guān)系為一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為式中，143

慣性環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)是單調(diào)上升的是非周期過程，因而也稱慣性環(huán)節(jié)為非周期環(huán)節(jié)。

圖2-11慣性環(huán)節(jié)(b)×0-1/T0tr(t)0.632斜率1/T

r(t)y(t)1(a)[s]j

在單位階躍輸入信號，即或作用下，一階慣性環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)y(t)如圖2-11（a）所示，y(t)上升過程是非周期的，因而也稱一階慣性環(huán)節(jié)為非周期環(huán)節(jié)。一階慣性環(huán)節(jié)在s平面上的極點為，見圖2-11（b）。

1444.二階振蕩環(huán)節(jié)式中,ζ-阻尼系數(shù)或阻尼比;T-時間常數(shù);二階環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量之間的關(guān)系為二階環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)或:為無阻尼自然振蕩頻率時，二階環(huán)節(jié)是兩個慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積，而當(dāng)時，二階環(huán)節(jié)在單位階躍輸入信號作用下的輸出響應(yīng)如圖2-12（a）所示145

此時二階環(huán)節(jié)的輸出量呈現(xiàn)衰減的振蕩形式，二階振蕩環(huán)節(jié)因此得名。二階振蕩環(huán)節(jié)的極點在s平面上的位置如圖2-12（b）所示。

圖2-12振蕩環(huán)節(jié)（a）0tr(t)y(t)r(t)y(t)××0（b）j[s]1465.微分環(huán)節(jié)相應(yīng)的傳遞函數(shù)：

微分環(huán)節(jié)的特點是輸出量與輸入量的導(dǎo)數(shù)成比例關(guān)系。按方程式的不同，微分環(huán)節(jié)有三種，即純微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)（也叫比例微分環(huán)節(jié)）和二階微分環(huán)節(jié)。它們的微分方程分別為

相應(yīng)的傳遞函數(shù)：147

微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)只有零點而無極點。純微分環(huán)節(jié)的零點為0，一階微分環(huán)節(jié)的零點是一個實數(shù)而二階微分環(huán)節(jié)的零點是一對共軛復(fù)數(shù)。

由于微分環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量的各階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，因此能夠預(yù)示輸入信號的變化趨勢，常常被用來改善控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。

純微分環(huán)節(jié)在實際中是得不到的，因為在實際系統(tǒng)或元件中慣性是普遍存在的，所以實際的微分環(huán)節(jié)常帶有慣性。其傳遞函數(shù)為148

在單位階躍輸入信號作用下，理想純微分環(huán)節(jié)和實際純微分環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)分別如圖2-13（a）、（b）所示。圖2-13純微分環(huán)節(jié)階躍響應(yīng)（a）（b）y(t)y(t)圖2-14RC微分電路

圖2-14所示RC電路的傳遞函數(shù)為式中，T=RC為電路的時間常數(shù)；顯然只有當(dāng)T足夠小時，電路才近似為純微分環(huán)節(jié)。

1496.延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)的輸出量在經(jīng)過延遲時間后復(fù)現(xiàn)輸入量τ圖2-15延遲環(huán)節(jié)的輸入和輸出響應(yīng)

過程控制系統(tǒng)中，燃料從輸入口到輸出口有傳輸時間，介質(zhì)壓力和質(zhì)量在管道中傳播有傳播延遲，在晶閘管整流裝置中，晶閘管一旦被觸發(fā)，就有一段失控時間，在這段時間內(nèi)即便控制電壓發(fā)生變化，也不會影響輸出，只有在晶閘管的下一個觸發(fā)脈沖到來時，才能反映新的控制作用等，都可以看成是延遲環(huán)節(jié)。

150

結(jié)構(gòu)圖是動態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡稱，也稱方框圖或框圖等。結(jié)構(gòu)圖利用方框、信號線、信號的相加點和信號的分支點等符號直觀地反映控制系統(tǒng)的組成、控制系統(tǒng)各組成部分之間的連接關(guān)系以及系統(tǒng)中信號的傳遞方向和運算關(guān)系等。通過結(jié)構(gòu)圖的簡化，可以獲得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，也可以求取系統(tǒng)在任意輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。2-3結(jié)構(gòu)圖

1512.3.1結(jié)構(gòu)圖的繪制

在如圖1-3所示的控制系統(tǒng)方框圖中，將系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)填寫在對應(yīng)的方框中，得到的就是傳遞函數(shù)方框圖，即結(jié)構(gòu)圖。

結(jié)構(gòu)圖是小到構(gòu)成系統(tǒng)的元件、裝置，大到整個控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的圖形化表示，其中填寫了傳遞函數(shù)的方框稱為一個函數(shù)框，函數(shù)框和與它相連的信號線構(gòu)成了結(jié)構(gòu)圖的基本單元，圖2-16所示結(jié)構(gòu)圖基本單元反映變量的變換關(guān)系為圖2-16結(jié)構(gòu)圖基本單元152

繪制控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖除利用以上方法外，也可利用系統(tǒng)各組成部分的微分方程得到，其一般步驟為：1）列寫控制系統(tǒng)各組成部分的微分方程，零初始條件進行拉氏變換，寫出表示各環(huán)節(jié)輸出量與輸入量之間關(guān)系的方程式。輸出量寫在等式左邊，輸入量寫在等式的右邊。輸入量要在至少一個方程的右邊出現(xiàn)，除輸入量外，在某方程右邊出現(xiàn)的中間變量，一定要在另外方程的左邊出現(xiàn)。2）根據(jù)上述關(guān)系繪制結(jié)構(gòu)圖的基本單元。3）將各結(jié)構(gòu)圖基本單元相同的信號線連接起來，即可獲得控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。153例2-11圖2-17所示兩級RC濾波網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)電路。繪制該電氣網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。

需要注意的是：結(jié)構(gòu)圖是數(shù)學(xué)模型的圖形化表示，只反映信號的傳遞和運算關(guān)系，并不代表真實系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)。建模過程中，中間變量選擇不同，將導(dǎo)致系統(tǒng)有不同的結(jié)構(gòu)圖，但由結(jié)構(gòu)圖簡化得到的系統(tǒng)輸入量輸出量之間的關(guān)系是相同的。154解：引入中間變量利用運算電路和運算阻抗的概念，從輸入量開始列寫各變量之間的關(guān)系式155（2-69）即

將各變量之間的微分方程進行拉氏變換，得到其像函數(shù)關(guān)系式。156

繪制各關(guān)系式對應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖157

將有輸入變量和輸出變量的結(jié)構(gòu)圖，分別放在最左邊和最右邊158

圖中用虛線框框起來的部分是式（2-69）中與各關(guān)系式對應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖。圖2-18RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

將相同的信號線連接起來可得圖2-17所示兩級RC濾波網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)電路的結(jié)構(gòu)圖，如圖2-18所示。159

結(jié)構(gòu)圖清楚地反映了控制系統(tǒng)中各變量之間的關(guān)系，利用結(jié)構(gòu)圖求其系統(tǒng)傳遞函數(shù)時，總是要對結(jié)構(gòu)圖進行簡化，簡化到一個輸入量和一個輸出量之間只剩一個函數(shù)方框時，方框里的傳遞函數(shù)就是對應(yīng)輸入量和輸出量之間的傳遞函數(shù)。結(jié)構(gòu)圖的簡化應(yīng)遵循等效原則，即變換前后各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變。結(jié)構(gòu)圖等效變換的數(shù)學(xué)實質(zhì)是在結(jié)構(gòu)圖上進行運算，消去中間變量。簡化的過程表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)圖上是環(huán)節(jié)的合并以及信號相加點和信號分支點的消除