小學數學教師招聘考試專業(yè)知識

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篇一：小學數學教師招考專業(yè)知識試題匯編

教師

一、單項選擇題。

1、以下各條件中，可以斷定四邊形是平行四邊形的是〔〕

A.一組對角相等B,兩條對角線互相平分

3、函數y=6x3-12x2+6x+1的單調減區(qū)間為〔〕A.(??,)B.(,1)

C.(1,+?)D.(-1，-)

4、〔〕是牛頓-萊布來茨公式，其中F(x)是f(x)的一個原函數。

A.

C.131313?baf(x)dx?F(a)?F(b)B.?f(x)dx?F(a)?F(b)ab?b

axdx?b?aD.?xdx?a?bab

5.假設兩圓的半徑分別是1cm和5cm，圓心距是6cm，那么兩圓的位置關系是〔〕。

6、已經明白{an}是等比數列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于().

7、函數f(x)=sinx-cosx的最大值為〔〕

A.1B.2C.D,2

8.長方體ABCD-A1B1C1D1三條棱長分別是AA=1，AB=2，AD=4，那么從A點動身，沿長方體的外表到C的最短間隔是〔〕

A.5B.7C.29D.

9、一個數四舍五入到近似值為3萬，這個數最大值是〔〕

10、已經明白反函數y=k的圖象通過點p(-1,2),那么這個函數的圖象位于〔〕。x

A.第二、三象限B、第一、三象限

C.第三、四象限D、第二、四象限

11、一個袋中裝著5個黑球、3個白球，另一個袋中裝著4個黑球、4個白球，從兩個袋中分別取出一個球，那么兩個球都是黑球的概率是()53B.164

13C.D.216A.

12、已經明白向量a=(5,-3)，那么a=〔〕

13.有一種食物是由每千克30元的奶糖3千克，每千克6元的面粉3千克，每千克15元的精華粉4千克混合制成的，最后這種食品平均每千克售價為〔〕元。

14.已經明白AUB?M,AIB?N,那么以下關系正確的選項〔〕

A.M?NB.MIN?N

C.MIN=ND.MUN=N

15.用0,1,2,3這四個數字可以組成的沒有反復數字的三位數個數是〔〕

二、填空題

1、已經明白曲線f(x,y)=0滿足f(-x,-y)=0,那么曲線關于_________對稱。

2.7名志愿者布置6人在周六、周天兩天參與社區(qū)公益活動。假設每天布置3人，那么不同布置方案共有__________種。

3、函數y=2x3-x2+x-1在(1,1)處的切線的斜率為__________。

4.李師傅隨機抽查了本單位今年四月份里6天的日用水量〔單位：噸〕結果如下：7,8,8,7,6,6，依照這些數據，可能四月份用水量為__________噸。

5．一個球從100米高處自在落下，每次著地后又跳回到原高度的一半，當它第10次著地時共通過了____________米。

6、函數y=2x+1的單調增區(qū)間為___________。x

7.已經明白集合M={X∣-3?x?5},N={x∣-5lt;xlt;5},那么M?N?__________。

8.已經明白F是雙曲線的左焦點，A(1,4),P是雙曲線右支上的動點，那么∣PF∣+∣PA∣的最小值為__________。

29、已經明白f(1-cosx)=sinx，那么f(x)=_________.

10、假設：A=2×2×5,B=2×3×5,那A、B的最大公約數是____,最小公倍數是_____.

11.設0lt;,那么?sin等于__________。sin?cos

12.點p(1,2)到直線y=2x+1的間隔為__________.

2213、假設p(2,1)為圓〔x-1〕+y=25的弦的AB的中點，那么直線AB的方程為_________.

二、計算題。

1、已經明白函數f〔x〕=x-2x.

(Ⅰ)求函數y=f(x)的單調區(qū)間，并指出它在各單調區(qū)間上是增函數仍然減函數；

〔Ⅱ〕求函數y=f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值和最小值。

2、建造一個容積為4800立方米，深為3米的長方體無蓋水池，假設池底和池壁的造價每

平方米分別為150元和120元，那么如何樣設計水池能使總造價最低，最低總造價為多少元？

23、假設兩個二次函數的圖象關于直線x=1對稱，其中一個函數的表達式為y=x+2x-1,求另

一個函數的表達式。

4、某種圖書原價為每本a元時，售出總量為b本，假設每本價格上漲x%,可能售出總量將

減少0.5x%,征詢x為何值時這種書的銷售總金額最大。

5、設數列{an},{bn}滿足a1=1,b1=0且??an?1?2an?3bn??，n=1,2,3…bn?1?an?2bn??

6.已經明白圓O的圓心在坐標原點，圓O與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B,︱AB︱=22.設P為圓O上一點，且OP∥AB,求點P的坐標。

篇二：小學數學教師招聘專業(yè)知識

數學教師招聘考試專業(yè)知識復習

一、復習要求〔由于招考標題僅為知識，因此本內容以均為高考知識點〕

1、理解集合及表示法，掌握子集，全集與補集，子集與并集的定義；

2、掌握含絕對值不等式及一元二次不等式的解法；

3、理解邏輯結合詞的含義，會熟練地轉化四種命題，掌握反證法；

4、理解充沛條件，必要條件及充要條件的意義，會推斷兩個命題的充要關系；

5、學會用定義解題，理解數形結合，分類討論及等價變換等思想方法。

二、學習指導

1、集合的概念：

〔1〕集合中元素特征，確定性，互異性，無序性；

〔2〕集合的分類：

①按元素個數分：有限集，無限集；

②按元素特征分；數集，點集。如數集{y|y=x2}，表示非負實數集，點集{(x，y)|y=x2}表示開口向上，以y軸為對稱軸的拋物線；

〔3〕集合的表示法：

①列舉法：用來表示有限集或具有明顯規(guī)律的無限集，如N+={0，1，2，3，?}；②描繪法。

2、兩類關系：

〔1〕元素與集合的關系，用?或?表示；

?〔2〕集合與集合的關系，用?，??，=表示，當A?B時，稱A是B的子集；當A?B時，稱A是B的真子集。

3、集合運算

〔1〕交，并，補，定義：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且x?A｝，集合U表示全集；

〔2〕運算律，如A∩〔B∪C〕=〔A∩B〕∪〔A∩C〕，CU〔A∩B〕=〔CUA〕∪〔CUB〕，

CU〔A∪B〕=〔CUA〕∩〔CUB〕等。

4、命題：

〔1〕命題分類：真命題與假命題，簡單命題與復合命題；

〔2〕復合命題的方式：p且q，p或q，非p；

〔3〕復合命題的真假：對p且q而言，當q、p為真時，其為真；當p、q中有一個為假時，其為假。對p或q而言，當p、q均為假時，其為假；當p、q中有一個為真時，其為真；當p為真時，非p為假；當p為假時，非p為真。

〔3〕四種命題：記“假設p那么q〞為原命題，那么否命題為“假設非p那么非q〞，逆命題為“假設q那么p“，逆否命題為〞假設非q那么非p“。其中互為逆否的兩個命題同真假，即等價。因此，四種命題為確實個數只能是偶數個。

5、充沛條件與必要條件

〔1〕定義：對命題“假設p那么q〞而言，當它是真命題時，p是q的充沛條件，q是p的必要條件，當它的逆命題為真時，q是p的充沛條件，p是q的必要條件，兩種命題均為真時，稱p是q的充要條件；

〔2〕在推斷充沛條件及必要條件時，首先要分清哪個命題是條件，哪個命題是結論，其次，結論要分四種情況說明：充沛不用要條件，必要不充沛條件，充沛且必要條件，既不充沛又不用要條件。從集合角度看，假設記滿足條件p的所有對象組成集合A，滿足條件q的所有對象組成集合B，那么當A?B時，p是q的充沛條件。B?A時，q是p的充沛條件。A=B時，p是q的充要條件；

〔3〕當p和q互為充要時，表達了命題等價轉換的思想。

6、反證法是中學數學的重要方法。會用反證法證明一些代數命題。

7、集合概念及其根本理論是近代數學最根本的內容之一。學會用集合的思想處置數學征詢題。

三、典型例題

例1、已經明白集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。

解題思路分析：

在集合運算之前，首先要識別集合，即認清集合中元素的特征。M、N均為數集，不能誤認為是點集，從而解方程組。其次要化簡集合，或者說使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}

∴M∩N=M={y|y≥1}

說明：實際上，從函數角度看，此題中的M，N分別是二次函數和一次函數的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}應看成是函數y=f(x)的值域，通過求函數值域化簡集合。此集合與集合{〔x，y〕|y=x2+1，x∈R}是有實質差別的，后者是點集，表示拋物線y=x2+1上的所有點，屬于圖形范疇。集合中元素特征與代表元素的字母無關，例{y|y≥1}={x|x≥1}。

例2、已經明白集合A={x|x2-3x+2=0}，B+{x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，務實數m范圍。

解題思路分析：

化簡條件得A={1，2}，A∩B=B?B?A

依照集合中元素個數集合B分類討論，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}

當B=φ時，△=m2-8lt;0

∴?22?m?22

當B={1}或{2}時，?

當B={1，2}時，?

∴m=3

綜上所述，m=3或?22?m?22

說明：分類討論是中學數學的重要思想，全面地挖掘題中隱藏條件是解題素養(yǎng)的一個重要方面，如此題當B={1}或{2}時，不能遺漏△=0。

例3、用反證法證明：已經明白x、y∈R，x+y≥2，求證x、y中至少有一個大于1。

解題思路分析：

假設xlt;1且ylt;1，由不等式同向相加的性質x+ylt;2與已經明白x+y≥2矛盾

∴假設不成立

∴x、y中至少有一個大于1

說明；反證法的理論依照是：欲證“假設p那么q〞為真，先證“假設p那么非q〞為假，因在條件p下，q與非q是對立事件〔不能同時成立，但必有一個成立〕，因此當“假設p那么非q〞為假時，“假設p那么q〞一定為真。

例4、假設A是B的必要而不充沛條件，C是B的充要條件，D是C的充沛而不用要條件，推斷D是A的什么條件。解題思路分析：

利用“?〞、“?〞符號分析各命題之間的關系

D?C?B?A

∴D?A，D是A的充沛不用要條件

說明：符號“?〞、“?〞具有傳送性，不過前者是一方向的，后者是雙方向的。

例5、求直線?：ax-y+b=0通過兩直線?1：2x-2y-3=0和?2：3x-5y+1=0交點的充要條件。

解題思路分析：

從必要性著手，分充沛性和必要性兩方面證明。

???0，m無解1?m?2?0或4?2m?2?0??1?2?m1?2?2?

由??2x?2y?3?01711得?1，?2交點P〔,〕44?3x?5y?1?0

∵?過點P

∴a?1711??b?044

∴17a+4b=11

充沛性：設a，b滿足17a+4b=11

∴b?11?17a4

11?17a?04代入?方程：ax?y?

整理得：(y?1117)?a(x?)?044

11171711?0,x??0的交點〔,〕4444此方程說明，直線?恒過兩直線y?而此點為?1與?2的交點

∴充沛性得證

∴綜上所述，命題為真

說明：關于充要條件的證明，一般有兩種方式，一種是利用“?〞，雙向傳輸，同時證明充沛性及必要性；另一種是分別證明必要性及充沛性，從必要性著手，再檢驗充沛性。

四、同步練習

〔一〕選擇題

1、設M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，那么{a}與M的關系是

?A、{a}=MB、M??{a}C、{a}?MD、M?{a}

2、已經明白全集U=R，A={x|x-a|lt;2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，那么a的取值范圍是

A、[0，2]B、〔-2，2〕C、〔0，2]D、〔0，2〕

3、已經明白集合M={x|x=a2-3a+2，a∈R}，N={x|x=b2-b，b∈R}，那么M，N的關系是

?A、M??NB、M?NC、M=ND、不確定

4、設集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，那么A∪B中的元素個數是

A、11B、10C、16D、15

5、集合M={1，2，3，4，5}的子集是

A、15B、16C、31D、32

6、關于命題“正方形的四個內角相等〞，下面推斷正確的選項

A、所給命題為假B、它的逆否命題為真

C、它的逆命題為真D、它的否命題為真

7、“α≠β〞是cosα≠cosβ〞的

A、充沛不用要條件B、必要不充沛條件

C、充要條件D、既不充沛也不用要條件

8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3?+1，?∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之間的關系是

????A、S??B?AB、S=B?AC、S?B=AD、S?B=A

9、方程mx2+2x+1=0至少有一個負根的充要條件是

A、0lt;m≤1或mlt;0B、0lt;m≤1

C、mlt;1D、m≤1

10、已經明白p：方程x2+ax+b=0有且僅有整數解，q：a，b是整數，那么p是q的

A、充沛不用要條件B、必要不充沛條件

充要條件D、既不充沛又不用要條件

〔二〕填空題

11、已經明白M={m|m?4x?3?Z}，N={x|?N}，那么M∩N=____空集______。22

12、在100個學生中，有乒乓球喜好者60人，排球喜好者65人，那么兩者都喜好的人數最少是___25__人。最多__60_

人

13、

14、

15、關于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要條件是________________。命題“假設ab=0，那么a、b中至少有一個為零〞的逆否命題為_____真命題_______。非空集合p滿足以下兩個條件：〔1〕p?〔2〕假設元素a∈p，那么6-a∈p，那么集合p個數是?{1，2，3，4，5}，

____7______。

〔三〕解答題

16、

17、

18、

19、

函數

一、復習要求

7、函數的定義及通性；

2、函數性質的運用。

二、學習指導

1、函數的概念：

〔1〕映射：設非空數集A，B，假設對集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b與之對應，那么稱從A到B的對應為映射，記為f：A→B，f表示對應法那么，b=f(a)。假設A中不同元素的象也不同，那么稱映射為單射，假設B中每一個元素都有原象與之對應，那么稱映射為滿射。既是單射又是滿射的映射稱為一一映射。

〔2〕函數定義：函數確實是定義在非空數集A，B上的映射，如今稱數集A為定義域，象集C={f(x)|x∈A}為值域。定義域，對應法那么，值域構成了函數的三要素，從邏輯上講，定義域，對應法那么決定了值域，是兩個最根本的要素。逆過來，值域也會限制定義域。

求函數定義域，通過解關于自變量的不等式〔組〕來實現的。要熟記根本初等函數的定義域，通過四那么運算構成的初等函數，其定義域是每個初等函數定義域的交集。復合函數定義域，不只要考慮內函數的定義域，還要考慮到外函數已經明白a?x2?，b=2-x，c=x2-x+1，用反證法證明：a、b、c中至少有一個不小于1。12設集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，假設A∩B是單元素集合，求a取值范圍。已經明白拋物線C：y=-x2+mx-1，點M〔0，3〕，N〔3，0〕，求拋物線C與線段MN有兩個不同交點的充要條件。設A={x|x2+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，假設A∩M=φ，A∩N=A，求p、q的值。

對應法那么的要求。理解函數定義域，應嚴密聯絡對應法那么。函數定義域是研究函數性質的根底和前提。

函數對應法那么通常表現為表格，解析式和圖象。其中解析式是最常見的表現方式。求已經明白類型函數解析式的方法是待定系數法，籠統(tǒng)函數的解析式常用換元法及湊合法。

求函數值域是函數中常見征詢題，在初等數學范圍內，直截了當法的途徑有單調性，根本不等式及幾何意義，間接法的途徑為函數與方程的思想，表現為△法，反函數法等，在高等數學范圍內，用導數法求某些函數最值〔極值〕更加方便。

在中學數學的各個局部都存在著求取值范圍這一典型征詢題，它的一種典型處置方法確實是建立函數解析式，借助于求函數值域的方法。

2、函數的通性

〔1〕奇偶性：函數定義域關于原點對稱是推斷函數奇偶性的必要條件，在利用定義推斷時，應在化簡解析式后進展，同時靈敏運用定義域的變形，如f(?x)?f(x)?0，

奇偶性的幾何意義是兩種特別的圖象對稱。

函數的奇偶性是定義域上的普遍性質，定義式是定義域上的恒等式。

利用奇偶性的運算性質可以簡化推斷奇偶性的步驟。

〔2〕單調性：研究函數的單調性應結合函數單調區(qū)間，單調區(qū)間應是定義域的子集。

推斷函數單調性的方法：①定義法，即比差法；②圖象法；③單調性的運算性質〔實質上是不等式性質〕；④復合函數單調性推斷法那么。

函數單調性是單調區(qū)間上普遍成立的性質，是單調區(qū)間上恒成立的不等式。

函數單調性是函數性質中最爽朗的性質，它的運用主要表達在不等式方面，如比較大小，解籠統(tǒng)函數不等式等。

〔3〕周期性：周期性主要運用在三角函數及籠統(tǒng)函數中，是化歸思想的重要手段。

求周期的重要方法：①定義法；②公式法；③圖象法；④利用重要結論：假設函數f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，那么T=2|a-b|。

〔4〕反函數：函數是否是有反函數是函數概念的重要運用之一，在求反函數之前首先要推斷函數是否具備反函數，函數f(x)的反函數f-1(x)的性質與f(x)性質嚴密相連，如定義域、值域互換，具有一樣的單調性等，把反函數f-1(x)的征詢題化歸為函數f(x)的征詢題是處置反函數征詢題的重要思想。

設函數f(x)定義域為A，值域為C，那么

f-1[f(x)]=x，x∈A

f[f-1(x)]=x，x∈C

3、函數的圖象

函數的圖象既是函數性質的一個重要方面，又能直觀地反映函數的性質，在解題過程中，充沛發(fā)揮圖象的工具作用。圖象作法：①描點法；②圖象變換。應掌握常見的圖象變換。

4、本單常見的初等函數；一次函數，二次函數，反比例函數，指數函數，對數函數。在詳細的對應法那么下理解函數的通性，掌握這些詳細對應法那么的性質。分段函數是重要的函數模型。

關于籠統(tǒng)函數，通常是抓住函數特性是定義域上恒等式，利用賦值法〔變量代換法〕解題。聯絡到詳細的函數模型可以簡便地找到解題思路，及解題突破口。

應用題是函數性質運用的重要題型。審清題意，找準數量關系，把握好模型是解應用題的關鍵。

5、主要思想方法：數形結合，分類討論，函數方程，化歸等。

三、典型例題

例1、已經明白f(x)?

分析：2x?3，函數y=g(x)圖象與y=f-1(x+1)的圖象關于直線y=x對稱，求g(11)的值。x?1f(?x)??1〔f(x)≠0〕。f(x)

篇三：數學教師招聘考試專業(yè)知識

數學教師招聘考試專業(yè)知識復習

一、復習要求

1、理解集合及表示法，掌握子集，全集與補集，子集與并集的定義；2、掌握含絕對值不等式及一元二次不等式的解法；

3、理解邏輯結合詞的含義，會熟練地轉化四種命題，掌握反證法；

4、理解充沛條件，必要條件及充要條件的意義，會推斷兩個命題的充要關系；5、學會用定義解題，理解數形結合，分類討論及等價變換等思想方法。

那么p“，逆否命題為〞假設非q那么非p“。其中互為逆否的兩個命題同真假，即等價。因此，四種命題為確實個數只能是偶數個。

5、充沛條件與必要條件

〔1〕定義：對命題“假設p那么q〞而言，當它是真命題時，p是q的充沛條件，q是p的必要條件，當它的逆命題為真時，q是p的充沛條件，p是q的必要條件，兩種命題均為真時，稱p是q的充要條件；

〔2〕在推斷充沛條件及必要條件時，首先要分清哪個命題是條件，哪個命題是結論，其次，結論要分四種情況說明：充沛不用要條件，必要不充沛條件，充沛且必要條件，既不充沛又不用要條件。從集合角度看，假設記滿足條件p的所有對象組成集合A，滿足條件q的所有對象組成集合q，那么當A?B時，p是q的充沛條件。B?A時，p是q的充沛條件。A=B時，p是q的充要條件；

〔3〕當p和q互為充要時，表達了命題等價轉換的思想。

二、學習指導

1、集合的概念：

〔1〕集合中元素特征，確定性，互異性，無序性；〔2〕集合的分類：

①按元素個數分：有限集，無限集；

②按元素特征分；數集，點集。如數集{y|y=x}，表示非負實數集，點集{(x，y)|y=x}表示開口向上，以y軸為對稱軸的拋物線；〔3〕集合的表示法：

①列舉法：用來表示有限集或具有明顯規(guī)律的無限集，如N+={0，1，2，3，?}；②描繪法。

2、兩類關系：

〔1〕元素與集合的關系，用?或?表示；

?〔2〕集合與集合的關系，用?，??，=表示，當A?B時，稱A是B的子集；當A?B時，稱

2

2

6、反證法是中學數學的重要方法。會用反證法證明一些代數命題。

7、集合概念及其根本理論是近代數學最根本的內容之一。學會用集合的思想處置數學征詢題。

三、典型例題

例1、已經明白集合M={y|y=x+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。

解題思路分析：

在集合運算之前，首先要識別集合，即認清集合中元素的特征。M、N均為數集，不能誤認為是點集，從而解方程組。其次要化簡集合，或者說使集合的特征明朗化。M={y|y=x+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}

∴M∩N=M={y|y≥1}

說明：實際上，從函數角度看，此題中的M，N分別是二次函數和一次函數的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}應看成是函數y=f(x)的值域，通過求函數值域化簡集合。此集合與集合{〔x，y〕|y=x+1，x∈R}是有實質差別的，后者是點集，表示拋物線y=x+1上的所有點，屬于圖形范疇。集合中元素特征與代表元素的字母無關，例{y|y≥1}={x|x≥1}。

例2、已經明白集合A={x|x-3x+2=0}，B+{x|x-mx+2=0}，且A∩B=B，務實數m范圍。解題思路分析：

化簡條件得A={1，2}，A∩B=B?B?A

依照集合中元素個數集合B分類討論，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}當B=φ時，△=m-8lt;0∴?22?m?22

2

2

2

2

2

2

2

A是B的真子集。

3、集合運算

〔1〕交，并，補，定義：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且x?A｝，集合U表示全集；

〔2〕運算律，如A∩〔B∪C〕=〔A∩B〕∪〔A∩C〕，CU〔A∩B〕=〔CUA〕∪〔CUB〕，CU〔A∪B〕=〔CUA〕∩〔CUB〕等。4、命題：

〔1〕命題分類：真命題與假命題，簡單命題與復合命題；〔2〕復合命題的方式：p且q，p或q，非p；

〔3〕復合命題的真假：對p且q而言，當q、p為真時，其為真；當p、q中有一個為假時，其為假。對p或q而言，當p、q均為假時，其為假；當p、q中有一個為真時，其為真；當p為真時，非p為假；當p為假時，非p為真。

〔3〕四種命題：記“假設q那么p〞為原命題，那么否命題為“假設非p那么非q〞，逆命題為“假設q

???0

當B={1}或{2}時，?，m無解

1?m?2?0或4?2m?2?0??1?2?m

當B={1，2}時，?

1?2?2?

充沛性：設a，b滿足17a+4b=11∴b?

11?17a

4

代入?方程：ax?y?整理得：(y?

∴m=3

綜上所述，m=3或?22?m?2

說明：分類討論是中學數學的重要思想，全面地挖掘題中隱藏條件是解題素養(yǎng)的一個重要方面，如此題當B={1}或{2}時，不能遺漏△=0。

例3、用反證法證明：已經明白x、y∈R，x+y≥2，求證x、y中至少有一個大于1。解題思路分析：

假設xlt;1且ylt;1，由不等式同向相加的性質x+ylt;2與已經明白x+y≥2矛盾∴假設不成立

∴x、y中至少有一個大于1

說明；反證法的理論依照是：欲證“假設p那么q〞為真，先證“假設p那么非q〞為假，因在條件p下，q與非q是對立事件〔不能同時成立，但必有一個成立〕，因此當“假設p那么非q〞為假時，“假設p那么q〞一定為真。

例4、假設A是B的必要而不充沛條件，C是B的充要條件，D是C的充沛而不用要條件，推斷D是A的什么條件。

解題思路分析：

利用“?〞、“?〞符號分析各命題之間的關系D?C?B?A

∴D?A，D是A的充沛不用要條件

說明：符號“?〞、“?〞具有傳送性，不過前者是一方向的，后者是雙方向的。例5、求直線?：ax-y+b=0通過兩直線?1：2x-2y-3=0和?2：3x-5y+1=0交點的充要條件。解題思路分析：

從必要性著手，分充沛性和必要性兩方面證明。?2x?2y?3?01711

由?得?1，?2交點P〔,〕

44?3x?5y?1?0

11?17a

?04

1117

)?a(x?)?044

11171711

?0,x??0的交點〔,〕4444

此方程說明，直線?恒過兩直線y?而此點為?1與?2的交點∴充沛性得證∴綜上所述，命題為真

說明：關于充要條件的證明，一般有兩種方式，一種是利用“?〞，雙向傳輸，同時證明充沛性及必要性；另一種是分別證明必要性及充沛性，從必要性著手，再檢驗充沛性。

四、同步練習

〔一〕選擇題

1、設M={x|x+x+2=0}，a=lg(lg10)，那么{a}與M的關系是

?A、{a}=MB、M??{a}C、{a}?MD、M?{a}

2、已經明白全集U=R，A={x|x-a|lt;2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，那么a的取值范圍是A、[0，2]B、〔-2，2〕C、〔0，2]D、〔0，2〕

3、已經明白集合M={x|x=a-3a+2，a∈R}，N、{x|x=b-b，b∈R}，那么M，N的關系是

?A、M??NB、M?NC、M=ND、不確定4、設集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，那么A∪B中的元素個數是

A、11B、10C、16D、155、集合M={1，2，3，4，5}的子集是

A、15B、16C、31D、326、關于命題“正方形的四個內角相等〞，下面推斷正確的選項A、所給命題為假B、它的逆否命題為真

C、它的逆命題為真D、它的否命題為真7、“α≠β〞是cosα≠cosβ〞的

A、充沛不用要條件B、必要不充沛條件C、充要條件D、既不充沛也不用要條件

8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3?+1，?∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之間的關系是

2

2

2

∵?過點P∴a?

1711

??b?044

∴17a+4b=11

????A、S??B?AB、S=B?AC、S?B=AD、S?B=A

函數

一、復習要求

7、函數的定義及通性；2、函數性質的運用。

9、方程mx+2x+1=0至少有一個負根的充要條件是A、0lt;m≤1或mlt;0B、0lt;m≤1C、mlt;1D、m≤1

10、已經明白p：方程x+ax+b=0有且僅有整數解，q：a，b是整數，那么p是q的A、充沛不用要條件B、必要不充沛條件充要條件D、既不充沛又不用要條件〔二〕填空題11、已經明白M={m|

2

2

二、學習指導

1、函數的概念：

〔1〕映射：設非空數集A，B，假設對集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b與之對應，那么稱從A到B的對應為映射，記為f：A→B，f表示對應法那么，b=f(a)。假設A中不同元素的象也不同，那么稱映射為單射，假設B中每一個元素都有原象與之對應，那么稱映射為滿射。既是單射又是滿射的映射稱為一一映射。

〔2〕函數定義：函數確實是定義在非空數集A，B上的映射，如今稱數集A為定義域，象集C={f(x)|x∈A}為值域。定義域，對應法那么，值域構成了函數的三要素，從邏輯上講，定義域，對應法那么決定了值域，是兩個最根本的要素。逆過來，值域也會限制定義域。

求函數定義域，通過解關于自變量的不等式〔組〕來實現的。要熟記根本初等函數的定義域，通過四那么運算構成的初等函數，其定義域是每個初等函數定義域的交集。復合函數定義域，不只要考慮內函數的定義域，還要考慮到外函數對應法那么的要求。理解函數定義域，應嚴密聯絡對應法那么。函數定義域是研究函數性質的根底和前提。

函數對應法那么通常表現為表格，解析式和圖象。其中解析式是最常見的表現方式。求已經明白類型函數解析式的方法是待定系數法，籠統(tǒng)函數的解析式常用換元法及湊合法。

求函數值域是函數中常見征詢題，在初等數學范圍內，直截了當法的途徑有單調性，根本不等式及幾何意義，間接法的途徑為函數與方程的思想，表現為△法，反函數法等，在高等數學范圍

m?4x?3

?Z}，N={x|?N}，那么M∩N=__________。22

12、在100個學生中，有乒乓球喜好者60人，排球喜好者65人，那么兩者都喜好的人數最少是________人。

13、關于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要條件是________________。

14、命題“假設ab=0，那么a、b中至少有一個為零〞的逆否命題為____________。

15、非空集合p滿足以下兩個條件：〔1〕p?〔2〕假設元素a∈p，那么6-a?{1，2，3，4，5}，

∈p，那么集合p個數是__________?！踩辰獯痤}

16、設集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，假設A∩B是單元素集合，求a取值范

圍。

17、已經明白拋物線C：y=-x+mx-1，點M〔0，3〕，N〔3，0〕，求拋物線C與線段MN有兩個不

同交點的充要條件。

18、設A={x|x+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，假設A∩M=φ，A∩N=A，

求p、q的值。

19、已經明白a?x2?

2

2

內，用導數法求某些函數最值〔極值〕更加方便。

在中學數學的各個局部都存在著求取值范圍這一典型征詢題，它的一種典型處置方法確實是建立函數解析式，借助于求函數值域的方法。

2、函數的通性

〔1〕奇偶性：函數定義域關于原點對稱是推斷函數奇偶性的必要條件，在利用定義推斷時，應在化簡解析式后進展，同時靈敏運用定義域的變形，如f(?x)?f(x)?0，≠0〕。

f(?x)

??1〔f(x)f(x)

12

，b=2-x，c=x-x+1，用反證法證明：a、b、c中至少有一個不小于1。2

奇偶性的幾何意義是兩種特別的圖象對稱。

函數的奇偶性是定義域上的普遍性質，定義式是定義域上的恒等式。利用奇偶性的運算性質可以簡化推斷奇偶性的步驟。

〔2〕單調性：研究函數的單調性應結合函數單調區(qū)間，單調區(qū)間應是定義域的子集。

推斷函數單調性的方法：①定義法，即比差法；②圖象法；③單調性的運算性質〔實質上是不等式性質〕；④復合函數單調性推斷法那么。

函數單調性是單調區(qū)間上普遍成立的性質，是單調區(qū)間上恒成立的不等式。

函數單調性是函數性質中最爽朗的性質，它的運用主要表達在不等式方面，如比較大小，解籠統(tǒng)函數不等式等。

〔3〕周期性：周期性主要運用在三角函數及籠統(tǒng)函數中，是化歸思想的重要手段。

求周期的重要方法：①定義法；②公式法；③圖象法；④利用重要結論：假設函數f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，那么T=2|a-b|。

〔4〕反函數：函數是否是有反函數是函數概念的重要運用之一，在求反函數之前首先要推斷函數是否具備反函數，函數f(x)的反函數f(x)的性質與f(x)性質嚴密相連，如定義域、值域互換，具有一樣的單調性等，把反函數f(x)的征詢題化歸為函數f(x)的征詢題是處置反函數征詢題的重要思想。

設函數f(x)定義域為A，值域為C，那么f[f(x)]=x，x∈Af[f(x)]=x，x∈C8、函數的圖象

函數的圖象既是函數性質的一個重要方面，又能直觀地反映函數的性質，在解題過程中，充沛發(fā)揮圖象的工具作用。

圖象作法：①描點法；②圖象變換。應掌握常見的圖象變換。

4、本單常見的初等函數；一次函數，二次函數，反比例函數，指數函數，對數函數。在詳細的對應法那么下理解函數的通性，掌握這些詳細對應法那么的性質。分段函數是重要的函數模型。

關于籠統(tǒng)函數，通常是抓住函數特性是定義域上恒等式，利用賦值法〔變量代換法〕解題。聯絡到詳細的函數模型可以簡便地找到解題思路，及解題突破口。

應用題是函數性質運用的重要題型。審清題意，找準數量關系，把握好模型是解應用題的關鍵。

5、主要思想方法：數形結合，分類討論，函數方程，化歸等。

-1-1

-1

-1

利用數形對應的關系，可知y=g(x)是y=f(x+1)的反函數，從而化g(x)征詢題為已經明白f(x)?！遹=f(x+1)∴x+1=f(y)∴x=f(y)-1

∴y=f(x+1)的反函數為y=f(x)-1即g(x)=f(x)-1∴g(11)=f(11)-1=

-1-1

-1

3

2

評注：函數與反函數的關系是互為逆運算的關系，當f(x)存在反函數時，假設b=f(a)，那么a=f(b)。

例2、設f(x)是定義在〔-∞，+∞〕上的函數，對一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，當-1lt;x≤1時，f(x)=2x-1，求當1lt;x≤3時，函數f(x)的解析式。

解題思路分析：利用化歸思想解題∵f(x)+f(x+2)=