高中數(shù)學(xué)北師大版必修2第一章4.2空間圖形的公理（二）作業(yè)

[學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練]eq\a\vs4\al(1.)已知空間兩個角∠AOB和∠A′O′B′，且兩角的兩邊分別對應(yīng)平行，∠AOB＝60°，則∠A′O′B′為()A．60° B．120°C．30° D．60°或120°解析：選D.利用等角定理可知兩角相等或互補．eq\a\vs4\al(2.)分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是()A．一定平行 B．一定相交C．一定異面 D．相交或異面解析：選D.分別和兩條異面直線平行的兩條直線相交或異面，如圖(1)(2)．eq\a\vs4\al(3.)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、B1C1的中點，則異面直線EF與GH所成的角等于()A．45° B．60°C．90° D．120°解析：選B.連接A1B、C1B、A1C1，易證∠A1BC1為異面直線EF與GH所成的角，又因為△BC1A1為等邊三角形，所以∠A1BC1＝60°.eq\a\vs4\al(4.)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為邊B1C1，C1C，A1A，AD的中點，則EF與GH()A．平行 B．相交C．異面 D．不能確定解析：選A.連接A1D，B1C，由三角形的中位線性質(zhì)可得GH∥A1D，EF∥B1C，又因為在正方體中A1D∥B1C，所以GH∥EF.eq\a\vs4\al(5.)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為棱A1C1，B1C1，B1B的中點，則∠EFG與∠ABC1()A．相等 B．互補C．相等或互補 D．不確定解析：選B.因為E、F、G分別是棱A1C1，B1C1，B1B的中點，由三角形中位線性質(zhì)得EF∥A1B1，GF∥BC1，又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以EF∥AB.所以∠EFG和∠ABC1的角的兩邊分別平行，利用平移可知兩邊互補．eq\a\vs4\al(6.)設(shè)直線a，b分別是長方體相鄰兩個面的對角線所在直線，則a與b的位置關(guān)系是________．解析：如圖，在平面ABB′A′和平面BB′C′C內(nèi)，兩條對角線有兩種位置關(guān)系，可能相交，也可能是異面直線．答案：相交或異面eq\a\vs4\al(7.)空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，若AC＝BD，則四邊形EFGH是________．解析：利用三角形的中位線可得，EF＝GH＝eq\f(1,2)AC，F(xiàn)G＝EH＝eq\f(1,2)BD.因為AC＝BD，所以EF＝FG＝GH＝EH.又利用平行公理，可知，EH∥FG，EF∥GH，所以四邊形EFGH是菱形．答案：菱形eq\a\vs4\al(8.)下列各圖是正方體或正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點中不共面的是________．解析：利用三角形中位線的性質(zhì)和平行公理4可知，①、②、③中的四個點共面，而④中的四個點不共面．答案：④eq\a\vs4\al(9.)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別為棱A1B1，AB的中點，求證：C1M∥CN.證明：連接MN，因為M，N為棱A1B1與AB的中點，所以MN綊A1A，由三棱柱性質(zhì)知A1A綊C1C，所以MN綊C1C，所以四邊形MNCC1為平行四邊形，所以C1M∥CN.eq\a\vs4\al(10.)如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，ED⊥CD，CD＝1，AD＝2eq\r(2)，求異面直線CE與AF所成角的余弦值．解：因為四邊形ADEF是正方形，所以FA∥ED.因為ED⊥CD，故∠CED為銳角，即為異面直線CE與AF所成的角．在Rt△CDE中，CD＝1，ED＝2eq\r(2)，CE＝eq\r(CD2＋ED2)＝3，故cos∠CED＝eq\f(ED,CE)＝eq\f(2\r(2),3)，所以所求異面直線CE與AF所成角的余弦值為eq\f(2\r(2),3).[高考水平訓(xùn)練]eq\a\vs4\al(1.)如圖是一個正方體的平面展開圖，則在正方體中，AB與CD的位置關(guān)系為()A．相交 B．平行C．異面而且垂直 D．異面但不垂直解析：選D.將展開圖還原為正方體，如圖所示．AB與CD所成的角為60°，故選D.eq\a\vs4\al(2.)在空間四邊形ABCD中，已知E，F(xiàn)分別為邊AB和CD的中點，且EF＝5，AD＝6，BC＝8，則AD與BC所成的角的大小為________．解析：如圖，連接BD，取BD的中點G，連接EG，GF，由三角形的中位線定理可知：EG綊eq\f(1,2)AD，GF綊eq\f(1,2)BC.∵AD＝6，BC＝8，∴EG＝3，GF＝4，又因為EF＝5，所以EG2＋GF2＝EF2，所以∠EGF＝90°，∠EGF就是AD與BC所成的角．答案：90°eq\a\vs4\al(3.)如圖所示，P是△ABC所在平面外一點，D、E分別是△PAB、△PBC的重心．求證：DE∥AC，DE＝eq\f(1,3)AC.證明：連接PD并延長交AB于M，連接PE并延長交BC于N，則M為AB的中點，N為BC的中點，∴MN∥AC，又eq\f(PD,DM)＝eq\f(PE,EN)＝eq\f(2,1)，∴DE∥MN，∴DE∥AC.又eq\f(DE,MN)＝eq\f(PD,PM)＝eq\f(2,3)，∴DE＝eq\f(2,3)MN，又因MN＝eq\f(1,2)AC，∴DE＝eq\f(1,3)AC.4．如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？解：(1)證明：由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(