2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 8-8 直線與雙曲線 學(xué)案

第八節(jié)直線與雙曲線

【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.理解直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法2掌握直線被雙曲線所截的弦

長(zhǎng)公式.

必備知識(shí)夯實(shí)雙基

知識(shí)梳理

1.直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷

y=kx+m,

聯(lián)立χ2y2得(/?2—〃2攵2)為2—242h如一42"?2-4262=0,該一元二次方程的判別式

等一京=L

為Δ.

⑴當(dāng)按一足尸=0,即Jt=±p時(shí),直線與雙曲線的漸近線,直線與雙曲線

a

(2)當(dāng)從一出尸wo,即k*±e時(shí)，

a

△>0=直線與雙曲線有個(gè)交點(diǎn)；

△=0=直線與雙曲線有個(gè)交點(diǎn)；

△<0=直線與雙曲線有個(gè)交點(diǎn).

2.直線與雙曲線相交的弦長(zhǎng)公式

設(shè)斜率為％(Z≠0)的直線/與雙曲線C相交于4,B兩點(diǎn)，A(X%),8(X2,竺)，貝IJ

?AB?=√1+k2∣%ι—Λ2∣

=√1+k2+x)2-

Λ∕(X124X1X2

=JI+施一加

2

=Jl+專√(yι+y2)-4y1y2.

［常用結(jié)論］

同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長(zhǎng)為《；異支的弦中最短

的弦為實(shí)軸，其長(zhǎng)為2”.

夯實(shí)雙基

1.思考辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)雙曲線的漸近線與雙曲線不會(huì)相交.()

(2)“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的充要條件.()

(3)直線y=∣x+2與雙曲線?—3=1的位置關(guān)系是相交.()

(4)過雙曲線/一1=1的右焦點(diǎn)F作直線/交雙曲線于A,B兩點(diǎn),若HBI=4,則這樣

的直線/有2條.()

2.(教材改編)直線y=J(x—9與雙曲線V=I的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

329

A.OB.1C.2D.4

3.(教材改編)過雙曲線。一1=1的右焦點(diǎn)B且傾斜角為30。的直線交雙曲線于A,B

36

兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)l為左焦點(diǎn)，則HBl=.

4.(易錯(cuò))已知直線y=丘一1與雙曲線/一產(chǎn)=4的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則大的取值范圍為

()

A.(0,$B,［1,今

C.(-y,y)D.(1,凈

5.(易錯(cuò))過點(diǎn)尸(4,3)與雙曲線，一號(hào)=1只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有條.

關(guān)鍵能力題型突破

題型一直線與雙曲線的位置關(guān)系

例1已知直線/：y=k(x-?),雙曲線：x2-y2=4,試討論下列情況下實(shí)數(shù)&的取值范

(1)直線/與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)：

(2)直線/與雙曲線有且只有一公共點(diǎn)；

(3)直線/與雙曲線沒有公共點(diǎn).

［聽課記錄］

題后師說

(1)直線過定點(diǎn)時(shí)，根據(jù)定點(diǎn)的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系

確定其位置關(guān)系.

(2)直線斜率一定時(shí)，通過平行移動(dòng)直線，比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確定其

位置關(guān)系.

鞏固訓(xùn)練1

［2023?安徽宿州期末舊知雙曲線C的焦點(diǎn)在X軸上，其漸近線方程為y=±x,實(shí)軸長(zhǎng)為

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)P(0,1)的直線與雙曲線C的左、右支各交于一點(diǎn)，求該直線斜率k的取值范圍.

題型二弦長(zhǎng)問題

例2在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知點(diǎn)Q(一√lO),F2(√3,0),∣MFι∣-∣MF2∣=2√2,

點(diǎn)M的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)已知傾斜角為?的直線/經(jīng)過點(diǎn)F,且/與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，求AFMB的面積.

42

［聽課記錄］

題后師說

弦長(zhǎng)的求解方法

(1)聯(lián)立直線與雙曲線方程，解方程組求出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求

解.

(2)聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、化簡(jiǎn)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系與弦長(zhǎng)公式求解.

要特別注意直線與雙曲線交于一支還是兩支.

鞏固訓(xùn)練2

［2023?河北滄州期末］已知雙曲線C：2-?=l(4>0,〃>0)的漸近線方程為怎±2y=0,

且過點(diǎn)(2√L√3).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作斜率為1的直線/交雙曲線于A,B兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)HB∣.

題型三中點(diǎn)弦問題

例3［2023?河南新鄉(xiāng)模擬］已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C：?--^-≈l(a>l)±.

aza<-l

(1)求雙曲線的方程；

(2)是否存在過點(diǎn)P(l,的直線/與雙曲線相交于A,8兩點(diǎn)，且滿足P是線段AB的

中點(diǎn)？若存在，求出直線/的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

［聽課記錄J

題后師說

解決直線與雙曲線相交的中點(diǎn)弦問題的常用方法和解決直線與橢圓相交的中點(diǎn)弦問題

的方法相同.

鞏固訓(xùn)練3

已知雙曲線C：4-?=1(β>0,b>0)的其中一個(gè)焦點(diǎn)為(遙，0),一條漸近線方程為2x

一y=O.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知傾斜角為F的直線/與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

4

4,求直線/的方程.

真題展臺(tái)

l.[2022?全國(guó)甲卷]記雙曲線C：?-?=l(α>O,6>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直

線y=2x與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值_______.

2.[2022?浙江卷]已知雙曲線?-?=13>0,3>0)的左焦點(diǎn)為尸，過戶且斜率為之的直

線交雙曲線于點(diǎn)A(X1，n),交雙曲線的漸近線于點(diǎn)B(X2,竺)，且x∣<O<Λ?.若IEBI=3∣E4∣,則

雙曲線的離心率是.

3.[2022?新高考1卷]已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C：m一也=1(4>D上，直線/交C于

azaz-1

P,Q兩點(diǎn)，直線AP,AQ的斜率之和為0.

(D求」的斜率;

(2)若tanZZ?e=2√2,求△見。的面積.

4.[2021?新高考1卷]在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知點(diǎn)Fi(一√F,0)、F2(√17,0),

點(diǎn)M滿足IMFlI-IMF2∣=2,記”的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)7在直線Xw上,過T的兩條直線分別交C于A、B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn),且|切僧|

=?TP?-?TQ?,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

第八節(jié)直線與雙曲線

必備知識(shí)?夯實(shí)雙基

知識(shí)梳理

1.⑴平行相交于一點(diǎn)(2)2?O

夯實(shí)雙基

1.(I)J(2)×(3)√(4)X

2.解析：由雙曲線的方程?一產(chǎn)=1可得雙曲線的漸近線方程y=±$.

產(chǎn)初一夕與直線產(chǎn)孑平行且直線產(chǎn)例一今過定點(diǎn)60)，在雙曲線的內(nèi)部，直線與

雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).

故選B.

答案：B

3.解析：由雙曲線的方程得F∣(3,0),F2(3,0),直線AB的方程為y=日(X-3),①

將其代入雙曲線方程消去y得，

5∕+6χ-27=0,解得Xl=-3.

將Xi,X2代入①，得％=—2次,

答案：16有

χ2_τr2=Λ

y'消去y得(1一公)/+2h一5=0,所以左#±1,設(shè)直線

{y=kx-1,

與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(XI,yl),(X2,yi),

(Δ>0,f(2fc)2+20(l-fc2)>0,

所以卜i+χ2>0,即，τ?>°,

(X1×2>0,>0,

II-K

4k2<5,

k(k-l)(k+l)>0,整理1<%岑，所以實(shí)數(shù)人的取值范圍是(1,y).

{2

k>1,

答案：D

5.解析：因?yàn)殡p曲線的方程為旨一1=1,

169

所以4=4,。=3,

所以雙曲線的漸近線方程為y=±∣r,

又點(diǎn)P(4,3)在直線y=%上，

如圖所示：

當(dāng)過點(diǎn)P(4,3)的直線與直線y=-∣x平行或與X軸垂直(過右焦點(diǎn))時(shí)，與雙曲線只有一

個(gè)公共點(diǎn)，

所以這樣的直線有2條.

答案：2

關(guān)鍵能力?題型突破

例1解析：取立直線1)和雙曲線x2—y=4,消去y得(I-F)/+2FX一/一4

判別式A=4?4+4(l-F)(R+4)=4(4—3R).

(I)I-RWO,且A＞0,解得

也＜k＜出且k≠±?,

則人的取值范圍是(一當(dāng)，-∣)U(-1,1)U(1,吟.

(2)1—F=O或1—FHO,且△=(),解得4=±1,或R=則k的取值范圍是?=÷1,

或人吏

(3)l-RW0,且△<(),解得Q等或k<-^?,則人的取值范圍是(一8,一誓)u(警,

+∞).

鞏固訓(xùn)練1解析：(1)由題意雙曲線C的焦點(diǎn)在X軸上，其漸近線方程為y=±x,實(shí)軸

長(zhǎng)為2,

可設(shè)雙曲線方程為??—5=1,(a>0),且2a=2,a=1,

則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為/—y=i.

(2)由題意可知過點(diǎn)P(0,1)的直線與雙曲線C的左、右支各交于一點(diǎn),

故該直線斜率一定存在，且不和雙曲線漸近線平行，

故設(shè)直線方程為y=fcv+l,k≠±?,

J_1［；，整理得(1—R)/-2"一2=0,

聯(lián)立

需滿足7?*c°,解得一lv2<l,

l-k2

即該直線斜率Z的取值范圍為(一1,1).

例2解析：(1)由題意可知：2^=2√2≠>π=√2,C=√3,得人=1,

所以點(diǎn)M的軌跡即C的方程為以點(diǎn)F∣(一遍，0),F2(√3,0)為焦點(diǎn)，

實(shí)軸長(zhǎng)為2魚，虛軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支，即?一爐=1。2四).

(2)由(1)知:Fι(-√3,0),F2(√3,0),即直線AB的方程為y=χ-√Σ

y=X-V3

設(shè)A(XV),B(X2,y,2),聯(lián)立?χ2.,解得JC2—4恁+8=0,

v-y2=1

12

滿足Δ>0且Xl+X2=4√5,XIX2=8,

由弦長(zhǎng)公式得

22

∣AB∣≈√1+l?h?∣-X2∣=√2XJ(4√3)-4×8=√2×4=4√2,

點(diǎn)Q(一√l0)到直線AS：χ-y-√5=0的距離"=上然二包=后,

所以SgAB=削卦d=p4√IX√6=4√3.

鞏固訓(xùn)練2解析：⑴由雙曲線方程知：漸近線斜率k=±g,又漸近線方程為√lx±2y=

b_√3

0,雙曲線過點(diǎn)(2Λ∕Σ,、/?),.?.?^?-白=1.由a^2得｛；二擊，...雙曲線C的

a2azbz?-?=1

,a2b2

方程為9一Y=L

(2)由(1)得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土√7,0).若直線AB過雙曲線的左焦點(diǎn)(一位，0),則

y=X+√7-f,

x+X=-8Λ∕7

AB∑γ=x+√7,由次上_］得好+8岳+4。=。.設(shè)A(Myi)IS,"),則｛12

?43~X1X2=40

.?.∣A8∣=√Σ?J(xι+X2)2—4xj2=√Σx√Σ麗=24.由雙曲線對(duì)稱性可知:當(dāng)AB過雙曲線右

焦點(diǎn)時(shí)，HBl=24.綜上所述：[AB∣=24.

例3解析：(1)已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:

az-1

所以"?-1"7=1,整理得4Q2+4=0,解得〃=2,則〃=夜，

aza2-l

所以雙曲線方程為?一產(chǎn)=L

(2)由題可知若直線存在，則直線/的斜率存在，故設(shè)直線/的方程為y=攵ɑ-l)一[,

且設(shè)交點(diǎn)&尤1,yι),B(X2,”)，

(—―yf=1

貝必2，兩式相減得(加一12)(即+]2)=2。1—>2)。1+丁2).

信7=1

由于P(l,—會(huì)為AB中點(diǎn)，則X]+X2=2,γι+γ2=-1,

則左=紇左=—1.

×1-×2

即有直線/的方程y=—(x—1)—(即y=-x+1.

fy=~χ÷~

則根據(jù)=>2爐-4x+5=0.

(y-y2=ι

檢臉判別式為A=(-4)2-4X2X5=-24<0,方程無實(shí)根.

故不存在過點(diǎn)P(l,的直線/與該雙曲線相交于A,B兩點(diǎn)，且滿足尸是線段A8的

中點(diǎn).

鞏固訓(xùn)練3解析：(1)由焦點(diǎn)可知c=√5,

又一條漸近線方程為2χ-y=0,

所以P=2.

a

由/=層+62可得5=/+4〃2,解得々2=],?2=4,

故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為X2-￠-1.

(2)設(shè)A(X1,%),B(X2,”)，AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為(xo,4),

則好一*=1,①

×2--=1>②

4

②一①得①一螳=與

即k=把2=%=Xo,又k=tan—=-1,

Yo44

所以XO=-1,

所以直線/的方程為y—4=—(x+l),即x+y—3=0.

真題展臺(tái)——知道高考考什么？

I.解析：雙曲線C的一條漸近線與C沒有公共點(diǎn)，所以可令：=2,則e=Fe7≤

√1+4=次.又因?yàn)閑>l,所以l<e≤V^.

答案：√5(滿足KeW遍皆可)

2.解析：由題意，得a—C?,0),點(diǎn)8在雙曲線的漸近線y=$上，所以8(X2,+2).由

b

直線KS的斜率為二，得???=]?,解得處=5，所以聯(lián)，?.因?yàn)镮FBI=3|胡|,所以麗=

4ax??e4333Ja

3FA,所以G+c,m=3(xι+c,X),解得Xl=y=?即A(一稱,?.將點(diǎn)A的坐標(biāo)

??aV193993

代入雙曲線的方程，得券一總=1，即警4=1，解得e=乎(負(fù)值已舍去)?

答案：平

4

3.解析：(I)VΛA(2,1)在雙曲線C：/痣=SI)上，.?.>W=1,解得〃

=2.

.?.雙曲線C的方程為?一>2=1.

顯然直線/的斜率存在，可設(shè)其方程為y=fcr+機(jī)

y=kx÷m,

聯(lián)立得方程組2C

Xv2A

-2----yJ=1.

消去y并整理，得(1—23)/—4癡x—2加2—2=0.

Δ=16k2m~+4(1—2?2)(2∕n2+2)=Sm2+8—16Λ2>0.

設(shè)尸(Xi,yι),0(x2,”)，

4km-2m2-2

則X?+X2=?XIX2=

l-2k2l-2k2

由ZAP+AAQ=O,得P二怖+?二三=°，

即(12-2)(丘1+〃?-l)+(x]-2)(te+w-1)=0.

整理，得2kxιxz+("?—1—24XXl+^2)—4(m—1)=0,

即1—2。段一4(,w—1)=0,

即(hH)(∕n+2%-I)=0.

：直線/不過點(diǎn)A,.?.A=-L

⑵設(shè)NB4Q=2a,0<?<^,則tan2α=2√∑,

...2tan；=2α解得tanα=3負(fù)值已舍去).

l-tanzα2

由(1)得Z=—1,則XIx2=2〃於+2>0,

：.p,Q只能同在雙曲線左支或同在右支.

當(dāng)P,Q同在左支時(shí)，tana即為直線AP或4。的斜率.

設(shè)IiAP=號(hào).

?.?當(dāng)為雙曲線一條漸近線的斜率，

直線A尸與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不成立.

當(dāng)尸，。同在右支時(shí)，tanG-α)=焉即為直線AP或AQ的斜率.

設(shè)〃AP=?=/,則以°=一夜，

~2

直線AP的方程為y-?=√2(χ-2),

即y=√2χ-2√2+l.

y—Λ∕2X—2√2+1,

聯(lián)立得方程組2C

v2

-2-yJ=1.

消去y并整理，得3Λ2-(16-4√Σ)X+20-8√Σ=0,

則心.2=4詈，解得XP=Wg

...時(shí)加=12-嚀至罕

同理可得以一XQI=小箸

Vtan2