專題13余弦定理正弦定理的應(yīng)用（5大考點(diǎn)知識(shí)串講熱考題型專題訓(xùn)練）

專題13余弦定理、正弦定理的應(yīng)用知識(shí)聚焦考點(diǎn)聚焦知識(shí)點(diǎn)1實(shí)際測(cè)量中的有關(guān)名稱、術(shù)語(yǔ)1、仰角與俯角：（1）仰角：在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)與水平線的夾角（2）俯角：在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)與水平線的夾角2、方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角（指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°）3、方位角：從正北的方向線按順時(shí)針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角知識(shí)點(diǎn)2利用解三角形解決實(shí)際問題1、測(cè)量距離問題解決辦法（1）兩點(diǎn)間不可通又不可視(如圖①)：可取某點(diǎn)C，使得A，B與C之間的距離可直接測(cè)量，測(cè)出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosγ).（2）兩點(diǎn)間可視但不可到達(dá)(如圖②)：可選取與B同側(cè)的點(diǎn)C，測(cè)出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用內(nèi)角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.（3）兩點(diǎn)都不可到達(dá)(如圖③)：在河邊測(cè)量對(duì)岸兩個(gè)建筑物之間的距離，可先在一側(cè)選取兩點(diǎn)C，D，測(cè)出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.2、測(cè)量高度問題三個(gè)注意事項(xiàng)（1）在處理有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．（2）在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò)．（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．3、測(cè)量角度問題三個(gè)注意事項(xiàng)（1）測(cè)量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義；（2）求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值；（3）在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題過程中也要注意體會(huì)正、余弦定理綜合使用的優(yōu)點(diǎn)。4、利用解三角形解決實(shí)際問題的方法步驟（1）解決方法：選擇合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問題，從而利用正、余弦定理求解。（2）應(yīng)用正、余弦定理解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟=1\*GB3①分析：理解題意，分清已知與位置，畫出示意圖；=2\*GB3②建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型中；=3\*GB3③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；=4\*GB3④檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否具有實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解?？键c(diǎn)剖析考點(diǎn)1測(cè)量距離問題【例1】（2023·廣東東莞·高一東莞市厚街中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，設(shè)兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)，測(cè)出的距離為，，則兩點(diǎn)間的距離為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，由正弦定理得，故選：C【變式11】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖所示，為了測(cè)量處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，分別在D處的北偏西15°，北偏東45°方向，再往正東方向行駛20海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（）A．海里B．海里C．海里D．海里【答案】B【解析】在三角形中，，，由正弦定理得，，在三角形中，，所以，所以，由余弦定理得海里.故選：B【變式12】（2023·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島_上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得，，，，則A、B兩點(diǎn)的距離為m．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，，所以，又因?yàn)椋?，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．【變?3】（2023·浙江嘉興·高一校考期中）為繪制海底地貌圖，測(cè)量海底兩點(diǎn)，間的距離，海底探測(cè)儀沿水平方向在，兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，，，，在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi).海底探測(cè)儀測(cè)得，，，，同時(shí)測(cè)得海里.（1）求的長(zhǎng)度；（2）求，之間的距離.【答案】（1）；（2）海里【解析】（1）如圖所示，在中，，，且海里.可得，又因?yàn)椋?，由正弦定理，可?（2）因?yàn)?，且，，可得，所以，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，即（海里）所以間的距離為海里.考點(diǎn)2測(cè)量高度問題【例2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）中國(guó)古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩(shī)人王之渙的詩(shī)作《登鸛雀樓》而流芳后世．如圖，某同學(xué)為測(cè)量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為和，在A處測(cè)得樓頂部M的仰角為，則鸛雀樓的高度約為（）A．74mB．60mC．52mD．91m【答案】A【解析】在中，，，，在中，，由，，在中，.故選：A【變式21】（2023·江蘇南京·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，小明欲測(cè)校內(nèi)某旗桿高M(jìn)N，選擇地面A處和他所在教學(xué)樓四樓C處為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)（其中A處、他所在的教學(xué)樓、旗桿位于同一水平地面）．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角，C點(diǎn)的仰角以及，從C點(diǎn)測(cè)得．已知C處距地面10m，則旗桿高（）A．12mB．15mC．16mD．18m【答案】B【解析】由題意可知，，，，所以，在中，，，所以，由正弦定理可知，，即，解得：，在直角三角形中，，，則.故選：B【變式22】（2023·陜西商洛·高一?？计谥校┤鐖D，八卦橋（圖1）是洛南縣地標(biāo)性建筑之一，它是一個(gè)八邊形人行天橋，橋的中心處建有一座五層高的寶塔（圖2），晚上寶塔上的霓虹燈流光溢彩非常美麗.某同學(xué)為了測(cè)量寶塔的高度，在塔底部同一水平線上選取了C，D兩點(diǎn)，測(cè)得塔的仰角分別為和，C，D間的距離是12米.則寶塔的高度AB是（）米.（結(jié)果保留根號(hào)）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)寶塔的高度米，因?yàn)椋拭?，而米，故米，又，所以，解得（米），即寶塔的高度AB是米，故選：D【變式23】（2023·山東青島·高一校考期中）如圖，為了測(cè)量出到河對(duì)岸鐵塔的距離與鐵搭的高，選與塔底同在水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)與.在點(diǎn)測(cè)得塔底在北偏東方向，然后向正東方向前進(jìn)米到達(dá)，測(cè)得此時(shí)塔底在北偏東方向.（1）求點(diǎn)到塔底的距離；（2）若在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，求鐵塔高.【答案】（1）米；（2）米【解析】（1）由題意可知，，，故，在中，由正弦定理，得，即，所以，（米）因此，點(diǎn)D到塔底B的距離BD為米.（2）在中，由正弦定理，得，所以，.在中，.所以，鐵塔高為米.考點(diǎn)3測(cè)量角度問題【例3】（2023·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救，甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距10nmile的C處的乙船．乙船也立即朝著漁船前往營(yíng)救，則＝（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，由余弦定理得，，∴，由正弦定理得，，即，解得．故選：A．【變式31】（2023·湖北武漢·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知甲船在海島的正南A處，海里，甲船以每小時(shí)4海里的速度向正北航行，同時(shí)乙船自海島出發(fā)以每小時(shí)6海里的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)航行一小時(shí)后，甲船在乙船的（）A．北偏東30°方向B．北偏東15°方向C．南偏西30°方向D．南偏西15°方向【答案】C【解析】由題，1小時(shí)后，甲船來到C處，則，則.又由題可知，此時(shí)，乙船來到D處，，結(jié)合BD是北偏東60°方向，則.又，則，即此時(shí)乙在甲的北偏東30°方向，甲在乙的南偏西30°方向.故選：C【變式32】（2023·河南鄭州·高一校聯(lián)考期中）在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏西75°的方向，與A距離2海里的B處有一艘走私船，在A處北偏東45°方向，與A距離（）海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船．此時(shí)，走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B向北偏西30°方向逃竄，問：（1）剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí)，緝私船距離走私船多遠(yuǎn)？在走私船的什么方向？（2）緝私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】（1）緝私船距離走私船海里，在走私船的正東方向（2）緝私船沿北偏西的方向能最快追上走私船【解析】（1）由題意，可得，則，在中，由正弦定理，即，解得，因?yàn)椋?，所以為水平線，所以剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí)，緝私船距離走私船海里，在走私船的正東方向．（2）設(shè)經(jīng)過時(shí)間小時(shí)后，緝私船追上走私船，在中，可得，由正弦定理得，因?yàn)闉殇J角，所以，所以緝私船沿北偏西的方向能最快追上走私船．【變式33】（2023·江蘇鹽城·高一?？计谥校┤鐖D，某運(yùn)動(dòng)員從市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時(shí)的速度向東進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練，長(zhǎng)跑開始時(shí)，在市南偏東方向距市的處有一艘小艇，小艇與海岸距離為，若小艇與運(yùn)動(dòng)員同時(shí)出發(fā)，要追上這位運(yùn)動(dòng)員.（1）小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員？（2）求小艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與的夾角.【答案】（1）；（2）【解析】（1）如圖，設(shè)小艇以每小時(shí)的速度從處出發(fā)，沿方向行駛，小時(shí)后與運(yùn)動(dòng)員在處相遇，在中，，故由余弦定理求得，則，整理得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，故.即小艇至少以每小時(shí)的速度從處出發(fā)才能追上運(yùn)動(dòng)員.（2）當(dāng)小艇以每小時(shí)的速度從處出發(fā)，經(jīng)過時(shí)間小時(shí)追上運(yùn)動(dòng)員，故，又，由正弦定理得，解得，故.即小艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與的夾角為.考點(diǎn)4判斷三角形形狀【例4】（2023·遼寧本溪·高二?？计谥校┰谥?，若，則是（）A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形【答案】C【解析】因?yàn)?，由正弦定理得，設(shè)（），則，，由余弦定理得，則為銳角，又為最大內(nèi)角，故為銳角三角形.故選：C【變式41】（2023·甘肅天水·高一天水市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，若，則的形狀是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定【答案】C【解析】設(shè)中，角對(duì)應(yīng)的邊分別是，由正弦定理得:，即，所以，因?yàn)?，所以為鈍角，即為鈍角三角形，故選:C.【變式42】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，則的形狀是（）A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】根據(jù)正弦定理和余弦定理可得：，整理可得，即，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)為直角三角形，故選：D【變式43】（2023·河南·高二濟(jì)源市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，若，，則的形狀是（）A．鈍角三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由，得，而，又，所以.，由正弦定理得，即，得，所以或，得或（舍去），所以，即為等邊三角形，故選：B考點(diǎn)5三角形中最值范圍問題【例5】（2023·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）如圖，在扇形中，半徑，圓心角，是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是半徑上的動(dòng)點(diǎn)，.則面積的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)，則，，，，，，在中，由正弦定理得：，，，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.故選：B.【變式51】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，由余弦定理得，且的面積，由，得，化簡(jiǎn)得，又，，聯(lián)立得，解得或（舍去），所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，設(shè)，其中，所以，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，即的取值范圍是．故選：C.【變式52】（2023·湖南岳陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，銳角、的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為，.已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.（1）求的值；（2）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.若，且，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）；（2）6【解析】（1）因?yàn)?，是銳角，所以，在第一象限，又因?yàn)?，在單位圓上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，，所以，.故.（2）由（1）中結(jié)論可得，又，∴，由余弦定理可得，即，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，即當(dāng)為等邊三角形時(shí)，周長(zhǎng)最大，最大值為6.【變式53】（2023·山東德州·高一統(tǒng)考期末）從①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答．在銳角中，分別是角的對(duì)邊，若________________．（1）求角的大??；（2）求取值范圍；（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，在所在平面內(nèi)取一點(diǎn)（與在兩側(cè)），使得線段，求面積的最大值．（注：若選擇多個(gè)條件，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）若選①：由正弦定理得，即因?yàn)椋?，所以，整理得，又因?yàn)?則，所以若選②：因?yàn)?，由正弦定理得，即，所以，由，得，所以，即，因?yàn)?，所以；若選③：因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以又因?yàn)椋?，因?yàn)椋?；?）在銳角中，由（1）得，，所以，由，所以所以的取值范圍為.（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，，解得；在中，令，則，所以；又，所以，所以．所以，而，故當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以面積的最大值為．過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（2023·福建福州·高一校聯(lián)考期中）的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則的形狀是（）A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形【答案】D【解析】因?yàn)椋?，整理得，又，所以，即，即，又，所以，得，因?yàn)?，所以，所以，，故為等腰直角三角?故選：D2．（2023·江蘇揚(yáng)州·高一揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，若，則的形狀為（）A．鈍角三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由二倍角公式可得，由正弦定理可得，由余弦定理邊角互化可得：，化簡(jiǎn)得，因此或，故為直角三角形，故選：B3．（2023·遼寧鞍山·高一校考期末）如圖，小明想測(cè)量自己家所在樓對(duì)面的電視塔的高度，他在自己家陽(yáng)臺(tái)M處，M到樓地面底部點(diǎn)N的距離為，假設(shè)電視塔底部為E點(diǎn)，塔頂為F點(diǎn)，在自己家所在的樓與電視塔之間選一點(diǎn)P，且E，N，P三點(diǎn)共處同一水平線，在P處測(cè)得陽(yáng)臺(tái)M處、電視塔頂處的仰角分別是和，在陽(yáng)臺(tái)M處測(cè)得電視塔頂F處的仰角，假設(shè)，和點(diǎn)P在同一平面內(nèi)，則小明測(cè)得的電視塔的高為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在中，，在中，，，則，由正弦定理，可得，在中，(m).故選：A.4．（2023·江蘇南京·高一南京師大附中?？茧A段練習(xí)）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為，半徑為的球，若地球表面上的觀測(cè)者與某顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星處于相同經(jīng)度，且能直接觀測(cè)到，設(shè)點(diǎn)的維度（與赤道平面所成角的度數(shù)）的最大值為，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)表示衛(wèi)星，過作截面，截地球得大圓，過作圓的切線，，線段交圓于，如圖，則，，，，則.故選：B5．（2023·云南曲靖·高一曲靖一中?？茧A段練習(xí)）冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來源，結(jié)合中國(guó)書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象、新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求，該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△ABD，測(cè)得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若點(diǎn)C恰好在邊BD上，請(qǐng)幫忙計(jì)算sin∠ACD的值（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，在中，由余弦定理得；因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理所以，解?故選：D6．（2023·山東青島·高一統(tǒng)考期中）我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中提出了一種求三角形面積的方法——三斜求積術(shù)：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積”．也就是說，在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，那么的面積，若，且，則面積的最大值為（）A．B．C．6D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理得，又，∴，所以?dāng)即時(shí)，面積的最大值為.故選：B7．（2023·云南保山·高一?？计谥校┮阎娜齻€(gè)內(nèi)角分別為，，，若，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，由正弦定理得：，化簡(jiǎn)得：，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而可得為銳角，所以：，得：，則：，所以：，所以：的最大值為，故A項(xiàng)正確，故選：A.8．（2023·江蘇連云港·高一連云港高中?？计谥校┮阎J角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若且外接圓半徑為，則△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，由正弦定理的又因?yàn)?，可得，所以，即，因?yàn)?，可得，可得，即，解得或（舍去），因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)橥饨訄A半徑為，所以，又由，因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以且，解得，可得，所以，所以.故選：C.二、多選題9．（2023·海南·高一統(tǒng)考期末）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列說法正確的是（）A．若，，邊上的高為，則為等腰三角形B．若，，，則為直角三角形C．若，，則為直角三角形D．若，則為銳角三角形【答案】ACD【解析】對(duì)于A：作邊上的高為，因?yàn)?，，在中，由正弦定理可得，得，因?yàn)?，所以，所以，A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，，所以由正弦定理可得，解得，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，三角形為鈍角三角形，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，，所以又，所以，即，所以，因?yàn)椋裕?，，所以或，?dāng)時(shí)，，所以，所以，C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)榻茿，B，C最多有一個(gè)鈍角，所以最多有一個(gè)為負(fù)數(shù)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，D正確.故選：ACD10．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東，距離為nmile；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為nmile．貨輪由處向正北航行到處時(shí)，再看燈塔在南偏東，則下列說法正確的是（）A．處與處之間的距離是B．燈塔與處之間的距離是C．燈塔在處的西偏南D．在燈塔的北偏西【答案】AC【解析】在中，由已知得，，則，由正弦定理得，所以A處與D處之間的距離為，故A正確；在中，由余弦定理得，又，解得．所以燈塔C與D處之間的距離為，故B錯(cuò)誤；，，燈塔C在D處的西偏南，故C正確；燈塔B在D的南偏東，D在燈塔B的北偏西，故D錯(cuò)誤；故選：AC11．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且，則下列說法正確的是（）A．若B+C=2A，則的外接圓的面積為B．若，且有兩解，則b的取值范圍為C．若C=2A，且為銳角三角形，則c的取值范圍為D．若A=2C，且，為的內(nèi)心，則的面積為【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理，得，即，因?yàn)椋?，且，所?選項(xiàng)A：若，則，所以的外接圓的直徑，所以，所以的外接圓的面積為，選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：由余弦定理得，將此式看作關(guān)于的二次方程，由題意得此方程有兩個(gè)正解,故，解得b，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由正弦定理，得，即，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，所以，所以，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以由正弦定理，得，即，所以，即，所以，所以，又因?yàn)?，所以，，，，即是直角三角形，所以?nèi)切圓的半徑為，所以的面積為，選項(xiàng)D正確，故選：ACD.12．（2023·福建廈門·高一廈門第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，在上，為的角平分線，為中點(diǎn)，則（）A．B．的面積為C．D．【答案】ABD【解析】如圖：在三角形中，由余弦定理，，故，故，正確；由余弦定理可知：，，平分，，，在三角形中，由正弦定理可得：，故，故不正確.在中，由余弦定理得：，，故正確；故選：三、填空題13．（2023·江蘇無錫·高一南菁高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，位于我國(guó)南海海域的某直徑為海里的圓形海域上有四個(gè)小島，已知小島B與小島C相距為5海里（小島的大小忽略不計(jì)，測(cè)量誤差忽略不計(jì)），經(jīng)過測(cè)量得到數(shù)據(jù)：．小島C與小島D之間的距離為海里．【答案】【解析】由于四點(diǎn)共圓，所以，由正弦定理可知，在中，，解之得，顯然不合題意.14．（2023·河北保定·高一保定一中?？茧A段練習(xí)）如圖，為測(cè)量一座大廈AB的高度，當(dāng)小明在C處時(shí)測(cè)得樓頂A的仰角為60°，接著沿BC方向行走30m至D處時(shí)測(cè)得樓頂A的仰角為30°，則大廈AB的高度是m．【答案】【解析】由已知，則，，則在直角三角形中，.15．（2023·廣東東莞·高一東莞中學(xué)松山湖學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的緝私船奉命以海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30°的方向逃竄，緝私船要最快追上走私船，所需的時(shí)間約是分鐘．（注：）【答案】15【解析】設(shè)緝私艇最快在處追上走私船，追上走私船需t小時(shí)，則，，∴在中，已知,，，由余弦定理得，，即，由正弦定理得，則，，∴為東西走向，，在中，由正弦定理得，則，且為銳角，，∴，即，∴小時(shí)，即分鐘.16．（2023·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三角形中，若，，，則的長(zhǎng)度的最大值為.【答案】6【解析】，由正弦定理得，由余弦定理得，代入上式中，，整理可得，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，由于，所以，因?yàn)?，所以，又此時(shí)，故為等邊三角形，設(shè)，那么由余弦定理得，即，故，在中，由正弦定理得，即，整理得，因?yàn)椋詾殇J角，那么，則，在中，由余弦定理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為6.四、解答題17．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如下圖所示，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路經(jīng)過三個(gè)景點(diǎn)、、.景區(qū)管委會(huì)又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn).經(jīng)測(cè)量景點(diǎn)位于景點(diǎn)的北偏東方向處，位于景點(diǎn)的正北方向，還位于景點(diǎn)的北偏西方向上.已知.（1）景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)向景點(diǎn)修建一條筆直的公路.求線段的長(zhǎng)度（長(zhǎng)度單位精確到0.1km）；（2）求線段的長(zhǎng)度（長(zhǎng)度單位精確到0.1km）（）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）依題意可得，，，在中由余弦定理，即，即，解得（舍去）或，所以線段的長(zhǎng)度約為.（2）在中，，∴，∴，在中，，∴，，∴．又，在中由正弦定理，即，解得，所以線段的長(zhǎng)度約為.18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測(cè)對(duì)面山頂上的一座5G基站AB，已知基站高，該同學(xué)的眼睛到地面的距離為1.5m，該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測(cè)得基站底部B的仰角為，測(cè)得基站頂端A的仰角為.求山高BE（結(jié)果保留整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：，，，.【答案】【解析】如圖所示，由題意得，，在中，由正弦定理得，即，所以，在直角中，可得，即，所以，所以山高.19．（2023·四川成都·高一成都市新都一中校聯(lián)考期末）某海岸的A哨所在凌晨1點(diǎn)15分發(fā)現(xiàn)哨所北偏東方向20nmile處的D點(diǎn)出現(xiàn)可疑船只，因天氣惡劣能見度低，無法對(duì)船只進(jìn)行識(shí)別，所以將該船雷達(dá)特征信號(hào)進(jìn)行標(biāo)記并上報(bào)周圍哨所．早上5點(diǎn)15分位于A哨所正西方向20nmile的B哨所發(fā)現(xiàn)了該可疑船只位于B哨所北偏西方向60nmile處的E點(diǎn)，并識(shí)別出其為走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30nmile處C點(diǎn)的