高中數(shù)學(xué)北師大版練習(xí)第二章4-1第1課時(shí)函數(shù)奇偶性的概念

§4函數(shù)的奇偶性與簡(jiǎn)單的冪函數(shù)4．1函數(shù)的奇偶性第1課時(shí)函數(shù)奇偶性的概念水平11．對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)y＝f(x)一定是奇函數(shù)．()2．不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)．()3．奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(－2)＝5，則f(2)＝－5.()4．若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則f(0)＝0.()5．若f(0)＝0，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．()【解析】1.提示：×.反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函數(shù)f(x)＝x2不是奇函數(shù)．2．提示：×.函數(shù)f(x)＝0，x∈R既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．3．√.4．提示：×.比如：f(x)＝eq\f(1,x)是奇函數(shù)，但是f(0)不存在．5．提示：×.比如：f(x)＝eq\f(x,x＋1)滿足f(0)＝0，但是f(x)是非奇非偶函數(shù)·題組一利用定義判斷函數(shù)的奇偶性1．已知函數(shù)f(x)＝3x－eq\f(3,x)(x≠0)，則函數(shù)()A.是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減B.是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減C.是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增【解析】選C.因?yàn)閒(－x)＝－3x＋eq\f(3,x)＝－(3x－eq\f(3,x))＝－f(x)，又因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．2．如果f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定為偶函數(shù)的是()A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)C.y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)【解析】選B.因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x).令y＝g(x).對(duì)于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函數(shù)；對(duì)于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以y＝xf(x)是偶函數(shù)；對(duì)于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，由于g(－x)≠g(x)，g(－x)≠－g(x)，所以y＝x2＋f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；對(duì)于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函數(shù)．3．下列函數(shù)為偶函數(shù)的是________(填序號(hào)).①y＝x2(x≥0)；②y＝(x－1)eq\r(\f(x＋1,1－x))；③y＝2；④y＝|x|(x≤0).【解析】對(duì)于①④，其定義域顯然不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故其為非奇非偶函數(shù)；又②中，由得定義域?yàn)閇－1，1)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故②也是非奇非偶函數(shù)；對(duì)于③，其定義域?yàn)镽，且對(duì)?x∈R都滿足f(－x)＝f(x)＝2，故③是偶函數(shù)．答案：③·題組二函數(shù)的奇偶性的圖象特征1．已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2都成立，則下列不等式中，正確的是()A.f(－5)>f(3)B．f(－5)<f(3)C.f(－3)>f(－5)D．f(－3)<f(－5)【解析】選C.設(shè)0<x1<x2，則x1－x2<0，由eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，得f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，所以由－3>－5，可得f(－3)>f(－5).2．已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定義在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a－2，2a＋\f(1,3)))上的偶函數(shù)，則5a＋3b等于()A.eq\f(5,3)B．eq\f(1,3)C．0D．－eq\f(2,3)【解析】選A.因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，即ax2－bx＋1＝ax2＋bx＋1，所以b＝0.又f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a－2，2a＋\f(1,3)))，所以3a－2＋2a＋eq\f(1,3)＝0，所以a＝eq\f(1,3).故5a＋3b＝eq\f(5,3).3．(1)若f(x)為奇函數(shù)，且在[a，b]上有最大值M，則f(x)在[－b，－a]上有最______(填“大”或“小”)值______．(2)若f(x)為奇函數(shù)，f(x)＋2在x∈[a，b]上有最大值M，則f(x)＋2在x∈[－b，－a]上有最________(填“大”或“小”)值________．【解析】(1)設(shè)x∈[－b，－a]，則－x∈[a，b]，所以f(－x)≤M且存在x0∈[a，b]，使f(x0)＝M.因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以－f(x)≤M，f(x)≥－M，且存在－x0∈[－b，－a]，使f(－x0)＝－M.所以f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.(2)由(1)知，f(x)在[a，b]上有最大值M－2時(shí)，f(x)在[－b，－a]上有最小值－M＋2.所以f(x)＋2在[－b，－a]上有最小值－M＋4.答案：(1)小－M(2)?。璏＋4·題組三利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式、函數(shù)值1．已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于()A.4 B．3 C．2 D．1【解析】選B.因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1).又g(x)是偶函數(shù)，所以g(－1)＝g(1).因?yàn)閒(－1)＋g(1)＝2，所以g(1)－f(1)＝2.①又f(1)＋g(－1)＝4，所以f(1)＋g(1)＝4.②由①②得g(1)＝3.2．奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(1－x)，則在(－∞，0)上f(x)的函數(shù)解析式是()A.f(x)＝－x(1－x) B．f(x)＝x(1＋x)C.f(x)＝－x(1＋x) D．f(x)＝x(x－1)【解析】選B.設(shè)x<0，則－x>0，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(1－x)，所以f(－x)＝－x(1＋x)，又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，即f(－x)＝－f(x)，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x).3．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)，若f(a)＝eq\f(2,3)，則f(－a)＝________．【解析】根據(jù)題意，f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)＝1＋eq\f(x,x2＋1)，而h(x)＝eq\f(x,x2＋1)是奇函數(shù)；故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(huán)(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)易錯(cuò)點(diǎn)一忽略定義域而出錯(cuò)1．若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定義在(－a，0)∪(0，2a－2)上的偶函數(shù)，則f(1)等于()A.1 B．3C.eq\f(5,2) D．eq\f(7,2)【解析】選B.因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函數(shù)不含奇次項(xiàng)，所以a－2b＝0，即b＝1，所以f(x)＝2x2＋1.于是f(1)＝3.2．下列函數(shù)中是奇函數(shù)的為()A.f(x)＝x3＋x5B.f(x)＝|x＋1|＋|x－1|C.f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1)D.f(x)＝【解析】選A.對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽.因?yàn)閒(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)；對(duì)于B，f(x)的定義域是R.因?yàn)閒(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)；對(duì)于C.函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)；對(duì)于D，f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(－x)＝(－x)3＝－x3，而f(x)＝x2，所以當(dāng)x<0時(shí)不滿足f(－x)＝f(x)，也不滿足f(－x)＝－f(x).故此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．【易錯(cuò)誤區(qū)】“函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”是“函數(shù)為奇函數(shù)(偶函數(shù))”的必要條件．易錯(cuò)點(diǎn)二忽略奇偶函數(shù)定義中的“任意”而出錯(cuò)1．函數(shù)f(x)＝|x|＋x的奇偶性為()A.奇函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)C.偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【解析】選D.函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)閒(1)＝2，f(－1)＝0，所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．2．(多選)設(shè)Q表示有理數(shù)集合，已知函數(shù)D(x)＝，則下列判斷正確的是()A.D(x)的定義域?yàn)镽B.D(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1))C.D(x)是偶函數(shù)D.D(x)是增函數(shù)【解析】選ABC.因?yàn)镼∪(RQ)＝R，所以定義域?yàn)镽，因?yàn)镈(x)只有兩個(gè)函數(shù)值，所以值域?yàn)閧0，1}，對(duì)于任意的x∈Q，－x∈Q，都有D(－x)＝1，D(x)＝1，對(duì)于任意的x∈RQ，－x∈RQ，都有D(－x)＝0，D(x)＝0，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有D(－x)＝D(x)，所以D(x)是偶函數(shù)．所以ABC都是正確的．因?yàn)镈(0)＝1>D(eq\r(2))＝0，所以D(x)不是增函數(shù)．所以D錯(cuò)誤．【易錯(cuò)誤區(qū)】用奇偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性，需要判斷定義域內(nèi)的“任意一個(gè)x”，都有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，不是只驗(yàn)證某一個(gè)或某幾個(gè)．水平1、2限時(shí)30分鐘分值60分戰(zhàn)報(bào)得分______一、選擇題(每小題5分，共30分)1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C.y＝－x2＋1 D．y＝x－eq\f(1,x)【解析】選B.因?yàn)閥＝x3在定義域R上是奇函數(shù)，故A不對(duì)；y＝－x2＋1在定義域R上是偶函數(shù)，但在(0，＋∞)上是減函數(shù)，故C不對(duì)；y＝x－eq\f(1,x)是奇函數(shù)，在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故D不對(duì)；B中y＝|x|＋1是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)．2．已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)等于()A.－3 B．－1 C．1 D．3【解析】選C.令x＝－1可得f(－1)－g(－1)＝1，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，即f(－1)－g(－1)＝1?f(1)＋g(1)＝1.3．已知f(x)＝x5－ax3＋bx＋2，且f(5)＝17，則f(－5)的值為()A.－13 B．13 C．－19 D．19【解析】選A.設(shè)g(x)＝x5－ax3＋bx，則g(x)為奇函數(shù)．f(x)＝g(x)＋2，f(5)＝g(5)＋2＝17.所以g(5)＝15，故g(－5)＝－15.所以f(－5)＝g(－5)＋2＝－15＋2＝－13.4．若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,（2x＋1）（x－a）)為奇函數(shù)，則a等于()A.1 B．2 C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)【解析】選C.由題意得f(－x)＝－f(x)，則eq\f(－x,（－2x＋1）（－x－a）)＝－eq\f(x,（2x＋1）（x－a）)，當(dāng)x≠0時(shí)，2x2＋(2a－1)x－a＝2x2＋(1－2a)x－a，所以2a－1＝1－2a，所以a＝eq\f(1,2).當(dāng)x＝0時(shí)，也符合．所以a＝eq\f(1,2).5．(多選)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x－x2，則下列說(shuō)法正確的是()A.f(－1)＝0B.f(x)的最大值為eq\f(1,4)C.f(x)在(－1，0)上單調(diào)遞增D.f(x)>0的解集為(－1，1)【解析】選AB.f(－1)＝f(1)＝0，A正確；當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x－x2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)，所以f(x)的最大值為eq\f(1,4)，B正確；f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))上是減函數(shù)，C錯(cuò)誤；f(x)>0的解集為(－1，0)∪(0，1)，D錯(cuò)誤．6．(金榜原創(chuàng)題)(多選)設(shè)a是實(shí)數(shù)，關(guān)于函數(shù)f(x)＝2x2＋eq\f(3a,x)的性質(zhì)正確的為()A.當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)是偶函數(shù)B.當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)是非奇非偶函數(shù)C.當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增D.當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上的最小值為12【解析】選AB.因?yàn)楫?dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝2x2，所以f(x)是偶函數(shù)．當(dāng)a≠0時(shí)，f(－1)＝2－3a，f(1)＝2＋3a，所以f(－1)－f(1)＝－6a≠0，即f(－1)≠f(1)，所以f(x)不是偶函數(shù)，因?yàn)閒(－1)＋f(1)＝4，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)不是奇函數(shù)，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)．當(dāng)a＝1時(shí)，在(－∞，0)上2x2是減函數(shù)，eq\f(3,x)也是減函數(shù)，所以f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)．當(dāng)a＝2時(shí)，f(1)＝8<12，所以f(x)在(0，＋∞)上的最小值為12是錯(cuò)誤的．二、填空題(每小題5分，共20分)7．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函數(shù)，則f(0)，f(1)，f(－2)從小到大的排列是________．【解析】因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，所以m＝0，即f(x)＝－x2＋2.因?yàn)閒(x)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為y軸，在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0).答案：f(－2)<f(1)<f(0)8．已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，f(x)＝2x2，則f(7)＝________．【解析】f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)，因?yàn)?∈(0，2)，所以f(1)＝2×12＝2，所以f(7)＝－f(1)＝－2.答案：－29．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2－4，則x>0時(shí)，f(x)的解析式為_(kāi)_______，不等式f(x)<0的解集為_(kāi)_______．【解析】當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，所以f(－x)＝(－x)2－4＝x2－4，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝x2－4＝－f(x)，所以f(x)＝－x2＋4，即x>0時(shí)，f(x)＝－x2＋4.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，即x2－4<0，解得－2<x<2，又因?yàn)閤<0，所以－2<x<0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，即4－x2<0，解得x<－2或x>2，又因?yàn)閤>0，所以x>2.綜上可得，f(x)<0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞).答案：f(x)＝－x2＋4(－2，0)∪(2，＋∞)10．設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，則函數(shù)f(x)，g(x)的解析式分別為_(kāi)_________________________________________．【解析】因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.答案：f(x)＝x2，g(x)＝2x三、解答題11．(10分)已知f(x)是定義在R上的不恒為0的函數(shù)，且對(duì)于任意的x，y∈R，有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x).(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論．【解析】(1)因?yàn)閒(x·y)＝xf(y)＋yf(x)，令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0＋0＝0，即f(0)＝0.令x＝y(tǒng)＝1，得f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)，所以f(1)＝0.(2)f(x)是奇函數(shù)．因?yàn)閒(1)＝f[(－1)·(－1)]＝(－1)f(－1)＋(－1)f(－1)＝0，所以f(－1)＝0.對(duì)任意的x∈R，f(－x)＝f[(－1)·x]＝(－1)f(x)＋xf(－1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．【加練備選】已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,又f(1)=2.(1)判斷f(x)的奇偶性;(2)求證:f(x)是R上的減函數(shù);(3)求f(x)在區(qū)間[3,3]上的值域;(4)若對(duì)任意x∈R,不等式f(ax2)2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范圍.【解析】(1)取x=y=0,則f(0+0)=2f(0),所以f(0)=0.取y=x,則f(xx)=f(x)+f(x)=f(0)=0,所以f(x)=f(x)對(duì)任意x∈R恒成立,所以f(x)為奇函數(shù).(2)任取x1,x2∈(∞,+∞),且x1<x2,則x2x1>0,f(x2)+f(x1)=f(x2x1)<0,所以f(x2)<f(x1).又f(x)為奇函數(shù),所以f(x1)>f(x2),所以f(x)是R上的減函數(shù).(3)由(2)知f(x)在R上為減函數(shù),所以對(duì)任意x∈[3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(3),因?yàn)閒(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=2×3=6,所以f(3)=f(3)=6,f(x)在[3,3]上的值域?yàn)閇6,6].(4)f(x)為奇函數(shù),整理原式得f(ax2)+f(2x)<f(x)+f(2),則f(ax22x)<f(x2),因?yàn)閒(x)在(∞,+∞)上是減函數(shù),所以ax22x>x2,當(dāng)a=0時(shí),2x>x2在R上不是恒成立,與題意矛盾;當(dāng)a>0時(shí),ax22xx+2>0,要使不等式恒成立,則Δ=98a<0,即a>QUOTE;當(dāng)a<0時(shí),ax23x+2>0在R上不是恒成立,不合題意.綜上所述,a的取值范圍為QUOTE.已知函數(shù)f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n