2023年湖南省岳陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

2023年岳陽(yáng)市初中學(xué)業(yè)水平考試試卷

數(shù)學(xué)

溫馨提示：

1.本試卷共三大題，24小題，滿(mǎn)分120分，考試時(shí)量90分鐘；

2.本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，所有答案都必須填涂或填寫(xiě)在答題卡上規(guī)定的答題區(qū)

域內(nèi)；

3,考試結(jié)束后，考生不得將試題卷、答題卡、草稿紙帶出考場(chǎng).

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，滿(mǎn)分24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出

符合要求的一項(xiàng)）

I.2023的相反數(shù)是（）

1

A.-------B.-2023C.2023D.---------

20232023

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得.

【詳解】解：2023的相反數(shù)是-2023,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）

A.a1a-α3B?af,÷a2=o'C.3a—a=3D.(a-b)2-er-b^

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)基的乘法，同底數(shù)基的除法，合并同類(lèi)項(xiàng)法則，完全平方公式，進(jìn)行計(jì)算即可求解.

詳解】解：A、故該選項(xiàng)正確，符合題意；

624

B、a÷a=a>故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C、3>a-a=2a,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D、（a-b）2=a2-2ab+b2,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)累的乘法，同底數(shù)暴的除法，合并同類(lèi)項(xiàng)，完全平方公式，熟練掌握同底數(shù)累

的乘法，同底數(shù)'幕的除法，合并同類(lèi)項(xiàng)法則，完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

3.下列兒何體的主視圖是圓的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)主視圖的概念找出各種幾何體的主視圖即可.

【詳解】解：A、主視圖為圓，符合題意;

B、主視圖為正方形，不符合題意;

C、主視圖為三角形，不符合題意;

D、主視圖為并排的兩個(gè)長(zhǎng)方形，不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，解題的關(guān)鍵是能夠理解主視圖的概念以及對(duì)常見(jiàn)的幾何體的主視

圖有一定的空間想象能力.

4.已知ABC。，點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上，點(diǎn)EG在直線(xiàn)CO上，EGLEF于點(diǎn)E,NAEF=40。，則

c.50°D.60°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余分析計(jì)算求解.

【詳解】解：?.?AB.CD,

，ZAEF=ZEFG=40°,

?：EGA.EF,

/.NEGF=90o-ZEFG=50°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余，掌握兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等以及直角三角形

兩銳角互余是解題關(guān)鍵.

5.在5月份跳繩訓(xùn)練中，妍妍同學(xué)一周成績(jī)記錄如下：176,178,178,180,182,185,189（單位：次/分鐘）,

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.180,182B,178,182C,180,180D,178,180

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義即可得到答案.

【詳解】解：數(shù)據(jù)從小到大排列為176,178,178,180,182,185,189,出現(xiàn)次數(shù)最多的是178,共出現(xiàn)2

次，眾數(shù)是178,中位數(shù)為180.

故選：D

【點(diǎn)睛】此題考查了眾數(shù)和中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，一組數(shù)據(jù)按照大小順序排

列后，處在中間位置或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)叫做中位數(shù)，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

6.下列命題是真命題的是（）

A.同位角相等B.菱形的四條邊相等

C.正五邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形D.單項(xiàng)式54〃的次數(shù)是4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正五邊形定義，中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義，單項(xiàng)式次數(shù)的定義求解.

【詳解】A.兩平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，同位角相等，故此命題為假命題；

B.根據(jù)菱形的性質(zhì)，菱形的四條邊相等，故此命題為真命題；

C.正五邊形不符合中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此命題為假命題；

D.單項(xiàng)式5。〃的次數(shù)是3,故此命題是假命題；

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正五邊形定義，中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義，單項(xiàng)式次數(shù)的定

義，熟練掌握上述知識(shí)是關(guān)鍵.

7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題：“今有圓材，徑二尺五寸.欲為方版，令厚七寸，問(wèn)

廣幾何？”結(jié)合右圖，其大意是：今有圓形材質(zhì)，直徑BD為25寸，要做成方形板材，使其厚度Co達(dá)到

7寸.則BC的長(zhǎng)是（）

A.屈疝寸B.25寸C.24寸D.7寸

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，勾股定理求解.

【詳解】由題意知，四邊形ABC。是矩形，

：.BClCD

在Rt-BCD中，BC=√BD2-BC2=√252-72=24

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理；由矩形的性質(zhì)得出直角三角形是解題的關(guān)鍵.

8.若一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足(％,2%),我們將這樣的點(diǎn)定義為“倍值點(diǎn)”.若關(guān)于X的二次函數(shù)

y=(t+l)χ2+(r+2)χ+s(s,f為常數(shù)，∕≠-1)總有兩個(gè)不同的倍值點(diǎn)，則S的取值范圍是()

A.5<-lB.s<0C.0<5<lD.—l<s<()

【答案】D

【解析】

【分析】利用“倍值點(diǎn)”的定義得到方程(r+l)f+fχ+s=O,則方程的A>0,可得戶(hù)一4rs—4s>0,

利用對(duì)于任意的實(shí)數(shù)S總成立，可得不等式的判別式小于0,解不等式可得出S的取值范圍.

【詳解】解：由“倍值點(diǎn)”的定義可得：2x=(r+l)x2+(f+2)x+s,

整理得，(r+l)χ2+fx+s=0

?；關(guān)于X的二次函數(shù)y="+l)f+(r+2)x+s(s,f為常數(shù)，r≠-l)總有兩個(gè)不同的倍值點(diǎn)，

?=r2-4(^+l)s=Γ-4fs-4s>0,

???對(duì)于任意實(shí)數(shù)S總成立，

.?.(Ts)2-4χ(-4s)<0,

整理得，16/+165<0,

.,.—+S<0,

.,.s(s+l)<(),

5<0[^s>0

《，或〈，

5+1>0[5+1<0

5<0

當(dāng)<,C時(shí)，解得-l<s<0,

5+1>0

5>0

當(dāng)<,八時(shí)，此不等式組無(wú)解，

5+l<0

—1<s<0,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一元二次方程根的判別式以及二次函數(shù)與不等式

的關(guān)系，理解新定義并能熟練運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共8小題，每小題4分，滿(mǎn)分32分)

9.函數(shù)y=-1中，自變量X的取值范圍是.

X—2

【答案】x≠2

【解析】

【詳解】解：由題意知：片2翔，解得存2；

故答案為Λ≠2.

10.近年來(lái)，岳陽(yáng)扛牢“守護(hù)好一江碧水”責(zé)任，水在變清，岸在變綠，洞庭湖真正成為鳥(niǎo)類(lèi)的天堂.2022

年冬季，洞庭湖區(qū)越冬水鳥(niǎo)數(shù)量達(dá)37.83萬(wàn)只，數(shù)據(jù)378300用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】3.783×IO5

【解析】

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較大的數(shù)時(shí)，一般形式為aχlθ",其中l(wèi)≤∣α∣<10,〃為整數(shù).

【詳解】解：378300=3.783×1O5.

故答案為：3.783×105.

【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為"X10"的形式，其中l(wèi)≤∣α∣<10,〃為整數(shù).確

定〃的值時(shí)，要看把原來(lái)的數(shù)，變成“時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)

原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，〃是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，〃是負(fù)數(shù)，確定”與〃的值是解題的關(guān)鍵.

11.有兩個(gè)女生小合唱隊(duì)，各由6名隊(duì)員組成，甲隊(duì)與乙隊(duì)的平均身高均為160cm，甲隊(duì)身高方差

4=1.2,乙隊(duì)身高方差??=2.0,兩隊(duì)身高比較整齊的是隊(duì).（填“甲”或“乙”）

【答案】甲

【解析】

【分析】根據(jù)方差越小，波動(dòng)越小，越穩(wěn)定判斷即可.

【詳解】V4=1.2,?=2.0,且S寺Vv

甲隊(duì)穩(wěn)定，

故答案為：甲.

【點(diǎn)睛】本題考查了方差的決策性，熟練掌握方差的意義是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，①在。4,。8上分別截取線(xiàn)段8,QE,使QD=OE；②分別以。,E為圓心，以大于JoE的

2

長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，在NAOB內(nèi)兩弧交于點(diǎn)C；③作射線(xiàn)OC.若NAO8=60°,則NAOC=°.

【答案】30

【解析】

【分析】由作圖可知OC是NAOB的角平分線(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義即可得到答案.

【詳解】解：由題意可知，OC是NAoB的角平分線(xiàn)，

.?,ZAoC=LZA08=、60。=30。.

22

故答案為：30

【點(diǎn)睛】此題考查角平分線(xiàn)的作圖、角平分線(xiàn)相關(guān)計(jì)算，熟練掌握角平分線(xiàn)的作圖是解題的關(guān)鍵.

13.觀(guān)察下列式子：

I2-I=IxO;22—2=2x1；32-3=3×2;42-4=4×3;52-5=5×4;-

依此規(guī)律，則第〃（〃為正整數(shù)）個(gè)等式是.

【答案】n2-n=n[n-?)

【解析】

【分析】根據(jù)等式的左邊為正整數(shù)的平方減去這個(gè)數(shù)，等式的右邊為這個(gè)數(shù)乘以這個(gè)數(shù)減1，即可求解.

【詳解】解：；F-i=iχθ;22-2=2×l;32-3=3X2；42-4=4×3:52-5=5×4:-

.?.第〃（〃為正整數(shù)）個(gè)等式是〃2-1）,

故答案為：rΓ-n=n[n-?）.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類(lèi)規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

14.已知關(guān)于X的一元二次方程f+2mx+zw2一加+2=（）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且%+%2+$-2=2,

則實(shí)數(shù)機(jī)=.

【答案】3

【解析】

【分析】利用一元二次方程f+2aχ+加2一相+2=（）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根求出機(jī)的取值范圍，由根與

系數(shù)關(guān)系得到須+々=-2肛XlX2=機(jī)2-機(jī)+2,代入x∣+*2+x∣“2=2，解得加的值，根據(jù)求得的，〃的

取值范圍，確定機(jī)的值即可.

【詳解】解：?.?關(guān)于X的一元二次方程爐+2阻+機(jī)2一加+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

.?.?=（2m）2-4（m2-/?+2）=4w-8>0,

解得m>2,

,/xl+X2=-2m,X1JC2-nr-m+2,xl+x2+x1?x2=2,

?'?-2m+m2-m+2=2，

解得四=3,加2=0（不合題意，舍去），

.*.m=3

故答案為：3

【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握根的判別式和根與系

數(shù)關(guān)系的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

15.2023年岳陽(yáng)舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組在A處用儀器測(cè)得賽場(chǎng)

一宣傳氣球頂部E處的仰角為21.8°,儀器與氣球的水平距離BC為20米，且距地面高度AB為1.5米，則

氣球頂部離地面的高度EC是米(結(jié)果精確到0.1米

sin21.8o≈0.3714,cos21.8o≈0.9285,tan21.8o≈0.4000).

【答案】9.5

【解析】

【分析】通過(guò)解直角三角形AOE，求出DE,再根據(jù)EC=Ez）+。C求出結(jié)論即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，四邊形AB8是矩形,

.*.AD=BC=20m,DC=AB=1.5m,

DE

在RtAADE中，tanNDAE=,

AD

DE=ADtanNDAE≈20×0.400=8.0m,

.?.EC=ED+OC=8.0+1.5=9.5m

故答案為：9.5

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.此題難度適中，注意能借助仰角構(gòu)造直角三角形

并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵.

16.如圖，在［。中，AB為直徑，BZ）為弦，點(diǎn)C為Bo的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為切點(diǎn)的切線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交

于點(diǎn)E.

則的長(zhǎng)是.（結(jié)果保留％）；

(2)若

【答案】①.2π②.I

【解析】

【分析】（I）連接Oe,o。，根據(jù)點(diǎn)。為BO的中點(diǎn)，根據(jù)已知條件得出ZBQD=I20。，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公

式即可求解；

（2）連接。C,根據(jù)垂徑定理的推論得出OCJ.BD,EC是CO的切線(xiàn)，則OCJ.EC,得出

EB1

EC//BD,根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例得出一=一，設(shè)EB=2α,則AB=64,勾股定理求得EC,J進(jìn)

AB3

而即可求解.

【詳解】解：（1）如圖，連接OC,8,

?.?點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，

?*?BC=CD，

又?；NA=30°,

/.ZBOC=ZCOD=2ZA=60°,

：.NBoD=I20°,

'?'AB-6>

.?.0B=-AB=3,

2

,?20??

Y麗X

故答案為：2兀.

（2）解：如圖，連接OC,

點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，

BC=CD,

.,.OCYBD,

???EC是。的切線(xiàn),

—EC,

.*.EC//BD

.CFEB

??一，

AFAB

..CF1

?一，

AF3

???EB=1一,

AB3

設(shè)EB=2α,則Aβ=6α,BO=3a,EO=EB+BO=5a,

??EC=?∣EO1—CO1=t?∣5~—321ci=4<z,=2。+6a=Sci，

?.?-C-E=—4a=一1.

AESa2

故答案為：?.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線(xiàn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等知識(shí)，

綜合性較強(qiáng)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共8小題，滿(mǎn)分24分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟)

17.計(jì)算：22-tan60o+∣√3-l∣-(3-Λ-)°.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)新的運(yùn)算，特殊角的函數(shù)值，零指數(shù)基的運(yùn)算，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【詳解】22-tan60o+∣√3-l∣-(3-Λ-)°

=4-√3+√3-l-l=2?

【點(diǎn)睛】本題考查了累的運(yùn)算，特殊角的函數(shù)值，零指數(shù)累的運(yùn)算，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，熟練掌握運(yùn)算的法則

是解題的關(guān)鍵.

2x+l>x+3,①

18.解不等式組:V

2x-4<X.②

【答案】2<x<4

【解析】

【分析】按照解不等式組的基本步驟求解即可.

2%+1>x+3,①

【詳解】

2x-4<x.②

解①的解集為x>2；

解②的解集為x<4,

原不等式組的解集為2<X<4.

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式組的解法，熟練掌握解不等式組的基本步驟是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，反比例函數(shù)y=K(Z為常數(shù)，k≠0)與正比例函數(shù)y=〃比(加為常數(shù)，∕n≠0)的圖像交

X

于A(l,2),8兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若)軸上有一點(diǎn)C(O,〃),AABC的面積為4,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

2

【答案】(1)y=-；y=2χ

X

(2)C(0,4)或C((),T)

【解析】

【分析】(1)把A0,2)分別代入函數(shù)的解析式，計(jì)算即可.

(2)根據(jù)反比例函數(shù)中對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，得至IJB(T-2),設(shè)C(O,〃)，根據(jù)SASe=TW(XA-/)，列式計(jì)

算即可.

【小問(wèn)1詳解】

?；反比例函數(shù)y="(左為常數(shù)，ZHo)與正比例函數(shù)y=如(加為常數(shù)，m≠0)的圖像交于

X

A。,2),B兩點(diǎn),

.?.2=—,2=m×l,

解得攵=2,m=2,

2

故反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=—，正比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=2%.

X

【小問(wèn)2詳解】

k

???反比例函數(shù)y=—(Z為常數(shù)，Z≠())與正比例函數(shù)y=MY(加為常數(shù)，m≠0)的圖像交于

X

A(l,2),3兩點(diǎn)，

根據(jù)反比例函數(shù)圖象的中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，

ΛB(-l,-2),設(shè)C(0,〃)，

根據(jù)題意，得SA8C=；|〃I(XA-4)，

.".—l/il×2=4,

2ll

解得〃=4或〃=一4,

故點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0,4)或C((),T).

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的綜合，反比例函數(shù)的中心對(duì)稱(chēng)性，三角形面積的特殊坐標(biāo)

表示法，熟練掌握反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的綜合，反比例函數(shù)的中心對(duì)稱(chēng)性是解題的關(guān)鍵.

20.為落實(shí)中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)的《關(guān)于實(shí)施中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化傳承發(fā)展工程意見(jiàn)》，深入

開(kāi)展''我們的節(jié)日”主題活動(dòng)，某校七年級(jí)在端午節(jié)來(lái)臨之際，成立了四個(gè)社團(tuán)：4包粽子，8腌咸蛋，C

釀甜酒，。摘艾葉.每人只參加一個(gè)社團(tuán)的情況下，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完

(I)本次共調(diào)查了名學(xué)生；

(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)學(xué)校計(jì)劃從四個(gè)社團(tuán)中任選兩個(gè)社團(tuán)進(jìn)行成果展示，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求同時(shí)選中A和

C兩個(gè)社團(tuán)的概率.

【答案】（I）IOO（2）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)樣本容量=頻數(shù)÷所占百分?jǐn)?shù)，計(jì)算即可.

（2）先計(jì)算B人數(shù)，再完善統(tǒng)計(jì)圖即可.

（3）利用畫(huà)樹(shù)狀圖計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

?.?25÷25%=100（Λ）,

故答案為：100.

【小問(wèn)2詳解】

8的人數(shù)：100—40-25—15=20（人），

補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：

“人收/A

30

【小問(wèn)3詳解】

根據(jù)題意，畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

一共有12種等可能性，選中A,C的等可能性有2種,

21

故同時(shí)選中A和C兩個(gè)社團(tuán)概率為一=一.

126

【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，畫(huà)樹(shù)狀圖求概率，熟練掌握統(tǒng)計(jì)圖的意義，準(zhǔn)確畫(huà)樹(shù)狀圖

是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，點(diǎn)M在YABcD的邊A。上，BM=CM,請(qǐng)從以下三個(gè)選項(xiàng)中①Nl=N2；②AM=DM；

③N3=∕4,選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件，使YABCr）為矩形.

（1）你添加的條件是（填序號(hào)）；

（2）添加條件后，請(qǐng)證明YABCD為矩形.

【答案】（1）答案不唯一，①或②

（2）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形進(jìn)行選??；

（2）通過(guò)證明AABM/Z?DCM可得/4=/。，然后結(jié)合平行線(xiàn)的性質(zhì)求得ZA=90。，從而得出

YABcD為矩形.

【小問(wèn)1詳解】

解：①或②

【小問(wèn)2詳解】

添加條件①，YABCz）為矩形，理由如下：

在YABCo中AB=CO,ABCD,

AB=CD

在,ABN和△￡>CM中<Nl=N2,

BM=CM

??.AABMADCM

Z4=ZD,

又?.?ABCD,

：.ZA+ZD=180。，

.,.ZA=ZD=90°,

.??丫43。￡>為矩形；

添加條件②，YABcD為矩形，理由如下:

在YABC。中AB=CO,ABCD,

ABCD

在八ABΛ∕和ADCM中<AM=DM,

BM=CM

.*.AABMADCM

.?.Z4=ZZ）.

又?.?ABCD,

.?.NA+ND=180°,

.?.NA=No=90°,

.??丫4?8為矩形

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定方法（有

一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）是解題關(guān)鍵.

22.水碧萬(wàn)物生，岳陽(yáng)龍蝦好.小龍蝦產(chǎn)業(yè)已經(jīng)成為岳陽(yáng)鄉(xiāng)村振興的“閃亮名片”.已知翠翠家去年龍蝦的

總產(chǎn)量是4800kg,今年龍蝦的總產(chǎn)量是6000kg,且去年與今年的養(yǎng)殖面積相同，平均畝產(chǎn)量去年比今年

少60kg,求今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量.

【答案】今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量300kg.

【解析】

【分析】設(shè)今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是χkg,則去年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是（%-60）kg,根據(jù)去年與今年的

養(yǎng)殖面積相同列出分式方程，解方程并檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：設(shè)今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是χkg,則去年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是（X-60）kg,

60004800

由題意得,

X%-60

解得x=300,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=300是分式方程的解且符合題意,

答：今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量30Okg.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，正確列出方程是解題的關(guān)鍵.

23.如圖1,在ABC中，AB=AC,點(diǎn)N分別為邊AB,BC的中點(diǎn)，連接MN.

初步嘗試：（1）MN與AC的數(shù)量關(guān)系是,MN與AC的位置關(guān)系是

特例研討：（2）如圖2,若NBAC=90°,BC=4J∑,先將_BMN繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（α為銳角），得

到AB;節(jié),當(dāng)點(diǎn)F在同一直線(xiàn)上時(shí)，AE與BC相交于點(diǎn)。，連接CE.

(2)求Co的長(zhǎng).

深入探究：(3)若4AC<90。，將_BMN繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α,得到Z?BEE,連接AE，CF.當(dāng)旋轉(zhuǎn)

角α滿(mǎn)足()°<a<360°,點(diǎn)CE,F在同一直線(xiàn)上時(shí)，利用所提供的備用圖探究/84E與NABE的數(shù)量

關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】初步嘗試：(1)MN=TAC；MN〃AC；(2)特例研討：(1)NBCF=30。；(2)CD=6√2-2√6;

(3)Nft4E=NAB/或NBAE+ZA即=180°

【解析】

【分析】(1)AB=AC,點(diǎn)M,N分別為邊AB,BC的中點(diǎn)，則MN是..ABC的中位線(xiàn)，即可得出結(jié)論;

(2)特例研討：(1)連接￡M，MN,NF,證明ME是等邊三角形，—BNR是等邊三角形，得出

NEee=30°；(2)連接AN,證明CADNS一比應(yīng)，則吧=竺L=迤=6,設(shè)OE=χ,則

DEBE2

DN=&，在RtAAeE中，BE=2,AE=26則A￡>=2逐一X，在RtZ?AZ)N中，

AD2=DN2+AN2.勾股定理求得x=4—2石，典?CD=DN+CN=g+2無(wú)=66-2?；

(3)當(dāng)點(diǎn)CE,口在同一直線(xiàn)上時(shí)，且點(diǎn)E在尸C上時(shí)，設(shè)NABC=NAc3=6,則

NB4C=180°-28,得出NBEC+NB4C=180°,則A3,E,C在同一個(gè)圓上，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理

得出NELC=NEBC=a-8,表示N84E與NA6∕,即可求解；當(dāng)尸在EC上時(shí)，可得A,B,￡,C在

同一個(gè)圓上，設(shè)NABC=NAcB=6?,則ZBAC=NBEf=180°—26,設(shè)NNBF=β,貝IJ

NEBM=β,則α+/7=360°,表示NBAE與NABF，即可求解.

【詳解】初步嘗試：（1）VAB=AC,點(diǎn)M,N分別為邊AB,BC的中點(diǎn),

：.MN是ABC的中位線(xiàn)，

.?MN^-ACMN//ACx

2i

故答案是：MN=gAC；MNACi

（2）特例研討：（1）如圖所示，連接MN,NF,

是一B4C的中位線(xiàn)，

：.MN//AC，

：.ZBMN=NBAC=90°

：將_BMN繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（α銳角），得到ABEF，

：.BE=BM,BF=BN；NBEF=ABMN=90°

?.?點(diǎn)A,E,E在同一直線(xiàn)上時(shí)，

.?.ZAEB=NBEF=90。

又：在Rt?A6E中，M是斜邊AB的中點(diǎn)，

：.ME^-AB=MB

2

BM=ME=BE

.BME是等邊三角形,

ΛZABE=60°,即旋轉(zhuǎn)角α=60°

.?.NNBF=6。。,BN=BF

.BNF是等邊三角形,

又?；BN=NC,BN=NF,

：.NF=NC,

：.NNCF=ZNFC,

.,.ABNF=ZNCF+ZNFC=2ZNFC=60o,

.?.NECB=30。,

(2)如圖所示，連接AN,

VAS=AC，NBAC=90。,BC=4啦,

.?.AB=也BC=4,ZACB=ZAβC=45。，

2

?/ZADN=NBDE,ZANB=ZBED=90°,

,ADNS.BDE,

.DN_AN_2√2_/-

??------==--------=V2,

DEBE2

設(shè)。E=x,則。N=√∑χ,

在RtAASE中，BE=2,AE=26,則A0=20—x，

在RtAADN中，AD1=DN-+AN2,

.,.(2^-ΛJ2=(√2X)2+(2^^)?

解得：χ=4-2√?或x=-26-4(舍去)

CD=D7V+CΛ^=√2x+2√2=6√2-2√6,

（3）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)CE尸在同一直線(xiàn)上時(shí)，且點(diǎn)E在FC上時(shí),

A

F

?；AB^AC,

ZABCZACB,

設(shè)ZABC=ZAG3=e,則Nβ4C=180°—26,

???阿是_ABC的中位線(xiàn)，

.,.MN//AC

：./MNB=/MBN=θ,

,/將BMN繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到八REF,

.?.」EBFaMBN,ZMBE=ZNBF=a,

.?./EBF=/EFB=θ

：.ΛBEF=ISOo-20,

?.?點(diǎn)C,E,F在同一直線(xiàn)上，

.,./BEC=28

：.NBEC+NfiAC=180°,

.?.AB,E,C在同一個(gè)圓上,

；.NEAC=NEBC=a—6

：.ZBAEZBAC-ZEAC(180o-20)-(a-0)180o-a-0

'.'AABF-cx+θ<

：.NBAE+ZABF=I80°；

如圖所示，當(dāng)F在EC上時(shí)，

?.?ZBEF=ZBAC,BC=BC

A,B,E,C在同一個(gè)圓上，

設(shè)ZABC=ZAC3=6,則Nfi4C=NBEF=180°—26,

將.BMN繞點(diǎn)、B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到ABEF,

設(shè)4NBF=β,則NEBM=￡,則α+月=360。，

.?.AABF=θ-β,

?,?ΛBFE=NEBF=θ,NEFB=ZFBC+ZFCB

.?.ZECB=ZFCB=NEFB-NFBC=0—/3,

,?'EB=EB

：.NEAB=NECB="0

：.NBAE=ZABF

綜上所述，NftAE=NABE或∕B4E+NABF=180°

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中位

線(xiàn)的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌

握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)請(qǐng)求出拋物線(xiàn)。的表達(dá)式.

(2)如圖1,在〉軸上有一點(diǎn)。(0,-1),點(diǎn)E在拋物線(xiàn)。上，點(diǎn)R為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)

區(qū)F使得四邊形AM尸為正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)民尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖2,將拋物線(xiàn)Ql向右平移2個(gè)單位，得到拋物線(xiàn)。2,拋物線(xiàn)&的頂點(diǎn)為K，與X軸正半軸交

于點(diǎn)“，拋物線(xiàn)&上是否存在點(diǎn)尸，使得NCPK=NCHK?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=-x2-2x+3

(2)￡(-2,3)；F(l,2)

(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(LO)

【解析】

【分析】⑴把4(-3,0),C(0,3)代入。I:)，=一/+/u+c,求出力=—2,c=3即可;

(2)假設(shè)存在這樣的正方形，過(guò)點(diǎn)E作旗J_x于點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)F作/7_Ly軸于點(diǎn)1,證明

AEAR二AOD-FID五DOA,可得ER=3,AR=1,FI=?,IO=2,故可得E(-2,3)-