初中數(shù)學(xué)教學(xué)中推理能力的培養(yǎng)-以全等三角形

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中推理能力的培養(yǎng)--以全等三角形為例目錄TOC\o"1-3"\h\u152551緒論 緒論1.1研究背景在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，提出了“推理能力”這一關(guān)鍵詞，并在總體目標(biāo)中指出，要使學(xué)生“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法?！盵11]在三個(gè)學(xué)段的目標(biāo)中，也系統(tǒng)闡述了有關(guān)培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生推理能力的問題。在新一輪數(shù)學(xué)課程改革剛剛開始時(shí)，推理能力的培養(yǎng)就被作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的核心目標(biāo)之一被提出。隨著時(shí)代的發(fā)展，推理能力這一關(guān)鍵詞在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也有了更多更新的、與時(shí)代相結(jié)合的特征。推理能力有多種分類，可以分為代數(shù)推理能力和幾何推理能力兩大部分。其中，幾何推理能力在義務(wù)教育階段是一個(gè)非常重要的素養(yǎng)，對于學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、其他學(xué)科的學(xué)習(xí)乃至生活的方方面面都有著重要的作用，對提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平有重要意義，是義務(wù)教育階段的主要任務(wù)之一。在幾何推理能力中，也包含有關(guān)于幾何的合情推理和演繹推理。同時(shí)，幾何推理能力還與核心素養(yǎng)中的其他素養(yǎng)，例如幾何直觀素養(yǎng)息息相關(guān)。1.2研究目的和意義本文基于幾何推理能力的構(gòu)成，旨在通過對具體教學(xué)案例“探究三角形全等的條件”的分析，對課堂教學(xué)中對于幾何推理能力培養(yǎng)方式方法進(jìn)行分析和總結(jié)，并找到其中存在的缺陷和問題。在相關(guān)理論的指導(dǎo)下尋找培養(yǎng)幾何推理能力的新方式和新途徑，并在具體教學(xué)中加以實(shí)施和改進(jìn)，總結(jié)得出有效的相關(guān)教學(xué)策略，最終根據(jù)幾何推理能力的構(gòu)成和教學(xué)策略制定一個(gè)優(yōu)化后的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。通過本研究，研究者希望總結(jié)得出關(guān)于幾何推理能力的有效教學(xué)策略，并對“探究三角形全等的條件”一課進(jìn)行優(yōu)化后的教學(xué)設(shè)計(jì)，包括具體有效的程序性操作和步驟，并對于測量和評價(jià)學(xué)生在幾何推理能力的培養(yǎng)和提高上產(chǎn)生一定的指導(dǎo)意義。同時(shí)可以給教師在具體教學(xué)操作上帶來一定的啟發(fā)和幫助，將幾何推理能力的培養(yǎng)落在課堂教學(xué)的實(shí)處，并能很好的觀察和測量。1.3核心概念1.3.1幾何推理能力推理是指個(gè)體在頭腦中根據(jù)已有的判斷，通過分析和綜合引出新判斷的過程。[1]而推理能力則是通過已有命題，經(jīng)過提煉、分析、總結(jié)、推理，得到一個(gè)新命題的能力。推理能力是一個(gè)較大的概念，涵蓋的范圍很廣，同時(shí)有多種類型和分類方式，可以按照推理的形式分類，分為演繹推理、歸納推理和類比推理，也可以按照推理的內(nèi)容分類，將其分為代數(shù)推理能力和幾何推理能力兩大部分。本文要論述的幾何推理能力又與義務(wù)教育階段十大數(shù)學(xué)關(guān)鍵概念中的幾何直觀有著密切聯(lián)系，建立在幾何課程的基礎(chǔ)上。幾何推理是課程改革中的一個(gè)重要概念，它替代了幾何證明，對于推理能力的發(fā)展起著不可替代的重要作用。推理能力是指從已知的理論或條件推導(dǎo)和判斷出新的理論和關(guān)系的能力，而本文中的幾何推理能力則是在幾何圖形中由已知的關(guān)系和條件推導(dǎo)和判斷未知的關(guān)系和結(jié)論。具體而言，幾何推理與幾何證明相似，但有所不同。幾何證明主要指相對嚴(yán)密的邏輯演繹推理，需要具備足夠多的給定條件和理論支持，才能對幾何問題進(jìn)行證明和求解。而幾何推理在處理問題時(shí)，對給定條件的要求相對較低，在已知條件的基礎(chǔ)上，大膽猜想、小心求證。因此幾何證明可以涵蓋在幾何推理中，是幾何推理中的較為嚴(yán)格、嚴(yán)密的部分。1.3.2教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)本身是指根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求和教學(xué)對象的特點(diǎn)，將教學(xué)中的各個(gè)要素按照一定順序進(jìn)行排列，最終確定合適的教學(xué)方案的設(shè)想和計(jì)劃。本文中的教學(xué)設(shè)計(jì)是根據(jù)幾何推理能力的構(gòu)成、針對幾何推理能力的培養(yǎng)，通過對所選案例的優(yōu)點(diǎn)和缺陷進(jìn)行分析和總結(jié)后，進(jìn)行的優(yōu)化后的“探究三角形全等的條件”的教學(xué)設(shè)計(jì)。本文中的教學(xué)設(shè)計(jì)中包括“探究三角形全等的條件”一課的教學(xué)目標(biāo)、任務(wù)分析、教學(xué)重難點(diǎn)、教學(xué)過程和板書設(shè)計(jì)。

2案例分析與研究“探究三角形全等的條件”一課是蘇教版初中數(shù)學(xué)教材七年級下冊的內(nèi)容，它是本冊教材第十一章“圖形的全等”中的內(nèi)容。在“圖形的全等”這一章節(jié)中首先學(xué)習(xí)了“全等圖形”、“全等三角形”，最后學(xué)習(xí)“探索三角形全等的條件”的內(nèi)容。而本次研究所選取的案例為“探索三角形全等的條件”一課的第一課時(shí)的內(nèi)容，學(xué)習(xí)的是三角形全等的第一個(gè)判定定理——兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡稱邊角邊定理（或SAS）。作為在學(xué)習(xí)了全等三角形定義后對全等三角形進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，為學(xué)習(xí)接下來的幾個(gè)判定定理起到關(guān)鍵性作用，決定了學(xué)習(xí)全等三角形判定定理的總體方向和思路，并為解決三角形全等的相關(guān)的幾何證明問題奠定基礎(chǔ)。本案例選自2020年9月，Y老師在某市GS中學(xué)八年級18班講授的“探索三角形全等的條件”第一課時(shí)。本案例能很好地體現(xiàn)課堂教學(xué)中有重點(diǎn)地對幾何推理能力的培養(yǎng)，幾何推理能力構(gòu)成的各個(gè)組成部分的強(qiáng)化和培養(yǎng)都在教學(xué)中有所體現(xiàn)，并在教學(xué)過程中潛移默化地體現(xiàn)了相關(guān)有效的教學(xué)策略的實(shí)施。2.1舊知回顧回顧上節(jié)所學(xué)的三角形全等的定義和性質(zhì)，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的原有認(rèn)知。這一步帶給學(xué)生的是直觀上的感受和猜測，還需要有條理的驗(yàn)證和證明，而本節(jié)課所做的其實(shí)就是對此直觀感知的明確和驗(yàn)證。通過這一步的鋪墊，有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生幾何推理能力中幾何直觀的部分。片段一師：在上節(jié)課中，我們認(rèn)識(shí)了全等三角形。大家還記得全等三角形的定義和性質(zhì)嗎？請你來說說全等三角形的定義。生1：兩個(gè)能完全重合的三角形叫做全等三角形。師：很好，大家一起來說說，全等三角形的性質(zhì)是？生：對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。師：很好，那請問全等三角形有幾組對應(yīng)邊相等、幾組對應(yīng)角相等？生：各有三組。師：很好。再來看這個(gè)問題：已知△ABC≌△A’B’C’，△ABC的周長為10cm，AB=3cm，BC=4cm，則：A’B’= cm，B’C’= cm，A’C’= cm.讀題，讀完點(diǎn)學(xué)生立刻回答生2：A’B’=3cm，B’C’=4cm，A’C’=3cm.師：很好，這里我們運(yùn)用了全等三角形的？生：對應(yīng)邊相等的性質(zhì)。師：看樣大家上節(jié)課掌握的都不錯(cuò)。這節(jié)課我們要來探究三角形滿足什么樣的條件，可以證明它們?nèi)??；仡櫳瞎?jié)所學(xué)的三角形全等的定義和性質(zhì)，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的原有認(rèn)知。這一步帶給學(xué)生的是直觀上的感受和猜測，還需要有條理的驗(yàn)證和證明，而本節(jié)課所做的其實(shí)就是對此直觀感知的明確和驗(yàn)證。通過這一步的鋪墊，有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生幾何推理能力中幾何直觀的部分。這里缺乏一步點(diǎn)明，告知學(xué)生，現(xiàn)在要由已知兩個(gè)全等三角形學(xué)習(xí)其定義和性質(zhì)，反過來已知兩個(gè)三角形要證明它們?nèi)?。這樣既可以調(diào)動(dòng)和強(qiáng)化學(xué)生的已有知識(shí)，又能使學(xué)生產(chǎn)生一個(gè)初步的思考和探究方向，同時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、引發(fā)他們的思考，促進(jìn)幾何直觀能力的培養(yǎng)。2.2情境創(chuàng)設(shè)創(chuàng)設(shè)生活中的問題情境，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，體現(xiàn)幾何推理在日常生活中的重要性。借助生活情境中問題的解決思路和方向，從尋找最優(yōu)解的角度，自然的將探究的順序定為數(shù)據(jù)的從少到多，從而確定了接下來探究的方向，促進(jìn)學(xué)生的理解，也使學(xué)生在幾何推理方面的問題解決能力上有所提高。片段二師：我們一起來看這樣的一個(gè)情境：某公司接到一批三角形架的加工任務(wù)，客戶要求是所有的三角形必須全等?？蛻魹榱耸巩a(chǎn)品順利過關(guān)，提出了明確的要求：要逐一檢查三角形的三條邊、三個(gè)角是不是都相等。部門職員小王提出了質(zhì)疑：分別檢查三條邊、三個(gè)角這6個(gè)數(shù)據(jù)固然可以，但為了提高效率，是不是可以找到一個(gè)更好的方法，只量一個(gè)數(shù)據(jù)可以嗎？學(xué)生小聲討論和爭辯生：好像不可以。師：那么兩個(gè)數(shù)據(jù)呢？三個(gè)呢？學(xué)生討論和爭辯師：好，下面讓我們一起來探究。2.3探究活動(dòng)2.3.1初步探究按照數(shù)據(jù)由少到多的順序條理清晰、步驟明確地進(jìn)行探究，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不同情況下的清晰明了的分類討論，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在探究過程中，通過引導(dǎo)學(xué)生親身研究和體會(huì)要素之間的關(guān)系，能很好地培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力中的關(guān)系推理能力。片段三師：首先第一個(gè)活動(dòng)，只量一個(gè)數(shù)據(jù)，我們一起看看，是否能證明兩個(gè)三角形是否全等。只量一個(gè)數(shù)據(jù)可以有幾種情況呢？生：一條邊相等、一個(gè)角相等。教師板書分類，學(xué)生在學(xué)案上記筆記師：首先我們看如果一條邊對應(yīng)相等，我們發(fā)現(xiàn)：教師PPT展示同一條邊的不同三角形生：兩個(gè)三角形不一定全等。師：我們再來看如果一個(gè)角對應(yīng)相等，我們發(fā)現(xiàn)：教師PPT展示同一個(gè)角的不同三角形生：兩個(gè)三角形不一定全等。師：由此我們得到結(jié)論：滿足一個(gè)條件，也就是，只有一條邊或一個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形？生：不一定全等。教師板書結(jié)論，學(xué)生在學(xué)案上記筆記師：所以一個(gè)數(shù)據(jù)是不夠的。那么現(xiàn)在來看，如果只量兩個(gè)數(shù)據(jù)，首先我們應(yīng)該要分類討論一下，可以量哪兩個(gè)數(shù)據(jù)呢？請你來說。生2：兩個(gè)角對應(yīng)相等、兩條邊對應(yīng)相等、一個(gè)角和一條邊對應(yīng)相等。學(xué)生2邊說教師邊板書分類師：一個(gè)角和一條邊只有一種情況嗎？生2：兩種。一個(gè)角和其臨邊、一個(gè)角和其對邊。師：很好。教師板書補(bǔ)充分類師：首先我們看兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形，它們一定全等嗎？這兩個(gè)三角形有兩個(gè)角對應(yīng)相等，它們?nèi)葐?？教師PPT展示兩角相同的不同三角形生：不全等。師：所以，兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形？生：不一定全等。教師板書結(jié)論，學(xué)生在學(xué)案上記筆記師：如果兩條邊對應(yīng)相等呢？猜測一下是否能使兩個(gè)三角形全等、為什么？生：不能，兩條對應(yīng)相等的邊所夾的角變大變小，使得兩個(gè)三角形不全等。師：很好，我們一起來看PPT。教師PPT展示兩邊相同的不同三角形師：所以我們得到的結(jié)論是？生：兩條邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等。教師板書結(jié)論，學(xué)生在學(xué)案上記筆記師：那我們來看第三大類，一角一邊的情況下的第一種情況：三角形的一個(gè)內(nèi)角和其鄰邊分別相等。滿足這兩個(gè)條件的三角形一定全等嗎？自己設(shè)定一個(gè)邊的長度和一個(gè)角的角度畫畫看。學(xué)生討論、交流，嘗試畫出不同三角形教師在臺(tái)下走動(dòng)，觀察和指導(dǎo)學(xué)生師：請將你畫的三角形給大家展示一下。學(xué)生3上黑板展示畫出的三角形生3：我設(shè)定的邊長是3cm，角度是45°，可以畫出無數(shù)個(gè)三角形。師：所以你的結(jié)論是？生3：一個(gè)內(nèi)角及其鄰邊分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等。師：大家都得到了這個(gè)結(jié)論嗎？生：對！師：請看老師畫出的情況。教師PPT展示一角及其鄰邊相同的不同三角形師：所以，一個(gè)角和其鄰邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形？生：不一定全等。師：再看一角一邊相等的第二種情況：三角形的一個(gè)內(nèi)角和其對邊分別相等。同樣你可以試著畫畫看，這樣的兩個(gè)三角形全等嗎？請你上黑板畫畫看。學(xué)生4上黑板畫出確定一角和對邊的不同三角形師：他畫的對嗎？生：對！師：很好，因此我們得到結(jié)論？生：一個(gè)角及其對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等。教師板書結(jié)論，學(xué)生在學(xué)案上做筆記在這里存在的問題是，教師大多數(shù)時(shí)候?qū)W(xué)生需要探究的部分直接演示，學(xué)生并未親身經(jīng)歷探究的過程，首先會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對于探究所得到結(jié)論的理解停留在表面，缺乏深層次理解。由于此處要素較多、關(guān)系較復(fù)雜，學(xué)生僅觀察教師的操作，很難達(dá)到對每步操作的目的和方法深入理解，容易對要素之間的關(guān)系的理解產(chǎn)生錯(cuò)亂，從而不利于對關(guān)系推理能力的培養(yǎng)。2.3.2深入探究至此，本節(jié)課的新知識(shí)初步展現(xiàn)。由于元素較多，且元素之間關(guān)系較為復(fù)雜，此處教師有明顯的課堂節(jié)奏的調(diào)整，從而側(cè)重關(guān)系推理能力方面的培養(yǎng)。通過放慢節(jié)奏、搭建支架，步步引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生，從分類到探究，都有一定的啟發(fā)引導(dǎo)，并給出明確的方向。在此基礎(chǔ)上將內(nèi)容交由學(xué)生自己親自著手探究，使學(xué)生充滿學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，對所得到的結(jié)論更加理解和信服。這一步在要素之間的關(guān)系變復(fù)雜的過程中，將教師的主導(dǎo)性和學(xué)生的主體性充分結(jié)合，很好的提升了學(xué)生的關(guān)系推理能力，學(xué)生在關(guān)系探尋中發(fā)現(xiàn)和理解這些關(guān)系，建立解決問題的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)。片段四師：由此我們發(fā)現(xiàn)，測量兩個(gè)數(shù)據(jù)也不足以證明兩個(gè)三角形全等。由此可見：要使兩個(gè)三角形全等至少需要？生：三個(gè)元素對應(yīng)相等。師：三個(gè)元素對應(yīng)相等可以有多少種情況呢？我們知道，三角形一共有多少個(gè)元素？生：6個(gè)元素，包括三條邊和三個(gè)角。師：請你說說你是分了哪幾種情況？生：兩條邊一個(gè)角對應(yīng)相等、兩個(gè)角一條邊對應(yīng)相等、三條邊對應(yīng)相等、三個(gè)角對應(yīng)相等。教師邊聽邊板書分類，學(xué)生記筆記學(xué)生竊竊私語，對此分類有異議師：很好，他分了四個(gè)大類。誰還有補(bǔ)充？生6：其中兩個(gè)邊和一個(gè)角的情況還可以分為兩個(gè)邊及其夾角、兩邊和其一邊的對角這兩種情況。還有兩角一邊的情況可以分為師：來，剛剛這位同學(xué)，經(jīng)過這位同學(xué)的提示，你自己補(bǔ)充，兩角一邊的情況還可以分為？生5：兩角及其夾邊、兩角和其一角的對邊這兩種情況。教師補(bǔ)充板書分類師：很好。需要注意，這里有四種大情況，前兩種情況每個(gè)又可以分為兩種小情況。好，現(xiàn)在我們來看其中第一種情況：兩邊一角的情況。分成的兩種小情況兩邊一夾角和兩邊一對角如圖所示。教師PPT展示兩種情況師：這樣的條件下，能否得到兩個(gè)三角形全等呢？我們來進(jìn)行一個(gè)實(shí)驗(yàn)，一起畫一畫、比一比：首先請你畫一個(gè)∠MAN=45°，然后分別以PPT上兩個(gè)圖片所展示的情況，分別截取邊長a=8cm、b=6cm，做出三角形。最后剪下你所作出的△ABC，小組同學(xué)比較兩種情況下，你們所作的三角形是否全等。學(xué)生動(dòng)手操作、討論交流教師下臺(tái)巡視，指導(dǎo)學(xué)生師：經(jīng)過實(shí)驗(yàn)?zāi)惆l(fā)現(xiàn)，兩邊一角的第一種小情況：兩邊一夾角對應(yīng)相等，這樣的情況下，三角形是？生：全等的。師：而兩邊一角的第二種小情況：兩邊一對角對應(yīng)相等，這樣的情況下三角形？生：不一定全等，出現(xiàn)了兩種情況。師：因此我們得到結(jié)論：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形是？生：全等的。師：下面的幾種情況放在下節(jié)課我們再來探究和討論。2.4精心呈現(xiàn)，記憶新知此處呈現(xiàn)本節(jié)課所學(xué)的新知識(shí)，對文字語言和幾何語言兩種語言進(jìn)行了總結(jié)和規(guī)范。尤其是對于幾何語言，教師不僅反復(fù)強(qiáng)調(diào)幾何語言在使用過程中需要注意的規(guī)范，同時(shí)對其書寫規(guī)范加以生動(dòng)解釋，更能促進(jìn)學(xué)生對于幾何語言規(guī)范的理解，從而在今后出于主動(dòng)、自發(fā)地保持良好的幾何語言書寫規(guī)范和嚴(yán)謹(jǐn)性。學(xué)生也能很好地體會(huì)到幾何證明的嚴(yán)謹(jǐn)和嚴(yán)格，加深和強(qiáng)化學(xué)生對于邏輯語言的認(rèn)識(shí)和理解，在培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力中語言描述能力的同時(shí)，提高學(xué)生對于幾何推理的認(rèn)識(shí)。規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬚Z言是學(xué)生在日后學(xué)習(xí)幾何推理以及解決幾何證明問題的基礎(chǔ)和重中之重，良好和規(guī)范的書寫習(xí)慣的養(yǎng)成對于學(xué)生幾何推理能力中的語言描述部分發(fā)揮著重大的作用。片段五師：這就是這節(jié)課我們要學(xué)的第一個(gè)新知識(shí)點(diǎn)，判定三角形全等的條件之一：兩邊及其夾角分別相等。我們一起來讀一遍。生：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。教師板書知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生記筆記師：這個(gè)判定定理也可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”。一起來記下，三角形全等的第一個(gè)判定定理。這是他的文字表述，在題目中運(yùn)用這個(gè)定理時(shí)，我們需要書寫它的幾何語言：∵在△ABC與△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）教師板書幾何語言師：首先，我們要證明哪兩個(gè)三角形全等，就要先寫出這兩個(gè)三角形，也就是“在△ABC與△DEF中”。教師在“在△ABC與△DEF中”下面劃線.師：然后我們來尋找三個(gè)條件，找到三個(gè)條件后，首先要注意三個(gè)條件的書寫順序，由于是兩邊及其夾角，因此我們通常把兩邊寫在首尾，把夾角寫在中間，像這樣列出來，然后需要用大括號(hào)把他們括起來。教師描紅大括號(hào)師：最后，我們寫出得到的結(jié)論“△ABC≌△DEF”，結(jié)論的三角形書寫要注意字母的對應(yīng)。還需要注意的是在全等結(jié)論后寫上括號(hào)：SAS，來說明此時(shí)你用的是邊角邊這種判定方法。教師在“SAS”下面劃線師：這就是邊角邊判定定理的幾何語言，請大家在筆記上規(guī)范地書寫下來。2.5例題訓(xùn)練，變式練習(xí)此處通過例題和變式，強(qiáng)化學(xué)生對新知識(shí)的理解和運(yùn)用。與導(dǎo)入過程中的鋪墊呼應(yīng)，新知識(shí)使學(xué)生在模糊的直觀感知基礎(chǔ)上得到嚴(yán)謹(jǐn)驗(yàn)證，此處又對直觀感知進(jìn)行強(qiáng)化。而實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證后的直觀感知是學(xué)生直觀推理能力發(fā)展的重要體現(xiàn)。通過例題的反復(fù)練習(xí)，促進(jìn)學(xué)生對邏輯語言嚴(yán)謹(jǐn)性的掌握和書寫規(guī)范性的熟練，從而使他們的語言描述能力得到應(yīng)有的提高。在例二中，教師總結(jié)了在此類幾何證明問題解決過程中的常用思路和步驟，在眾多復(fù)雜的要素中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)甄別有效關(guān)系和無效關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生建立解決問題的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，從而在關(guān)系推理能力上達(dá)到一定的高度。片段六師：下面我們來一起運(yùn)用我們剛剛所學(xué)的新知識(shí)，注意幾何語言書寫的規(guī)范性。來看例一，如圖，AB=AD,∠BAC=∠DAC.△ABC和△ADC全等嗎？為什么？同學(xué)們迅速在學(xué)案上寫一下，請這位同學(xué)上黑板來寫。學(xué)生在學(xué)案上寫題學(xué)生上黑板寫題師：大家一起看，這位同學(xué)做的如何？生：做對了。師：這里需要注意，題目中只給出了兩個(gè)條件，但事實(shí)上，圖中還有一個(gè)隱含條件，是？生：AC=AC。師：對，注意，這里AC是一條公共邊，不要漏掉這個(gè)隱含條件。同時(shí)要注意不要漏掉寫在結(jié)論后的說明“SAS”。下面我們將這個(gè)題目進(jìn)行變式，第一個(gè)問題：DC=BC嗎？生8：等于。師：原因是？生8：我們剛剛得到這兩個(gè)三角形全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，所以得到DC=BC。師：很好，請坐。第二個(gè)問題：CA平分∠DCB嗎？生9：平分。師：因?yàn)?？?：兩個(gè)三角形全等，對應(yīng)角相等，所以∠DAC=∠BAC，所以CA平分∠DCB。師：好的，我們來看第三個(gè)問題：這個(gè)例題中包含哪一種圖形變換？生：軸對稱。師：很好。我們來看第二個(gè)例題：如圖：AB=DC，∠ABC=∠DCB，求證：⊿ABC≌⊿DCB。在解決這類問題時(shí)，通常我們要先對已知進(jìn)行分析。這里分析可以三步走：先審題：題目直接給我們的條件是：AB=DC，∠ABC=∠DCB。再審圖：看看圖中有什么隱含條件：BC是⊿ABC與⊿DCB的公共邊。再審結(jié)論：要證明的是：⊿ABC≌⊿DCB，結(jié)合結(jié)論，我們用到的判定定理是：SAS。教師板書分析過程師：下面寫出證明的過程，請同學(xué)們規(guī)范書寫，這位同學(xué)在黑板上寫。學(xué)生在學(xué)案上做題學(xué)生上黑板做題師：一起來檢查他寫的對不對，你寫對了嗎？生：對！2.6拓展提升在例題和拓展深入進(jìn)行的過程中，對幾何證明過程中各個(gè)要素構(gòu)成關(guān)系的復(fù)雜性不斷提升，問題的方向也不再單一，綜合性不斷增強(qiáng)。但這一切都在本節(jié)所學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行，使學(xué)生提高問題解決能力的同時(shí)不斷加強(qiáng)對于新知識(shí)的運(yùn)用和遷移，促進(jìn)理解，最終實(shí)現(xiàn)對于形式邏輯推理能力的提升。片段七師：下面我們來對所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行拓展應(yīng)用，看看再具體問題中，如何利用這個(gè)判定定理解決實(shí)際問題。如圖線段AB是一個(gè)池塘的長度，現(xiàn)在想測量這個(gè)池塘的長度，在水上測量不方便，你有什么好的方法較方便地把池塘的長度測量出來嗎？想想看。學(xué)生小聲討論師：我們來看小明的設(shè)計(jì)方案：先在池塘旁取一個(gè)能直接到達(dá)A和B處的點(diǎn)C，連結(jié)AC并延長至D點(diǎn)，使AC=DC，連結(jié)BC并延長至E點(diǎn)，使BC=EC，連結(jié)CD，用米尺測出DE的長，這個(gè)長度就等于A，B兩點(diǎn)的距離。請你說明理由。請大家在學(xué)案上寫，請這位同學(xué)黑板上寫。學(xué)生在學(xué)案上做題學(xué)生11上黑板做題師：大家和他做的一樣嗎？注意我們剛剛強(qiáng)調(diào)過的幾點(diǎn)書寫規(guī)范。生：一樣！2.7歸納總結(jié)此處通過課堂小結(jié)，回顧探究過程和探究思路，強(qiáng)化新知識(shí)的理解和記憶。片段八師：下面我們來總結(jié)一下今天所學(xué)的內(nèi)容。(邊說邊指黑板上對應(yīng)的知識(shí)點(diǎn))我們一起探究了三角形全等的條件，我們發(fā)現(xiàn)：一個(gè)條件？生：不行。師：兩個(gè)條件？生：也不行。師：三個(gè)條件中，我們發(fā)現(xiàn)有一種情況證明兩個(gè)三角形全等。這個(gè)判定定理是？生：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。師：簡稱？生：邊角邊或SAS。師：很好，這節(jié)課上到這里，下節(jié)課我們將繼續(xù)探究三角形全等的其他條件。下課！由于時(shí)間問題，對于幾何語言嚴(yán)謹(jǐn)性和解決幾何問題思路的強(qiáng)調(diào)和強(qiáng)化有所欠缺，或許會(huì)造成部分學(xué)生對于語言描述和關(guān)系推理方面仍存在的欠缺。3相關(guān)教學(xué)策略研究3.1幾何直觀能力培養(yǎng)的教學(xué)策略3.1.1充分調(diào)動(dòng)已有認(rèn)知，搭建新舊知識(shí)之間的橋梁學(xué)生的新知識(shí)需要建立在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，這就需要教師幫助和引導(dǎo)學(xué)生搭建起新舊知識(shí)之間的橋梁，在幾何直觀能力的培養(yǎng)上這一點(diǎn)尤為重要。例如，在本文所選“探究三角形全等的條件”中，教師先帶領(lǐng)學(xué)生回顧上節(jié)課所學(xué)到的三角形全等的定義和性質(zhì)，再從性質(zhì)出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生猜想通過證明對應(yīng)邊、角之間的相等來證明全等。類似的，在幾何教學(xué)中，教師可以給出一個(gè)學(xué)生可以利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、直觀上可以觀察猜想得到結(jié)論的引入，而新知識(shí)就是對此結(jié)論的系統(tǒng)分析和論證。在學(xué)生發(fā)現(xiàn)的過程中，利用的就是已有認(rèn)知，而猜想的結(jié)論作為新知，整個(gè)課堂教學(xué)就是一座從舊知到新知的橋梁。3.1.2借助實(shí)物和直觀，引導(dǎo)學(xué)生自主觀察發(fā)現(xiàn)在幾何教學(xué)中，借助日常生活中常見實(shí)物或直觀教具的類比是培養(yǎng)幾何直觀能力非常有效的途徑。例如，在本文案例中，雖沒有運(yùn)用實(shí)物教具，但在探究過程中，教師帶領(lǐng)學(xué)生驗(yàn)證猜想時(shí)通過作出符合給定條件的實(shí)際三角形，并通過剪下圖形比較是否重合的做法，可以讓學(xué)生很好地直觀感受出三角形全等的判定。在教學(xué)過程中，教師可以通過類比生活中常見的實(shí)物原型，引發(fā)學(xué)生的聯(lián)想推理，從而實(shí)現(xiàn)新概念和新知識(shí)的建構(gòu)。這個(gè)過程要注意給學(xué)生一定的引導(dǎo)，指明觀察的重點(diǎn)和方向，同時(shí)需要注重學(xué)生的自主性，而不是教師取而代之的告知觀察結(jié)果。由此出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)發(fā)現(xiàn)進(jìn)行探究，從而形成深刻而鮮明的經(jīng)驗(yàn)型認(rèn)識(shí)，并逐步抽象為數(shù)學(xué)概念。3.1.3鼓勵(lì)大膽聯(lián)想、猜想，把課堂交給學(xué)生鼓勵(lì)學(xué)生的聯(lián)想和猜想，首先要體現(xiàn)在給學(xué)生“猜測”的機(jī)會(huì)，借助情境的設(shè)置充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，允許和鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜測。其次要讓學(xué)生猜的有理有據(jù)，這個(gè)過程也要貫徹前兩條策略，要在情境的設(shè)置中充分考慮學(xué)生的已有認(rèn)知，不可讓學(xué)生毫無頭緒的亂猜、瞎猜；同時(shí)要充分利用實(shí)物和直觀，讓學(xué)生可以根據(jù)已知有方向的進(jìn)行猜測，從而讓學(xué)生幾何直觀能力有所提升。再次要讓全體學(xué)生參與猜想和聯(lián)想的過程，而非只關(guān)注少數(shù)人的想法。很多學(xué)生給出的猜測或許不盡相同，甚至可能會(huì)南轅北轍，這就是一個(gè)很好的探究契機(jī)，教師可以將學(xué)生的猜測引導(dǎo)進(jìn)行分類，而后分成不同的方向引導(dǎo)他們證明自己的猜想，并對每種猜想進(jìn)行一定的修正和規(guī)范。最后，教師要注意不可隨意否定學(xué)生的猜想，即使在已知其完全錯(cuò)誤的情況下也不能不加解釋的扔在一邊。例如，在本文案例中，師：我們一起來看這樣的一個(gè)情境：是不是可以找到一個(gè)更好的方法，只量一個(gè)數(shù)據(jù)可以嗎？學(xué)生小聲討論和爭辯生：好像不可以。師：那么兩個(gè)數(shù)據(jù)呢？三個(gè)呢？學(xué)生討論和爭辯師：好，下面讓我們一起來探究。這個(gè)策略可以實(shí)現(xiàn)學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)的最重要部分，就是“實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證后的直觀感知”中的“實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證”過程。3.2語言描述能力培養(yǎng)的教學(xué)策略3.2.1注重教學(xué)過程中的語言規(guī)范教師首先要注重自身的語言描述規(guī)范性，這對學(xué)生語言描述能力的培養(yǎng)非常重要。由于教師的榜樣作用和學(xué)生的模仿性，教師在每步講解、每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的講解都需要注重自己語言的規(guī)范，尤其是在新知識(shí)講解過程中，以及日常講解習(xí)題時(shí)，這些都是對學(xué)生語言描述能力耳濡目染培養(yǎng)的時(shí)刻。例如，在本文案例中，在探究過程中，無論是提出猜想或是驗(yàn)證猜想時(shí)，以及后面練習(xí)使用判定定理時(shí)，教師都非常注意自己在講解過程中的語言規(guī)范，并對于學(xué)生的語言規(guī)范即使糾正。在幾何語言講解過程中更是對規(guī)范性進(jìn)行了強(qiáng)調(diào)和強(qiáng)化，對于學(xué)生良好語言描述能力的培養(yǎng)起到了非常關(guān)鍵的作用。3.2.2學(xué)生日常良好數(shù)學(xué)語言描述能力的培養(yǎng)數(shù)學(xué)語言主要分為文字語言、符號(hào)語言和圖像語言三種，在三種語言上教師都要引導(dǎo)學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中就建立起規(guī)范和良好的習(xí)慣，并訓(xùn)練學(xué)生三種語言之間相互轉(zhuǎn)化的能力，尤其在習(xí)題的講解和練習(xí)過程中注重培養(yǎng)學(xué)生語言描述推理的能力。首先，在定理等新知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，就需要反復(fù)對規(guī)范性進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，并在學(xué)生解決和學(xué)習(xí)例題和各類習(xí)題中反復(fù)加強(qiáng)對規(guī)范性的訓(xùn)練和強(qiáng)化。例如，在本文的案例中，教師板書幾何語言師：首先，我們要證明哪兩個(gè)三角形全等，就要先寫出這兩個(gè)三角形，也就是“在△ABC與△DEF中”。教師在“在△ABC與△DEF中”下面劃線師：然后我們來尋找三個(gè)條件，找到三個(gè)條件后，首先要注意三個(gè)條件的書寫順序，由于是兩邊及其夾角，因此我們通常把兩邊寫在首尾，把夾角寫在中間，像這樣列出來，然后需要用大括號(hào)把他們括起來。教師描紅大括號(hào)師：最后，我們寫出得到的結(jié)論“△ABC≌△DEF”，結(jié)論的三角形書寫要注意字母的對應(yīng)。還需要注意的是在全等結(jié)論后寫上括號(hào)：SAS，來說明此時(shí)你用的是邊角邊這種判定方法。教師在“SAS”下面劃線師：這就是邊角邊判定定理的幾何語言，請大家在筆記上規(guī)范地書寫下來。3.2.3給全體學(xué)生展示和表現(xiàn)的機(jī)會(huì)在語言描述能力方面，給學(xué)生當(dāng)眾展示和表現(xiàn)的機(jī)會(huì)是至關(guān)重要的。對于學(xué)生而言，首先此時(shí)的注意力高度集中，且他們會(huì)對老師此時(shí)給出的反饋吸收效果更佳，使得教學(xué)效率和效果大大提升，教師也可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題并針對性的糾正，這對學(xué)生語言描述能力的培養(yǎng)至關(guān)重要。在展示和表現(xiàn)的過程中，教師需要及時(shí)給予學(xué)生適當(dāng)?shù)姆答?，在學(xué)生描述準(zhǔn)確時(shí)及時(shí)肯定、鼓勵(lì)，及時(shí)指出學(xué)生語言描述中存在的問題并給予修正，并通過適當(dāng)?shù)拇驍嗷蛑貜?fù)給其他學(xué)生強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)。例如在本文的案例中，師：請你說說你是分了哪幾種情況？生5：兩條邊一個(gè)角對應(yīng)相等、兩個(gè)角一條邊對應(yīng)相等、三條邊對應(yīng)相等、三個(gè)角對應(yīng)相等。教師邊聽邊板書分類，學(xué)生記筆記學(xué)生竊竊私語，對此分類有異議師：很好，他分了四個(gè)大類。誰還有補(bǔ)充？生6：其中兩個(gè)邊和一個(gè)角的情況還可以分為兩個(gè)邊及其夾角、兩邊和其一邊的對角這兩種情況。還有兩角一邊的情況可以分為師：來，剛剛這位同學(xué)，經(jīng)過這位同學(xué)的提示，你自己補(bǔ)充，兩角一邊的情況還可以分為？生5：兩角及其夾邊、兩角和其一角的對邊這兩種情況。教師補(bǔ)充板書分類師：很好。需要注意，這里有四種大情況，前兩種情況每個(gè)又可以分為兩種小情況。需要注意的是，教師需要盡量給全體學(xué)生展示的機(jī)會(huì)，而非僅關(guān)注某幾位學(xué)生。同時(shí)應(yīng)當(dāng)關(guān)注傾聽描述的其他學(xué)生的反應(yīng)，調(diào)動(dòng)他們一起進(jìn)行互動(dòng)，防止其他學(xué)生產(chǎn)生無法參與、與自己無關(guān)的感覺。3.3關(guān)系推理能力培養(yǎng)的教學(xué)策略3.3.1講解前的對幾何中各要素關(guān)系的分析在習(xí)題或例題的正式步驟講解前，尤其是幾何推理的學(xué)習(xí)剛剛?cè)腴T時(shí)，需帶領(lǐng)學(xué)生對題目中幾何的各個(gè)要素之間的關(guān)系進(jìn)行分析，使學(xué)生形成分析關(guān)系的習(xí)慣，在熟練之后將分析過程交給學(xué)生，讓學(xué)生對關(guān)系進(jìn)行獨(dú)立分析，但需要注意即使熟練解題時(shí)也要跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)關(guān)系分析的重要性。例如，在本文的案例中，師：這里需要注意，題目中只給出了兩個(gè)條件，但事實(shí)上，圖中還有一個(gè)隱含條件，是？生：AC=AC。師：對，注意，這里AC是一條公共邊，不要漏掉這個(gè)隱含條件。同時(shí)要注意不要漏掉寫在結(jié)論后的說明“SAS”。這種支架式的教學(xué)，可以很好的培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)系推理時(shí)的良好習(xí)慣，對復(fù)雜關(guān)系的處理能力上也會(huì)有一定的提高。3.3.2推理過程關(guān)系處理思路和方向的明確在帶領(lǐng)學(xué)生解決幾何推理問題時(shí)，需要培養(yǎng)學(xué)生在解題過程中形成明確的推理思路和確切的方向。解題過程中層層遞進(jìn)，順著一個(gè)方向前進(jìn)。這與講解前對關(guān)系的分析也密切相關(guān)，只有在關(guān)系分析時(shí)清晰和明確，才能形成一個(gè)行進(jìn)下方向，從而順著方向進(jìn)行解題。例如，在本文的案例中，教師在三個(gè)題目講解過程中都強(qiáng)調(diào)學(xué)生需要先尋找相等關(guān)系，確定這個(gè)為大方向，并在第二個(gè)題目中總結(jié)了此類型題的解題思路和步驟。3.3.3從簡單關(guān)系入門，以復(fù)雜關(guān)系提升對學(xué)生關(guān)系推理能力的培養(yǎng)需要循序漸進(jìn)、逐步提升。從簡單關(guān)系的題目開始，伴以教師的引導(dǎo)為支架和輔助，到中間過程學(xué)生可以獨(dú)立分析和解決題目中的簡單關(guān)系，再到復(fù)雜關(guān)系的題目，教師同樣需要根據(jù)難度提供一定的引導(dǎo)，到最終學(xué)生獨(dú)立思考復(fù)雜關(guān)系的問題。在本文的案例中，教師提供的兩道例題，第一個(gè)例題中的關(guān)系較為簡單，而第二個(gè)中就有更加復(fù)雜的關(guān)系，兩道題逐步提升。第一個(gè)簡單關(guān)系的題目中，僅提示學(xué)生注意尋找隱藏關(guān)系。在第二個(gè)關(guān)系較為復(fù)雜的題目中，教師先帶領(lǐng)學(xué)生講解解題思路和方向以提供支架，再讓學(xué)生自己書寫解題過程。3.4形式邏輯推理能力培養(yǎng)的教學(xué)策略3.4.1對題目歸類，對解題思路和方法總結(jié)，形成解題模型在題目的處理已經(jīng)達(dá)到一定數(shù)量的基礎(chǔ)上時(shí)，需要教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)?？梢酝ㄟ^設(shè)置專題訓(xùn)練或在講解習(xí)題時(shí)直接對題目進(jìn)行分類，集中講解每類題目。對于同一類型的題目，首先要總結(jié)題目、已知和所求的共性，同時(shí)，要在分析思路過程中尋找相通之處，且要提煉解決這類題目所通用的各種方法，形成解題模型。例如，在本文案例中，師：很好。我們來看第二個(gè)例題：如圖：AB=DC，∠ABC=∠DCB，求證：⊿ABC≌⊿DCB。在解決這類問題時(shí)，通常我們要先對已知進(jìn)行分析。這里分析可以三步走：先審題：題目直接給我們的條件是：AB=DC，∠ABC=∠DCB。再審圖：看看圖中有什么隱含條件：BC是⊿ABC與⊿DCB的公共邊。再審結(jié)論：要證明的是：⊿ABC≌⊿DCB，結(jié)合結(jié)論，我們用到的判定定理是：SAS。教師板書分析過程3.4.2從題目的深度和廣度上對形式邏輯推理能力進(jìn)行提升僅講解模型對于形式邏輯推理能力的培養(yǎng)還是是不夠的，需要進(jìn)一步的鞏固和運(yùn)用。首先需要通過對應(yīng)類型題目的難度上進(jìn)行提升，也就是提升題目的深度，同時(shí)也應(yīng)將幾個(gè)類型的題目進(jìn)行綜合，從而從廣度上進(jìn)行提升。例如，在本文的案例中，教師在講解完新知識(shí)本身之后總共提供了三個(gè)題目，兩道例題一道拓展。在兩道例題中可以看到關(guān)系復(fù)雜程度的提升，也就是問題難度、深度上的提升。而拓展中給出的實(shí)