國家綜合實力的數(shù)學模型

PAGE52005年美、日、法、德、中國的國家綜合實力分析組員：梅茜茜王佐奉李丹摘要一個國家的國際地位及其處理和解決國際事務的能力，主要就是看它的綜合國力。綜合國力包括政治力、經(jīng)濟力、科技力、國防力、文教力、外交力、資源力等７個方面.，其中經(jīng)濟力和科技力已經(jīng)成為決定因素。本文定量與定性相結合，設定了五個指標，分別為：經(jīng)濟力、科技力、軍事力、資源力、社會發(fā)展。通過這五個指標來建立層次分析模型對美國、日本、法國、德國、中國這五國的國家綜合實力進行分析。綜合國力的評價和預測，是一個非常復雜的問題。這是因為國力是一個復雜的系統(tǒng)，它是由許多確定的和不確定的要素決定的，實際上很難全面、準確地考慮到。該模型可融合通過相互比較確定各指標對于國家綜合實力的權重，以及五個國家對于每個指標的權重。這些權重在人的思維過程中通常是定性的，而層次分析模型能給出得到權重的定量方法。將這些不易被量測的問題進行定性分析與定量計算結合起來。該模型將對象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策。將通過一致性檢驗來判斷所設定的成對比較矩陣的不一致程度是否在容許范圍內(nèi)，由組合權向量來最終得出國家綜合實力排名。評價結果得五國國家綜合實力排名為：美國、日本、法國、德國、中國。關鍵詞：層次分析法；一致性檢驗；權向量問題重述當今世界，國家間的經(jīng)濟摩擦、外交斗爭和軍事對抗等，歸根到底，也都是綜合國力的競爭。綜合國力的評價和預測，是一個非常復雜的問題。問題一：設定合適的指標來衡量國家綜合實力。問題二：根據(jù)所提出的指標建立能對美、日、法、德、中這五大國的國家綜合實力進行分析判斷的數(shù)學模型。問題的提出與分析一個國家的國際地位及其處理和解決國際事務的能力，主要就是看它的綜合國力。當今世界，國家間的經(jīng)濟摩擦、外交斗爭和軍事對抗等，歸根到底，也都是綜合國力的競爭。綜合國力的評價和預測，是一個非常復雜的問題。這是因為國力是一個復雜的系統(tǒng)，它是由許多確定的和不確定的要素決定的，實際上很難全面、準確地考慮到。綜合國力是指一個主權國家生存和發(fā)展所擁有的全部實力及國際影響力的合力。它包括政治力、經(jīng)濟力、科技力、國防力、文教力、外交力、資源力等７個方面.其中經(jīng)濟力和科技力已經(jīng)成為決定因素。綜合來說，現(xiàn)在一個國家的國民收入水平、軍事力量、科技水平、社會穩(wěn)定、對外貿(mào)易水平都能反映一個國家的綜合國力。因此，本論文從經(jīng)濟力、科技力、軍事力、資源力、社會發(fā)展這五個指標來衡量國家綜合實力。涉及到社會、經(jīng)濟、人文等因素的決策問題時，這些因素通常不易定量地量測，我們試圖通過層次分析法將這些不易被量測的問題進行定性分析與定量計算結合起來。將國家綜合實力視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策，即系統(tǒng)分析。本文設計了五個指標，建立國家綜合實力分析的層次結構。根據(jù)美國運籌學家T.L.Saaty教授于70年代初期提出的一種簡單，靈活而又實用的多準則決策方法，建立層次分析模型。該模型可融合可通過相互比較確定各指標對于國家綜合實力的權重，以及五個國家對于每個指標的權重。這些權重在人的思維過程中通常是定性的，而層次分析模型能給出得到權重的定量方法。需要展開的工作如下：任務一：得出經(jīng)濟力、科技力、軍事力、資源力、社會發(fā)展對外貿(mào)易對國家綜合了1~9尺度的含義：表3-21~9尺度的含義尺度含義1的影響相同3的影響稍強5的影響強7的影響明顯強9的影響絕對的強2,4,6,8的影響之比在上述兩個相鄰等級之間1,1/2,…,1/9與的影響之比為上面的反函數(shù)3.3.3成對比較矩陣的最大特征根和特征向量的實用算法(即求權向量)眾所周知，用定義計算矩陣的特征很和特征向量是相當困難的，另一方面，因為成對比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的量化結果，對它做精確計算是不必要的，所以完全可以用簡便的近似方法計算其特征很和特征向量。本文使用和法來進行計算。其計算步驟為：Step1:將A的每一列向量歸一化得Step2:對按行求和得Step3:將歸一化，即為近似特征向量。Step4:計算，作為最大特征根的近似值。這個方法實際上是將A的列向量歸一化后去平均值，作為A的特征向量。因為當A為一致陣時它的每一列向量都是特征向量，所以若A的不一致性不嚴重，則取A的列向量（歸一化后）的平均值作為近似特征向量是合理的。用同樣的辦法來求得成對比較矩陣的權向量以及最大特征根(k=1,2,3,4,5)。3.3.4一致性檢驗成對比較矩陣通常不是一致陣，但是為了能用它的對應于特征根的特征向量作為比較因素的權向量，現(xiàn)求出其不一致程度的容許范圍。當比5(5是A的階數(shù))大得越多，A的不一致程度越嚴重，用特征向量作為權向量引起的判斷誤差越大。因而可以用-5數(shù)值的大小來衡量A的不一致程度。其步驟為：Step1：計算判斷成對比較矩陣一致性指標CI：(5是A的階數(shù))Step2：計算一致性率CR：當CR<0.1時認為A的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權向量。否則就認為成對比較矩陣一致性太差，必須重新進行兩兩比較判斷。這里RI是隨機一致性指標，上面我們已經(jīng)指出當比較的因素越多也就是兩兩比較矩陣維數(shù)越大時，判斷的一致性就越差，故應放寬對高維兩兩比較矩陣一致性的要求，于是就引入修正值RI表3-3隨機一致性指標RI的數(shù)值n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51用同樣的求得的一致性指標,(k=1,2,3,4,5)，并判斷其是否一致性檢驗。3.3.5計算組合權向量目標層只有一個因素，準則層和方案層分別有5,5個因素，記準則層對目標層的權向量，方案層對準則層的權向量分別為：以為列向量構成矩陣則方案層對目標層的組合權向量為3.3.6組合一致性檢驗在應用層次分析法作重大決策時，除了對每個成對比較矩陣進行一致性檢驗之外，還常需要一致性檢驗，以確定組合權向量是否可以作為最終的決策依據(jù)。組合一致性檢驗可逐層進行。若第p層得一致性指標為(n為第p-1層因素的數(shù)目)，隨機一致性指標為，定義則第p層的組合一致性比率為，p=3,4,…,s方案層對目標層的組合一致性比率為當<0.1時，才認為整個層次的比較判斷通過一致性檢驗。4層次分析模型的求解與分析4.1構造成對比較矩陣表4-12005年各國各指標排名經(jīng)濟力科技力軍事力資源力社會發(fā)展美國325117181891547559日本21581111806216416法國1588994814201419德國1762854623191419德國1321512508483307構造準則層對目標層的成對比較矩陣：A=構造方案層對于準則層的成對比較矩陣：B1=B2=B3=B4=B5=4.2計算權向量并作一致性檢驗通過MATLAB計算得：成對比較矩陣A的最大特征根：=5.217準則層對目標層的權向量：一致性指標：=0.054一致性檢驗：=0.048<0.1由此可知：成對比較矩陣A的不一致程度在容許范圍內(nèi)，可用其特征向量作為權向量。4.3計算組合權向量并作組合一致性檢驗由第三層的成對比較矩陣計算出權向量，最大特征根和一致性指標，結果列入下表：表4-2k123450.3230.3310.4070.2800.2630.2140.2140.1740.1820.1960.1580.1940.1750.1240.1980.1740.1620.1340.1180.1980.1310.0990.1200.2960.1465.0015.0065.0055.1485.00400.0020.0010.0040.00100.0010.0010.0320由此表可知：成對比較矩陣的不一致程度在容許范圍內(nèi)，可用其特征向量作為權向量。方案層對目標層的權向量為：得==（0.330,0.220,0.175,0.163,0.133）=0.001=1.12方案層的組合一致性比率為：=0.001=0.049<0.1由此可知，該模型的整個層次的比較判斷通過一致性檢驗。同時，前面所得到的組合權向量可以作為最終決策依據(jù)。4.4模型分析由=可知2005年美、中、法、德、日這五大國的國家綜合實力排名為：美國、日本、法國、德國、中國。5模型評價層次分析模型計算簡便，結果明確，便于決策者直接了解和掌握，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問題。如果時間充分，可以把指標更加細化，找到跟多的數(shù)據(jù)，這樣得出的模型結果更加具有說服力。6.參考文獻[1]姜啟源謝金星葉俊，數(shù)學模型，北京：高等教育出版社，2003年[2]王蓮芬許樹柏，層次分析法引論，北京：中國人民大學出版社，1990年附錄代碼：Mywork.mclearclcA=[12241;%準則層對目標層的成對比較矩陣1/21132;1/21132;1/41/31/311/3;11/21/231];n=size(A,1);[r1,w1,cr1]=rw(A)B1=[1.001.512.051.852.46;%B1至B5是方案層對準則層的成對0.661.001.361.221.63;比較矩陣0.490.741.000.921.20;0.540.821.091.001.33;0.410.610.830.751.00];B2=[1.001.551.732.013.36;0.651.001.121.302.17;0.580.891.001.261.94;0.500.770.791.001.67;0.300.460.520.601.00];B3=[1.002.352.323.043.72;0.431.000.991.291.59;0.431.011.001.311.60;0.330.780.761.001.23;0.270.630.630.811.00];B4=[1.000.812.722.861.13;1.231.001.121.180.47;0.370.891.001.050.42;0.350.850.951.000.400.882.132.382.501.00];B5=[1.001.341.331.331.82;0.751.000.990.991.36;0.751.011.001.001.36;0.751.011.001.001.36;0.550.740.740.741.00];[r21,w21,cr21]=rw(B1)[r22,w22,cr22]=rw(B2)[r23,w23,cr23]=rw(B3)[r24,w24,cr24]=rw(B4)[r25,w25,cr25]=rw(B5)CR=cr21+cr22+cr23+cr24+cr25;ifCR<0.1*n*0.5disp('OK'