專題08利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)2

專題08利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)專題08利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性在內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)，在任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.在上為增函數(shù)．在上為減函數(shù)．二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的方法步驟：①確定函數(shù)f(x)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f'③由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相應(yīng)的x的取值范圍，當(dāng)f'(x)>0時(shí)，特別提醒：討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式，求解時(shí)，要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則．三、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值1．函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．2．函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．3.特別提醒：(1)函數(shù)f(x)在處有極值的必要不充分條件是f′()＝0，極值點(diǎn)是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是極值點(diǎn)(例如，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點(diǎn))．(2)極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫(huà)的是函數(shù)的局部性質(zhì)．極值點(diǎn)是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)．四、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值1．函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上取得最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．2.若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．3．求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值．(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．五、常用結(jié)論1．奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．2.可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，若f′(x)為增函數(shù)，則f(x)的圖象是下凹的；反之，若f′(x)為減函數(shù)，則f(x)的圖象是上凸的．3．在某區(qū)間內(nèi)f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件．4．可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．5．若函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(x)在[a，b]上一定有最值．6．若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值．7．若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn)．題型一判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【典例1】【多選題】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（

）A．在區(qū)間上是減函數(shù)B．在區(qū)間上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是增函數(shù)D．在區(qū)間上是增函數(shù)【典例2】（2021·全國(guó)·高考真題（文））已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．【規(guī)律方法】1.利用導(dǎo)數(shù)證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的思路求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)：(1)若f′(x)>0，則y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增；(2)若f′(x)<0，則y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減；(3)若恒有f′(x)＝0，則y＝f(x)是常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性．2.解決含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題應(yīng)注意兩點(diǎn)(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn)．3.當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí)，需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．討論的標(biāo)準(zhǔn)有以下幾種可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定義域內(nèi)；(3)若在定義域內(nèi)有兩個(gè)根，比較兩個(gè)根的大小．4.特別提醒：易錯(cuò)點(diǎn)是忽視函數(shù)的定義域.題型二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例3】（2023上·遼寧·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)為，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間為．【典例4】（2023上·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州市廣陵區(qū)紅橋高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【總結(jié)提升】1．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．若y＝f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)僅有有限個(gè)，則y＝f(x)在(a，b)內(nèi)仍是單調(diào)函數(shù)，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上單調(diào)遞增．3.溫馨提醒：所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間不能用并集“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”字隔開(kāi)．題型三利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式【典例5】（2023下·河南焦作·高二焦作市第十一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【典例6】（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為.【總結(jié)提升】1.比較大小或解不等式的思路方法(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式和已知的不等式構(gòu)造函數(shù)，利用不等關(guān)系得出函數(shù)的單調(diào)性，即可確定函數(shù)值的大小關(guān)系，關(guān)鍵是觀察已知條件構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)．(2)含有兩個(gè)變?cè)牟坏仁?，可以把兩個(gè)變?cè)醋鲀蓚€(gè)不同的自變量，構(gòu)造函數(shù)后利用單調(diào)性確定其不等關(guān)系．2.構(gòu)造函數(shù)解不等式或比較大小一般地，在不等式中若同時(shí)含有f(x)與f′(x)，常需要通過(guò)構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的和、差、積、商的新函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)探索新函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而求出結(jié)果．常見(jiàn)構(gòu)造的輔助函數(shù)形式有：(1)f(x)＞g(x)→F(x)＝f(x)－g(x)；(2)xf′(x)＋f(x)→[xf(x)]′；(3)xf′(x)－f(x)→；(4)f′(x)＋f(x)→[exf(x)]′；(5)f′(x)－f(x)→.題型四比較函數(shù)值大小【典例7】（2022·全國(guó)·高考真題（理））已知，則（

）A． B． C． D．【典例8】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，若，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．題型五根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍【典例9】（2023上·福建三明·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【典例10】（2023上·重慶·高三重慶八中校考階段練習(xí)）知函數(shù)在上存在遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【規(guī)律方法】1.兩個(gè)基本思路(1)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)取“＝”時(shí)是否滿足題意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗(yàn)證參數(shù)取“＝”時(shí)f(x)是否滿足題意．2．恒成立問(wèn)題的重要思路(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min．題型六根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍【典例11】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【典例12】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值為．【總結(jié)提升】由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，求出參數(shù)的取值范圍．(2)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在該區(qū)間上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，求出參數(shù)的取值范圍．(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I上含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍．題型七利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象【典例13】（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【典例14】（2023下·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二?？茧A段練習(xí)）已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．若的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是（

）A．

B．

C．

D．

【規(guī)律方法】函數(shù)圖象的辨識(shí)主要從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.題型八利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值【典例15】（2023上·河南·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線l與直線相互垂直．(1)求l的方程；(2)求的極值．【典例16】（2022上·貴州遵義·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【規(guī)律總結(jié)】1.求函數(shù)f(x)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在x0處取極小值．2.求極值問(wèn)題主要有兩種類型，一是由圖象求極值，二是求具體函數(shù)的極值.題型九求函數(shù)極值點(diǎn)【典例17】（2023上·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)，則的極大值點(diǎn)為.【典例18】（2023上·遼寧大連·高三大連八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則的極大值點(diǎn)為，極大值為.題型十求函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)【典例19】（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若在處的切線與x軸平行，求實(shí)數(shù)a的值；(2)是否存在極值點(diǎn)，若存在，求出極值點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【典例20】（2024·四川遂寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)若，判斷在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)，探究在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).題型十一根據(jù)函數(shù)極值（點(diǎn)）研究參數(shù)【典例21】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【典例22】（2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）對(duì)于函數(shù)，在處取極值，且該函數(shù)為奇函數(shù)，求ab=【總結(jié)提升】已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，注意以下兩點(diǎn)：(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證充分性．題型十二根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)研究參數(shù)【典例23】（2023上·江蘇淮安·高三校考階段練習(xí)）若是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【典例24】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中且．若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【總結(jié)提升】討論極值點(diǎn)有無(wú)(個(gè)數(shù))問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為討論f′(x)＝0根的有無(wú)(個(gè)數(shù))．然后由已知條件列出方程或不等式求出參數(shù)的值或范圍，特別注意：極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，而導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，要檢驗(yàn)極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)．題型十三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【典例25】（2021·全國(guó)·高考真題）函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.【典例26】（2023下·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為（其中，a，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求a，b的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【規(guī)律方法】1.求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟：第一步求函數(shù)的定義域；第二步，求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；第三步，求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)；第四步，將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．2．求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開(kāi)區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值情況，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值．3.二次求導(dǎo)！當(dāng)導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)無(wú)法判斷正負(fù)時(shí)，可令g(x)＝f′(x)再求g′(x)，先判斷g(x)＝f′(x)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定y＝f′(x)的正負(fù)號(hào)．題型十四含參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題【典例27】（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考期末）若為函數(shù)的極值點(diǎn)，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【典例28】（2022上·寧夏銀川·高二?？计谀┮阎瘮?shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【規(guī)律方法】1．由于參數(shù)的取值范圍不同會(huì)導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導(dǎo)致最值的變化，故含參數(shù)時(shí)，需注意是否分類討論．2．已知函數(shù)最值求參數(shù)，可先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，通過(guò)比較它們的大小，判斷出哪個(gè)是最大值，哪個(gè)是最小值，結(jié)合已知求出參數(shù)，進(jìn)而使問(wèn)題得以解決．題型十五根據(jù)函數(shù)的最值研究參數(shù)【典例29】（2023下·廣東江門(mén)·高二?？计谥校┖瘮?shù)（m為常數(shù)）在上有最大值，那么．【典例30】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在上的最小值為，求a的值.題型十六函數(shù)極值、最值的圖象信息問(wèn)題【典例31】（2023下·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：①是函數(shù)的極值點(diǎn)；②是函數(shù)的最小值；③在處切線的斜率小于零；④在區(qū)間上單調(diào)遞增．則正確命題的序號(hào)是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【典例32】【多選題】（2023上·廣東中山·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．為函數(shù)的極大值C．有兩個(gè)極小值 D．為的極小值【總結(jié)提升】有關(guān)給出圖象研究函數(shù)性質(zhì)的題目，要分清給的是f(x)的圖象還是f′(x)的圖象，若給的是f(x)的圖象，應(yīng)先找出f(x)的單調(diào)區(qū)間及極(最)值點(diǎn)，如果給的是f′(x)的圖象，應(yīng)先找出f′(x)的正負(fù)區(qū)間及由正變負(fù)還是由負(fù)變正，然后結(jié)合題目特點(diǎn)分析求解．題型十七函數(shù)極值與最值的綜合問(wèn)題【典例33】（2021·北京高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【典例34】（2023上·山西呂梁·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求當(dāng)a為何值時(shí)，取得最大值．【總結(jié)提升】求解函數(shù)極值與最值綜合問(wèn)題的策略(1)求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小范圍．(2)求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開(kāi)區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值情況，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到