2023年高考數(shù)學(xué)題型預(yù)測卷 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-零點、最值、雙變量問題 （解析版）

猜題24第12、16題導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-零點、最值、雙變量問題

一、填空題

1.已知函數(shù)/(x)=(InXy+(4+α)xlnx+(2α+8)χ2存在三個零點X]、巧、χ39且滿足王<工2<%3，

則l?+2]l?+2]件+2]的值為.

<xI7?x2Ax3)

【答案】16

【分析】由/(x)=0可得Kj+(4+：>"+2(4+4)=0,令r=(+2,可得出產(chǎn)+川+4=0,構(gòu)

造函數(shù)g(x)=*+2,其中x>O,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可知關(guān)于「的

方程/+s+4=0有兩個不等的實根乙、設(shè)4<G，且有。=3+2,^2=-+2=?+2,

?iX^f'3

利用韋達(dá)定理可求得所求代數(shù)式的值.

【解析】函數(shù)"X)的定義域為(0,+8),由/(χ)=0可得D+u士?!吧+2(α+4)=0,

-??=--+2,?T^?(∕-2)2+(4+a)(r-2)+2α+8=0,BPf+αf+4=0,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=∕+2,其中x>0,則F(X)=T^

當(dāng)O<x<e時，g'(x)>O,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x>e時，√(x)<0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)O<x<l時，g(x)=~+2<2,當(dāng)x>l時，g(x)=呼+2>2,且g(x)nm=g(e)=2+1,

作出函數(shù)g(x)的圖象如下圖所示：

若使得方程(WJ+如乎竺+2(α+4)=0由三個不等的實根儲、演、

?,且滿足玉<七<工3,

則關(guān)于r的方程/+α+4=0有兩個不等的實根％、%設(shè)4<%

由韋達(dá)定理可得秘，=4,則O</<2<t,<2+1，

e

由圖可知公立+2,廣3+2=3+2,

X1x2X3

因此，[皿+2]]3+2][嶼+2](而=16.

?xI√?x2√?x3>

故答案為：16.

Inγ

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)的零點求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵在于通過換元f=咄+2,

X

,InY

通過分析函數(shù)g(x)=U?+2的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)

系進(jìn)行求解.

—e~1+-X<0

2.已知函數(shù)/(x)={2,(e為自然對數(shù)的底數(shù))，若關(guān)于X的方程/(-x)=?√(x)有

e'(x+l),x≥O

且僅有四個不同的解，則實數(shù)k的取值范圍是.

【答案】(2e,+s)

【分析】設(shè)F(X)=/(x)+∕(r),由題可得當(dāng)x>O時，尸(x)有兩個零點，進(jìn)而可得2.，=2履-A:有

兩個正數(shù)解，令g(x)=2xe'(x>0),考查直線y=2"-Z與曲線g(x)=2Λe'(x>0)相切時k的值，

數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)上的取值范圍.

【解析】令尸(X)=√(x)+α-x),可得尸(T)=f(τ)+y(x)=尸(X),

所以函數(shù)F(X)為偶函數(shù)，

因為F(O)=I>0,貝IJF(O)=240)>0,所以，當(dāng)x>0時，函數(shù)尸(X)有兩個零點，

kk

且當(dāng)x>0時，-x<0,可得F(X)=(X+l)e*-京-e，+-=xe*-?r+-,

令尸(X)=O,可得2Ax—A=2xe*,

令g(x)=2xe*,其中χ>0,則g<x)=2(x+l)e*>0,故函數(shù)g(x)在(0,+向上為增函數(shù)，

下面考查直線y=2日-%與函數(shù)g(x)的圖象相切的情形：

設(shè)直線y=2"-%與函數(shù)g(x)的圖象相切于點(f,g(f)),其中r>0,

函數(shù)g(χ)的圖象在X=r處的切線斜率為2(r+l戶，

故曲線y=g(χ)在點(f,g(，))的切線的方程為y-2∕eJ2(f+l)e?(XT),

即y=2(r+l)e,x-2re,,

2?=2(r+l)e,

由題意可得,必=-2/e',解得f=l,k=2e,

t>0

結(jié)合圖形可知，當(dāng)《>2e時，直線y=2fcr-k與曲線y=g(x)在(0,+8)上的圖象有兩個交點，

即此時函數(shù)F(X)在(0,+8)上有兩個零點，

因此，實數(shù)Z的取值范圍是(2e,+s).

故答案為：(2e,+e).

【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作

出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸

思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題:

(3)參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出α=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線y=。與函數(shù)y=g(x)

的圖象的交點問題.

3.已知函數(shù)/(x)=Y-2x+2f,g(x)=e-.給出下列四個結(jié)論：

①當(dāng)F=O時，函數(shù)y=∕(χ)g(χ)有最小值；

②于GR,使得函數(shù)y=/(χ)g(χ)在區(qū)間［l,-κo)上單調(diào)遞增；

③于eR,使得函數(shù)y=∕(x)+g(x)沒有最小值；

④于eR,使得方程f(x)+g(X)=0有兩個根且兩根之和小于2.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【分析】利用函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系可判斷①③的正誤；利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判

斷②的正誤；取f=T,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可判斷④的正誤.

【解析】對于①，當(dāng)t=0時，y=∕(x)g(x)=(χ2-2x)e*,則y=(∕-2)e',

由y<o可得一夜<x<√2.由***y'>0?可得x<-√Σ或x>√∑,

此時，函數(shù)y=(f-2x)e'的增區(qū)間為(-8,-應(yīng))、(√2,+∞),減區(qū)間為卜√∑,√∑),

當(dāng)x<0或x>2時，y=(?√-2x)e*>0,當(dāng)0<x<2時，y=(x2-2x)ev<0,

故函數(shù)V=(V-2x)e'在X=√∑處取得最小值，①對：

對于②，y'=(2x-2χe*-f)+(χ2-2x+2f)e"=(χ2-2)e'+2f(e'-x+l),

令〃(x)=e，一x+l,其中x21,貝∣J"(x)=e'-l>O,

所以，函數(shù)〃(x)在［1,y)上單調(diào)遞增，所以，A(x)=ev-x÷l>Λ(l)=e>O,

則％-e'≤l-evθ,

由y'=(f-2)e?+2MeX-X+1)≥0可得為≥牝丁)。：,

ex-x+l

構(gòu)造函數(shù)P(X)=其中X21,

Xer1x

(X5—4x÷4—2XCΛ)c'x-4+--2e

則"(X)=X

(e，-N+)(e“-x+l)~

令q(x)=χ2-4+d-2e*,其中x21,則，(x)=2(X-e")-■g<0,

所以，函數(shù)4(x)在［l,+∞)上單調(diào)遞減，

故當(dāng)x21時，q(x)≤q⑴=1—2e<0,則p'(x)<0,即P(X)在［l,+∞)上單調(diào)遞減，

”(χ)mM=P(I)=1，則2/"解得噂；，②對；

對于③，y=∕(x)+g(x)=χ2-2x+e'+f,y,=2x-2+ev,

因為函數(shù)y'=2x-2+e、在R上單調(diào)遞增，

y‰=-l<0,y［ι=e>O,所以，存在Λ0e(0,l),使得y'=0,

當(dāng)x<X()時，/<0,此時函數(shù)y=χ2-2x+e*+r單調(diào)遞減，

4r

當(dāng)X>Λ0時，????>()?,此時函數(shù)y=χ2-2x+e+r單調(diào)遞增，

所以，對任意的實數(shù)f,函數(shù)y=∕-2x+e'+■有最小值，③錯；

對于④，令"(x)=f-2x+e*+r,不妨令"(0)=l+f=0,即取f=-l,

2

由③可知，函數(shù)"(x)=x-2x+e*-l在(τ>,Λ0)上單調(diào)遞減，在(∕,+∞)上單調(diào)遞增,

2

因為ΛO∈(0,1),貝∣J“(％)<“(0)=0,w(2)=e-l>0,

所以，存在xl∈(∕,2),使得MXj=0,

此時函數(shù)"(X)的零點之和為X∣+0=x∣<2,④對.

故答案為：①②④.

【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作

出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸

思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由〃X)=O分離變量得出“=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線y=。與函數(shù)y=g(x)

的圖象的交點問題.

4.若函數(shù)/(x)=4e'-sinx,g(x)=αeJf-XSinx,且f(x)和g(x)在［0,司一共有三個零點,則

a=.

【答案】颯或也

e2

【分析】考慮α<0,a=0,α>()三種情況，設(shè)6(x)=αe',∕ζ(x)=sinx,F,(x)=^≤,求導(dǎo)得到

導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)公切線計算得到西=；,。=*屋：，再根據(jù)。的范圍討論零點的個數(shù)，計算得到答案.

【解析】當(dāng)α<0時，/(x)=αet-sinx<O,g(x)=0e*-XSinXC0,不成立；

當(dāng)α=0時，/(X)=-Sinx,g(x)=-XSinx,在［0,可上有0,兀兩個零點，不成立；

當(dāng)4>0時，/(O)=ɑ≠(),xe(0,可時，/(x)=ael-sinx=O,即°e*=sinx;

g(θ)=4Hθ,當(dāng)x∈(0,π］時，g(x)=αe,-XSinX=0,即空-=sinx,

X

設(shè)耳(x)=αe",∕ζ(x)=sinx,6(X)=竺

則耳'(x)="e*,E(X)=COSX,W(X)=——

當(dāng)［(x)="e*,E(X)=SinX相切時，設(shè)切點為(％匕)，則

解得Xl=a=^?e'；

42

當(dāng)xe［0,l)時,E(X)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)XW(IH時,W(X)>0,函數(shù)單調(diào)遞增.

當(dāng)α>#「時，F(xiàn)(X)沒有零點，g(x)最多有2個零點，不成立;

當(dāng)α=*e^?,/(x)有I個零點，片圖=返<ι=喏)’g(x)有2個零點，成立；

_JT

現(xiàn)說明也巳<1，即4e*<π4,構(gòu)造函數(shù)，MX)=4e'-χ4,χ∈[3,3.5],

π

,333,x2

Λ(x)=4e'-4X=4(e'-x),設(shè)％(x)=e*-X,Al(x)=e-3x,

,t

設(shè)?2(x)=e*-3χ2,A2(χ)=e-6x)設(shè)4(x)=e*-6x,Λj'(x)=e*-6>0恒成立,故4(x)=e'-6x單

調(diào)遞增，∕?(x)>Λ(3)=e1-6×3>O,

t2352

故A2(X)=e-3x單調(diào)遞增,h2(x)<h2(3.5)=e-3×3.5<0,故%(X)=e'單調(diào)遞減,

∕?(x)<Λ(3)=e3-33<0,故Λ(x)函數(shù)單調(diào)遞減,

Λ(π)<Λ(3)=4e,-34=4e3-81<0,故4eπ<π4,

當(dāng)0<“<*二,f(x)有2零點，g(x)有2個零點，若χ=l是一個零點，則有兩個零點重合，滿

足,此時"=誓.

綜上所述：。=酗或&=女/：

e2

故答案為：回或正屋：

e2

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能

力和綜合應(yīng)用能力，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為交點問題，利用公切線解決參數(shù).

5.若中蒼是函數(shù)/(x)=:0χ2一e'+l(a∈R)的兩個極值點，且2≥2,則實數(shù)。的取值范圍為

【答案】島收)

【分析】根據(jù)極值點定義可將問題轉(zhuǎn)化為y="與g(x)=F有兩個不同交點冷電;利用導(dǎo)數(shù)可求得

g(x)單調(diào)性，并由此得到g(x)的圖象；采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定05<1<%且a>e；假設(shè)

x2=2xx=t,由g(xj=g(w)可確定f=21n2,進(jìn)而得到g(x∣)的值，結(jié)合圖象可確定〃的取值范圍.

【解析】f?x)=ax-e,玉,電是/(x)的兩個極值點，

???和々是辦-6，=0的兩根，又當(dāng)X=O時，方程不成立，

.??y=。與尸《有兩個不同的交點；

X

令g(X)=F，則g<χ)=q≤,

.?.當(dāng)XG(-∞,0)(0,1)時，g,(x)<O;當(dāng)Xe(I,+00)時，g'(x)>0;

???g(x)在(f),(?,(θ,l)上單調(diào)遞減，在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增，

則g(x)圖象如下圖所示，

—≥2,.?.x≥2x；

x?21

ec2

當(dāng)工2=2x∣時，不妨令W=2x∣=f,則7-7，即e'=2/，?e?=2,解得：，=21n2,

2

1M22

當(dāng)/=2M時，(?i)=(?)==—■，

乙Ill/il14

.?.若三≥2,則“≥v?,即。的取值范圍為∣^τ?,+8].

?iIn2Lln2J

故答案為：1[P+/).

【點睛】方法點睛：本題考查根據(jù)極值點求解參數(shù)范圍問題，可將問題轉(zhuǎn)化為己知函數(shù)零點(方程根)

的個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)的問題，解決此類問題的常用的方法有：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的

圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

6.己知函數(shù)/(x)=(α+2)e"-(α+l)λe*+χ2有三個不同的零點再,x,,χ3,且一<4<W，則

(ι-?Πι-?Iι-?>≡——?

【答案】4

【分析】先將題給條件轉(zhuǎn)化為('jγa+l)∕+(α+2)=0有三個不同的零點為，々，%，且

芭<々<退，再轉(zhuǎn)化為(α+l)∕+(α+2)=0有二根年,，且4<0,0j<L進(jìn)而利用根與系數(shù)關(guān)

e

系求得(1一當(dāng))]一烹)(1一宗)的值

［解析］

"x)=(α+2)e2'-g+l)xe*+χ2=e2χ(?j-(α+l)^+(w+2)又e">0,

則［三)—(4+1)2+(α+2)=0有二個不同的零點*,X?，"3,且不<工2<&,

X1—v

令g(x)=~,貝∣Jg'(X)=-,

eτe-r

當(dāng)x>l時g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)XVl時g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增

則g(x)在x=l時取得最大值g(l)=L*>0時8(外>0,

e

令/=三，貝"4，

ee

則—一(α+l)r+(α+2)=O必有二根：/，且.<0,0<V—

e

貝ι]∕∣+q=〃+1,//°=〃+2

YX

則4=]有一解X∣<。，L=/有二解?r2,X3且0<W<1<尤3

故(用(1-縱芍卜。-梢j)2

22

=[l-(η+r2)+?]=[l-(α+l)+α+2]=4

故答案為：4

?-X-—(x≤2)

7.已知函數(shù)f(x)=22若在區(qū)間(1,+8)上存在n("≥2)個不同的數(shù)再，

erf(-x2+8x-12)(x>2)

Xtl,使得‘('=')e'==’(")成立,則“的最大值為.

?l?Xlt

【答案】4

【分析】由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后作出/O)圖象，數(shù)形結(jié)合求解

3

【解析】/(X)=2-x,-<r≤2

ex'2(-x2+Sx-12),x>2

當(dāng)x>2時，/'(X)=e-2(T2+6χ-4),令/'(X)=0,得x=3+√L

當(dāng)2<x<3+百時，f'(x)>O,?Λ>3+√50?,f'M<0,

/W在(2,3+√5)單調(diào)遞增，在(3+6+8)單調(diào)遞減，

作出/(X)圖象，數(shù)形結(jié)合可得y=履與y=f(x)在(1,+8)最多有4個交點,

故答案為：4

—2xβv%≤Q

8.已知函數(shù)，(X)=IEx]:>0^，若函數(shù)y=∕(x)-%有四個不同的零點演、巧、與、匕，

xl<x2<x3<X4,則以下結(jié)論正確的是.

①4+X：>2；

2

(2)0<?<-;

③x∣+々=-2；

④(%+X,)Λ?X4<-2.

【答案】①②④

【分析】設(shè)g(x)=-2xe',其中χeR,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可判斷②

的正誤；分析可知鼻=’,結(jié)合基本不等式可判斷①的正誤；構(gòu)造函數(shù)MX)=g(x)-g(-2-X),利

X4

用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)MX)在(-1,一)上的單調(diào)性，可判斷③④的正誤.

【解析】設(shè)g(x)=-2xe',其中χ∈R,則g，(X)=-2(x+l)e”,

當(dāng)x<-l時，g")>0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>-1時，g^x)<0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)g(x)的極大值為g(-l)=∣,且當(dāng)x<0時，g(x)>0,

作出函數(shù)f(x)、N=〃的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)0<6<4時，直線y=b與函數(shù)"X)的圖象有四個交點，②對；

e

因為/(j?)=/(%),則∣lnΛ?∣=Mx/,由圖可知0<??<1<匕，則InX4=TnA=In-,

3X3

所以，=!+x；>2代學(xué)=2,①對；

令MX)=g(x)-g(-2-x),其中x<T,由圖可知不<-1<々<0，

∕z,(x)=-2(x+l)e'+2(x+l)e^2^x=-2(x+l)(-e^2^x+er),

當(dāng)x<-l時，x+1<0,-2-x>x,貝ι]"(x)<O,此時函數(shù)∕7(x)單調(diào)遞減，

所以，〃(%)=8(辦)-8(一2-玉)>∕z(T)=O,即g(-2-玉)<g(x∣)=g(w),

因為-2f>T,x2>-l,且函數(shù)g(x)在(-l,+∞)上單調(diào)遞減，

所以，-2-Λ1>X2,則X∣+%<-2,故(％+j?)xjX4=%+電<一2,③錯④對.

故答案為：①②④.

【點睛】方法點睛：證明極值點偏移的相關(guān)問題，一般有以下幾種方法：

(1)證明x∣+J?<2”(或為+々>2。)：

①首先構(gòu)造函數(shù)g(x)=∕(x)-"2α-x),求導(dǎo),確定函數(shù)y=∕(x)和函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性;

②確定兩個零點％且/(χ)=f(w),由函數(shù)值g(x∣)與g(α)的大小關(guān)系，得

8缶)=/(占)一/(2?-々)=/(冬)一/(2”-不)與零進(jìn)行大小比較；

③再由函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間上的單調(diào)性得到XZ與2”占的大小，從而證明相應(yīng)問題；

(2)證明司馬<〃2(或Xd2>片)(為、巧都為正數(shù))：

①首先構(gòu)造函數(shù)g(χ)=∕(χ)-∕[f),求導(dǎo)，確定函數(shù)y=∕(χ)和函數(shù)y=g(χ)的單調(diào)性；

②確定兩個零點x∣<”X2,且/(N)=/(W),由函數(shù)值g(x∣)與g(4)的大小關(guān)系，得

與零進(jìn)行大小比較；

2

③再由函數(shù)y=/(χ)在區(qū)間(α+∞)上的單調(diào)性得到々與。的大小，從而證明相應(yīng)問題；

x?

(3)應(yīng)用對數(shù)平均不等式M^<S∈^τ<上產(chǎn)證明極值點偏移：

①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；

②將所得含對數(shù)的等式進(jìn)行變形得到??子」；

③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.

9.若正實數(shù)為是函數(shù)/(x)=xe'-x-e的一個零點，/是函數(shù)g(x)=Qn無一I)(X-e)-e?的一個大于e

的零點，則x4"2-e)=.

e

【答案】I

[??]由題意，根據(jù)零點的定義，構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，可得等量關(guān)系，等量代換后，

可得答案.

【解析一】由,題意4，“悌x∣)=;?ηge"-S玉)-e-=20,①=0,②，且"°八，…，

由②得(∕^τ)lM2-l)-e=0,所以θ∣?-l)le-e=0,③，

令F(X)=(X-l)hu=e,所以e*與衛(wèi)是函數(shù)尸(x)的零點，F(xiàn)(x)=lar-1+1,

eX

當(dāng)Xe(O,+∞)時，F(xiàn)'(x)單調(diào)遞增，所以在(l,+∞)上，F(xiàn)(x)>F(I)=O,F(X)單調(diào)遞增，

故函數(shù)P(X)在(1,+8)上存在唯一零點，由x∣>0,W>e,則e*>l,—>1,

e

所以X=9,則退Te)=1(上FF=XeI-I)=￡=1,

ee2e2ee

故答案為：1.

10.若函數(shù)/(x)=(x+l)lnx+/I(X-I)有三個零點多,xi,xi,且X∣>X2>A?,則

分(％+Λ2)(X2+X3)(X3+XJ的取值范圍為.(寫成區(qū)間形式)

【答案】(-8,-64)

【分析】對函數(shù)進(jìn)行整理，構(gòu)造g(χ)=lnx+&U，結(jié)合零點個數(shù)及單調(diào)性求出義2,求出

x÷l

1

0<x,<a<l=x,<?<xl?x3=-,利用基本不等式得到(W+χ,)(?+χ3)(,χ3+χ,)>8,從而得到答案.

【解析】解：因為/(x)=(x+l)lnx+;I(X-1),所以f(l)=(l+l)lnl+/I(IT)=0,

令(x+l)InX+/(x-l)=0,(x>0),即Inx+良?~—=0,(x>0),

x+l

令g(x)=lnx+；；：),(x>0),貝!]g(l)=0,

x2+(2λ+2)x+l

g'(x)(x>0),

x(x+l>

令MX)=X2+(2Λ+2)x+1,(x>0),

要想g(x)除1外再有兩個零點，則g(x)在(0,+∞)上不單調(diào)，

則A=(21+2)2-4=42Z+8/>0,解得幾<一2或a>0,

當(dāng)幾>0時，g'(x)>O在(0,+8)恒成立，則g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，不可能有兩個零點，舍去;

當(dāng)人<一2時，設(shè)/(x)=0即〃(X)=O的兩根為“，b,5.a<b,

{ab=?

βljwU?=-2(2÷l)>0'故°<"1<"

令g'(x)>O,國軍得x<α或x>b,令g'(x)<O,解得α<χ<b,

所以g(x)在(OM,S,y)上單調(diào)遞增，在(Gb)上單調(diào)遞減，

因為X]>X2>X3,所以0<x3<αvl=?r2<匕<3，

又因為Uln—=—lnx+：D=—g(x),

?x)χl+1ι+χ

X

若g(x)=。，則gd)=。，因為g(χ)=g(??)=O,所以工3=」,

XX1

x

所以(X1+X2)(工2÷3)(?+?)=?+1)(1÷—)(身+—)=(2+Λ1+?)(?j+

5

因為幾〈一2,所以?λ(xl+x2)(x2+x3)(x3+X1)<-64.

檢驗：當(dāng)4=-2時，g(x)=InX+28-1)(/>0),/CO='-42=(：?、，??0,

x+1XU+1)x(x+∣)

此時g(χ)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，又g(l)=0,即M=W=X3=1，

此時為臨界情況，丸“工1+Z)*2+X3)(X3+M)=-64,

3

綜上，Λ(X1+X2)(X2+X3)(K3+X)的取值范圍為(一8,-64).

故答案為：(-∞,-64).

16X2-24x+9,x≤1

11.已知函數(shù)〃力=1“八I，則下列結(jié)論正確的有__________.

-/(x-l),x>l

,M

Φ∕(H)=9-,Λ€N*

(2)Vx∈(0,+oo),/(x)<g恒成立

③關(guān)于X的方程/(x)=m(mwR)有三個不同的實根，則:<"7<1

④關(guān)于X的方程/W=9'-n(n∈N?)的所有根之和為〃2

【答案】①③

【分析】根據(jù)已知遞推可判斷①，根據(jù)函數(shù)變化的規(guī)律，只需要證明VXe(()，□，/(x)<∕成立，作

差求導(dǎo)可判斷②，作圖可判斷③，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)每個區(qū)間上的對稱軸可判斷④.

【解析】由"”)="(〃—l)=<fg2)==^r∕(n-(n-l))=Ar∕(l)=9'-",故A對.

由A可知，要使VXW(0,”)，/(*)<；恒成立，只需要滿足VXs((),l],/(x)<(成立即可.即

16x2-24x+9<p即16/-24/+9^-1Co成立，令g(x)=16x3—24W+9χ-l,貝IJ

g'(x)=48x=48x+9=0,得占=；,%=?,當(dāng)x=；時，g(x)有最大值g(j=O,故B不正確.

作出〃x)的圖像，

由圖可知，要使方程/(x)=m(meR)有三個不同的實根，則/(2)6勺'(I),即故C對.

由/(χ)=1"χ-1)可知，函數(shù)在上的圖像可以由(〃」”]上的圖像向右平移一個單位長度，

13

再將所有點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到，由于y=16d—24x+9的對稱軸為X=],故

94

aa

/(x)=9°的兩根之和為∣?,同理，/(x)=9」的兩根之和為;+2,/(力=/的兩根之和為

∣+2(n-l),故所有根之和為其/2)+(94)+∣+2("-l)=/+1,故D錯.

故選：①③

12.已知函數(shù)/(x)=e?'-∣x+4,給出下列四個結(jié)論：

①若q=0,則/(x)有一個零點；②若a∈[l,e)，則有三個零點；

③Va≤0,在R上是增函數(shù)：④丸>(),使得在R上是增函數(shù).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①③

【分析】對于①，當(dāng)α=0時，則"x)='；：：![；?)，分段討論得出函數(shù)F(X)在R上單調(diào)遞增，

再由/(7)<0,/(l)>0可判斷；

對于②，當(dāng)α=l時，則=分段討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性，再由當(dāng)x≥-l時，

/(x)N/(O)=O可判斷；

對于③，當(dāng)。<0,即一”>0時，貝IJf(X)=.；、二分段討論得出函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞

增，由此可判斷；

對于④，當(dāng)a>0,即一"0時，則"x)=[-.;(、>_：)，分段討論函數(shù)/U)的單調(diào)性，由此可

判斷.

【解析】解：因為函數(shù)"x)=e?t-k+H,所以函數(shù)〃》)=：二!；：12)，

對于①，當(dāng)α=0時，則/U)=

e-x,(x≥0)

當(dāng)x<0時，/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x≥0時，/(x)=ejt-l>0,所以/(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，且

/(-l)=e-l-l<0,/(l)=e'-l>0,所以函數(shù)/(x)有一個零點，故①正確；

v

人“?fe+x+l,(x<-l)

對于②，當(dāng)Q=I時，則Fa=X/、I，

[e-x-l,(x≥-l)

當(dāng)x<T時，/(x)單調(diào)遞增，且"-2)=e-2-2+l=*-l<0,?(-l)?e-1-l+l=→O,所以在

(-∞.-l),函數(shù)/(x)有且只有一個零點，

當(dāng)XNT時，令f(x)=e'-I=0,解得χ=0,

所以當(dāng)-1<x<0時，所以/(x)=e"T<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時，所以/(x)=e*—1>0,/(x)

單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x≥7時，/(x)>∕(0)=e°-0-l=0,所以在[―1,收)，函數(shù)/(x)有且只有一個零點，

所以當(dāng)α=l,函數(shù)/(x)只有兩個零點，故②不正確；

對于③，當(dāng)“<0,即-QO時，則

e-x-α,(x≥-tz)

當(dāng)x<-“時，”X)單調(diào)遞增，

當(dāng)x≥-a時，/(x)=ex-l≥0,所以/(X)單調(diào)遞增，所以函數(shù)/(X)在R上單調(diào)遞增,

綜上得，Va≤0,在R上是增函數(shù)，故③正確；

―—、?ex+x+a(x<-a]

對于④，當(dāng)心0,即一。<0時，則“X=,.f/、\，

[e-x-a?x≥-a)

當(dāng)x<-α?xí)r，/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xN-a時，令/(x)=e"-l=0,解得X=(),

所以當(dāng)—α<x<0時，所以f(x)=e'-l<O,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xX)時,所以/(x)=e'-l>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)α>0時，函數(shù)f(x)在(y，5)和(0，+8)上單調(diào)遞增，在(-〃,0)上單調(diào)遞減，所以不存在

α>0,使得/(x)在R上是增函數(shù)，故④正確；

綜上得，正確結(jié)論的序號是①③，

故答案為：①③.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查函數(shù)的零點個數(shù)，關(guān)鍵在于利用導(dǎo)函數(shù)分段討論函數(shù)的單調(diào)性，極值,

最值.

13.已知/(x)是定義域為(0,+8)的單調(diào)函數(shù),若對任意的Xe(O,+∞),都有//(x)+log,x=4,

_3_

且關(guān)于X的方程∣∕(x)-3∣=χ3-6χ2+9x-4+o在區(qū)間(0,3]上有兩解，則實數(shù)”的取值范圍是

【答案】(0,5]

【分析】令/(x)+∣°gT=",將x="可得,+log/=。，解得。=3,即可得了⑶7=TOgIx,設(shè)

333

g(x)=χ3-6f+9x-4+”,利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性作出y=χ3-6∕+9x-4的圖象以及)'=l∣°g產(chǎn)的圖

[a>0

象，結(jié)合圖象可得八、，〃即可求解.

[g⑶=α-4≤l

【解析】因為定義在(O,+e)的單調(diào)函數(shù)“可滿足//(x)+log,X=4,

_3_

所以必存在唯一的正實數(shù)”，滿足“X)+log]X=",/3)=4①，

3

令x=a,可得/(α)+logj="②，由①②得：l°g∕="-4即”=,「，

因為y=α單調(diào)遞增，y=(1J4單調(diào)遞減，所以方程〃="有唯一解，

所以α=(gj4,解得：α=3.故/(x)=3-log;，

由方程∣"x)-3∣=V-6胃+9x-4+α在區(qū)間(0,3]上有兩解，

即k>g∣X=χ3-6f+9x-4+α在區(qū)間(0,3]上有兩解，

3

由g(x)=X3-6χ2+9X-4+4,可得/(X)=3/-12X+9=3(X-1)(X-3),

當(dāng)l<x<3時，g'(x)<0,g(x)遞減，

當(dāng)OCXVl時，g'(x)>0,g(x)遞增，

所以g(x)在X=I處取得最大值α,g(0)=a-4,g⑶=a-4,

分別作出>=Ik)g/I和y=x-6χ2+9x-4的圖象，可得兩圖象只有一個交點(1,0),

若y=Y-6f+9x-4的圖象以及y=u°g[X∣的圖象有2個交點，

3

>0

則，,、J解得°<α≤5,所以當(dāng)°<445時，兩圖象有兩個交點，即方程兩解.

[g⑶=α-441

故答案為：(0,5].

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的

圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

14.已知/(X)=/下列結(jié)論正確的是.

①當(dāng)女=1時，/(x)≥0恒成立；

2

②若，(幻在R上單調(diào)，則人一；

e

③當(dāng)上=2時，f(χ)的零點為XO且—1<%<—5;

④若/(X)有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍為(0,右｝

【答案】②③④.

【分析】用特殊值判斷①，由導(dǎo)函數(shù)研究恒成立判斷②，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點判斷③④.

【解析】①當(dāng)A=I時，f(x)=ex-x2,/(-l)=i-l<0,故①錯誤；

e

②/(X)=kex-X2,則/'(X)=kex-2x,

若F(X)在R上單調(diào)遞增,則尸(%)≥O,即左≥與2x恒成立，

e

OO

令g(χ)=與r，則g'(x)=yir=o,得X=I,即g(x)在(y>,i)上單調(diào)遞增，在(1,2)單調(diào)遞減,

ee

、22

所以g(x)=g⑴=一，故ZN-；

nwtee

2X

若/")在R上單調(diào)遞減，則f(x)≤O,即Z≤—恒成立，

e

2χ2K

當(dāng)χ→γ0時，±±→-<X),g(x)無最小值，故&≤W不恒成立，即/(X)不會單調(diào)遞減，

ee

2

綜上：若Ax)在R上單調(diào)，則k≥±;故②正確；

e

③當(dāng)上=2時，f(x)=2ex-x2,f'(x)=2(e'-x),

令∕j(x)=e*-x,貝1]“(X)=e*-l,令/?'(X)=0,解得：X=0,

故〃(X)在(p,0)遞減，在(0,+∞)遞增，

故力(X)≥Zz(O)=I,故F(X)在R上單調(diào)遞增,

由函數(shù)零點存在性定理知，存在Xoe(T，-￡)，使得/(%)=(),故③正確;

④/(x)有3個零點等價于方程如=O有3個根，

即方程Z=一有3個根，令Fa)=F(X)=K=L,

eee

故F(X)在(-8,0)遞減，在(0,2)遞增，在(2,M)遞減，

而尸(O)=O,F(2)=[,且當(dāng)x>0時，F(xiàn)(X)>0,大致圖象如圖示：

故Z的取值范圍是(0指)，故④正確；

故答案為：②③④.

【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，研究函數(shù)的零點個數(shù)問題.解題關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)

與單調(diào)的關(guān)系.在用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)極值后需結(jié)合零點存在定理確定零點的存在，由

單調(diào)性得零點個數(shù).有時可由數(shù)形結(jié)合思想求解.

15.已知函數(shù)/(x)=Wlr-X+—r→e%xeR)有三個不同的零點與和不且芭<吃<鼻，若

7；=《0=1,2,3),則7；+7；+7；的值為.(注：題中e為自然對數(shù)的底數(shù)，即e=271828…)

Xi

【答案】8+e

【分析】運用分離變量法構(gòu)造新函數(shù)，通過分析新函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的圖象，確定函數(shù)的零點,

即可求解.

【解析】因為/(x)有三個不同的零點為，々，*3且X∣<x2<?x3,且/(0)=l≠0,

由/(x)=0,可得，nr-x+4r+e*=0,即m-l+^^+j=0,

即絲∑+C=l-zn,其中XrO

exX

令h(x)=—,可得h'(x)=e,

JCx^

當(dāng)x<0或OVXcl時，h'(x)<0,單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時，A,U)>O,MX)單調(diào)遞增，

其中Xf_8時，∕z(χ)→O；當(dāng)x<0且x→0,Λ(X)→→Λ;

當(dāng)x>0且x→0,∕ι(x)→+∞:∕z(l)=e,所以函數(shù)MX)的圖象大致如圖所示，

令g。)=，+—，可得g'(∕)=I-7，

當(dāng)f<-2√？時，g'(f)>O;當(dāng)-267<0時，g'(f)<O;

當(dāng)e<f<2G時，g'(f)<O;當(dāng)f>26時，g'(f)>O,

則g(f)的圖象大致如圖所示，

因為=。有三個零點，結(jié)合版X)和g(x)的圖象可知：

若f<0時，至多有2個零點再,2；

若f>0時，g(r)=l-m的解4內(nèi)必有一個為明否則必存在四個零點,

所以4=d，2=4,

X2X?Xy

又因為$<%<X3,所以A=——=T、=e、i,=——=—=4=7；=7^,

X)一百七

所以1+4+7；=4+c+4=8+e.

故答案為：8+e.

16.已知函數(shù)f(X)=x(x-ex)+e2'+me",(x-e*)有三個零點x∣,演，與，且西＜。＜々＜與，其中%wR，

e=2718為自然對數(shù)的底數(shù),則利的范圍為.

【答案】。，￡

【分析】通過換元法將方程變?yōu)椤?(切-1)/+(1-加)=0,其中j=f;利用導(dǎo)數(shù)可求得g(x)=3的

大致圖象，從而確定其與y=f的交點個數(shù)，將所求式子化為&-1)2也-1)2,利用韋達(dá)定理可求得結(jié)

果.

【解析】由/(x)=0,兩邊同時除以e'(x-e")變形為三+三7+,"=0,

士H----'----Fm-O

有e'X

---------1

Y1

設(shè)一=/即Ed-------Fm=O,所以產(chǎn)+(/%-1"+1—m=O

ext-?

令g(χ)=??,貝IJga)=號，所以g(x)在(9,I)上單調(diào)遞增，在―)上單調(diào)遞減，

ee

要使關(guān)于X的方程2+上二+機=0有三個不相等的實數(shù)解4，巧，?,KΛ,<0<Λ2<X3.

ex-e

結(jié)合圖像可得關(guān)于t的方程g(t)=r÷(^-l)r÷l-m=O一定有兩個不等的實數(shù)根r1,∕2

且%<0<b<一,從而+---.

ee-e

j

tl+z2=l-7w,r1√2=l-∕w,貝IJ2=%,-?-=?-=r2.

e'e2e3

所以修TJ(A)(尹]GTmT2

=[(4-1)(，2_1)了=[￥2_G+，2)+?]^=[l-w-(l-m)+l]2=1

小川H(A)=ZnT{(),￡).

故答案為：(°，土)

【點睛】方法點睛：己知函數(shù)零點(方程根)個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的

圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解

2

17.已知函數(shù)f(x)=4e?nx------------+2的存在4個零點，則實數(shù)機的取值范圍是.

x-elnx

【答案】(θ?)

c_4eInX111

【分析】令/(x)=0可得出==+3運］，令/=也-1,g(r)=4f+.4,利用導(dǎo)數(shù)分

X

析函數(shù)f=卓-1與g(f)=4r+；+4的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出g(f)=4f+；+4與函數(shù)

y=-2,w的兩個交點的橫坐標(biāo)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，進(jìn)而可求得實數(shù)m的取值范圍.

G_4e?nxιX_4e?nxι1

［解析］令〃X)=0,∏ΓW=-F+e?nx-x=~F+^lnx.,

--------J

X

.(、4e?nx1.1.

?e?nxg(t}=--------+—--------=4r+-÷4

令，=-----11,")einx，

Xχ--------1?t