1.3《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》教學(xué)案3

1.3?三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式?教學(xué)案整體設(shè)計教學(xué)分析本節(jié)主要是推導(dǎo)誘導(dǎo)公式二、三、四，并利用它們解決一些求解、化簡、證明問題.本小節(jié)介紹的五組誘導(dǎo)公式在內(nèi)容上既是公式一的延續(xù)，又是后繼學(xué)習(xí)內(nèi)容的根底，它們與公式一組成的六組誘導(dǎo)公式，用于解決求任意角的三角函數(shù)值的問題以及有關(guān)三角函數(shù)的化簡、證明等問題.在誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)中，化歸思想貫穿始末，這一典型的數(shù)學(xué)思想，無論在本節(jié)中的分析導(dǎo)入，還是利用誘導(dǎo)公式將求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，均清晰地得到表達(dá)，在教學(xué)中注意數(shù)學(xué)思想滲透于知識的傳授之中，讓學(xué)生了解化歸思想，形成初步的化歸意識，特別是在本課時的三個轉(zhuǎn)化問題引入后，為什么確定180°+α角為第一研究對象，-α角為第二研究對象，正是化歸思想的運用.公式二、公式三與公式四中涉及的角在本課的分析導(dǎo)入時為不大于90°的非負(fù)角，但是在推導(dǎo)中卻把α拓廣為任意角，這一思維上的轉(zhuǎn)折使學(xué)生難以理解，甚至?xí)?dǎo)致對其必要性的疑心，因此它成為本課時的難點所在.課本例題實際上是誘導(dǎo)公式的綜合運用，難點在于需要把所求的角看成是一個整體的任意角.學(xué)生第一次接觸到此題型，思維上有困難，要多加引導(dǎo)分析，另外，誘導(dǎo)公式中角度制亦可轉(zhuǎn)化為弧度制，但必須注意同一個公式中只能采取一種制度，因此要加強(qiáng)角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化的練習(xí).三維目標(biāo)1.通過學(xué)生的探究，明了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的來龍去脈，理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力及運算能力，滲透轉(zhuǎn)化及分類討論的思想.2.通過誘導(dǎo)公式的具體運用，熟練正確地運用公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題，體會數(shù)式變形在數(shù)學(xué)中的作用.3.進(jìn)一步領(lǐng)悟把未知問題化歸為問題的數(shù)學(xué)思想，通過一題多解，一題多變，多題歸一，提高分析問題和解決問題的能力.重點難點教學(xué)重點:五個誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)和六組誘導(dǎo)公式的靈巧運用，三角函數(shù)式的求值、化簡和證明等.教學(xué)難點:六組誘導(dǎo)公式的靈巧運用.課時安排2課時教學(xué)過程第1課時導(dǎo)入新課思路1.①利用單位圓表示任意角的正弦值和余弦值.②復(fù)習(xí)誘導(dǎo)公式一及其用途.思路2.在前面的學(xué)習(xí)中，我們知道終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，即公式一，并且利用公式一可以把絕對值較大的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0°到360°(0到2π)內(nèi)的角的三角函數(shù)值，求銳角三角函數(shù)值，我們可以通過查表求得，對于90°到360°(到2π)范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)怎樣求解，能不能有像公式一那樣的公式把它們轉(zhuǎn)化到銳角范圍內(nèi)來求解，這一節(jié)就來探討這個問題.推進(jìn)新課新知探究提出問題由公式一把任意角α轉(zhuǎn)化為［0°，360°)內(nèi)的角后，如何進(jìn)一步求出它的三角函數(shù)值？活動:在初中學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)值可以在直角三角形中求得，特殊角的三角函數(shù)值學(xué)生記住了，對非特殊銳角的三角函數(shù)值可以通過查數(shù)學(xué)用表或是用計算器求得.教師可組織學(xué)生思考討論如下問題:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得？90°到360°的角β能否與銳角α相聯(lián)系？通過分析β與α的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生得出解決設(shè)問的一種思路:假設(shè)能把求［90°，360°)內(nèi)的角β的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求有關(guān)銳角α的三角函數(shù)值，那么問題將得到解決，適時提出，這一思想就是數(shù)學(xué)的化歸思想，教師可借此向?qū)W生介紹化歸思想.圖1討論結(jié)果:通過分析，歸納得出:如圖1.β=提出問題①銳角α的終邊與180°+α角的終邊位置關(guān)系如何？②它們與單位圓的交點的位置關(guān)系如何？③任意角α與180°+α呢？活動:分α為銳角和任意角作圖分析:如圖2.圖2引導(dǎo)學(xué)生充分利用單位圓，并和學(xué)生一起討論探究角的關(guān)系.無論α為銳角還是任意角，180°+α的終邊都是α的終邊的反向延長線，所以先選擇180°+α為研究對象.利用圖形還可以直觀地解決問題②，角的終邊與單位圓的交點的位置關(guān)系是關(guān)于原點對稱的，對應(yīng)點的坐標(biāo)分別是P(x，y)和P′(-x，-y).指導(dǎo)學(xué)生利用單位圓及角的正弦、余弦函數(shù)的定義，導(dǎo)出公式二:sin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosα.并指導(dǎo)學(xué)生寫出角為弧度時的關(guān)系式:sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα.引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的特點，明了各個公式的作用.討論結(jié)果:①銳角α的終邊與180°+α角的終邊互為反向延長線.②它們與單位圓的交點關(guān)于原點對稱.③任意角α與180°+α角的終邊與單位圓的交點關(guān)于原點對稱.提出問題①有了以上公式，我們下一步的研究對象是什么？②-α角的終邊與角α的終邊位置關(guān)系如何？活動:讓學(xué)生在單位圓中討論-α與α的位置關(guān)系，這時可通過復(fù)習(xí)正角和負(fù)角的定義，啟發(fā)學(xué)生思考:任意角α和-α的終邊的位置關(guān)系；它們與單位圓的交點的位置關(guān)系及其坐標(biāo).探索、概括、對照公式二的推導(dǎo)過程，由學(xué)生自己完成公式三的推導(dǎo)，即:sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα.教師點撥學(xué)生注意:無論α是銳角還是任意角，公式均成立.并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察分析公式三的特點，得出公式三的用途:可將求負(fù)角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求正角的三角函數(shù)值.討論結(jié)果:①根據(jù)分析下一步的研究對象是-α的正弦和余弦.②-α角的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對稱，它們與單位圓的交點坐標(biāo)的關(guān)系是橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).提出問題①下一步的研究對象是什么？②π-α角的終邊與角α的終邊位置關(guān)系如何？活動:討論π-α與α的位置關(guān)系，這時可通過復(fù)習(xí)互補(bǔ)的定義，引導(dǎo)學(xué)生思考:任意角α和π-α的終邊的位置關(guān)系；它們與單位圓的交點的位置關(guān)系及其坐標(biāo).探索、概括、對照公式二、三的推導(dǎo)過程，由學(xué)生自己完成公式四的推導(dǎo)，即:sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα.強(qiáng)調(diào)無論α是銳角還是任意角，公式均成立.引導(dǎo)學(xué)生觀察分析公式三的特點，得出公式四的用途:可將求π-α角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求角α的三角函數(shù)值.讓學(xué)生分析總結(jié)誘導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)特點，概括說明，加強(qiáng)記憶.我們可以用下面一段話來概括公式一—四:α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號.進(jìn)一步簡記為:“函數(shù)名不變，符號看象限〞.點撥、引導(dǎo)學(xué)生注意公式中的α是任意角.討論結(jié)果:①根據(jù)分析下一步的研究對象是π-α的三角函數(shù)；②π-α角的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對稱，它們與單位圓的交點坐標(biāo)的關(guān)系是縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).例如應(yīng)用思路1例1利用公式求以下三角函數(shù)值:(1)cos225°；(2)sin；(3)sin()；(4)cos(-2040°).活動:這是直接運用公式的題目類型，讓學(xué)生熟悉公式，通過練習(xí)加深印象，逐步到達(dá)熟練、正確地應(yīng)用.讓學(xué)生觀察題目中的角的范圍，對照公式找出哪個公式適合解決這個問題.解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=；(2)sin=sin(4π)=-sin=；(3)sin()=-sin=-sin(5π+)=-(-sin)=；(4)cos(-2040°)=cos2040°=cos(6×360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=.點評:利用公式一—四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)，一般可按以下步驟進(jìn)行:上述步驟表達(dá)了由未知轉(zhuǎn)化為的轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.變式訓(xùn)練利用公式求以下三角函數(shù)值:(1)cos(-510°15′)；(2)sin(π).解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′=cos(360°+150°15′)=cos150°15′=cos(180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.8682；(2)sin(π)=sin(-3×2π)=sin=.例22024全國高考，1cos330°等于()A.B.C.D.答案:C變式訓(xùn)練化簡:解:===.例3化簡cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.活動:這是要求學(xué)生靈巧運用誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形、求值與證明的題目.利用誘導(dǎo)公式將有關(guān)角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，再求值、合并、約分.解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°)=cos(-45°)-sin45°+cos120°=cos45°+cos(180°-60°)=-cos60°=-1.點評:利用誘導(dǎo)公式化簡，是進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化，最終到達(dá)統(tǒng)一角或求值的目的.變式訓(xùn)練求證:.分析:利用誘導(dǎo)公式化簡較繁的一邊，使之等于另一邊.證明:左邊====tanθ=右邊.所以原式成立.規(guī)律總結(jié):證明恒等式，一般是化繁為簡，可以化簡一邊，也可以兩邊都化簡.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1—3.解答:1.(1)-cos；(2)-sin1；(3)-sin；(4)cos70°6′.點評：利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).2.(1)；(2)；(3)0.6428；(4).點評：先利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，再求值.3.(1)-sin2αcosα；(2)sin4α.點評：先利用誘導(dǎo)公式變形為角α的三角函數(shù)，再進(jìn)一步化簡.課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了公式二、公式三、公式四三組公式，這三組公式在求三角函數(shù)值、化簡三角函數(shù)式及證明三角恒等式時是經(jīng)常用到的，為了記牢公式，我們總結(jié)了“函數(shù)名不變，符號看象限〞的簡便記法，同學(xué)們要正確理解這句話的含義，不過更重要的還是應(yīng)用，我們要多加練習(xí)，切實掌握由未知向轉(zhuǎn)化的化歸思想.作業(yè)課本習(xí)題1.3A組2、3、4.設(shè)計感想一、有關(guān)角的終邊的對稱性(1)角α的終邊與角π+α的終邊關(guān)于原點對稱.(2)角α的終邊與角-α的終邊關(guān)于x軸對稱.(3)角α的終邊與角π-α的終邊關(guān)于y軸對稱.二、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式應(yīng)注意的問題(1)α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函數(shù)值等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)的符號；可簡單記憶為:“函數(shù)名不變，符號看象限.〞(2)公式中的α是任意角.(3)利用誘導(dǎo)公式一、二、三、四，可以把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值.根本步驟是:任意負(fù)角的三角函數(shù)相應(yīng)的正角的三角函數(shù)0到2π角的三角函數(shù)銳角的三角函數(shù)三角函數(shù).即負(fù)化正，大化小，化為銳角再查表.第2課時導(dǎo)入新課上一節(jié)課我們研究了誘導(dǎo)公式二、三、四.現(xiàn)在請同學(xué)們回憶一下相應(yīng)的公式.提問多名學(xué)生上黑板默寫公式.在此根底上，我們今天繼續(xù)探究別的誘導(dǎo)公式，揭示課題.推進(jìn)新課新知探究提出問題終邊與角α的終邊關(guān)于直線y=x對稱的角有何數(shù)量關(guān)系？活動:我們借助單位圓探究終邊與角α的終邊關(guān)于直線y=x對稱的角的數(shù)量關(guān)系.教師充分讓學(xué)生探究，啟發(fā)學(xué)生借助單位圓，點撥學(xué)生從終邊關(guān)于直線y=x對稱的兩個角之間的數(shù)量關(guān)系，關(guān)于直線y=x對稱的兩個點的坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行引導(dǎo).圖3討論結(jié)果:如圖3，設(shè)任意角α的終邊與單位圓的交點P1的坐標(biāo)為(x，y)，由于角-α的終邊與角α的終邊關(guān)于直線y=x對稱，角-α的終邊與單位圓的交點P2與點P1關(guān)于直線y=x對稱，因此點P2的坐標(biāo)是(y，x)，于是，我們有sinα=y，cosα=x，cos(-α)=y，sin(-α)=x.從而得到公式五:cos(-α)=sinα，sin(-α)=cosα.提出問題能否用已有公式得出+α的正弦、余弦與α的正弦、余弦之間的關(guān)系式？活動:教師點撥學(xué)生將+α轉(zhuǎn)化為π-(-α)，從而利用公式四和公式五到達(dá)我們的目的.因為+α可以轉(zhuǎn)化為π-(-α)，所以求+α角的正余弦問題就轉(zhuǎn)化為利用公式四接著轉(zhuǎn)化為利用公式五，這時可以讓學(xué)生獨立推導(dǎo)公式六.討論結(jié)果:公式六Sin(+α)=cosα，cos(+α)=-sinα.提出問題你能概括一下公式五、六嗎？活動:結(jié)合上一堂課研究公式一—四的共同特征引導(dǎo)學(xué)生尋求公式五、六的共同特征，指導(dǎo)學(xué)生用類比的方法即可將公式五和公式六進(jìn)行概括.討論結(jié)果:±α的正弦(余弦)函數(shù)值，分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號.進(jìn)一步可以簡記為:函數(shù)名改變，符號看象限.利用公式五或公式六，可以實現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.公式一—六都叫做誘導(dǎo)公式.提出問題學(xué)了六組誘導(dǎo)公式及上例的結(jié)果后，能否進(jìn)一步歸納概括誘導(dǎo)公式，怎樣概括？討論結(jié)果:誘導(dǎo)公式一—四，函數(shù)名稱不改變，這些公式左邊的角分別是2kπ+α(k∈Z)，π±α，-α(可看作0-α).其中2kπ，π，0是橫坐標(biāo)軸上的角，因此，上述公式可歸結(jié)為橫坐標(biāo)軸上的角±α，函數(shù)名稱不改變.而公式五、六及上面的例1，這些公式左邊的角分別是±α，-α.其中，是縱坐標(biāo)軸上的角，因此這些公式可歸結(jié)為縱坐標(biāo)上的角±α，函數(shù)名稱要改變.兩類誘導(dǎo)公式的符號的考查是一致的，故而所有的誘導(dǎo)公式可用十個字來概括:縱變橫不變，符號看象限.教師指點學(xué)習(xí)方法:如果我們孤立地記憶這么多誘導(dǎo)公式，那么我們的學(xué)習(xí)將十分苦累，且效率低下.學(xué)習(xí)過程中，能挖掘各個公式的本質(zhì)特征，尋求它們之間的共性，那么我們對數(shù)學(xué)公式的記憶就不再是負(fù)擔(dān)了.因此，要求大家多做這方面的工作，以后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就不再是枯燥無味的了.例如應(yīng)用思路1例1證明(1)sin(-α)=-cosα；(2)cos(-α)=-sinα.活動:直接應(yīng)用公式五、六或者通過轉(zhuǎn)化后利用公式五、六解決化簡、證明問題.證明:(1)sin(-α)=sin[π+(-α)]=-sin(-α)=-cosα；(2)cos(-α)=cos[π+(-α)]=-cos(-α)=-sinα.點評:由公式五及六推得±α的三角函數(shù)值與角α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，從而進(jìn)一步可以推廣到π(k∈Z)的情形.本例的結(jié)果可以直接作為誘導(dǎo)公式直接使用.例2化簡活動:仔細(xì)觀察題目中的角，哪些是可以利用公式二—四的，哪些是可以利用公式五、六的.認(rèn)真應(yīng)用誘導(dǎo)公式，到達(dá)化簡的目的.解:原式====-tanα.思路2例1(1)f(cosx)=cos17x，求證:f(sinx)=sin17x；(2)對于怎樣的整數(shù)n，才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx？活動:對誘導(dǎo)公式的應(yīng)用需要較多的思維空間，善于觀察題目特點，要靈巧變形.觀察本例條件與結(jié)論在結(jié)構(gòu)上類似，差異在于一個含余弦，一個含正弦，注意到正弦、余弦轉(zhuǎn)化可借助sinx=cos(-x)或cosx=sin(-x).要善于觀察條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，找出它們的共性與差異；要注意誘導(dǎo)公式可實現(xiàn)角的形式之間及互余函數(shù)名稱之間的轉(zhuǎn)移.證明:(1)f(sinx)=f[cos(-x)]=cos[17(-x)]=cos(8π+-17x)=cos(-17x)=sin17x，即f(sinx)=sin17x.(2)f(cosx)=f[sin(-x)]=sin[n(-x)]=sin(-nx)=故所求的整數(shù)n=4k+1(k∈Z).點評:正確合理地運用公式是解決問題的關(guān)鍵所在.變式訓(xùn)練cos(-α)=m(m≤1)，求sin(-α)的值.解:∵-α-(-α)=，∴-α=+(-α).∴sin(-α)=sin［+(-α)］=cos(-α)=m.點評:(1)當(dāng)兩個角的和或差是的整數(shù)倍時，它們的三角函數(shù)值可通過誘導(dǎo)公式聯(lián)系起來.(2)化簡與所求，然后探求聯(lián)系，這是解決問題的重要思想方法.例2sinα是方程5x2-7x-6=0的根，且α為第三象限角，求的值.活動:教師引導(dǎo)學(xué)生先確定sinα的值再化簡待求式，從而架起與未知的橋梁.解:∵5x2-7x-6=0的兩根x=2或x=，∵-1≤x≤1，∴sinα=.又∵α為第三象限角，∴cosα==.∴tanα=.∴原式==tana=點評:綜合運用相關(guān)知識解決綜合問題.變式訓(xùn)練假設(shè)函數(shù)f(n)=sin(n∈Z)，那么f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=____________________.解:∵=sin(+2π)=sin，∴f(n)=f(n+12).從而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6)=2［f(1)+f(2)+f(3)］=2+.例3函數(shù)f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a，b，α，β都是非零實數(shù)，又知f(2003)=-1，求f(2004)的值.活動:尋求f(2003)=-1與f(2004)之間的聯(lián)系，這個聯(lián)系就是我們解答問題的關(guān)鍵和要害.解:f(2003)=asin(2003π+α)+bcos(2003π+β)=asin(2002π+π+α)+bcos(2002π+π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asinα-bcosβ=-(asinα+bcosβ)，∵f(2003)=-1，∴asinα+bcosβ=1.∴f(2004)=asin(2004π+α)+bcos(2004π+β)=asinα+bcosβ=1.點評:解決