高中數(shù)學北師大版練習第三章3第1課時指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

§3指數(shù)函數(shù)第1課時指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)水平11.y＝2－x在R上是減函數(shù)．()2．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)是增函數(shù)．()3．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)過定點(0，1).()4．y＝2x－1的定義域是[0，＋∞).()5．指數(shù)函數(shù)的圖象都在x軸上方．()【解析】1.√.2．提示：×.指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1是增函數(shù)；底數(shù)大于0且小于1是減函數(shù)．3．√.4．提示：×.y＝2x－1的定義域是R.5．√.·題組一指數(shù)函數(shù)的概念1．下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝2·(eq\r(2))x B．y＝xxC．y＝3－eq\f(1,x) D．y＝(eq\r(3))x【解析】選D.由指數(shù)函數(shù)定義可知，函數(shù)y＝(eq\r(3))x是指數(shù)函數(shù)．2．函數(shù)f(x)＝(2a－3)ax是指數(shù)函數(shù)，則f(1)＝()A．8 B．eq\f(3,2) C．4 D．2【解析】選D.函數(shù)f(x)＝(2a－3)ax是指數(shù)函數(shù)，所以2a－3＝1，解得a＝2.所以f(x)＝2x，所以f(1)＝2.3．若y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則有()A．a(chǎn)＝1或2B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝2D．a(chǎn)>0且a≠1【解析】選C.由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1,a>0,a≠1))，解得a＝2.·題組二指數(shù)函數(shù)的圖象1．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(x)的圖象可能是()【解析】選C.底數(shù)為eq\f(3,4)，函數(shù)單調(diào)遞減，圖象在x軸上方且過點(0，1).2．函數(shù)y＝5x與y＝5－x的圖象關于______對稱．()A．x軸 B．y軸C．原點 D．直線y＝x【解析】選B.底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關于y軸對稱．3．函數(shù)f(x)＝ax＋1－2(a＞0，且a≠1)的圖象恒過的點為()A．(－1，－1) B．(－1，0)C．(0，－1) D．(－1，－2)【解析】選A.令x＋1＝0.則x＝－1，f(－1)＝－1，所以函數(shù)f(x)的圖象恒過的點為(－1，－1).·題組三指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性1．若指數(shù)函數(shù)y＝(1－3a)x在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B．(1，＋∞)C．R D．(－∞，0)【解析】選D.因為指數(shù)函數(shù)y＝(1－3a)x在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以1－3a＞1，所以a＜0.2．若指數(shù)函數(shù)y＝(a－2)x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，那么()A．2＜a＜3 B．－2＜a＜1C．a(chǎn)＞3 D．0＜a＜1【解析】選A.因為指數(shù)函數(shù)y＝(a－2)x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，所以0＜a－2＜1，解得2＜a＜3.3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在區(qū)間[－2，2]上的最小值是()A．－eq\f(1,4) B．eq\f(1,4)C．－4 D．4【解析】選B.因為函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在定義域R上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最小值為f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).·題組四比較指數(shù)冪的大小1．已知a＝20.3，b＝23，c＝2－1，那么a，b，c的大小關系為()A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a【解析】選B.因為函數(shù)y＝2x在R上單調(diào)遞增，3＞0.3＞－1，a＝20.3，b＝23，c＝2－1，所以b＞a＞c.2．已知a＝0.30.3，b＝0.31.3，c＝1.30.3，則它們的大小關系是()A．c＞a＞b B．c＞b＞aC．b＞c＞a D．a(chǎn)＞b＞c【解析】選A.a＝0.30.3，b＝0.31.3，c＝1.30.3，因為y＝0.3x為減函數(shù)，所以0.30.3＞0.31.3，因為y＝x0.3為增函數(shù)，所以0.30.3＜1.30.3，故c＞a＞b.3．下列各式比較大小正確的是()A．1.72.5＞1.73 B．0.6－1＞0.62C．0.8－0.1＞1.250.2 D．1.70.3＜0.93.1【解析】選B.對于指數(shù)函數(shù)y＝ax，當a＞1時，函數(shù)為增函數(shù)，故A錯誤，當0＜a＜1時，函數(shù)為減函數(shù)，故B正確，由于0.8－0.1＝1.250.1，對于指數(shù)函數(shù)y＝ax，當a＞1時，函數(shù)為增函數(shù)，故C錯誤，由于1.70.3＞1，0.93.1＜1，故D錯誤．·題組五簡單的指數(shù)方程和不等式1．方程92x－1＝3eq\r(3)的解為()A．x＝eq\f(7,8)B．x＝1C．x＝eq\f(5,4)D．x＝2【解析】選A.由92x－1＝3eq\r(3)，即32(2x－1)＝3eq\s\up6(\f(3,2))，所以4x－2＝eq\f(3,2)，所以x＝eq\f(7,8).2．不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2)－3＜2－2x的解集是________．【解析】因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2)－3＜2－2x，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2)－3＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2x)，因為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在R上單調(diào)遞減，所以x2－3＞2x，解得：x＞3或x＜－1，所以不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2)－3＜2－2x的解集是{x|x＞3或x＜－1}．答案：{x|x＞3或x＜－1}3．求滿足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－3)＞16的x的取值集合是__________．【解析】因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－3)＞16，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－3)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－2)，根據(jù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)的單調(diào)性可知，x－3＜－2，故x＜1.答案：(－∞，1)4．函數(shù)y＝eq\r(2x－8)的定義域為__________．【解析】依題意得，2x－8≥0，所以2x≥8＝23，又y＝2x為增函數(shù)，所以x≥3.所以函數(shù)y＝eq\r(2x－8)的定義域為{x|x≥3}．答案：[3，＋∞)易錯點一混淆y＝ax與y＝a－x的底數(shù)函數(shù)y＝3－x的圖象是()【解析】選B.y＝3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，故選項B中的圖象符合題意．【易錯誤區(qū)】y＝ax的底數(shù)是a，而y＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的底數(shù)是eq\f(1,a)，而y＝a3x＝(a3)x的底數(shù)是a3，先把函數(shù)化成指數(shù)函數(shù)的標準形式，再去找底數(shù)．易錯點二比較指數(shù)冪大小時忽略底數(shù)已知am>an(a>0)，則m，n的大小關系為()A．m>nB．m<nC．m＝nD．a(chǎn)>1時，m>n；0<a<1時，m<n【解析】選D.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，a>1時，單調(diào)遞增，所以m>n；0<a<1時，單調(diào)遞減，所以m<n.【易錯誤區(qū)】比較同底數(shù)冪的大小時，先看底數(shù)是大于1還是大于0且小于1.底數(shù)大于1指數(shù)越大冪值越大，底數(shù)大于0且小于1指數(shù)越大冪值越?。恢赖讛?shù)大小時要進行分類討論．水平1、2限時30分鐘分值60分戰(zhàn)報得分______一、選擇題(每小題5分，共30分)1．指數(shù)函數(shù)y＝ax與y＝bx的圖象如圖所示，則()A．a(chǎn)<0，b>0 B．0<a<1，0<b<1C．0<a<1，b>1 D．a(chǎn)>1，0<b<1【解析】選C.y＝ax是減函數(shù)，則0<a<1，y＝bx是增函數(shù)，則b>1.2．已知函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a－4)))eq\s\up12(x)的圖象與指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象關于y軸對稱，則實數(shù)a的值是()A．1 B．2 C．4 D．8【解析】選C.因為函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a－4)))eq\s\up12(x)的圖象與指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象關于y軸對稱，所以eq\f(1,2a－4)＝a－1＝eq\f(1,a)，所以a＝4.經(jīng)檢驗，a＝4符合題意．3．(金榜原創(chuàng)題)函數(shù)y＝ax－2021＋2020(a＞0且a≠1)的圖象必經(jīng)過點()A．(2021，2021)B．(2020，2020)C．(2020，2021)D．(2021，2020)【解析】選A.對于函數(shù)y＝ax－2021＋2020(a＞0且a≠1)，令x－2021＝0，求得x＝2021，f(2021)＝2021，可得它的圖象必經(jīng)過點(2021，2021).【變式備選】1.函數(shù)f(x)=a2x+21恒過定點 ()A.(1,1) B.(1,1)C.(1,0) D.(1,1)【解析】選C.令2x+2=0,求得x=1,且f(1)=0,故函數(shù)f(x)=a2x+21恒過定點(1,0).2.已知冪函數(shù)f(x)=xa的圖象經(jīng)過函數(shù)g(x)=mx2QUOTE(m>0且m≠1)的圖象所過的定點,則fQUOTE的值等于 ()A.1 B.3 C.6 D.9【解析】選B.函數(shù)g(x)=mx2QUOTE(m>0且m≠1),令x2=0,解得x=2;此時g(2)=QUOTE,所以g(x)的圖象過定點QUOTE,所以2a=QUOTE,解得a=1;所以f(x)=x1,所以fQUOTE=3.4．函數(shù)y＝eq\r(2x－1)的定義域是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)【解析】選C.由2x－1≥0，得2x≥20，所以x≥0.5．已知集合A＝{x|1＜x＜2}，關于x的不等式2a＜2－a－x的解集為B，若A∩B＝A，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)C．(－1，＋∞) D．[－1，＋∞)【解析】選A.由2a＜2－a－x，得a＜－a－x，則x＜－2a，所以集合B＝{x|x＜－2a}，因為集合A＝{x|1＜x＜2}，A∩B＝A，所以－2a≥2，解得a≤－1，則實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1].6．(多選)對于函數(shù)f(x)定義域中任意的x1，x2(x1≠x2)，當f(x)＝2－x時，下列結(jié)論中正確的是()A．f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)C．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＜eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)【解析】選ACD.f(x)＝2－xf(x1＋x2)＝2－(x1＋x2)，f(x1)f(x2)＝2－x1·2－x2＝2－(x1＋x2)，故A對；f(x1·x2)＝2－(x1·x2)≠2－x1＋2－x2＝f(x1)＋f(x2)，故B錯；因為f(x)＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)為減函數(shù)，所以當x1＞x2時，有f(x1)＜f(x2)，有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，同理當x1<x2時，此式也成立，故C對，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＝eq\r(2－（x1＋x2）)，eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＝eq\f(2－x1＋2－x2,2)，由基本不等式，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＜eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)，故D對．二、填空題(每小題5分，共20分)7．(2021·寶雞高一檢測)函數(shù)f(x)的值域為(0，＋∞)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則符合要求的函數(shù)f(x)可以為________．(寫出符合條件的一個函數(shù)即可)【解析】因為函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的值域為(0，＋∞)，且在定義域R內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)是符合要求的一個函數(shù)．答案：f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)(答案不唯一)8．已知a＝0.32，b＝0.30.2，c＝1，a，b，c的大小關系是________(用“＞”連接).【解析】因為函數(shù)y＝0.3x在R上是減函數(shù)，0.2<2，所以0.30.2>0.32，且b＝0.30.2＜0.30＝1，c＝1，所以a，b，c的大小關系是c＞b＞a.答案：c＞b＞a9．若函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在區(qū)間[－1，2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)＝(1－4m)x在R上是單調(diào)增函數(shù)，則a＝________．【解析】若函數(shù)g(x)＝(1－4m)x在R上是單調(diào)增函數(shù)，則1－4m＞0，則m＜eq\f(1,4).若a＞1，因為函數(shù)f(x)＝ax在區(qū)間[－1，2]上的最大值為4，最小值為m，所以a2＝4，m＝a－1＝eq\f(1,a).解得a＝2，m＝eq\f(1,2)，不滿足m＜eq\f(1,4).若0＜a＜1，因為函數(shù)f(x)＝ax在區(qū)間[－1，2]上的最大值為4，最小值為m，所以a－1＝eq\f(1,a)＝4，m＝a2，解得a＝eq\f(1,4)，m＝eq\f(1,16)，滿足m＜eq\f(1,4).所以a＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)10．若函數(shù)f(x)＝(2a－1)x－3－2，則y＝f(x)的圖象恒過定點________，又f(x)在R上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．【解析】對于函數(shù)f(x)＝(2a－1)x－3－2，令x－3＝0，求得x＝3，f(x)＝－1，可得y＝f(x)的圖象恒過定點(3，－1).再根據(jù)函數(shù)f(x)＝(2a－1)x－3－2在R上是減函數(shù)，故有0＜2a－1＜1，求得eq\f(1,2)＜a＜1.答案：(3，－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))【變式備選】若f(x)=(2a1)x是增函數(shù),那么a的取值范圍為 ()A.a<QUOTE B.QUOTE<a<1C.a>1 D.a≥1【解析】選C.因為f(x)=(2a1)x是增函數(shù),所以2a1>1,解得a>1.三、解答題11．(10分)已知函數(shù)f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1).(1)若函數(shù)f(x)的圖象過點(3，4)，求實數(shù)a的值；(2)求關于x的不等式f(x)＞a3的解集．【解析】(1)函數(shù)f(x)的圖象過點(3，4)，則a2＝4，因為a＞0，且a≠1，則a＝2.(2)由f(x)＞a3可得ax－1＞a3，當0＜a＜1時，x－1＜3，解得x＜4，即不等式的解集為(－∞，4)；當a＞1時，x－1＞3，解得x＞4，即不等式