第一章高等數(shù)學(xué)（九）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁第4章多元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)偏導(dǎo)數(shù)及計(jì)算1．偏導(dǎo)數(shù)（1）定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)固定在而在處有增量時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有偏增量，倘若極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記為類似有注：多元函數(shù)在一點(diǎn)延續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)存在沒有任何關(guān)系。（2）偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：對(duì)哪個(gè)變量求偏導(dǎo)，只要將其余變量當(dāng)常數(shù)對(duì)待，對(duì)該變量求導(dǎo)數(shù)則可?！纠}4-1】函數(shù)在點(diǎn)處有一階偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在該點(diǎn)延續(xù)的：(A)須要條件(B)充足條件(C)充足須要條件(D)既非充足又非須要解：顯然應(yīng)選D?！纠}4-2】設(shè)，則等于：（A）（B）（C）（D）解：將中的變量看成常數(shù)，對(duì)變量求導(dǎo)數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有故應(yīng)選D。2.多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)多元函數(shù)復(fù)合的情況比較復(fù)雜，不可能用一個(gè)公式表達(dá)所有情況，關(guān)鍵是控制復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的主意，總結(jié)可分為以下步驟：1）理清函數(shù)、中間變量、自變量的關(guān)系，畫出關(guān)系圖。2）寫出對(duì)應(yīng)的公式3）計(jì)算得到結(jié)果【例題4-3】．若和均可微，則等于：（A）（B）（C）（D）解：和復(fù)合后是對(duì)的一元函數(shù)，故應(yīng)選B。3.隱函數(shù)求偏導(dǎo)設(shè)方程決定了隱函數(shù)，函數(shù)具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且則【例題4-4】．函數(shù)由方程所決定，則等于：（A）（B）（C）（D）解：記，則，，故應(yīng)選D。高階偏導(dǎo)數(shù)逐次求一階偏導(dǎo)數(shù)【例題4-5】．設(shè)，其中具有二階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，則等于：(A)（B）（C）（D）解：，，故應(yīng)選B。第二節(jié)全微分（1）倘若在點(diǎn)可微，則偏導(dǎo)數(shù)必然存在，且全微分（2）全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：全微分存在偏導(dǎo)數(shù)存在，偏導(dǎo)數(shù)延續(xù)全微分存在，【例題4-6】設(shè)，則等于：(A)(B)(C)(D)解：因?yàn)椋?，則=故應(yīng)選(D).第三節(jié)多元微分學(xué)的應(yīng)用1.幾何應(yīng)用（1）空間曲線的切線及法平面若曲線由參數(shù)方程給出，則在點(diǎn)處，切向量為，且切線方程法平面方程（2）曲面的切平面及法線1）若曲面方程為，在點(diǎn)處，法向量，且切平面方程，法線方程.2）若曲面方程為法向量.切平面方程，法線方程.【例題4-7】曲面在點(diǎn)處的切平面方程是：（A）；（B）；（C）；（D）解:切平面的法向量為,切平面方程的點(diǎn)法式方程為,即,故應(yīng)選(A).2.二元函數(shù)的極值（1）二元函數(shù)極值的須要條件：可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)有極值的須要條件是，（2）二元函數(shù)極值的充足條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)某鄰域內(nèi)具有一階、二階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，令則1)2)則無極值；3)該主意失效.【例題4-8】下列各點(diǎn)中為二元函數(shù)的極值點(diǎn)的是：(A)(B)(C)(D)解:由解得四個(gè)駐點(diǎn)，再求二階偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)處，，是極值點(diǎn)。在點(diǎn)處，，不是極值點(diǎn)。類似可知也不是極值點(diǎn)，點(diǎn)不是所給函數(shù)的駐點(diǎn)，也不是極值點(diǎn)。故應(yīng)選(A).【例題4-9】若函數(shù)在閉區(qū)域上延續(xù)，下列關(guān)于極值點(diǎn)的陳述中準(zhǔn)確的是：(A)的