小學(xué)數(shù)學(xué)教師招聘考試專業(yè)知識

.::;小學(xué)數(shù)學(xué)教師招聘考試專業(yè)知識

篇一：小學(xué)數(shù)學(xué)教師招考專業(yè)知識試題匯編

教師

一、單項(xiàng)選擇題。

1、以下各條件中，可以斷定四邊形是平行四邊形的是〔〕

A.一組對角相等B,兩條對角線互相平分

3、函數(shù)y=6x3-12x2+6x+1的單調(diào)減區(qū)間為〔〕A.(??,)B.(,1)

C.(1,+?)D.(-1，-)

4、〔〕是牛頓-萊布來茨公式，其中F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。

A.

C.131313?baf(x)dx?F(a)?F(b)B.?f(x)dx?F(a)?F(b)ab?b

axdx?b?aD.?xdx?a?bab

5.假設(shè)兩圓的半徑分別是1cm和5cm，圓心距是6cm，那么兩圓的位置關(guān)系是〔〕。

6、已經(jīng)明白{an}是等比數(shù)列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于().

7、函數(shù)f(x)=sinx-cosx的最大值為〔〕

A.1B.2C.D,2

8.長方體ABCD-A1B1C1D1三條棱長分別是AA=1，AB=2，AD=4，那么從A點(diǎn)動(dòng)身，沿長方體的外表到C的最短間隔是〔〕

A.5B.7C.29D.

9、一個(gè)數(shù)四舍五入到近似值為3萬，這個(gè)數(shù)最大值是〔〕

10、已經(jīng)明白反函數(shù)y=k的圖象通過點(diǎn)p(-1,2),那么這個(gè)函數(shù)的圖象位于〔〕。x

A.第二、三象限B、第一、三象限

C.第三、四象限D(zhuǎn)、第二、四象限

11、一個(gè)袋中裝著5個(gè)黑球、3個(gè)白球，另一個(gè)袋中裝著4個(gè)黑球、4個(gè)白球，從兩個(gè)袋中分別取出一個(gè)球，那么兩個(gè)球都是黑球的概率是()53B.164

13C.D.216A.

12、已經(jīng)明白向量a=(5,-3)，那么a=〔〕

13.有一種食物是由每千克30元的奶糖3千克，每千克6元的面粉3千克，每千克15元的精華粉4千克混合制成的，最后這種食品平均每千克售價(jià)為〔〕元。

14.已經(jīng)明白AUB?M,AIB?N,那么以下關(guān)系正確的選項(xiàng)〔〕

A.M?NB.MIN?N

C.MIN=ND.MUN=N

15.用0,1,2,3這四個(gè)數(shù)字可以組成的沒有反復(fù)數(shù)字的三位數(shù)個(gè)數(shù)是〔〕

二、填空題

1、已經(jīng)明白曲線f(x,y)=0滿足f(-x,-y)=0,那么曲線關(guān)于_________對稱。

2.7名志愿者布置6人在周六、周天兩天參與社區(qū)公益活動(dòng)。假設(shè)每天布置3人，那么不同布置方案共有__________種。

3、函數(shù)y=2x3-x2+x-1在(1,1)處的切線的斜率為__________。

4.李師傅隨機(jī)抽查了本單位今年四月份里6天的日用水量〔單位：噸〕結(jié)果如下：7,8,8,7,6,6，依照這些數(shù)據(jù)，可能四月份用水量為__________噸。

5．一個(gè)球從100米高處自在落下，每次著地后又跳回到原高度的一半，當(dāng)它第10次著地時(shí)共通過了____________米。

6、函數(shù)y=2x+1的單調(diào)增區(qū)間為___________。x

7.已經(jīng)明白集合M={X∣-3?x?5},N={x∣-5lt;xlt;5},那么M?N?__________。

8.已經(jīng)明白F是雙曲線的左焦點(diǎn)，A(1,4),P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，那么∣PF∣+∣PA∣的最小值為__________。

29、已經(jīng)明白f(1-cosx)=sinx，那么f(x)=_________.

10、假設(shè)：A=2×2×5,B=2×3×5,那A、B的最大公約數(shù)是____,最小公倍數(shù)是_____.

11.設(shè)0lt;,那么?sin等于__________。sin?cos

12.點(diǎn)p(1,2)到直線y=2x+1的間隔為__________.

2213、假設(shè)p(2,1)為圓〔x-1〕+y=25的弦的AB的中點(diǎn)，那么直線AB的方程為_________.

二、計(jì)算題。

1、已經(jīng)明白函數(shù)f〔x〕=x-2x.

(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出它在各單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)仍然減函數(shù)；

〔Ⅱ〕求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值和最小值。

2、建造一個(gè)容積為4800立方米，深為3米的長方體無蓋水池，假設(shè)池底和池壁的造價(jià)每

平方米分別為150元和120元，那么如何樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為多少元？

23、假設(shè)兩個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，其中一個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為y=x+2x-1,求另

一個(gè)函數(shù)的表達(dá)式。

4、某種圖書原價(jià)為每本a元時(shí)，售出總量為b本，假設(shè)每本價(jià)格上漲x%,可能售出總量將

減少0.5x%,征詢x為何值時(shí)這種書的銷售總金額最大。

5、設(shè)數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,b1=0且??an?1?2an?3bn??，n=1,2,3…bn?1?an?2bn??

6.已經(jīng)明白圓O的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B,︱AB︱=22.設(shè)P為圓O上一點(diǎn)，且OP∥AB,求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

篇二：小學(xué)數(shù)學(xué)教師招聘專業(yè)知識

數(shù)學(xué)教師招聘考試專業(yè)知識復(fù)習(xí)

一、復(fù)習(xí)要求〔由于招考標(biāo)題僅為知識，因此本內(nèi)容以均為高考知識點(diǎn)〕

1、理解集合及表示法，掌握子集，全集與補(bǔ)集，子集與并集的定義；

2、掌握含絕對值不等式及一元二次不等式的解法；

3、理解邏輯結(jié)合詞的含義，會熟練地轉(zhuǎn)化四種命題，掌握反證法；

4、理解充沛條件，必要條件及充要條件的意義，會推斷兩個(gè)命題的充要關(guān)系；

5、學(xué)會用定義解題，理解數(shù)形結(jié)合，分類討論及等價(jià)變換等思想方法。

二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、集合的概念：

〔1〕集合中元素特征，確定性，互異性，無序性；

〔2〕集合的分類：

①按元素個(gè)數(shù)分：有限集，無限集；

②按元素特征分；數(shù)集，點(diǎn)集。如數(shù)集{y|y=x2}，表示非負(fù)實(shí)數(shù)集，點(diǎn)集{(x，y)|y=x2}表示開口向上，以y軸為對稱軸的拋物線；

〔3〕集合的表示法：

①列舉法：用來表示有限集或具有明顯規(guī)律的無限集，如N+={0，1，2，3，?}；②描繪法。

2、兩類關(guān)系：

〔1〕元素與集合的關(guān)系，用?或?表示；

?〔2〕集合與集合的關(guān)系，用?，??，=表示，當(dāng)A?B時(shí)，稱A是B的子集；當(dāng)A?B時(shí)，稱A是B的真子集。

3、集合運(yùn)算

〔1〕交，并，補(bǔ)，定義：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且x?A｝，集合U表示全集；

〔2〕運(yùn)算律，如A∩〔B∪C〕=〔A∩B〕∪〔A∩C〕，CU〔A∩B〕=〔CUA〕∪〔CUB〕，

CU〔A∪B〕=〔CUA〕∩〔CUB〕等。

4、命題：

〔1〕命題分類：真命題與假命題，簡單命題與復(fù)合命題；

〔2〕復(fù)合命題的方式：p且q，p或q，非p；

〔3〕復(fù)合命題的真假：對p且q而言，當(dāng)q、p為真時(shí)，其為真；當(dāng)p、q中有一個(gè)為假時(shí)，其為假。對p或q而言，當(dāng)p、q均為假時(shí)，其為假；當(dāng)p、q中有一個(gè)為真時(shí)，其為真；當(dāng)p為真時(shí)，非p為假；當(dāng)p為假時(shí)，非p為真。

〔3〕四種命題：記“假設(shè)p那么q〞為原命題，那么否命題為“假設(shè)非p那么非q〞，逆命題為“假設(shè)q那么p“，逆否命題為〞假設(shè)非q那么非p“。其中互為逆否的兩個(gè)命題同真假，即等價(jià)。因此，四種命題為確實(shí)個(gè)數(shù)只能是偶數(shù)個(gè)。

5、充沛條件與必要條件

〔1〕定義：對命題“假設(shè)p那么q〞而言，當(dāng)它是真命題時(shí)，p是q的充沛條件，q是p的必要條件，當(dāng)它的逆命題為真時(shí)，q是p的充沛條件，p是q的必要條件，兩種命題均為真時(shí)，稱p是q的充要條件；

〔2〕在推斷充沛條件及必要條件時(shí)，首先要分清哪個(gè)命題是條件，哪個(gè)命題是結(jié)論，其次，結(jié)論要分四種情況說明：充沛不用要條件，必要不充沛條件，充沛且必要條件，既不充沛又不用要條件。從集合角度看，假設(shè)記滿足條件p的所有對象組成集合A，滿足條件q的所有對象組成集合B，那么當(dāng)A?B時(shí)，p是q的充沛條件。B?A時(shí)，q是p的充沛條件。A=B時(shí)，p是q的充要條件；

〔3〕當(dāng)p和q互為充要時(shí)，表達(dá)了命題等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想。

6、反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法。會用反證法證明一些代數(shù)命題。

7、集合概念及其根本理論是近代數(shù)學(xué)最根本的內(nèi)容之一。學(xué)會用集合的思想處置數(shù)學(xué)征詢題。

三、典型例題

例1、已經(jīng)明白集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。

解題思路分析：

在集合運(yùn)算之前，首先要識別集合，即認(rèn)清集合中元素的特征。M、N均為數(shù)集，不能誤認(rèn)為是點(diǎn)集，從而解方程組。其次要化簡集合，或者說使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}

∴M∩N=M={y|y≥1}

說明：實(shí)際上，從函數(shù)角度看，此題中的M，N分別是二次函數(shù)和一次函數(shù)的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}應(yīng)看成是函數(shù)y=f(x)的值域，通過求函數(shù)值域化簡集合。此集合與集合{〔x，y〕|y=x2+1，x∈R}是有實(shí)質(zhì)差別的，后者是點(diǎn)集，表示拋物線y=x2+1上的所有點(diǎn)，屬于圖形范疇。集合中元素特征與代表元素的字母無關(guān)，例{y|y≥1}={x|x≥1}。

例2、已經(jīng)明白集合A={x|x2-3x+2=0}，B+{x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，務(wù)實(shí)數(shù)m范圍。

解題思路分析：

化簡條件得A={1，2}，A∩B=B?B?A

依照集合中元素個(gè)數(shù)集合B分類討論，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}

當(dāng)B=φ時(shí)，△=m2-8lt;0

∴?22?m?22

當(dāng)B={1}或{2}時(shí)，?

當(dāng)B={1，2}時(shí)，?

∴m=3

綜上所述，m=3或?22?m?22

說明：分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，全面地挖掘題中隱藏條件是解題素養(yǎng)的一個(gè)重要方面，如此題當(dāng)B={1}或{2}時(shí)，不能遺漏△=0。

例3、用反證法證明：已經(jīng)明白x、y∈R，x+y≥2，求證x、y中至少有一個(gè)大于1。

解題思路分析：

假設(shè)xlt;1且ylt;1，由不等式同向相加的性質(zhì)x+ylt;2與已經(jīng)明白x+y≥2矛盾

∴假設(shè)不成立

∴x、y中至少有一個(gè)大于1

說明；反證法的理論依照是：欲證“假設(shè)p那么q〞為真，先證“假設(shè)p那么非q〞為假，因在條件p下，q與非q是對立事件〔不能同時(shí)成立，但必有一個(gè)成立〕，因此當(dāng)“假設(shè)p那么非q〞為假時(shí)，“假設(shè)p那么q〞一定為真。

例4、假設(shè)A是B的必要而不充沛條件，C是B的充要條件，D是C的充沛而不用要條件，推斷D是A的什么條件。解題思路分析：

利用“?〞、“?〞符號分析各命題之間的關(guān)系

D?C?B?A

∴D?A，D是A的充沛不用要條件

說明：符號“?〞、“?〞具有傳送性，不過前者是一方向的，后者是雙方向的。

例5、求直線?：ax-y+b=0通過兩直線?1：2x-2y-3=0和?2：3x-5y+1=0交點(diǎn)的充要條件。

解題思路分析：

從必要性著手，分充沛性和必要性兩方面證明。

???0，m無解1?m?2?0或4?2m?2?0??1?2?m1?2?2?

由??2x?2y?3?01711得?1，?2交點(diǎn)P〔,〕44?3x?5y?1?0

∵?過點(diǎn)P

∴a?1711??b?044

∴17a+4b=11

充沛性：設(shè)a，b滿足17a+4b=11

∴b?11?17a4

11?17a?04代入?方程：ax?y?

整理得：(y?1117)?a(x?)?044

11171711?0,x??0的交點(diǎn)〔,〕4444此方程說明，直線?恒過兩直線y?而此點(diǎn)為?1與?2的交點(diǎn)

∴充沛性得證

∴綜上所述，命題為真

說明：關(guān)于充要條件的證明，一般有兩種方式，一種是利用“?〞，雙向傳輸，同時(shí)證明充沛性及必要性；另一種是分別證明必要性及充沛性，從必要性著手，再檢驗(yàn)充沛性。

四、同步練習(xí)

〔一〕選擇題

1、設(shè)M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，那么{a}與M的關(guān)系是

?A、{a}=MB、M??{a}C、{a}?MD、M?{a}

2、已經(jīng)明白全集U=R，A={x|x-a|lt;2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，那么a的取值范圍是

A、[0，2]B、〔-2，2〕C、〔0，2]D、〔0，2〕

3、已經(jīng)明白集合M={x|x=a2-3a+2，a∈R}，N={x|x=b2-b，b∈R}，那么M，N的關(guān)系是

?A、M??NB、M?NC、M=ND、不確定

4、設(shè)集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，那么A∪B中的元素個(gè)數(shù)是

A、11B、10C、16D、15

5、集合M={1，2，3，4，5}的子集是

A、15B、16C、31D、32

6、關(guān)于命題“正方形的四個(gè)內(nèi)角相等〞，下面推斷正確的選項(xiàng)

A、所給命題為假B、它的逆否命題為真

C、它的逆命題為真D、它的否命題為真

7、“α≠β〞是cosα≠cosβ〞的

A、充沛不用要條件B、必要不充沛條件

C、充要條件D、既不充沛也不用要條件

8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3?+1，?∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之間的關(guān)系是

????A、S??B?AB、S=B?AC、S?B=AD、S?B=A

9、方程mx2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是

A、0lt;m≤1或mlt;0B、0lt;m≤1

C、mlt;1D、m≤1

10、已經(jīng)明白p：方程x2+ax+b=0有且僅有整數(shù)解，q：a，b是整數(shù)，那么p是q的

A、充沛不用要條件B、必要不充沛條件

充要條件D、既不充沛又不用要條件

〔二〕填空題

11、已經(jīng)明白M={m|m?4x?3?Z}，N={x|?N}，那么M∩N=____空集______。22

12、在100個(gè)學(xué)生中，有乒乓球喜好者60人，排球喜好者65人，那么兩者都喜好的人數(shù)最少是___25__人。最多__60_

人

13、

14、

15、關(guān)于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要條件是________________。命題“假設(shè)ab=0，那么a、b中至少有一個(gè)為零〞的逆否命題為_____真命題_______。非空集合p滿足以下兩個(gè)條件：〔1〕p?〔2〕假設(shè)元素a∈p，那么6-a∈p，那么集合p個(gè)數(shù)是?{1，2，3，4，5}，

____7______。

〔三〕解答題

16、

17、

18、

19、

函數(shù)

一、復(fù)習(xí)要求

7、函數(shù)的定義及通性；

2、函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用。

二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、函數(shù)的概念：

〔1〕映射：設(shè)非空數(shù)集A，B，假設(shè)對集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b與之對應(yīng)，那么稱從A到B的對應(yīng)為映射，記為f：A→B，f表示對應(yīng)法那么，b=f(a)。假設(shè)A中不同元素的象也不同，那么稱映射為單射，假設(shè)B中每一個(gè)元素都有原象與之對應(yīng)，那么稱映射為滿射。既是單射又是滿射的映射稱為一一映射。

〔2〕函數(shù)定義：函數(shù)確實(shí)是定義在非空數(shù)集A，B上的映射，如今稱數(shù)集A為定義域，象集C={f(x)|x∈A}為值域。定義域，對應(yīng)法那么，值域構(gòu)成了函數(shù)的三要素，從邏輯上講，定義域，對應(yīng)法那么決定了值域，是兩個(gè)最根本的要素。逆過來，值域也會限制定義域。

求函數(shù)定義域，通過解關(guān)于自變量的不等式〔組〕來實(shí)現(xiàn)的。要熟記根本初等函數(shù)的定義域，通過四那么運(yùn)算構(gòu)成的初等函數(shù)，其定義域是每個(gè)初等函數(shù)定義域的交集。復(fù)合函數(shù)定義域，不只要考慮內(nèi)函數(shù)的定義域，還要考慮到外函數(shù)已經(jīng)明白a?x2?，b=2-x，c=x2-x+1，用反證法證明：a、b、c中至少有一個(gè)不小于1。12設(shè)集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，假設(shè)A∩B是單元素集合，求a取值范圍。已經(jīng)明白拋物線C：y=-x2+mx-1，點(diǎn)M〔0，3〕，N〔3，0〕，求拋物線C與線段MN有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件。設(shè)A={x|x2+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，假設(shè)A∩M=φ，A∩N=A，求p、q的值。

對應(yīng)法那么的要求。理解函數(shù)定義域，應(yīng)嚴(yán)密聯(lián)絡(luò)對應(yīng)法那么。函數(shù)定義域是研究函數(shù)性質(zhì)的根底和前提。

函數(shù)對應(yīng)法那么通常表現(xiàn)為表格，解析式和圖象。其中解析式是最常見的表現(xiàn)方式。求已經(jīng)明白類型函數(shù)解析式的方法是待定系數(shù)法，籠統(tǒng)函數(shù)的解析式常用換元法及湊合法。

求函數(shù)值域是函數(shù)中常見征詢題，在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，直截了當(dāng)法的途徑有單調(diào)性，根本不等式及幾何意義，間接法的途徑為函數(shù)與方程的思想，表現(xiàn)為△法，反函數(shù)法等，在高等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，用導(dǎo)數(shù)法求某些函數(shù)最值〔極值〕更加方便。

在中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)局部都存在著求取值范圍這一典型征詢題，它的一種典型處置方法確實(shí)是建立函數(shù)解析式，借助于求函數(shù)值域的方法。

2、函數(shù)的通性

〔1〕奇偶性：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是推斷函數(shù)奇偶性的必要條件，在利用定義推斷時(shí)，應(yīng)在化簡解析式后進(jìn)展，同時(shí)靈敏運(yùn)用定義域的變形，如f(?x)?f(x)?0，

奇偶性的幾何意義是兩種特別的圖象對稱。

函數(shù)的奇偶性是定義域上的普遍性質(zhì)，定義式是定義域上的恒等式。

利用奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)可以簡化推斷奇偶性的步驟。

〔2〕單調(diào)性：研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集。

推斷函數(shù)單調(diào)性的方法：①定義法，即比差法；②圖象法；③單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)〔實(shí)質(zhì)上是不等式性質(zhì)〕；④復(fù)合函數(shù)單調(diào)性推斷法那么。

函數(shù)單調(diào)性是單調(diào)區(qū)間上普遍成立的性質(zhì)，是單調(diào)區(qū)間上恒成立的不等式。

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)中最爽朗的性質(zhì)，它的運(yùn)用主要表達(dá)在不等式方面，如比較大小，解籠統(tǒng)函數(shù)不等式等。

〔3〕周期性：周期性主要運(yùn)用在三角函數(shù)及籠統(tǒng)函數(shù)中，是化歸思想的重要手段。

求周期的重要方法：①定義法；②公式法；③圖象法；④利用重要結(jié)論：假設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，那么T=2|a-b|。

〔4〕反函數(shù)：函數(shù)是否是有反函數(shù)是函數(shù)概念的重要運(yùn)用之一，在求反函數(shù)之前首先要推斷函數(shù)是否具備反函數(shù)，函數(shù)f(x)的反函數(shù)f-1(x)的性質(zhì)與f(x)性質(zhì)嚴(yán)密相連，如定義域、值域互換，具有一樣的單調(diào)性等，把反函數(shù)f-1(x)的征詢題化歸為函數(shù)f(x)的征詢題是處置反函數(shù)征詢題的重要思想。

設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，那么

f-1[f(x)]=x，x∈A

f[f-1(x)]=x，x∈C

3、函數(shù)的圖象

函數(shù)的圖象既是函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要方面，又能直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)，在解題過程中，充沛發(fā)揮圖象的工具作用。圖象作法：①描點(diǎn)法；②圖象變換。應(yīng)掌握常見的圖象變換。

4、本單常見的初等函數(shù)；一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)。在詳細(xì)的對應(yīng)法那么下理解函數(shù)的通性，掌握這些詳細(xì)對應(yīng)法那么的性質(zhì)。分段函數(shù)是重要的函數(shù)模型。

關(guān)于籠統(tǒng)函數(shù)，通常是抓住函數(shù)特性是定義域上恒等式，利用賦值法〔變量代換法〕解題。聯(lián)絡(luò)到詳細(xì)的函數(shù)模型可以簡便地找到解題思路，及解題突破口。

應(yīng)用題是函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用的重要題型。審清題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，把握好模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。

5、主要思想方法：數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)方程，化歸等。

三、典型例題

例1、已經(jīng)明白f(x)?

分析：2x?3，函數(shù)y=g(x)圖象與y=f-1(x+1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，求g(11)的值。x?1f(?x)??1〔f(x)≠0〕。f(x)

篇三：數(shù)學(xué)教師招聘考試專業(yè)知識

數(shù)學(xué)教師招聘考試專業(yè)知識復(fù)習(xí)

一、復(fù)習(xí)要求

1、理解集合及表示法，掌握子集，全集與補(bǔ)集，子集與并集的定義；2、掌握含絕對值不等式及一元二次不等式的解法；

3、理解邏輯結(jié)合詞的含義，會熟練地轉(zhuǎn)化四種命題，掌握反證法；

4、理解充沛條件，必要條件及充要條件的意義，會推斷兩個(gè)命題的充要關(guān)系；5、學(xué)會用定義解題，理解數(shù)形結(jié)合，分類討論及等價(jià)變換等思想方法。

那么p“，逆否命題為〞假設(shè)非q那么非p“。其中互為逆否的兩個(gè)命題同真假，即等價(jià)。因此，四種命題為確實(shí)個(gè)數(shù)只能是偶數(shù)個(gè)。

5、充沛條件與必要條件

〔1〕定義：對命題“假設(shè)p那么q〞而言，當(dāng)它是真命題時(shí)，p是q的充沛條件，q是p的必要條件，當(dāng)它的逆命題為真時(shí)，q是p的充沛條件，p是q的必要條件，兩種命題均為真時(shí)，稱p是q的充要條件；

〔2〕在推斷充沛條件及必要條件時(shí)，首先要分清哪個(gè)命題是條件，哪個(gè)命題是結(jié)論，其次，結(jié)論要分四種情況說明：充沛不用要條件，必要不充沛條件，充沛且必要條件，既不充沛又不用要條件。從集合角度看，假設(shè)記滿足條件p的所有對象組成集合A，滿足條件q的所有對象組成集合q，那么當(dāng)A?B時(shí)，p是q的充沛條件。B?A時(shí)，p是q的充沛條件。A=B時(shí)，p是q的充要條件；

〔3〕當(dāng)p和q互為充要時(shí)，表達(dá)了命題等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想。

二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、集合的概念：

〔1〕集合中元素特征，確定性，互異性，無序性；〔2〕集合的分類：

①按元素個(gè)數(shù)分：有限集，無限集；

②按元素特征分；數(shù)集，點(diǎn)集。如數(shù)集{y|y=x}，表示非負(fù)實(shí)數(shù)集，點(diǎn)集{(x，y)|y=x}表示開口向上，以y軸為對稱軸的拋物線；〔3〕集合的表示法：

①列舉法：用來表示有限集或具有明顯規(guī)律的無限集，如N+={0，1，2，3，?}；②描繪法。

2、兩類關(guān)系：

〔1〕元素與集合的關(guān)系，用?或?表示；

?〔2〕集合與集合的關(guān)系，用?，??，=表示，當(dāng)A?B時(shí)，稱A是B的子集；當(dāng)A?B時(shí)，稱

2

2

6、反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法。會用反證法證明一些代數(shù)命題。

7、集合概念及其根本理論是近代數(shù)學(xué)最根本的內(nèi)容之一。學(xué)會用集合的思想處置數(shù)學(xué)征詢題。

三、典型例題

例1、已經(jīng)明白集合M={y|y=x+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。

解題思路分析：

在集合運(yùn)算之前，首先要識別集合，即認(rèn)清集合中元素的特征。M、N均為數(shù)集，不能誤認(rèn)為是點(diǎn)集，從而解方程組。其次要化簡集合，或者說使集合的特征明朗化。M={y|y=x+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}

∴M∩N=M={y|y≥1}

說明：實(shí)際上，從函數(shù)角度看，此題中的M，N分別是二次函數(shù)和一次函數(shù)的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}應(yīng)看成是函數(shù)y=f(x)的值域，通過求函數(shù)值域化簡集合。此集合與集合{〔x，y〕|y=x+1，x∈R}是有實(shí)質(zhì)差別的，后者是點(diǎn)集，表示拋物線y=x+1上的所有點(diǎn)，屬于圖形范疇。集合中元素特征與代表元素的字母無關(guān)，例{y|y≥1}={x|x≥1}。

例2、已經(jīng)明白集合A={x|x-3x+2=0}，B+{x|x-mx+2=0}，且A∩B=B，務(wù)實(shí)數(shù)m范圍。解題思路分析：

化簡條件得A={1，2}，A∩B=B?B?A

依照集合中元素個(gè)數(shù)集合B分類討論，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}當(dāng)B=φ時(shí)，△=m-8lt;0∴?22?m?22

2

2

2

2

2

2

2

A是B的真子集。

3、集合運(yùn)算

〔1〕交，并，補(bǔ)，定義：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且x?A｝，集合U表示全集；

〔2〕運(yùn)算律，如A∩〔B∪C〕=〔A∩B〕∪〔A∩C〕，CU〔A∩B〕=〔CUA〕∪〔CUB〕，CU〔A∪B〕=〔CUA〕∩〔CUB〕等。4、命題：

〔1〕命題分類：真命題與假命題，簡單命題與復(fù)合命題；〔2〕復(fù)合命題的方式：p且q，p或q，非p；

〔3〕復(fù)合命題的真假：對p且q而言，當(dāng)q、p為真時(shí)，其為真；當(dāng)p、q中有一個(gè)為假時(shí)，其為假。對p或q而言，當(dāng)p、q均為假時(shí)，其為假；當(dāng)p、q中有一個(gè)為真時(shí)，其為真；當(dāng)p為真時(shí)，非p為假；當(dāng)p為假時(shí)，非p為真。

〔3〕四種命題：記“假設(shè)q那么p〞為原命題，那么否命題為“假設(shè)非p那么非q〞，逆命題為“假設(shè)q

???0

當(dāng)B={1}或{2}時(shí)，?，m無解

1?m?2?0或4?2m?2?0??1?2?m

當(dāng)B={1，2}時(shí)，?

1?2?2?

充沛性：設(shè)a，b滿足17a+4b=11∴b?

11?17a

4

代入?方程：ax?y?整理得：(y?

∴m=3

綜上所述，m=3或?22?m?2

說明：分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，全面地挖掘題中隱藏條件是解題素養(yǎng)的一個(gè)重要方面，如此題當(dāng)B={1}或{2}時(shí)，不能遺漏△=0。

例3、用反證法證明：已經(jīng)明白x、y∈R，x+y≥2，求證x、y中至少有一個(gè)大于1。解題思路分析：

假設(shè)xlt;1且ylt;1，由不等式同向相加的性質(zhì)x+ylt;2與已經(jīng)明白x+y≥2矛盾∴假設(shè)不成立

∴x、y中至少有一個(gè)大于1

說明；反證法的理論依照是：欲證“假設(shè)p那么q〞為真，先證“假設(shè)p那么非q〞為假，因在條件p下，q與非q是對立事件〔不能同時(shí)成立，但必有一個(gè)成立〕，因此當(dāng)“假設(shè)p那么非q〞為假時(shí)，“假設(shè)p那么q〞一定為真。

例4、假設(shè)A是B的必要而不充沛條件，C是B的充要條件，D是C的充沛而不用要條件，推斷D是A的什么條件。

解題思路分析：

利用“?〞、“?〞符號分析各命題之間的關(guān)系D?C?B?A

∴D?A，D是A的充沛不用要條件

說明：符號“?〞、“?〞具有傳送性，不過前者是一方向的，后者是雙方向的。例5、求直線?：ax-y+b=0通過兩直線?1：2x-2y-3=0和?2：3x-5y+1=0交點(diǎn)的充要條件。解題思路分析：

從必要性著手，分充沛性和必要性兩方面證明。?2x?2y?3?01711

由?得?1，?2交點(diǎn)P〔,〕

44?3x?5y?1?0

11?17a

?04

1117

)?a(x?)?044

11171711

?0,x??0的交點(diǎn)〔,〕4444

此方程說明，直線?恒過兩直線y?而此點(diǎn)為?1與?2的交點(diǎn)∴充沛性得證∴綜上所述，命題為真

說明：關(guān)于充要條件的證明，一般有兩種方式，一種是利用“?〞，雙向傳輸，同時(shí)證明充沛性及必要性；另一種是分別證明必要性及充沛性，從必要性著手，再檢驗(yàn)充沛性。

四、同步練習(xí)

〔一〕選擇題

1、設(shè)M={x|x+x+2=0}，a=lg(lg10)，那么{a}與M的關(guān)系是

?A、{a}=MB、M??{a}C、{a}?MD、M?{a}

2、已經(jīng)明白全集U=R，A={x|x-a|lt;2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，那么a的取值范圍是A、[0，2]B、〔-2，2〕C、〔0，2]D、〔0，2〕

3、已經(jīng)明白集合M={x|x=a-3a+2，a∈R}，N、{x|x=b-b，b∈R}，那么M，N的關(guān)系是

?A、M??NB、M?NC、M=ND、不確定4、設(shè)集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，那么A∪B中的元素個(gè)數(shù)是

A、11B、10C、16D、155、集合M={1，2，3，4，5}的子集是

A、15B、16C、31D、326、關(guān)于命題“正方形的四個(gè)內(nèi)角相等〞，下面推斷正確的選項(xiàng)A、所給命題為假B、它的逆否命題為真

C、它的逆命題為真D、它的否命題為真7、“α≠β〞是cosα≠cosβ〞的

A、充沛不用要條件B、必要不充沛條件C、充要條件D、既不充沛也不用要條件

8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3?+1，?∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之間的關(guān)系是

2

2

2

∵?過點(diǎn)P∴a?

1711

??b?044

∴17a+4b=11

????A、S??B?AB、S=B?AC、S?B=AD、S?B=A

函數(shù)

一、復(fù)習(xí)要求

7、函數(shù)的定義及通性；2、函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用。

9、方程mx+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是A、0lt;m≤1或mlt;0B、0lt;m≤1C、mlt;1D、m≤1

10、已經(jīng)明白p：方程x+ax+b=0有且僅有整數(shù)解，q：a，b是整數(shù)，那么p是q的A、充沛不用要條件B、必要不充沛條件充要條件D、既不充沛又不用要條件〔二〕填空題11、已經(jīng)明白M={m|

2

2

二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、函數(shù)的概念：

〔1〕映射：設(shè)非空數(shù)集A，B，假設(shè)對集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b與之對應(yīng)，那么稱從A到B的對應(yīng)為映射，記為f：A→B，f表示對應(yīng)法那么，b=f(a)。假設(shè)A中不同元素的象也不同，那么稱映射為單射，假設(shè)B中每一個(gè)元素都有原象與之對應(yīng)，那么稱映射為滿射。既是單射又是滿射的映射稱為一一映射。

〔2〕函數(shù)定義：函數(shù)確實(shí)是定義在非空數(shù)集A，B上的映射，如今稱數(shù)集A為定義域，象集C={f(x)|x∈A}為值域。定義域，對應(yīng)法那么，值域構(gòu)成了函數(shù)的三要素，從邏輯上講，定義域，對應(yīng)法那么決定了值域，是兩個(gè)最根本的要素。逆過來，值域也會限制定義域。

求函數(shù)定義域，通過解關(guān)于自變量的不等式〔組〕來實(shí)現(xiàn)的。要熟記根本初等函數(shù)的定義域，通過四那么運(yùn)算構(gòu)成的初等函數(shù)，其定義域是每個(gè)初等函數(shù)定義域的交集。復(fù)合函數(shù)定義域，不只要考慮內(nèi)函數(shù)的定義域，還要考慮到外函數(shù)對應(yīng)法那么的要求。理解函數(shù)定義域，應(yīng)嚴(yán)密聯(lián)絡(luò)對應(yīng)法那么。函數(shù)定義域是研究函數(shù)性質(zhì)的根底和前提。

函數(shù)對應(yīng)法那么通常表現(xiàn)為表格，解析式和圖象。其中解析式是最常見的表現(xiàn)方式。求已經(jīng)明白類型函數(shù)解析式的方法是待定系數(shù)法，籠統(tǒng)函數(shù)的解析式常用換元法及湊合法。

求函數(shù)值域是函數(shù)中常見征詢題，在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，直截了當(dāng)法的途徑有單調(diào)性，根本不等式及幾何意義，間接法的途徑為函數(shù)與方程的思想，表現(xiàn)為△法，反函數(shù)法等，在高等數(shù)學(xué)范圍

m?4x?3

?Z}，N={x|?N}，那么M∩N=__________。22

12、在100個(gè)學(xué)生中，有乒乓球喜好者60人，排球喜好者65人，那么兩者都喜好的人數(shù)最少是________人。

13、關(guān)于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要條件是________________。

14、命題“假設(shè)ab=0，那么a、b中至少有一個(gè)為零〞的逆否命題為____________。

15、非空集合p滿足以下兩個(gè)條件：〔1〕p?〔2〕假設(shè)元素a∈p，那么6-a?{1，2，3，4，5}，

∈p，那么集合p個(gè)數(shù)是__________?！踩辰獯痤}

16、設(shè)集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，假設(shè)A∩B是單元素集合，求a取值范

圍。

17、已經(jīng)明白拋物線C：y=-x+mx-1，點(diǎn)M〔0，3〕，N〔3，0〕，求拋物線C與線段MN有兩個(gè)不

同交點(diǎn)的充要條件。

18、設(shè)A={x|x+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，假設(shè)A∩M=φ，A∩N=A，

求p、q的值。

19、已經(jīng)明白a?x2?

2

2

內(nèi)，用導(dǎo)數(shù)法求某些函數(shù)最值〔極值〕更加方便。

在中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)局部都存在著求取值范圍這一典型征詢題，它的一種典型處置方法確實(shí)是建立函數(shù)解析式，借助于求函數(shù)值域的方法。

2、函數(shù)的通性

〔1〕奇偶性：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是推斷函數(shù)奇偶性的必要條件，在利用定義推斷時(shí)，應(yīng)在化簡解析式后進(jìn)展，同時(shí)靈敏運(yùn)用定義域的變形，如f(?x)?f(x)?0，≠0〕。

f(?x)

??1〔f(x)f(x)

12

，b=2-x，c=x-x+1，用反證法證明：a、b、c中至少有一個(gè)不小于1。2

奇偶性的幾何意義是兩種特別的圖象對稱。

函數(shù)的奇偶性是定義域上的普遍性質(zhì)，定義式是定義域上的恒等式。利用奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)可以簡化推斷奇偶性的步驟。

〔2〕單調(diào)性：研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集。

推斷函數(shù)單調(diào)性的方法：①定義法，即比差法；②圖象法；③單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)〔實(shí)質(zhì)上是不等式性質(zhì)〕；④復(fù)合函數(shù)單調(diào)性推斷法那么。

函數(shù)單調(diào)性是單調(diào)區(qū)間上普遍成立的性質(zhì)，是單調(diào)區(qū)間上恒成立的不等式。

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)中最爽朗的性質(zhì)，它的運(yùn)用主要表達(dá)在不等式方面，如比較大小，解籠統(tǒng)函數(shù)不等式等。

〔3〕周期性：周期性主要運(yùn)用在三角函數(shù)及籠統(tǒng)函數(shù)中，是化歸思想的重要手段。

求周期的重要方法：①定義法；②公式法；③圖象法；④利用重要結(jié)論：假設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，那么T=2|a-b|。

〔4〕反函數(shù)：函數(shù)是否是有反函數(shù)是函數(shù)概念的重要運(yùn)用之一，在求反函數(shù)之前首先要推斷函數(shù)是否具備反函數(shù)，函數(shù)f(x)的反函數(shù)f(x)的性質(zhì)與f(x)性質(zhì)嚴(yán)密相連，如定義域、值域互換，具有一樣的單調(diào)性等，把反函數(shù)f(x)的征詢題化歸為函數(shù)f(x)的征詢題是處置反函數(shù)征詢題的重要思想。

設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，那么f[f(x)]=x，x∈Af[f(x)]=x，x∈C8、函數(shù)的圖象

函數(shù)的圖象既是函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要方面，又能直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)，在解題過程中，充沛發(fā)揮圖象的工具作用。

圖象作法：①描點(diǎn)法；②圖象變換。應(yīng)掌握常見的圖象變換。

4、本單常見的初等函數(shù)；一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)。在詳細(xì)的對應(yīng)法那么下理解函數(shù)的通性，掌握這些詳細(xì)對應(yīng)法那么的性質(zhì)。分段函數(shù)是重要的函數(shù)模型。

關(guān)于籠統(tǒng)函數(shù)，通常是抓住函數(shù)特性是定義域上恒等式，利用賦值法〔變量代換法〕解題。聯(lián)絡(luò)到詳細(xì)的函數(shù)模型可以簡便地找到解題思路，及解題突破口。

應(yīng)用題是函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用的重要題型。審清題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，把握好模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。

5、主要思想方法：數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)方程，化歸等。

-1-1

-1

-1

利用數(shù)形對應(yīng)的關(guān)系，可知y=g(x)是y=f(x+1)的反函數(shù)，從而化g(x)征詢題為已經(jīng)明白f(x)?！遹=f(x+1)∴x+1=f(y)∴x=f(y)-1

∴y=f(x+1)的反函數(shù)為y=f(x)-1即g(x)=f(x)-1∴g(11)=f(11)-1=

-1-1

-1

3

2

評注：函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系是互為逆運(yùn)算的關(guān)系，當(dāng)f(x)存在反函數(shù)時(shí)，假設(shè)b=f(a)，那么a=f(b)。

例2、設(shè)f(x)是定義在〔-∞，+∞〕上的函數(shù)，對一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，當(dāng)-1lt;x≤1時(shí)，f(x)=2x-1，求當(dāng)1lt;x≤3時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式。

解題思路分析：利用化歸思想解題∵f(x)+f(x+2)=