微分方程與差分方程穩(wěn)定性課件

微分方程與差分方程穩(wěn)定性理論在研究實際問題時,我們常常不能直接得出變量之間的關系,但卻能容易得出包含變量導數(shù)在內的關系式,這就是微分方程.在現(xiàn)實社會中,又有許多變量是離散變化的,如人口數(shù)、生產周期與商品價格等,而且離散的運算具有可操作性,差分正是聯(lián)系連續(xù)與離散變量的一座橋梁.不管是微分方程還是差分方程模型，有時無法得到其解析解(必要時,可以利用計算機求其數(shù)值解),既使得到其解析解,尚有未知參數(shù)需要估計(這里可利用參數(shù)估計方法).而在實際問題中,討論問題的解的變化趨勢很重要，因此，以下只對其平衡點的穩(wěn)定性加以討論.7.7微分方程穩(wěn)定性理論簡介

一階方程的平衡點及穩(wěn)定性

設有微分方程(1)右端不含字變量t，稱為自治方程.代數(shù)方程f(x)=0(2)的實根x=x0稱為方程(1)的平衡點(或奇點).它也是(1)的解(奇解).如果存在某個鄰域，使方程(1)的解x(t)從這個鄰域內的某個x(0)出發(fā)，滿足(3)則稱平衡點x0是穩(wěn)定的(穩(wěn)定性理論中稱漸進穩(wěn)定);否則，稱x0是不穩(wěn)定的(不漸進穩(wěn)定).判斷平衡點x0是否穩(wěn)定通常有兩種方法.利用定義即(3)式稱間接法.不求方程(1)的解x(t)，因而不利用(3)式的方法稱直接法.下面介紹直接法.將f(x)在x0點作Taylor展開，只取一次項，方程(1)近似為(4)(4)稱為(1)的近似線性方程，x0也是方程(4)的平衡點.關于x0點穩(wěn)定性有如下結論：若f'(x0)<0，則x0對于方程(4)和(1)都是穩(wěn)定的;

若f'(x0)>0，則x0對于方程(4)和(1)都是不穩(wěn)定的.注:x0點對方程(4)穩(wěn)定性很容易由定義(3)證明：記f'(x0)=a，則(4)的一般解為x(t)=ceat+x0(5)其中常數(shù)c由初始條件確定，顯然，a<0時(3)式成立.二階方程的平衡點和穩(wěn)定性二階方程可用兩個一階方程表示(6)右端不顯含t，是自治方程.代數(shù)方程組(7)的實根x1=x10,x2=x20稱為方程(6)的平衡點，記作P0(x10,x20).如果存在某個鄰域，使方程(6)的解x1(t),x2(t)從這個鄰域內的某個(x1(0),x2(0))出發(fā)，滿足(8)則稱平衡點P0是穩(wěn)定的(漸進穩(wěn)定);否則，稱P0是不穩(wěn)定的(不漸進穩(wěn)定).例：求解微分方程組的平衡點，并討論其穩(wěn)定性。解：很容易求得該微分方程組的唯一平衡點；由已知微分方程組可以得到進而對該微分方程組的任一解故也有先看線性常系數(shù)方程(9)(非齊次方程組，可用平移的方法(x1=u1+c1,x2=u2+c2)化為齊次方程組)系數(shù)矩陣記作(10)為研究方程(9)的唯一平衡點P0(0,0)的穩(wěn)定性，假定A的行列式detA

0.(11)直接法P0(0,0)的穩(wěn)定性由(9)的特征方程det(A

I)=0(12)的根

(特征根)決定.方程(12)可以寫成更加明晰的形式

(13)將特征根記作

1,

2，則(14)方程(9)的一般解具有形式或c1,c2為任意常數(shù).按照穩(wěn)定性的定義(8)式可知，當

1,

2均為負數(shù)或均有負實部時P0(0,0)是穩(wěn)定平衡點;而當

1,

2有一個為正數(shù)或有正實部時P0(0,0)是不穩(wěn)定平衡點.在條件(11)下

1,

2均不為零.按上述理論可得根據特征方程的系數(shù)p,q的正負來判斷平衡點穩(wěn)定性的準則：

若p>0,q>0，則平衡點穩(wěn)定;（12）

若p<0,或q<0，則平衡點不穩(wěn)定.（13）

微分方程穩(wěn)定性理論將平衡點分為結點、焦點、鞍點、中心等類型，完全由特征根或相應的取值決定，下表簡明地給出了這些結果，表中最后一列指按照定義（8）式得下面關于穩(wěn)定性的結論。表1由特征方程決定的平衡點的類型和穩(wěn)定性平衡點類型穩(wěn)定性穩(wěn)定結點穩(wěn)定不穩(wěn)定結點不穩(wěn)定鞍點不穩(wěn)定穩(wěn)定退化結點穩(wěn)定不穩(wěn)定退化結點不穩(wěn)定穩(wěn)定焦點穩(wěn)定不穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定中心不穩(wěn)定對一般的非線性方程(6)，仍可在平衡點作一次Taylor展開，得常系數(shù)的近似線性方程來討論.非線性方程系數(shù)矩陣特征方程系數(shù)（17）（18）（19）結論：若方程（17）的特征根不為零或實部不為零，則點對于方程（6）的穩(wěn)定性與對于近似方程（17）的穩(wěn)定性相同。對于方程（6）的穩(wěn)定性也由準則（12）、（13）決定。差分方程模型

對于k階差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(20)若有xn=x(n),滿足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,則稱xn=x(n)是差分方程(20的解,包含k個任意常數(shù)的解稱為（20）的通解,x0,x1,…,xk-1為已知時稱為（20）的初始條件,通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱為(20)的特解.若x0,x1,…,

已知,則形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在計算機上實現(xiàn).若有常數(shù)a是差分方程(20)的解,即F(n;a,a,…,a)=0,則稱

a是差分方程(20)的平衡點.又對差分方程(20)的任意由初始條件確定的解

xn=x(n)都有xn→a(n→∞),則稱這個平衡點a是穩(wěn)定的.一階常系數(shù)線性差分方程

xn+1+axn=b,(其中a,b為常數(shù),且a≠0)的通解為xn=C(-

a)n+b/(a+1)

易知b/(a+1)是其平衡點,由上式知,當且僅當|a|＜1時,b/(a+1)是穩(wěn)定的平衡點.對于一階非線性差分方程xn+1=f(xn)其平衡點x*由代數(shù)方程x=f(x)解給出.為分析平衡點x*的穩(wěn)定性,將上述差分方程近似為一階常系數(shù)線性差分方程時,上述近似線性差分方程與原非線性差分方程的穩(wěn)定性相同.

因此當時,x*是穩(wěn)定的；當時,x*是不穩(wěn)定的.當二階常系數(shù)線性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r為常數(shù).

當r=0時,它有一特解x*=0；

當r≠0,且a+b+1≠0時,它有一特解x*=r/(a+b+1).

不管是哪種情形,x*是其平衡點.設其特征方程

2+a

+b=0的兩個根分別為

=

1,

=

2.

①當

1,

2是兩個不同實根時,二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn=x*+C1(

1)n+C2(

2)n;

②當

1,2=

是兩個相同實根時,二階常系數(shù)線性差分方程的通解