2021-2022學(xué)年湖南省部分名校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年湖南省部分名校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合A={x∣0<x<2},B={x?y^ln(X-I)},貝UAUB=()

A.(0,+8)B.(1,+∞)C.(1,2)D.(0,2)

2.(5分)∣∣?g∣=()

.—,—√65√13

A.Λ∕65B.5/13C.§D.——

5

3.（5分）某社區(qū)衛(wèi)生室為了了解該社區(qū)居民的身體健康狀況，對(duì)該社區(qū)IloO名男性居民

和900名女性居民按性別采用等比例分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取了一個(gè)容

量為IOO的樣本，則應(yīng)從男性居民中抽取的人數(shù)為（）

A.45B.50C.55D.60

4.（5分）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿

足關(guān)系式如-nτ2=ggE卜發(fā)gEf,其中星等為利的星的亮度為以（Z=1,2）.已知

牛郎星的星等是0.75,織女星的星等是0,則牛郎星與織女星的亮度的比值為（）

3__3_310

A.IoIoB.10?θC.Ig,?θD.Ig?-

5.（5分）已知向量α,b滿足IaI=IbI=5,且∣α+b∣=6,則∣α-b∣=（）

A.6B.8C.36D.64

6.（5分）已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，P（xo,4）是C

上一點(diǎn)，且∣PQ=4,則4POF的面積為（）

A.8B.6C.4D.2

7.（5分）已知尸是直線/：x+y-7=0上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線與圓C：（x+l）2+/

=4相切，切點(diǎn)分別為A,B.則IABl的最小值為（）

-√14LL

A.√r14B.—C.2√3D.√3

2

8.（5分）方形是中國(guó)古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國(guó)文化中以綱常倫理為代

表的社會(huì)生活規(guī)則，中國(guó)古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如

圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個(gè)大正方體（由8個(gè)大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞

蚊從A點(diǎn)出發(fā)，沿著竹棍到達(dá)8點(diǎn)，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（）

A.180種B.150種C.120種D.90種

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

（多選）9.（5分）下列函數(shù)的最小值為8的是（）

?16,,.,,16

A.y=xd-----Br.y=ISInXl+τ~.—r

，X∣stnx∣

γ264?

C?y=~ξ?+淳D.y=x2,-2x+9

（多選）10.（5分）已知ω>0,函數(shù)f（x）=2√^si∏23χ+2sinα）xcosωx一6的最小正周期

為π,則（）

A.F（X）在［一各運(yùn)］上單調(diào)遞增

B.直線X=需是/（x）圖象的一條對(duì)稱軸

Tl

C.點(diǎn)（70）是/（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

6

2Ti5ττ

D.于（x）?［-,二］上的最大值為0

（多選）II.（5分）古希臘人十分重視數(shù)學(xué)與邏輯，閑暇之余喜歡在沙灘上玩數(shù)字游戲，

如圖，古希臘學(xué)者用石頭擺出三角形圖案，第1行有1顆石頭，第2行有2顆，以此類

推，第〃（"∈N*）行有〃顆，第”行第/（/GN*,l≤∕≤n）顆石頭記為a,■>,S<?,（）表

示從第1行第1顆至第〃行第i顆石頭的總數(shù)，設(shè)幾=S<（nr<?,1X）?+S（n4力1+…+S?（nllrΛ始J（16

N*,1≤?≤n),則(

ɑ(l,l)

ɑu,i)a—

??

fl(3tl)α(3,2)fl(3,3)

*??

0(4,1)fl(4t2)0(4,3)0(4,4)

ɑ(n,l)???ɑ(n,t)???α(nn)

???r

2

A.S91)=44B.S.nnl=?

mn)L

C.Ti=ID.Tk=卜(吐與+卜+1)

(多選)12.(5分)在正方體ABcD-AIBIClDl中，動(dòng)點(diǎn)P滿足G=加+μA?,其中入e

(0,1),μCR,且“W0,則()

A.對(duì)于任意的入€(0,1),μ∈R,且μW0,都有平面AaJ_L平面AIB1。

B.當(dāng)人+μ=l時(shí)，三棱錐2-AiPO的體積為定值

C.當(dāng)μ=,時(shí)，不存在點(diǎn)P,使得APLPC

D.當(dāng)入時(shí)，存在點(diǎn)尸，使得∕A∣PB>9O°

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.(5分)已知函數(shù)/(x)=?{aex-e'x'>是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=.

1+x

14.(5分)已知“——>0”是的必要不充分條件，則a的取值范圍

I-X

是.

15.(5分)已知圓錐的母線長(zhǎng)為4√Σ,其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的底面半徑

為，體積為.

X2V2

16.(5分)已知Fl(-c,O),Fl(c,0)分別是橢圓C：—+?-=1(α>?>0)的左、

ait>z

右焦點(diǎn)，P是橢圓C上一點(diǎn)，且IPQI=/1尸2|.若以點(diǎn)P為圓心，∣PF2∣為半徑的圓與直線

X=-C相切，則橢圓C的離心率為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)在條件①2ccosB-?cosA-αcosB=0,②4S=√3(α2+c2一^),其中S為aABC

的面積中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，然后解答補(bǔ)充完整的題目.

已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是”,h,c,且.

(1)求角以

(2)若aABC外接圓的周長(zhǎng)為三4√一3兀，求AABC周長(zhǎng)的取值范圍.

18.(12分)正項(xiàng)數(shù)列｛“”｝的刖〃項(xiàng)和為S”已知αι=α,2S∏=cintin+?.

(1)若｛“"｝是等差數(shù)列，求｛斯｝的通項(xiàng)公式.

(2)是否存在實(shí)數(shù)”,使得｛z｝是等比數(shù)列？若存在，求出”的值；若不存在，說(shuō)明理

由.

19.(12分)函數(shù)f(x)=X-H“X的圖像在點(diǎn)(1,/(D)處的切線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3).

(1)求a；

(2)已知函數(shù)g(無(wú))=∕(x)+/-云在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求6的取值范圍.

20.(12分)如圖，在梯形ABCD中，已知A8=4,AO=OC=8C=2,M為A3的中點(diǎn)，

將沿著。M翻折至APDW,連接PC,PB.

(1)證明：DMYPC；

(2)若二面角P-OM-C的大小為60°,求PB與平面ABCD所成角的正弦值.

21.(12分)某單位了為激發(fā)黨員學(xué)習(xí)黨史的積極性，現(xiàn)利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP中特有的“四

人賽”答題活動(dòng)進(jìn)行比賽，活動(dòng)規(guī)則如下：一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng)，僅前兩局比賽

可獲得積分，第一局獲勝3分，第二局獲勝得2分，失敗均得1分.小張周一到周五每

天都參加了兩局“四人賽”活動(dòng)，已知小張第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為P(0

1

VpVl),且各局比賽互不影響.

(1)若P=看記小張一天中參加“四人賽”活動(dòng)的得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期

望；

(2)設(shè)小張?jiān)谶@5天的“四人賽”活動(dòng)中，恰有3天每天得分不低于4分的概率為八p),

試問(wèn)當(dāng)P為何值時(shí)，/(P)取得最大值？

22.(12分)已知雙曲線E：*∣=l(α>°,匕>。)的右焦點(diǎn)為放，點(diǎn)尸2到E的一條漸

近線的距離為VL過(guò)點(diǎn)尸2的直線與E相交于A,B兩點(diǎn).當(dāng)43,X軸時(shí)，|4B|=2√Σ

(1)求E的方程；

(2)若M(∣,O),N是直線x=l上一點(diǎn)，當(dāng)B,M,N三點(diǎn)共線時(shí)，判斷直線AN的斜

率是否為定值.若是定值，求出該定值；若不是定值，說(shuō)明理由.

2021-2022學(xué)年湖南省部分名校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合4={x∣0<χV2},B={x∣y=/"(X-I)},則AUB=()

A.(O,+∞)B.(1,+∞)C.(1,2)D.(0,2)

【解答】解：：集合A={x∣0<x<2},B={x∣y=勿(X-I)}={x∣x>l},

.?.AUB=(O,+∞).

故選：A.

2.(5分)|芒豹=()

,—,√65√13

A.√65B.√13C.—D.——

5

r?giaιfegl3+2i_∣3+2i∣_杼+22-√13-√65

【解答】解：IEI--后([2)2—「一丁

故選：C.

3.（5分）某社區(qū)衛(wèi)生室為了了解該社區(qū)居民的身體健康狀況，對(duì)該社區(qū)IlOO名男性居民

和900名女性居民按性別采用等比例分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取了一個(gè)容

量為IOO的樣本，則應(yīng)從男性居民中抽取的人數(shù)為（）

A.45B.50C.55D.60

【解答】解：由題意可知，應(yīng)從男性居民中抽取的人數(shù)為IOOXTT爛麗=55.

故選：C.

4.（5分）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿

足關(guān)系式如-機(jī)2=3仞理一,仞琦，其中星等為利的星的亮度為&α=ι,2）.已知

牛郎星的星等是0.75,織女星的星等是0,則牛郎星與織女星的亮度的比值為（）

3__3_310

A.lθ?θB.10?θC.Ig?θD.Ig-?-

【解答】解：一m2=發(fā)汨一發(fā)酒=御胃=一0.75（所求為牛郎星的亮度比

織女星的亮度，所以牛郎星為2,織女星為1）.

E2-?

.Λ-=10io.

El

故選：B.

5.(5分)已知向量熱,b滿足面=IbI=5,且向+b∣=6,則向-b∣=()

A.6B.8C.36D.64

【解答】解：因?yàn)槿?b∣=6,所以丘+bF=嗟2+22?b+〃=36,

所以25+2/b+25=36,解得白7=-7,

所以。-612=a2-2a?b+b2=25-2×(-7)+25=64,

所以IQ—b∣=8.

故選：B.

6.(5分)已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，廠是拋物線C：)2=2PX(p>0)的焦點(diǎn)，P(xo,4)是C

上一點(diǎn)，且IPFl=4,則的面積為()

A.8B.6C.4D.2

【解答】解：:尸是拋物線Cy1=2px(p>0)的焦點(diǎn)，P(xo,4)是C上一點(diǎn)，且仍用

=4,

.√x°+2=4,rf0=2,

(16=2px0(P=4

1

...△尸0尸的面積為一X2X4=4.

2

故選：C.

7.(5分)已知P是直線/：x+y-7=0上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線與圓C：(x+l)2+y2

=4相切，切點(diǎn)分別為A,B.則IABl的最小值為()

,√14Lr-

A.√14B.—C.2√3D.√3

2

【解答】解：已知P是直線l?.x+y-7=0上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線與圓C：(Λ+1)

2+/=4相切，切點(diǎn)分別為A,B,

圓C是以C(-1,0)為圓心，2為半徑的圓，

由題可知，當(dāng)/ACP最小時(shí)，IABl的值最小，cos4CP=圈=春,

當(dāng)IPC取得最小值時(shí)，cos/ACP最大，NACP最小,

點(diǎn)C到直線I的距離d=嚼=4√Σ,

V2

故當(dāng)IPCl=4a時(shí)，COS/ACP最大，且最大值為

4

此時(shí)sin4CP=盥T=苧=孚，則MBl=√∏.

,

∣∕1CIτLT

故選：A.

8.（5分）方形是中國(guó)古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國(guó)文化中以綱常倫理為代

表的社會(huì)生活規(guī)則，中國(guó)古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如

圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個(gè)大正方體（由8個(gè)大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞

蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著竹棍到達(dá)8點(diǎn)，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（）

A.180種B.150種C.120種D.90種

【解答】解：由題意可知，從A到8最少需要6步完成，其中有2步是橫向的，2步是

縱向的，2步是豎向的.

則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有廢廢廢=90種.

故選：D.

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

（多選）9.（5分）下列函數(shù)的最小值為8的是（）

a?y=x+Tb?V=Is譏x∣+品

64?

c?y=z+淳D?y=χ-2X+9

【解答】解：對(duì)于A,當(dāng)XVO時(shí)，顯然不滿足題意.

對(duì)于B,因?yàn)镺ClSiIUIW1,y=∣siιu?∣+苫~≥2√1石=8,當(dāng)且僅當(dāng)ISinXI=4時(shí)，等號(hào)成

I?Lfl?√VτI

立；

因?yàn)榈忍?hào)取不到，所以其最小值不為8,8不符合題意.

對(duì)于C,y=[+,≥2√l石=8,當(dāng)且僅當(dāng)/=16,即X=±4時(shí)，等號(hào)成立，所以其最

小值為8,C符合題意.

對(duì)于。，y=∕-2x+9=(χ-l)2+828,當(dāng)x=l時(shí)，取得最小值，。符合題意.

故選：CD.

(多選)10.(5分)已知ω>0,函數(shù)/(x)=2VlSin%x+2sin3xcos3x-√5的最小正周期

為π,則()

5TC

A./(x)在[-g77]上單調(diào)遞增

B.直線X=碧是/(x)圖象的一條對(duì)稱軸

Tl

C.點(diǎn)(二，0)是/(x)圖象的一個(gè)時(shí)稱中心

6

27Γ5TT

D.于(x)在[二，二]上的最大值為0

【解答】解：函數(shù)/(?)=2-?∕3sin2ω^+2sinωA^cosωA?-V3=V3(l—cos2ωx)+sin2ωx—

√3=2sin(2ωx—5)，

由于函數(shù)的最小正周期為π,

所以ω=l;

故/(無(wú))=2sin(2x—^?),

對(duì)于4：由于xe[-各曾，所以2工一界[一條芻，故函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，

故A正確；

對(duì)于8：當(dāng)X=居時(shí)，/(不^)=2sin-=1?故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C：當(dāng)X=即寸，/(2)=0,故C正確；

對(duì)于D：由于久e[?>-^?],故2x—∈[ττ,?],所以f(x)∈[^1?0J,故函數(shù)的最

大值為0,故。正確.

故選：ACD.

(多選)11.(5分)古希臘人十分重視數(shù)學(xué)與邏輯，閑暇之余喜歡在沙灘上玩數(shù)字游戲，

如圖，古希臘學(xué)者用石頭擺出三角形圖案，第1行有1顆石頭，第2行有2顆，以此類

推，第w("∈N*)行有〃顆，第〃行第i(i∈N*,IWiW")顆石頭記為“(”f，Smi)表

示從第1行第1顆至第n行第i顆石頭的總數(shù)，設(shè)Tk=Sg1)+Sg2)+…+Sgk)(k∈

Nt,l≤k≤n),貝!]()

ɑ(l,l)

ɑu,i)a—

??

fl(3tl)α(3,2)fl(3,3)

*??

0(4,1)fl(4t2)0(4,3)0(4,4)

ɑ(n,l)???ɑ(n,t)???α(nn)

???r

2

A.S91)=44B.S(nnl=?

mn)L

C.Ti=ID.Tk=k(n2-*+l)

【解答】解：根據(jù)題意，三角形圖案中，第〃行有〃顆石頭，

s

則(n,n)=1+2+3+-+n=??,則S(n>0=l+2+???+(n-l)+i=

(l+九一1)(九一1)._n2-n+2i

2+l1=-2-，

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,S⑼I)=9-9j2xl=37,A錯(cuò)誤；

nhn

對(duì)于8,Sfrjx=l+2÷3+???÷n=∑,故8正確；

對(duì)于。，Tk=S(n,】)+Sg2)+…+Sg&)=/y+1+2+…+k=卜電三+k+n,

故。正確;

n2-n+2

對(duì)于C,TL-2-'故C不正確.

故選：BD.

（多選）12.（5分）在正方體ABC。-AIBICIDI中，動(dòng)點(diǎn)P滿足4P=λ?C+μ√10ι,其中入e

（0,1）,μ∈R,且αW0,則（）

A.對(duì)于任意的入6（0,1）,μ∈R,且μW0,都有平面ACP，平面481。

B.當(dāng)入+μ=l時(shí);三棱錐8-AiPQ的體積為定值

C.當(dāng)H=W時(shí)，不存在點(diǎn)尸，使得APLPC

D.當(dāng)入時(shí)，存在點(diǎn)尸，使得/AιP8>90°

【解答】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以6所在方向?yàn)閄軸正方向，疝)所在方向?yàn)?，軸正方向，

月工所在方向?yàn)閆軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

并設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,如圖：

則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

4(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),

D(0,1,0),Ai(0,0,1),Bi(1,0,1),

Ci(1,1,1),Di(0,1,1),

因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P滿足4P=44C+m4。1，所以，

AP=(λ,λ+μ,μ),P點(diǎn)坐標(biāo)為(入，入+μ,μ),

設(shè)平面ACP的一個(gè)法向量為益=(1,a,6),平面AiBiO的一個(gè)法向量為￡=(c,d,1),

AiBiO的一個(gè)法向量為￡=(c,d,1),

由秒.空=

0,,n?A1B1=0

→T'

（7H?AP=0

n?A1D=0

→

AC=（1,1，0）,&BI=(1,0,0),

力;D=(0,1,-1),得：

Cl×l+α?l+0=0

(1,2+α(4+∣u)+b∣ι=0,

(c?l+0+0=0

∣0+d?l+l×(-l)=0,

解得n=-l,h=l,c=0,d=1,

故m=(l,—1,1),n=(0,1,1),

因?yàn)樗{(lán)7=0,所以平面ACP，平面AiBiD,故①正確；

當(dāng)人+μ=l時(shí)，因?yàn)槿恕?0,1),所以動(dòng)點(diǎn)P在線段CDl上，

顯然CCDi在平面BAi。外，所以，C0i〃平面8A。，

所以，動(dòng)點(diǎn)P到平面B4。的距離為定值，

hPBAiD

VB-A1PD=Vp-BA1D=I?SABi心其中，為動(dòng)點(diǎn)到平面的距離，

因?yàn)槿切蜝AIo的面積為定值，所以三棱錐8-AiP。的體積為定值，故②正確;

當(dāng)〃=射，P點(diǎn)坐標(biāo)為(九λ+∣,1),此時(shí)，AP=(Λ,λ+l,!),

T13

PC=(I-；I,-≡),

假設(shè)存在點(diǎn)P使得APJ_PC,則

ATP?TPC=4?(l-4)+(a+.3)G1-4)+3*(-*3=0,

化簡(jiǎn)得：16入2-4入+3=0,A=-176V0,方程無(wú)實(shí)根，

即不存在點(diǎn)P使得APLPC,故③正確；

111

當(dāng);I=5時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為6,*+〃，μ),

TIl

此時(shí)，PA^=(―2f—2~1一〃)，

Tll

PB=⑦一2一一〃)，

TIlT11

止匕時(shí)，PA1=(-2,-2-M,]—〃)，PB=(2，-2-M,一日),

∕PAPB2μ2

CoS∕A[y1PnBo=-=rjr~~—=—τ">0,

IPaIHPBl?PA1?-?PB?

所以，不存在點(diǎn)P使得∕4PB>90°,故④錯(cuò)誤；

綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3,

故選：ABC.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.(5分)已知函數(shù)/(x)=/是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃=7.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)F(X)=X3是奇函數(shù)，則有/(-X)4∕(x)=

0,

即(-χ)3(^aex-ex)+x3Caex-e'x)=X3(α+l)Cex-e'x)=0,

必有α+l=0,即a=-1,

故答案為：-1.

14.(5分)已知"——>0”是“/-OX=0”的必要不充分條件，則a的取值范圍是(-

【解答】解：---<0,即(x+l)(X-I)<0,解得-l<x<l.

因?yàn)橐?gt;0”是“/-奴=0”的必要不充分條件，所以-l<αVl,即。的取值范圍

為(-1,1).

故答案為：(-1,1).

15.(5分)已知圓錐的母線長(zhǎng)為4√Σ,其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的底面半徑為

【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,貝屹仃=4√∑7T,解得r=2√∑

???圓錐的高力=J(4√2)2-(2√2)2=2√6,

體積V=^ττr2h=寺〃X(2&)2X2√6=?θ?θ71.

—L16√6π

故答案為：2√2;~.

X2y2

16.(5分)已知Fi(-c,0),Fi(c,0)分別是橢圓C：—+—=1(a>b>0)的左、

右焦點(diǎn)，P是橢圓C上一點(diǎn)，且IPFII=尸|正2|.若以點(diǎn)尸為圓心，∣Pb2∣為半徑的圓與直線

√3

X=-C相切，則橢圓C的離心率為y.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作尸。垂直直線X=-c,垂足為Q,連接尸產(chǎn)2,

由IPFIl=IFl正2|得IPFII=2。所以IP尸2∣=2α-2c,則IPQ=2α-2c,

在APFiQ中，由余弦定理知，COS/PF#2==c2_；2產(chǎn)C

因?yàn)镃oS∕PFI∕72=COSN尸ιPQ,

,cz-az+2aca-c,L，√3

所以...-----=----，則πQ=√^C,所以e=-y?

2C2C3

故答案為：-y?.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)在條件①2ccos8-反OSA-αcosB=0,②4S=√3(α2+C2-b2),其中S^j?ABC

的面積中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，然后解答補(bǔ)充完整的題目.

已知AABC的內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且.

(1)求角B；

(2)若AABC外接圓的周長(zhǎng)為乎兀，求AABC周長(zhǎng)的取值范圍.

【解答】解：(1)選擇①：

因?yàn)?ccos3-BcosA-4CθsB=0,

所以2sinCcosB=sinBcosΛ+cosBsinA=sinC,

因?yàn)镾inC≠0,所以cos3=/,

又Be(0,π),故B=條

選擇②：

因?yàn)镾=/acsinB,dz+C2—b2—2accosB,且4S=g(a2+￠2__%2),

所以4x%;SinB=V3×2accosB,則ta∏8=V3,

又BG(0,τr),所以B=去

4√3π4√3

(2)4ABC外接圓的周長(zhǎng)為U,故AABC外接圓的直徑為二一,

33

πi.ib4√34√3√3_

貝!J—-=-----，即b=v×-?-=2,

SinB332

2

所以4=/七2_2〃CeoSB=(a+C)-3acf

又3ac=(〃+c)2-4≤3×(^2~)2J所以(。+C)2≤16,即〃+cW4,當(dāng)且僅當(dāng)Q=C時(shí),

等號(hào)成立,

又因?yàn)棣?c>6=2,所以2Vα+cW4,則4<α+6+cW6,

故AABC周長(zhǎng)的取值范圍為(4,6]

18.(12分)正項(xiàng)數(shù)列｛a〃｝的刖〃項(xiàng)和為已知αι=α,2,S∏=cincι∏+1.

(1)若｛即｝是等差數(shù)列，求｛板｝的通項(xiàng)公式.

(2)是否存在實(shí)數(shù)小使得｛〃“｝是等比數(shù)列？若存在，求出〃的值；若不存在，說(shuō)明理

由.

【解答】解：(1)當(dāng)M=I時(shí)，2S?=2a?=a?aι,又m>0,則s=2,

當(dāng)〃12時(shí),2dn=2Sn-2S∕z-1=ClnCln+1^Cln-Iatι,即Un+?~CIn-T=2,

因?yàn)槲椤ǎ堑炔顢?shù)列，設(shè)｛?！ǎ墓顬閐,所以m+ι-斯-ι=2d=2,解得d=l,

則αι=α=2-1=1,故僅〃｝的通項(xiàng)公式為

(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使得｛〃〃｝是等比數(shù)列，

由(1)可知，Q3=m+2=2+α,〃4=〃2+2=4,

因?yàn)椋矗堑缺葦?shù)列,所以。2。3=41。4,即2(2+α)=4α,解得α=2,

?B'j-=-=h—==2不符合題意，則假設(shè)錯(cuò)誤.

a12a22

故不存在實(shí)數(shù)小使得｛?！ǎ堑缺葦?shù)列.

19.(12分)函數(shù)/(x)=X-H心的圖像在點(diǎn)(1,7(1))處的切線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3).

(1)求4；

(2)已知函數(shù)g(X)=f(x)+/-法在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求人的取值范圍.

【解答】解：⑴由/G)=x-alnχf得廣(%)=1—/，則/(1)=1-a,

又/(I)=1,???函數(shù)Fa)的圖象在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y-1=(1-〃)(x

-1),

即y=(l-α)x+α,把點(diǎn)(2,3)代入切線方程，得3=2-2α+α,解得〃=7；

(2)由g(X)=f(x)÷x2-hx=x+lnx+x2-bx,且函數(shù)g(X)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

11

得gz(x)=1÷-÷2x—e≥O在(O,÷o°)上恒成立，Λh≤2x+-÷1,

V2x+i+1≥2J2x?∣+1=2√2+l,當(dāng)且僅當(dāng)X=孝時(shí)等號(hào)成立，

：.b≤2√2+l,則6的取值范圍為(一8,2√2+l].

20.(12分)如圖，在梯形A8CZ)中，已知A2=4,A。=。C=BC=2,M為AB的中點(diǎn)，

將W沿著。M翻折至△「￡>〃，連接PC,PB.

(1)證明：DM±PC;

(2)若二面角P-OM-C的大小為60°,求PB與平面A3CZ)所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：連接AC,交。M于點(diǎn)O,連接P0,

因?yàn)锳B=4,AD=DC=BC=2,M為AB的中點(diǎn)，所以AM=AZ)=C￡),

又四邊形ABCO為梯形，所以四邊形4MC。為菱形，所以

因?yàn)镻O=PM,。是DW的中點(diǎn)，所以O(shè)MJ_P0,

因?yàn)锳CU平面PC0,POc5FffiPCO,ACnPo=。，所以平面PC0,

又PCU平面尸C0,所以O(shè)MJ_PC.

(2)解：以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，0M,OC所在直線分別為X,y軸，作OZJ_平面ABC。,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由(1)知，OPLDM,OC±DM,

因?yàn)槎娼鞘?OM-C的大小為60°,所以NPoC=60°,

因?yàn)锳B=4,AD=DC^BC=2,M為AB的中點(diǎn)，所以CoSZBAD=叢咋吃=力

∕?LJ乙

1

2,

所以NBAD=60°,

,,L√53

故6(2,√3,0),P(0,—,

22

_TV33

所以PB=(2,—,—?),

22

因?yàn)镺zL平面ABC￡),所以平面ABC。的一個(gè)法向量獲=(0,0,1),

設(shè)PB與平面ABCD所成的角為α,

→?0∕7

則SirIa=?cos{PB,m)?=卡--yξ-.

21.(12分)某單位了為激發(fā)黨員學(xué)習(xí)黨史的積極性，現(xiàn)利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”ApP中特有的“四

人賽”答題活動(dòng)進(jìn)行比賽，活動(dòng)規(guī)則如下：一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng)，僅前兩局比賽

可獲得積分，第一局獲勝3分，第二局獲勝得2分，失敗均得1分.小張周一到周五每

天都參加了兩局“四人賽”活動(dòng)，已知小張第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為P(0

1

<p<l),且各局比賽互不影響.

(1)若p=奈記小張一天中參加“四人賽”活動(dòng)的得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期

望；

(2)設(shè)小張?jiān)谶@5天的“四人賽”活動(dòng)中，恰有3天每天得分不低