2022-2023學(xué)年湖北省黃岡市高二下學(xué)期4月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省黃岡市高二下學(xué)期4月質(zhì)?檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

一、單選題

?.卜-9的展開(kāi)式中X的系數(shù)是()

555

A.10B.——C.-D.——

244

【答案】D

【分析】運(yùn)用二項(xiàng)式卜-《『通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】二項(xiàng)式卜-5］的通項(xiàng)公式為：=c;?(χ2)A.(-(>=G?xw^"?(-；)"

令l()-3r=l=r=3,所以卜-Wj的展開(kāi)式中X的系數(shù)是C；.(-夕=-|,

故選：D

2.直線y=2x+6是曲線y=xlnx的一條切線，則6=()

A.2eB.eC.一eD.—2e

【答案】C

【分析】先求導(dǎo)，由切線斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，代入切線即可求出人

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為(XO,??InXO).?.?y=xlnx,.?.yC=lnx+l,

二y'∣,f=h?+l?易知曲線在點(diǎn)(與，XOInXo)處的切線的斜率為2.

.?.Inx0+1=2,?=e,切點(diǎn)為(e,e).

把(e,e)代入切線方程，得e=2e+0,.?"=-e.

故選：C.

2

3.設(shè)函數(shù)f(X)=-+lnx,貝IJ()

X

A.x=^"為f(x)的極大值點(diǎn)B.x=^■為f(x)的極小值點(diǎn)

C.x=2為f(x)的極大值點(diǎn)D.x=2為f(x)的極小值點(diǎn)

【答案】D

21χ-2

【詳解】/'(χ)=-4+1=^≠,

XXX

由尸(X)=O得X=2,

又函數(shù)定義域?yàn)?0，一),

當(dāng)0<x<2時(shí)，/'(X)<0,f(χ)遞減,

當(dāng)x>2時(shí)，/(x)>0,f(χ)遞增，

因此χ=2是函數(shù)/(χ)的極小值點(diǎn).故選D.

【解析】函數(shù)的極值.

4.已知隨機(jī)變量X滿足E(2X+3)=7,E>(2X+3)=16,則下列選項(xiàng)正確的是()

713

A.E(X)=-,D(X)=-B.E(X)=2,D(X)=4

22

7

C.E(X)=2,O(X)=8D.E(X)=-,D(X)=S

4

【答案】B

【分析】由數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)求解

【詳解】E(2X+3)=2E(X)+3=7,得E(X)=2,

D(2X+3)=4D(X)=16,得Z)(X)=4,

故選：B

5.3個(gè)人坐在一排5個(gè)座位上，則下列說(shuō)法正確的是()

A.共有60種不同的坐法B.空位不相鄰的坐法有72種

C.空位相鄰的坐法有60種D.兩端不是空位的坐法有36種

【答案】A

【分析】直接排列即可得出A項(xiàng)；插空法即可求出空位不相鄰的坐法；捆綁法即可求出空位相鄰的

坐法；先選出2個(gè)空位，再將3人排好，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可判斷D項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，3個(gè)人坐在一排5個(gè)座位上，不同的坐法有A；=5x4x3=60種，故A正確；

對(duì)于B項(xiàng)，第一步，排好這3個(gè)人有A；=6種排法；

第二步，把2個(gè)空位插在3個(gè)人中間，故有C；=6種插法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的坐法有6x6=36種，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，先把2個(gè)空位先捆綁好，再和3人排列，所以不同的坐法有A：=24種，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，第一步，從中間3個(gè)位置選出2個(gè)空位，有C；=3種選法；

第二步，將3個(gè)人排在剩余的3個(gè)位置，不同的坐法有A；=6種.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的坐法有3x6=18種，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

6.現(xiàn)定義/=CoSe+isin，，其中i為虛數(shù)單位，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，θeR,且實(shí)數(shù)指數(shù)基的運(yùn)

算性質(zhì)對(duì)產(chǎn)都適用，若。=C?COS5Θ-Clcos'Osin?。+C；cos6>sin46>,

b=C1cos40sin0-e?cos2sin3(9+sin5θ,那么復(fù)數(shù)α+尻等于

A.cos5^+zsin50B.cos-zsin56*

C.sin56+icos56D.sin-zcos50

【答案】A

【分析】計(jì)算a+6，結(jié)合二項(xiàng)式定理的展開(kāi)即可得解.

544,2,

【詳解】a+bi=Cθcos0-C；cos'。Sin+C；CoSOsin,+/CjCos0sinθ-zC5cos0sin0+iC；Sin

=Cθcos5(9++iC；cos4OSin，+『C；COS七Sin淚+r3C∣cos2(9sin30+r4C*cos(9sin4(9+FCSin”

=(CoS夕+isinM)'=(e")'=d。"，=CoS5，+isin5〃，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的展開(kāi)與復(fù)數(shù)的新定義問(wèn)題，觀察出二項(xiàng)展開(kāi)的結(jié)構(gòu)是解本題

的關(guān)鍵，屬于中檔題.

7.甲、乙、丙三人報(bào)考A,β,C三所大學(xué)，每人限報(bào)一所，設(shè)事件A為“三人報(bào)考的大學(xué)均不相

同”，事件B為“甲報(bào)考的大學(xué)與其他兩人均不相同”，則概率P(AlB)=()

A.IB.-C.-D.?

9942

【答案】D

【分析】利用條件概率求解.

【詳解】解：每人報(bào)考大學(xué)有3種選擇，故總的報(bào)考方法共有3'=27種，

三人所報(bào)考的大學(xué)均不相同的報(bào)考方法有A；=6種，

甲報(bào)考的大學(xué)與其他兩人均不相同的報(bào)考方法有C；CC=I2種，

6

/

故AO

(o-27?

V

12

一2,

27

故選：D

8.已知定義域?yàn)?0,+∞)的函數(shù)“X)滿足rα)+p=!,且/(e)=∣,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，

若關(guān)于X的不等式dθ-χ-g+2≤o恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

XX

A.[l,+∞)B.[2,+∞)

-e3+2e2+2

D.■-------------?,+∞

【答案】B

【分析】令尸(X)=?√?(x),根據(jù)題意得到"x)=見(jiàn)山，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“≥比士?-d+?X在xe((),y)

XX

恒成立，令g(x)=W1-/+2x,Λ∈(0,+∞),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出α的范圍即可.

【詳解】令尸(x)=??(x),則2(X)=/(x)+礦(x),

而/'(x)+以'故尸'(x)=L故/(X)=InX+c,

XXx

由77(e)=q∕?(e)=lne+c=2,解得：c=l,

故尸(X)=InX+1,故/(x)JnAJ,

若關(guān)于X的不等式nθ-χ-q+2≤o恒成立,

XX

貝IJa>?i?-丁+2x在Xe((),+∞)，恒成立，

4?(?)=lnx+1-X2+2x,x∈(0,+∞),

則g'(x)=-?^-2(x-l),

Xe(0,1)時(shí)，InXeO,X-IC0,故g'(x)>O,g(x)在(0,1)遞增,

x∈(l,÷x>)時(shí)，lnχ>0,x-l>O,g,(x)<O,g(x)在(l,+∞)遞減,

故g(χL<=g(ι)=2

故0≥2,即a的取值范圍是［2,48)

故選：B

二、多選題

9.已知隨機(jī)變量X的分布列為

X123

P0.3m0.1+m

則()

A./77=0.3B.tn-0.4

C.E(X)=2.1D.E(X)=2.6

【答案】AC

【分析】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可求解加的值，然后再根據(jù)分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可.

【詳解】由0.3+〃?+0.1+〃2=1,得"，=0.3,則E(X)=IXo.3+2x0.3+3x0.4=2.1.

故選：AC.

10.已知事件A,B,且P(A)=g,P(BM)=g,p(同可=|,則()

A.「(AB)/B.唳IA)=I

13

C.P(β)=~D.P(B)=M

【答案】AC

【分析】利用概率的乘法公式求解即可判斷A：利用條件概率的性質(zhì)求解即可判斷B；先求得尸。)，

P(BM),再根據(jù)全概率公式求解即可C,D.

【詳解】對(duì)于A,由尸(A8)=P(A)/MA)=gx1=2,故A正確；

對(duì)于B,由P國(guó)A)=I-P(BlA)=I-K故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,D,由P⑸=I-P(A)=：,P(BM)=1—P便區(qū))=|,

則尸(B)=P(A)P(8∣A)+P(Z)p(BM)=99∣xW=g,故C正確；D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.如圖給出下列一個(gè)由正整數(shù)組成的三角形數(shù)陣，該三角形數(shù)陣的兩腰分別是一個(gè)公差為1的等差

數(shù)列和一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，每一行是一個(gè)公差為1的等差數(shù)列.我們把這個(gè)數(shù)陣的所有數(shù)從上

到下，從左到右依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛““｝：1、2、3、3、4、5、4、5、6、7、L,其前〃項(xiàng)和為

S“，則下列說(shuō)法正確的有()(參考公式：/+個(gè)+…+〃2=\〃("+1乂2〃+1))

1

23

345

4567

????????????????

nn+1....2n-22n-1

A.4OO=22B.22第一次出現(xiàn)是Go。

C.22在｛/｝中出現(xiàn)了11次D?SK)O=I345

【答案】ACD

【分析】分析出在第14行第9個(gè)，求出4w的值，可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)每行最后一個(gè)數(shù)為奇數(shù),

推導(dǎo)出22第一次出現(xiàn)的位置，可判斷B選項(xiàng)；分析出22在數(shù)陣中出現(xiàn)的行數(shù)，可判斷C選項(xiàng)；計(jì)

算出SM的值，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,1+2+3+…+13+14=105,且1+2+3++13=91,

故?w在第14行第9個(gè)，則/O=14+8=22,A對(duì)；

對(duì)于B,因?yàn)榈凇ㄐ凶詈笠粋€(gè)數(shù)為2〃-1,該數(shù)為奇數(shù)，由2〃-2=22,可得”=12,

所以，22第一次是出現(xiàn)在第12行倒數(shù)第2個(gè)，

因?yàn)?+2+3++12=78,即22第一次出現(xiàn)是知,B錯(cuò)；

對(duì)于C,因?yàn)?2第一次是出現(xiàn)在第12行倒數(shù)第2個(gè)，在第12行至第22行，22在每行中各出現(xiàn)一次,

故22在｛%｝中出現(xiàn)了11次，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)第〃行的數(shù)字之和為“，則2=(〃+2,)〃=痔^,

故SIoo=AI+&+"3++/+14+15+16+÷22

3(l2+22+???+132)-(l+2+3+???+13)(14+22)X9

τ=1345>D對(duì).

~22-

故選：ACD.

12.已知函數(shù)八X)=亙，下面選項(xiàng)正確的有()

A.F(X)的最小值為∣?

B.x>0時(shí)，f(x)≥—F—

X2

D.若不等式F(X)<“有且只有2個(gè)正整數(shù)解，則≤I<w2≤遍

【答案】BD

【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，結(jié)合圖形求出函數(shù)的最值，即可判斷AB；利用導(dǎo)數(shù)討論

函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可證明不等式，從而判斷C；根據(jù)不等式有解，結(jié)合圖形列出不等

式，解之即可判斷D.

1【1詳十解】A-"f'(x)=—?—(χ≠0)

X

令—(X)<0nx<2且XW0,令/'(x)>0nx>2,

所以函數(shù)/(x)在(-8,0)和(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,e)上單調(diào)遞增，如圖,

所以函數(shù)F(X)沒(méi)有最小值，故A錯(cuò)誤；

111?V

B：當(dāng)x>0時(shí)，/(x)≥—+—<=>xf(X)——x-l≥O<=>e12------1≥0,

X222

XY1X

設(shè)g(x)=e?-Z-l(x>0),則g'(x)=-(e2-l)>0,

所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且g(0)=O,

所以g(x)=--?^-l≥0,即/(x)2g+g,故B正確；

C：設(shè)∕7(x)=e*-x-l(x>0),則力'(x)=e'-l>O,

又A(O)=0,所以當(dāng)x>0時(shí)，〃(x)=e*-x-l>0,即e'>x+l.

〃—/72)

令>5,則小>”得>—+H=^-

22

有;J＜前百，即時(shí)」F，

111+<(1)+()+()+

所以;T亦T前T^F4I4I4)

nn+2

11___31_34

故C錯(cuò)誤;

2〃+1〃+22n+?n+22e—1

D:作出函數(shù)y=f(χ)圖象和直線y=，％如圖,

由不等式J<m有兩個(gè)正整數(shù)解知，/(3)<m≤/(1),

X

3

即故D正確?

3一

故選：BD.

【點(diǎn)睛】函數(shù)中與正整數(shù)有關(guān)的不等式，其實(shí)質(zhì)是利用函數(shù)性質(zhì)證明數(shù)列不等式，證明此類問(wèn)題時(shí)

常根據(jù)已知的函數(shù)不等式構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的性質(zhì)，用關(guān)于正整數(shù)〃的不等式替代

函數(shù)不等式中的自變量，通過(guò)多次求和達(dá)到證明的目的.

三、填空題

13.函數(shù)f(x)=SinX-X,Xe(O,乃)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

【答案】(0㈤

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求解即可.

【詳解】當(dāng)。CX<K時(shí)，∕,(x)=COSX-I<0,

所以/U)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,乃).

故答案為：((U)

14.接種流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某學(xué)校I■的學(xué)生接種了流感疫苗，已知在流感高

發(fā)時(shí)期，未接種疫苗的感染率為，，而接種了疫苗的感染率為1.現(xiàn)有一名學(xué)生確診了流感，則該名

學(xué)生未接種疫苗的概率為

【答案】?i

【分析】根據(jù)條件概率公式求解即可.

【詳解】設(shè)事件A="感染流行感冒“，事件B="未接種疫苗”，

―/八312119z313

則P(A)=-X—+—X—=——,nP(AxnBλ)=-X-=—,

v754510100v75420

、P(AB}

故尸z⑷A)=木215

19-

故答案為：.

15.某高校大一新生中的6名同學(xué)打算參加學(xué)校組織的“雅荷文學(xué)社”、“青春風(fēng)街舞社”、“羽乒協(xié)會(huì)”、

“演講團(tuán)”、“吉他協(xié)會(huì)''五個(gè)社團(tuán)，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參

加，則這6個(gè)人中至多有1人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為.

【答案】5040

【分析】參加“演講團(tuán)''人數(shù)分為有1人或無(wú)人的情況，而每種情況又各自包含2種情況，分別求出

對(duì)應(yīng)的方法數(shù)，結(jié)合計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.

【詳解】若有1人參加“演講團(tuán)”，則從6人選1人參加該社團(tuán)，其余5人去剩下4個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排有

2種情況:1,1,1,2和1,2,2,

'0202z?l/?lz->l、

；

故1人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為Cl?-4J+??44=3600

(aA)

若無(wú)人參加“演講團(tuán)”，則6人參加剩下4個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排安排有2種情況：1,1,2,2和2,2,2,故無(wú)

人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為A：+C：C：C：=1440,

故滿足條件的方法數(shù)為3600+1440=5040,

故答案為：5040

16.已知函數(shù)/(x)=e2*-e-2"0r,若"x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)與修，且0<》2-±<心2,則α的

取值范圍為.

【答案】(4,5)

【分析】先求得函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)尸(x),則方程2e2*+2e3-q=0有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)打2,且

0<x2-x,<ln2,構(gòu)造新函數(shù)∕j(x)=2e"+2ea,利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性，進(jìn)而求得。的取值范圍.

【詳解】f(x)=e2x-e-2jt-ax,則八上破+獷?

令Λ(x)=2e2t+2e-2x,由Λ(-x)=2e^+2e2x=h{x),可得Λ(x)為偶函數(shù),

,,4(eJ)

貝1J〃(X)=4e=e-)=

則當(dāng)x>0時(shí)，Λ,(x)>O,∕z(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x<0時(shí)，"(χ)<(),〃(x)單調(diào)遞減,

又/z(θ)=4,Λ(-?ln2)=h(-In2)=2eln2+2e^'n2=4+1=5

22

由題意得方程2e2*+2e%-α=0有兩個(gè)互為相反數(shù)的零點(diǎn)七，七，且O<x2-x∣<In2

則。的取值范圍為(4,5)

故答案為：(4,5)

四、解答題

17.已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(X),且滿足/(x)=2礦⑴+Inx.

⑴求廣⑴及/(1)的值；

⑵求在點(diǎn)X=1處的切線方程.

【答案】⑴/'⑴=T,/(D=-2；

(2)χ+y+l=0.

【分析】(1)由題設(shè)/'(x)=2∕'(l)+:,代入X=I即可求r(l),進(jìn)而求出/(1).

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合(1)的結(jié)果，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程.

【詳解】(1)由題設(shè)，f?x)=2f'm-,故/⑴=2/3+1,可得/⑴=-1,

+X

所以/⑴=2/⑴=-2.

(2)由(1)知:切點(diǎn)為(L-2)且切線斜率為If(I)=T,

所以切線方程為y+2=-(x-D,即x+y+l=O.

18.把1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們由小大到的順序排成一個(gè)數(shù)

列.

⑴求43251是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)；

(2)求這個(gè)數(shù)列的所有項(xiàng)和.

【答案】⑴第88項(xiàng)

(2)

【分析】(1)求出所有的五位數(shù)個(gè)數(shù)為120,分類求出大于43251的五位數(shù)個(gè)數(shù)，相減即可得出答案;

(2)先得出1,2,3,4,5各在萬(wàn)位上時(shí)都有24個(gè)五位數(shù)，可得所有的五位數(shù)萬(wàn)位數(shù)字之和為360.同理

可求得其他各位，即可得出答案.

【詳解】(1)間接法：

所有的五位數(shù)個(gè)數(shù)為5x4x3x2x1=120.

大于43251的數(shù)可分為以下三類：

第一類：以5開(kāi)頭的個(gè)數(shù)4x3x2x1=24；

第二類：以45開(kāi)頭的個(gè)數(shù)有3χ2χl=6;

第三類：以435開(kāi)頭的個(gè)數(shù)有2x1=2.

故不大于43251的五位數(shù)的個(gè)數(shù)有120-(24+6+2)=88,即43251是第88項(xiàng).

(2)1,2,3,4,5各在萬(wàn)位上時(shí)都有24個(gè)五位數(shù)，

所以萬(wàn)位字的和為(1+2+3+4+5)*24=360.

同理可得，1,2,3,4,5在千位、百位、十位、個(gè)位上也有24個(gè)五位數(shù)，

所以，這個(gè)數(shù)列的所有項(xiàng)和為360x(1+10+100+1000+10000)=3999960.

19.已知"x)=(2x+3)”展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512,且

π2n

(2x+3)=α0+αl(x+l)+?(jt+l)++an{x+?)

⑴求出的值；

⑵求/(20)-20被6整除的余數(shù).

【答案】(1)144

(2)5

【分析】(1)由己知求出〃=9,然后變形根據(jù)［2(x+l)+lf的展開(kāi)式通項(xiàng)，即可得出答案；

⑵代入可得/(20)-20=CX429X10+C；X42i*X1++c；x42?xY+C；x42xV+C；x42。xF-20,

只需得出C；X42X18+C；X42°X19-20,即359被6整除的余數(shù)，即可得出答案.

【詳解】(1)由已知可得，2"=512,解得"=9.

將(2x+3)9變形可得［2(x+l)+l了，

該式展開(kāi)的通項(xiàng)為卻=CT2(x+l)廣Xr=G)?2FX+1廣，r=0,l,2,,9,

由9-r=2可得，r=7,所以%=《'2?=144.

(2)由己知可得，

/(20)-20=439-20=(42+1)9-20

=C"×429×l0+C^×428×l++Cg×422×l7+C*×42×l8+C^×42n×l9-20.

顯然C>429χl°+<4x428χl++C；x42?xl?能被6整除，

KC*×42×18+C*×42O×19-2O=359=6×59+5,

所以，/(20)-20被6整除的余數(shù)為5.

20.已知函數(shù)/(x)=d+渥+2加的圖象在χ=l處的切線方程為y=-7x-l.

(1)求。，%的值；

⑵求F(X)在［-Z3］上的最值.

［a=-1,

【答案】⑴/

［h=-4ZI.

⑵最大值為翳，最小值為-12

【分析】(1)由題意先求/(x)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切點(diǎn)的實(shí)質(zhì)，建立。力的方程求解

即可.

(2)求的導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)〃x)在［-2,3］上的最值.

【詳解】(1)因?yàn)閒(x)=x3+0χ2+2?χ,所以r(x)=3%2+2αx+2Z?,

又/X的圖象在x=l處的切線方程為y=-7x-l,所以I1”Q

/(l)=l+6f+2ft=-8,

［a=-1,

解得,/

［b=-4.

(2)由(1)可知，∕r(x)=3x2-2x-8=(3x+4)(x-2),

則當(dāng)Xe-2,-1)(2,3］時(shí)，用x)>0；當(dāng)xe(-*2)時(shí)，用x)<0,

故F(X)在-2,-?∣),(2,3］為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

又/(2)=T2<〃-2)=4,/［-^=j^>∕(3)=-6

所以“x)在［-2,3］上的最大值為最小值為-⑵

21.4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書(shū)日為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情

況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間(單

位：小時(shí))，并將樣本數(shù)據(jù)分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]

九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)從這500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，日平均閱讀時(shí)間在(10,12]內(nèi)的概率；

(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書(shū)閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)

間在(12,14],(14,16],(16/8]三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中

隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在(14,16]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案]⑴0.20

⑵分布列見(jiàn)解析，I

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出a=0.10,即可得出答案；

(2)先求出各組的學(xué)生數(shù)，然后根據(jù)分層抽樣得出日平均閱讀時(shí)間在(14,16]內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù)

為4.然后根據(jù)超幾何分布，求出X的分布列，得出期望.

【詳解】(?)由頻率分布直方圖得：2×(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+?+0.05+0.04+0.01)=I,

解得α=0.10.

所以，日平均閱讀時(shí)間在(10,12]內(nèi)的頻率為2a=0.20,

所以日平均閱讀時(shí)間在(10,12]內(nèi)的概率為0.20.

(2)由頻率分布直方圖得，

這500名學(xué)生中日平均閱讀時(shí)間在(12,14]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為500x0.10=50人，

日平均閱讀時(shí)間在(14,16]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為500X0.08=40人，

日平均閱讀時(shí)間在(16,18]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為5(X)χ().()2=1()人.

若采用分層抽樣的方法抽取了10人,

則從日平均閱讀時(shí)間在(14,16]內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù)為皿HXl0=4.

現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，則X的可能取值為0,1,2,3,

P(X=O)=￡=至=工，P(X=l)=≤?l=-^-=lP(X=2)=卑=至3

C：o1206