2023屆高考前復(fù)習(xí)（上海）1-2復(fù)數(shù)三大考點(diǎn)與真題訓(xùn)練 （解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海地區(qū)專用））

專題1.2復(fù)數(shù)三大考點(diǎn)與真題訓(xùn)練

考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的相關(guān)概念

一、單選題

1.（2022?上海嘉定??？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=（2sina-l）+i（i為虛數(shù)單位），則“z

為純虛數(shù)”是“α=J”的（）.

O

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

［答案］B

【彳析】求，為純虛數(shù)的等價(jià)條件，結(jié)合充要條件判斷得解.

【詳解】當(dāng)。=?時(shí)，z=（2sin^-l）+i=i,所以Z為純虛數(shù)；

OO

若Z為純虛數(shù)，2sinα-l=0,所以Sina=:，所以α=J+2k乃或α=芋+2%萬，所以‘'z為純虛

2o6

數(shù)”是“c=B”的必要非充分條件.

O

故選：B.

2.（2022?上海浦東新?統(tǒng)考一模）虛數(shù)的平方是（）

A.正實(shí)數(shù)B.虛數(shù)C.負(fù)實(shí)數(shù)D.虛數(shù)或負(fù)實(shí)數(shù)

［答案］D

【彳析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的分類即可判斷.

【詳解】設(shè)z=4+0i（A≠0）,則（4+bif=（/-〃）+2岫，

若α=0,則z2=-ZΛ即負(fù)實(shí)數(shù)；

若α≠0,則z2=（∕一廿）+2出,即虛數(shù)；

故選：D.

二、填空題

3.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)Z等于則Z的虛部是.

【答案】-1

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，即可求解虛部.

【詳解】因?yàn)閦=J-i,所以Z的虛部是T

1

故答案為：-1

4.（2022?上海金山?統(tǒng)考一模）已知加是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)Z="?的實(shí)部和虛

1+21

部互為相反數(shù)，則IZI=.

【答案】2√2

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡，結(jié)合題意求出加的值，再用模長公式計(jì)算即可.

因?yàn)閷?shí)部和虛部互為相反數(shù)，所以6+2機(jī)+加-12=0,解得機(jī)=2,

此時(shí)z=2-2i,則IZl=J2?+（-2）2=2點(diǎn),

故答案為：20

5.（2022?上海普陀?統(tǒng)考一模）若z=i?（l-i）（其中i表示虛數(shù)單位），則ImZ=

［答案］］

【彳析】計(jì)算z=l+i,即可得到虛部.

【詳解】因?yàn)閦=i?(l-i)=l+i,根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可知，虛部為L

故答案為：1?

6.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)對于復(fù)數(shù)a、b、c、d,若集合S={αec,"}具有性質(zhì)“對任

意x、yGS,必有孫eS",貝!］當(dāng)a=/?'=1,/=匕時(shí)，abed=.

【答案】-1

【分析】由題意可得6=-1,c=±i,結(jié)合題意分類討論確定集合S.

【詳解】a=b2-\>貝!］6=-l,即°2=/?=-1,則c=±i

若c=i,貝IJ取x=_l、y=i,貝IJd=孫=-i

若c=T,則取X=T、y=T,則d=肛=i,

經(jīng)檢驗(yàn)S={1,Ti,T}滿足題意

abed=—1

故答案為：-1.

7.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)設(shè)ZQeC且z∣=i^,滿足IZLlI=1,則忖一?1的取值范

圍為.

【答案】［θ,2+√2］

【分析】判斷出z“Zz對應(yīng)點(diǎn)的軌跡，從而求得匕-2|的取值范圍.

(詳解】設(shè)Zl=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,

z2=c-d?,則α+Ai=i?(c-<√i)=d+ci,

22

∣zl-l∣=∣(α-l)+?i∣=??(ɑ-l)+b=1,所以(4-1)-+6?=1,

即ZI對應(yīng)點(diǎn)(“⑼在以(1,0)為圓心，半徑為1的圓(x-l),y2=i上

Z2=c+di=b+ai,z?對應(yīng)點(diǎn)為(b,α),

(凡。)與伍,α)關(guān)于>=x對稱，

所以點(diǎn)3,4)在以(0,1)為圓心，半徑為1的圓/+(y-l)2=l上，

∣Z］-Z2∣表示(。1)與3，“)兩點(diǎn)間的距離，

圓(X-I)OyZ=I與圓f+(),-l)2=l相交，圓心距為√∑,如圖所示,

所以IZI-Z2∣的最小值為0,最大值為√∑+1+1=2+√Σ,

所以∣z∣-Z2∣的取值范圍為［O,2+√Σ］.

故答案為：［0,2+應(yīng)］

8.(2022?上海虹口?統(tǒng)考二模)已知A,β,C是,ABC的內(nèi)角，若

(sinA+i?cosA)(sinB+i?cosB)=?+—i,其中i為虛數(shù)單位，則C等于

22

TT

【答案】y##60°

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等，得到方程組，再根據(jù)兩角和的

正弦、余弦公式計(jì)算可得;

【詳解】解：［3√?(sinΛ+i?cosΛ)(sinβ+i?cosB)=-^+^y-i

?/?

即(sinAsinβ-cosAcosB)+(sinAcosβ÷cosAsinB)i=—+-?i,

sinASinB-cosAcosB=-

2

所以

sinAcosB+cosAsinB=——

2

即COS(A+8)=-；,sin(Λ+B)=-,

因?yàn)锳+8e(0,萬)，所以A+B=,,

JT

所以C=萬_(4+3)=§；

故答案為：y

9.(2022?上海閔行?統(tǒng)考二模)若普為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù)m=

1+1

【答案】-1

("2+i)(l—i)772+1+(1—∕%)in?+1

【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法法則化簡得到?=----?—L,根據(jù)普為純虛數(shù)，

%(1+1.)看(1-1，)21+1

得到方程，求出，"=T,檢驗(yàn)后得到答案.

【詳解】∩WF~\=———L,因?yàn)?為純虛數(shù)，

(l+ι)(l-ι)21+1

所以m+l=(),解得：W=T,此時(shí)鋁=i,符合要求，

1+1

故答案為：-1

10.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模)已知復(fù)數(shù)Z滿足(l+i)z=4-2i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)Z

的模等于.

【答案】√io

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得復(fù)數(shù)z,利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得∣z∣.

【詳解】因?yàn)?1+i?z=4—2i,則Z=M4-2iJ(4-2i：)(l-i)；F2-6-i=I-3i,

'zl+i(l+ι川一ι)2

22

.?.∣Z∣=7I+(-3)=√io.

故答案為：Ji6.

11.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知z=l+i,則∣z-2司=.

【答案】√10

【分析】根據(jù)共輾復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)模的定義求解.

【詳解】竺)為z=l+i,所以，=IT,

所以z-2^=l+i-2(l-i)=-l+3i,

所以IZ—2司=√Γ①=加，

故答案為：√io.

12.(2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測)若∣z+l-i∣=l,則IZl的最大值與最小

值的和為.

【答案】2√2

【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的何意義可得復(fù)數(shù)Z表示以(-1，1)為圓心的半徑為1的圓，從而可求

出忖的最值，進(jìn)而可得答案.

【詳解】由幾何意義可得：復(fù)數(shù)Z表示以(-1,1)為圓心的半徑為1的圓，

pilj∣z∣e[√2-l,√2÷l]^∣z∣maχ÷∣z∣min=2√2.

故答案為：2近

13.(2022?上海徐匯?位育中學(xué)?？寄M預(yù)測)如果復(fù)數(shù)Z滿足∣z+i∣+∣z-力=2,那么

∣z+4+2i∣的最大值是.

【答案】5

【分析】設(shè)z=χ+yi,χ,yeR,根據(jù)題干條件得到x=0,-l<y<l,化簡得到

∣z+4+2i∣=J16+(y+2),根據(jù)T≤N≤1求出最大值.

【詳解】設(shè)z=χ+yi,χ,yeR,則GT石牙+產(chǎn)不^^=2,

22

變形為"2+(y+l)2=2-Jχ2+(yf)2,兩邊平方后得到Jy=^+(y-l),

兩邊平方后得到X=0,將X=O代入Jχ2+(y+ι)2+Jf+(y-i)2=2,

即∣y+ι∣+∣y-1|=2,故-ι≤y≤ι,

貝“z+4+2i∣=J(X+4)2+(),+2)2=J16+(y+2p，

當(dāng)y=l時(shí)，∣z+4+2i∣=J16+(y+2)?取得最大值,最大值為5

故答案為：5

三、解答題

14.(2022?上海浦東新?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測)設(shè)復(fù)平面上點(diǎn)Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)

z=x+yi(xeR,y∈R)(i為虛數(shù)單位)滿足Iz+2∣+虛-2|=6,點(diǎn)Z的軌跡方程為曲線G.雙

曲線。2：X2-F=I與曲線G有共同焦點(diǎn)，傾斜角為￡的直線/與雙曲線C2的兩條漸近線的交點(diǎn)

是A、B,OAOB=2,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求點(diǎn)Z的軌跡方程G；

(2)求直線/的方程；

(3)設(shè)△/?瘧個(gè)頂點(diǎn)在曲線G上，求證：當(dāng)。是△。班重心時(shí)，面積是定值.

【答案】⑴?！?1；⑵y=x±√∑;⑶證明見解析.

【詳解】試題分析：(1)【方法一】根據(jù)橢圓的定義可知，結(jié)合/=從+C2,即可求得點(diǎn)Z的

軌跡方程G;【方法二】根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)，化簡即可得點(diǎn)Z的軌跡方程G;(2)【方法一】

根據(jù)雙曲線G：w-E=I與曲線G有共同焦點(diǎn)，求得雙曲線G的方程，進(jìn)而可得雙曲線C?的

n

漸近線方程，設(shè)直線/的方程為y=χ+r,聯(lián)立漸近線方程與直線/的方程，求得A,8的坐

標(biāo)，再根據(jù)OA?OB=2,即可求得直線/的方程；【方法二】聯(lián)立直線/的方程與雙曲線的方

程，結(jié)合韋達(dá)定理，再根據(jù)0408=2,即可求得直線/的方程；(3)【方法一】設(shè)

1-

P^3cos<9l,?/?sin6>lj,Q^3cosθ2,>∕5sin6,j,R^3cosθy,?/?sin(9,),θvθ2,θ.i∈[0,2Λ),由O是△胤傕,心可

得f嚕：c呼=；,根據(jù)S=3&憶即可求得定值；【方法二】設(shè)PaM、

γsmθx+sιnθ2+smθ3=0'，

/、/、fX1+??+X,=0fX7=-%.-X1

Qa,%、Rχx,為,則有：'■八，推出■'一，代入到橢圓方程，結(jié)合

Iyl+必+%=0

SAPQR—3SAPOQ=耳上]丁2-入2XI,即可求得定值.

試題解析：(I)【方法一】由題意知，點(diǎn)Z的軌跡為橢圓.

,:a=3,c=2

.'"2=5

22

.?.點(diǎn)z的軌跡方程G為?→3=1?

【方法二】由題意知λ∕(x+2)2+y2+Ja-2『+V=6,,整理得?+?=

.?.點(diǎn)Z的軌跡方程G為：+?=1

(2)【方法一】?.?G與G有共同焦點(diǎn)

c2=4=1+H,即〃=3

2

.?.雙曲線C2的方程為χ2-21=ι

3

雙曲線C2的漸近線方程y=±√3.t

設(shè)直線/的方程為y=χ+f.

y=~^\得A

聯(lián)立方程

[y=x+t戶Tg/北W及TJ

-t23t2

:.0A?OB=——+—,產(chǎn)=2,即直線/的方程為y=x±√∑?

22

【方法二】???G與G有共同焦點(diǎn)

/.c2=4=1÷π,即〃=3.

.?.雙曲線G的方程為V-1=ι

√-Z=o

設(shè)直線/的方程為y=χ+f,聯(lián)立方程3得至∣j2d-2rx-r=0.

y=x+t

X1+X2=Z

,2

一萬

又OA-OB=Λ1X2+yly2=XX2+(X+。(電+')

22

=2xlx2+/(xl+x2)+r=t=2

(t?∏TOA?OB=xxx1+yly2=x[x2-?∕3xl?Λ∕3X2

2

=-2xlx2=I=2)

.,.∕=+√2，即直線/的方程為y=x±√∑?

(3)【方法一】設(shè)P(3cos%后ineJ,Q(3cos&后in2),R(3cos%族i∏q),θl,θ2,θie?θ,2π).

?.?。為ΔPQR的重心

fcosθl+cosθ2+c0sθ3=0

[sinθi+sinΘ1???sinθ3=0

.?,cos(0l-?)=-pCθs(6>2-∕93)=-pCθs(<93-6>l)=-^

13COSa正Sina1

?3cos0>∕5sin01

??SAPQR=3SAOPQ=322=∣∣375sin((9-6>)∣=邛?

22l

OO1

3cos6]Λ∕5Sina

?-=

(也可.二SAPQR3COS^2小sin%1=^|3^/5sin(02-^1)+3Λ∕5sin(?-02)+375sin(01?)∣

2

3cos^^Sine§1

不妨設(shè)4>a>a,5R=r)jar+"=a2τt+*="g4τr?

G

SU?(*-Θ)=

22一

sir)=√23

√一3

2

sb?(a-q)=

x+x+x=0

【方法二】設(shè)Wax）、Q（W,必）、Aa，%），則有：■l23代入橢

y+必+%=0.

圓方程得：1。中2+i8y∣%=-45.

9977

所以(18y∣%)~=(45+10x∣??)~=>x：+E+為々=彳

3

S"QR-3SApoQ=—∣x1y2

,?S^PQR=-^X^+X；+工]工2)

145279√15

?q---------=--------

?.9χpQR-444

點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多

少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問

題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，

到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).

考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的幾何意義

一、填空題

1.（2023?上海靜安?統(tǒng)考一模）己知復(fù)數(shù)Z=土網(wǎng)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)

a-?

位于第二象限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】修

,+∞

/

【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算出Z,再由復(fù)數(shù)的幾何意義得出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，列方程組求

解即可.

-1+2ai(―l+2αi)(a+i)—。+(2〃~—+-3a2a2-1.

【詳解】Z=------1----A-----??>

a-?6f-i)(tz+i)/+1+1。~+1

"-3a2/-1]

..復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為

?Z2,2

k^+ι^+l)

-342a2-Γ

由已知,在第二象限,

a2+Γa2+1,

-3a

<0

a2+l

,解得。>也

2cΓ-?2

>0

.(i-+1

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是［*,+∞.

故答案為：［咚^+8.

2.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(-1，2),則°=.

z

【答案】-l-2itttt-2i-l

【分析】由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)寫出復(fù)數(shù)z,再應(yīng)用復(fù)數(shù)除法的法則求解即可.

【詳解】對應(yīng)的點(diǎn)為(T2),.?.z=T+2i,

.555(-1-2i)5(-1-2i)1?.

,,Z-1+2i(-l+2i)(-l-2i)5'

故答案為：T-2i.

3.(2022?上海奉賢?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z∣=-7+4i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為4,復(fù)數(shù)

Z?=T在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z?,聯(lián)結(jié)Z/∣,將向量Z?4繞點(diǎn)Zz逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。角得到一個(gè)新

的向量Z2Z3,向量Z2Z3的終點(diǎn)Z、在虛軸上，則6的最小正角是(用反余弦表示).

24

【答案】^r+arccos-

【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算求出Z2Z、所對復(fù)數(shù)，進(jìn)而求出點(diǎn)Z.3的坐標(biāo)，即可

推理計(jì)算作答.

【詳解】依題意，點(diǎn)7,4),Zz(Y,0),則向量Z2Z=(T,4)所對復(fù)數(shù)為-3+4i,

因此向量Z2Z3所對復(fù)數(shù)為(-3+4i)(cos。+isin0)=(-3cos夕-4sin。)+(4CoS。-3sin￡)i,

于是得點(diǎn)Z3(-4-3cose-4sin?,4cos?-3sin。),而點(diǎn)Z3在虛軸上，則3cos6+4sin6=-4,

又∣Z∕∣=5,則點(diǎn)4,在以點(diǎn)Z?為圓心，5為半徑的圓上，此圓與辟由交于兩點(diǎn)，

因此當(dāng)6取最小正角時(shí)，點(diǎn)Z3在虛軸的負(fù)半軸上，

4cos，-3sin6=-y∣52-(-3cos0-4sinθ)2=-3,

243τr

從而得COSe=-會顯然點(diǎn)Z3(0,-3)在直線Z24：4x+3y+16=0的上方，即;r<”,

24

所以6=乃+arccosw.

24

故答案為：Λ?+arccos-

4.(2022?上海?統(tǒng)考二模)若復(fù)數(shù)Z滿足3=i,貝IJZ對應(yīng)的點(diǎn)位于第________象限.

l÷ι

【答案】二

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】由?A=i,得z=i?(l+i)=i+i2=T+i

所以復(fù)數(shù)Z對應(yīng)復(fù)平面的點(diǎn)為(-1,1),

所以Z對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.

故答案為：二.

5.(2022?上海普陀?統(tǒng)考二模)若復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(1,7),則士=.

z

【答案】l+i##i+l

2

【分析】由復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)寫出復(fù)數(shù)Z,再應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法化簡A即可.

Z

【詳解】由題設(shè)，z=ιτ,故2］+i.

z1-1(l-1)(l+1)

故答案為：1+i

考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算

一、填空題

1.（2022?上海奉賢?統(tǒng)考二模）已知Z∣=l+i,z2=2+3i（其中i為虛數(shù)單位），則4+名=

【答案】3-2i##-2i+3

【分析】由共朝復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的加法求Z,+2；即可.

【洋解】由題設(shè)，Z[+z?=l+i+2-3i=3-2i?

故答案為：3-2i

2.（2022?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面第一象限

內(nèi)，甲、乙、丙、丁四人對復(fù)數(shù)Z的陳述如下（i為虛數(shù)單位）：甲：z+2=2;乙：

2

z-z=2√3z;丙：z?z=4;T：W=三.在甲、乙、丙、丁四人陳述中，有且只有兩個(gè)人的陳述正

z2

確，則復(fù)數(shù)Z=.

【答案】1+i

【分析】設(shè)z="+bi（α>O力>0）,由此可計(jì)算出z+2,z—N,Z點(diǎn)和芻，根據(jù)數(shù)字對比可發(fā)現(xiàn)

Z

丙丁、乙丁不能同時(shí)成立；又甲乙丙任意兩個(gè)正確，則第三個(gè)一定正確，由此可得到只能甲丁

正確，由此可求得Z.

【詳解】設(shè)z=α+6i（a>0,b>0）,則2=α-〃，

2

Zz~

.?z+z=2a,z-z=2bi,z?z=6z2+b1,-=「5-------τ?

za2+b2

2

z?5=4與三=二不可能同時(shí)成立，；.丙丁不能同時(shí)正確；

Z2

LZZ2

Z-彳=2瘋時(shí)，力2=3>2,—不成.?.乙丁不能同時(shí)正確；

z2

當(dāng)甲乙正確時(shí)：a=l,?=√3,則丙也正確，不合題意；

當(dāng)甲丙正確時(shí)：a=l,?=√3,則乙也正確，不合題意；

當(dāng)乙丙正確時(shí)：b=6,α=l,則甲也正確，不合題意；

，甲丁陳述正確，此時(shí)α=∕=l,r.z=l+i.

故答案為：1+八

3.（2022?上海徐匯?上海中學(xué)?？寄M預(yù)測）支平0

【答案】-2i

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算的相關(guān)知識進(jìn)行求解即可.

(l+i)(I-i)l-i2l-(-?)22i2i

【詳解】----------------------------

iii-i----i2-----1

故答案為：-2i?

4.（2022?上海虹口?統(tǒng)考一模）設(shè)〃?，"∈R,i為虛數(shù)單位,若1-/是關(guān)于X的二次方程

/+〃氏+，7=0的一個(gè)虛根，貝!|帆+〃=.

【答案】2

【分析】將根代入方程，化簡即可得到（-2+機(jī)+〃）+（-26-6〃）i=0,列方程組即可求得

I/W=-2

=4°

【詳解】將X=I-后代入方程得：（1-后）2+制1-6）+〃=0,

即I-2/+3/+m-√3mi+〃=0,即(-2+m+n)+(-2√3-√3w)i=0,

-2+m+π=0m=-2

所以，解得

-2√3-√3∕n=0n=4

所以〃2+〃=2.

故答案為：2

Z4

5.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)Z滿足=0,則Z=

-1z

【答案】z=±2i

【分析】設(shè)z=α+Ai,根據(jù)二階行列式的計(jì)算公式列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)z=α+bi,a,beR,

則由已知Z2+4=0,

即a1-b2+4+2ηi=0,

a2-b2+4=0[a=0

???cJ八,解得L

[2Ob=O[b=±2

故Z=±2i.

故答案為：z=±2i.

6.（2022?上海長寧?統(tǒng)考一模）復(fù)數(shù)Z滿足三=J7（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平

面上所對應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)加勺距離為

【答案】立

22

【分析】由已知，根據(jù)條件，先對已知彳=TL進(jìn)行化簡，得到z=:+:,然后直接求解復(fù)數(shù)Z

l÷ι22

在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)今IJ原點(diǎn)加勺距離即可.

_11-i1-i1i

【詳解】由已知，z=T7T=（ι÷i）（ι-i）-=r2'

所以z=；+g，所以復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)納（31），

所以復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)今IJ原點(diǎn)通勺距離為：^i-O∫+^-θJ=冬

故答案為：走.

2

2i,,

7.（2022?上海浦東新?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)2=[訴（，為虛數(shù)單

位），5表示Z的共軌復(fù)數(shù)，則Z后=,

【答案】1

【分析]先由復(fù)數(shù)除法求得z,然后再計(jì)算z?5.

2i2i(l-√?)2(i+√J)6?.

【詳解】

l+^z-(l+√3z)(l-^)-4-22

故答案為：1

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，掌握復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則是解題基礎(chǔ).本題還考查了共甄復(fù)數(shù)的

概念.

【真題訓(xùn)練】

填空題（共7小題）_

1.（2022?上海）已知z=l+f（其中，為虛數(shù)單位）,則2Z=2-2/.

【分析】直接利用共輾復(fù)數(shù)的概念得答案.

【解答】解：z=l+f,則z=l-/,所以2z=2-2∕.

故答案為：2-2工

【點(diǎn)評】本題考查了共輾復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題.

2.（2021?上海）已知ZI=I+，，Z2=2+37,求Zι+Z2=3+4/.

【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求出4+Z2即可.

【解答】