（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題檢測43 幾何證明選講

43幾何證明選講1.如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.求證：EF∶DF＝BC∶AC.證明∵∠BAC＝90°，且AD⊥BC，∴由射影定理得AC2＝CD·BC，∴eq\f(AC,CD)＝eq\f(BC,AC).①∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴eq\f(AE,DF)＝eq\f(AC,CD).又BE平分∠ABC，且EA⊥AB，EF⊥BC，∴AE＝EF，∴eq\f(EF,DF)＝eq\f(AC,CD).②由①、②得eq\f(EF,DF)＝eq\f(BC,AC)，即EF∶DF＝BC∶AC.2.(2014·陜西改編)如圖，△ABC中，BC＝6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若AC＝2AE，求EF的值．解∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，∴△AEF∽△ACB，∴eq\f(AC,AE)＝eq\f(BC,EF)，∴2＝eq\f(BC,EF)，∴EF＝3.3．(2014·重慶改編)過圓外一點P作圓的切線PA(A為切點)，再作割線PBC依次交圓于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，求AB的值．解由切割線定理得PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即62＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3(負(fù)值舍去)．由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，則eq\f(AB,CA)＝eq\f(AP,CP)，即eq\f(AB,8)＝eq\f(6,3＋9)，解得AB＝4.4.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB上，DE⊥EB，且AD＝2eq\r(3)，AE＝6.(1)判斷直線AC與△BDE的外接圓的位置關(guān)系；(2)求EC的長．解(1)取BD的中點O，連結(jié)OE.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.又∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠BEO，∴∠CBE＝∠BEO，∴BC∥OE.∵∠C＝90°，∴OE⊥AC，∴直線AC是△BDE的外接圓的切線，即直線AC與△BDE的外接圓相切．(2)設(shè)△BDE的外接圓的半徑為r.在△AOE中，OA2＝OE2＋AE2，即(r＋2eq\r(3))2＝r2＋62，解得r＝2eq\r(3)，∴OA＝2OE，∴∠A＝30°，∠AOE＝60°.∴∠CBE＝∠OBE＝30°，∴EC＝eq\f(1,2)BE＝eq\f(1,2)×eq\r(3)r＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2eq\r(3)＝3.5.如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點，BM的延長線交⊙O于N，過N點的切線交CA的延長線于P.(1)求證：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半徑為2eq\r(3)，OA＝eq\r(3)OM，求MN的長．(1)證明連結(jié)ON，則ON⊥PN，且△OBN為等腰三角形，則∠OBN＝∠ONB，∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN.根據(jù)切割線定理，有PN2＝PA·PC，∴PM2＝PA·PC.(2)解OM＝2，在Rt△BOM中，BM＝eq\r(OB2＋OM2)＝4.延長BO交⊙O于點D，連結(jié)DN.由條件易知△BOM∽△BND，于是eq\f(BO,BN)＝eq\f(BM,BD)，即eq\f(2\r(3),BN)＝eq\f(4,4\r(3))，∴BN＝6.∴MN＝BN－BM＝6－4＝2.6．如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D.過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF＝3，F(xiàn)B＝1，EF＝eq\f(3,2)，求線段CD的長．解因為AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，所以eq\f(3,4)＝eq\f(2,BD)，即BD＝eq\f(8,3).設(shè)CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝eq\f(64,9)，所以x＝eq\f(4,3).7．(2014·課標(biāo)全國Ⅰ)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CB＝CE.(1)證明：∠D＝∠E；(2)設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB＝MC，證明：△ADE為等邊三角形．證明(1)由題設(shè)知，A，B，C，D四點共圓，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如圖，設(shè)BC的中點為N，連結(jié)MN，則由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直線MN上．又AD不是⊙O的直徑，M為AD的中點，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE為等邊三角形．8.如圖所示，已知AP是⊙O的切線，P為切點，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B、C兩點，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點M是BC的中點．(1)證明：A，P，O，M四點共圓；(2)求∠OAM＋∠APM的大?。?1)證明連結(jié)OP，OM，因為AP與⊙O相切于點P，所以O(shè)P⊥AP，因為M是⊙O的弦BC的中點，所以O(shè)M⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補，所以A，P，O，M四點共圓．(2)解由(1)得，A，P，O，M四點共圓，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.9．(2014·遼寧)如圖，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG＝PD，連結(jié)DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F.(1)求證：AB為圓的直徑；(2)若AC＝BD，求證：AB＝ED.證明(1)因為PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD為切線，故∠PDA＝∠DBA.又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，從而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°，故AB是直徑．(2)連結(jié)BC，DC.由于AB是直徑，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，從而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB＝∠CBA.又因為∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE為直角．于是ED為直徑．由(1)得ED＝AB.10.如圖所示，過圓O外一點M作它的一條切線，切點為A，過A點作直線AP垂直于直線OM，垂足為P.(1)證明：OM·OP＝OA2；(2)N為線段AP上一點，直線NB垂直于直線ON，且交圓O于B點．過B點的切線交直線ON于K.證明：∠OKM＝90°.證明(1)因為MA是圓O的切線，所以O(shè)A⊥AM.又因為AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.(2)因為BK是圓O的切線，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以O(shè)P·OM＝ON·OK，即eq\f(ON,OP)＝eq\f(OM,OK).又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.11．如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點，連結(jié)DB并延長交⊙O于點E.證明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.證明(1)由AC與⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.從而eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,BD)，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD與⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD.又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.從而eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,BD)，即AE·BD＝AD·AB.結(jié)合(1)的結(jié)論知，AC＝AE.12.如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點．若CF∥AB，證明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.證明(1)因為D，E分別為AB，AC的中點，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四邊