微積分-函數(shù)與極限

第一章函數(shù)與極限第一節(jié)

函數(shù)一、基本概念1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.有限集無(wú)限集數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集(zahlen)Q----有理數(shù)集()R----實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.2.鄰域:3.常量與變量:

在某過(guò)程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對(duì)“過(guò)程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.3.常量與變量:

在某過(guò)程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對(duì)“過(guò)程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.二、函數(shù)概念例圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)圓內(nèi)接正n

邊形Or)因變量自變量數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．(1)符號(hào)函數(shù)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyo(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過(guò)的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)(4)取最值函數(shù)yxoyxo在自變量的不同變化范圍中,

對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).例1某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月1800元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去．當(dāng)租金每月增加100元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)．試建立房租x與月收入R之間的函數(shù)關(guān)系。解設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為例2解故三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界無(wú)界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性:2．函數(shù)的單調(diào)性:xyoxyo3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x4．函數(shù)的周期性:（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.四、反函數(shù)DWDW

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.例3解單值函數(shù),有界函數(shù),偶函數(shù),周期函數(shù)(無(wú)最小正周期)不是單調(diào)函數(shù),函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無(wú)窮多項(xiàng)等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無(wú)理函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))一、基本初等函數(shù)1、冪函數(shù)2、指數(shù)函數(shù)3、對(duì)數(shù)函數(shù)4、三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)5、反三角函數(shù)

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).二、復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)1、復(fù)合函數(shù)定義:注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.2、初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).例1解綜上所述例3解單值函數(shù),有界函數(shù),偶函數(shù),周期函數(shù)(無(wú)最小正周期)不是