概率的基本性質(zhì)

1014概率的基本性質(zhì)一般而言，給出了一個數(shù)學(xué)對象的定義，就可以從定義出發(fā)研究這個數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)，例如，在給出指數(shù)函數(shù)的定義后，我們從定義出發(fā)研究了指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、特殊點的函數(shù)值等性質(zhì)，這些性質(zhì)在解決問題時可以發(fā)揮很大的作用，類似地，在給出了概率的定義后，我們來研究概率的基本性質(zhì)新課引入我們從定義出發(fā)研究概率的性質(zhì)，1概率的取值范圍；2特殊事件的概率；3事件有某些特殊關(guān)系時，它們的概率之間的關(guān)系；等等。A的取值范圍學(xué)習(xí)新知由概率的定義可知：任何事件的概率都是非負(fù)的；在每次試驗中，必然事件一定發(fā)生，不可能事件一定不會發(fā)生，一般地，概率有如下性質(zhì)：性質(zhì)1對任意的事件A,都有PA≥0性質(zhì)2必然事件的概率為1,

不可能事件的概率為0,

即PΩ=1,PΦ=02概率的加法公式互斥事件時有一個發(fā)生的概率互斥,那么PA∪B=PAPBPC=pA∪B=pApB=1/61/6=1/3C=A∪BAB因為事件A與事件B互斥，即A與B不含有相同的樣本點，所以nAUB=nAnB,這等價于PAUB=PAPB,即兩個互斥事件的和事件的概率等于這兩個事件概率之和，所以我們有互斥事件的概率加法公式：學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知3對立事件有一個發(fā)生的概率性質(zhì)4,如果事件A與事件B互為對立事件,那么PB=1-PA,PA=1-PBAB學(xué)習(xí)新知

例1某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為021,023,025,028，計算這個射手在一次射擊中：1射中10環(huán)或7環(huán)的概率；2不夠7環(huán)的概率．

1設(shè)“射中10環(huán)”為事件A，“射中7環(huán)”為事件B，由于在一次射擊中，A與B不可能同時發(fā)生，故A與B是互斥事件．“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為A∪B故PA∪B＝PA＋PB＝021＋028＝049∴射中10環(huán)或7環(huán)的概率為049典型例題學(xué)習(xí)新知一般地，對于事件A與事件B,如果A?B,即事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，那么事件A的概率不超過事件B的概率。于是我們有概率的單調(diào)性：性質(zhì)5如果A?B,那么PA≤PB由性質(zhì)5可得,對于任意事件A,因為Φ?A?Ω所以0≤PA≤1在古典概型中，對于事件A與事件B,如果A?B,那么nA≤nB于是即PA≤PB學(xué)習(xí)新知一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球,其中有2個紅色球標(biāo)號為1和2,2個綠色球標(biāo)號為3和4,1=“第一次摸到紅球”,R2=“第二次摸到紅球”,R=“兩次都摸到紅球”,“兩個球中有紅球”=R1∪R2,那么PR1∪R2和PR1PR2相等嗎？如果不相等，請你說明原因，并思考如何計算PR1∪R2因為nΩ=12,nR1=nR2=6,nR1∪R2=10,所以PR1=PR2=6/12,PR1UR2=10/R1∪R2≠PR1PR2這是因為R1∩R2={1,2,2,1}≠Φ,即事件R1,R2不是互斥的,容易得到PR1∪R2=PR1PR2－PR1∩R2一般地，我們有如下的性質(zhì)：性質(zhì)6設(shè)A,B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，我們有PAUB=PAPB－PA∩B知識總結(jié)由性質(zhì)5可得,對于任意事件A,因為Φ?A?Ω所以0≤PA≤1知識總結(jié)1對于兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和,即=該公式我們常稱為互斥事件的概率加法公式2若A與B互為對立,則有PAPB=1;若PAPB>1,并不能得出A與B互為對立3對于概率加法的一般公式PA∪B=PAPB-PA∩B,當(dāng)A∩B=Φ時,就是性質(zhì)3例2從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，設(shè)事件A=“抽到紅心”，事件B=“抽到方片”，PA=PB=025那么1C=“抽到紅花色”，求PC;2D=“抽到黑花色”，求PD典型例題解：1因為C=A∪B,且A與B不會同時發(fā)生，所以A與B是互斥事件根據(jù)互斥事件的概率加法公式，得PC=PAPB=025025=052因為C與D互斥，又因為C∪D是必然事件，所以C與D互為對立事件因此PD=1－PC=1－05=05例3為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎促銷活動：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎的飲料若從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎的概率為多少？典型例題分析：“中獎”包括第一罐中獎但第二罐不中獎、第一罐不中獎但第二罐中獎、兩罐都中獎三種情況。如果設(shè)A=“中獎”，A1=“第一罐中獎”，A2=“第二罐中獎”，那么就可以通過事件的運(yùn)算構(gòu)建相應(yīng)事件，并利用概率的性質(zhì)解決問題解：設(shè)事件A=“中獎”，事件A1=“第一罐中獎”，事件A2=“第二罐中獎”，那么事件A1A2=“兩罐都中獎”，A1

2=“第一罐中獎，第二罐不中獎”，1A2=“第一罐不中獎，第二罐中獎”，且A=A1A2∪A1

2∪1A2.因為A1A2,A1

2,A1

2兩兩互斥，所以根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可得P(A)=P(A1A2)+P(A1

2)+P(1A2).我們借助樹狀圖來求相應(yīng)事件的樣本點數(shù)可以得到，樣本空間包含的樣本點個數(shù)為n(Ω)=6×5=30,且每個樣本點都是等可能的.因為n(A1A2)=2,n(A1

2)=8,n(1A2)=8,所以法2:注意到事件A的對立事件是“不中獎”，即“兩罐都不中獎”，由于=“兩罐都不中獎”，而n()=4×3=12,所以鞏固練習(xí)是對立事件，且PA＝06，則PB等于A．04B．05C．06D．1A1拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點、2點、3點、4點、5點、6點的概率都是1/6，記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)”，事件B為“向上的點數(shù)不超過3”，求PA∪B．鞏固練習(xí)2擲一枚均勻的正六面體骰子,設(shè)A=“出現(xiàn)3點”,B=“出現(xiàn)偶數(shù)點”,則PA∪B等于多少3甲、乙兩人各射擊一次,命中率分別為08和05,兩人同時命中的概率為04,則甲、乙兩人至少有一人命中的概率為多少

鞏固練習(xí)094判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”①互斥事件不一定是對立事件,但對立事件一定是互斥事件②在同一試驗中的兩個事件A與B,一定有PA∪B=PAPB③若事件A,B滿足PAPB=1,則A,B是對立事件√××5甲、乙