河南省濟(jì)洛平許2023屆高三第四次質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

濟(jì)洛平許2022-2023學(xué)年高三第四次質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)（理科）

（試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

已知集合2則（）

1.U=R,A=M-4X+3≤0},B={Λ∣l<log2Λ<2}t

A.A?JB=BB.Ac8="x［2<x<3}

C.&6）A=UD.（施）［（A）=U

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足z2+z+I=0,則IZl=（）

A.1B.?C.6D.1或6

3.在區(qū)間［-2,2］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)4則直線y=x+b與圓/+V=;有公共點(diǎn)的概率是（）

A.—B."C.?D.-

4824

4.2022年，中央網(wǎng)信辦舉報(bào)中心受理網(wǎng)民舉報(bào)違法和不良信息1.72億件.下面是2021年、2022年連續(xù)兩

-≡-2O221473.71233.2125?616029I$34.3∣4<?.71441416017ISUR14003IIKX.31462Ji

A.2022年比2021年平均每月舉報(bào)信息數(shù)量多B.舉報(bào)信息數(shù)量按月份比較，8月平均最多

C兩年從2月到4月舉報(bào)信息數(shù)量都依次增多D.2022年比2021年舉報(bào)信息數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差大

22

5.雙曲線鼻一方=1（。>0/>0）的左焦點(diǎn)6關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)P在另一條漸近線上，該雙曲線

的離心率為（）

A.√2B.√3C.2D.√5

6.下述四個(gè)結(jié)論：

①命題“若”=0,則M=0”的否命題是“若a=0,則，活彳0”；

②尤2—5x—6=0是戶一1的必要而不充分條件；

③若命題"寸’與命題"p或都是真命題，則命題g一定是真命題；

④命題'qχ0eR,ln（??+l）2Λ0”的否定是”Vx∈R,ln（x+l）≤x”.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.@（3）C.④D.②③④

I2

7.已知/（x）+l在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).若正實(shí)數(shù)”，匕滿足了（α-4）+/（3=-2,則一+7最

ab

小值為（）

A.3H——B.?C.3+2^2D.?-+V2

424、2

8.已知數(shù)列｛%｝滿足七"=2〃,4=1,則4o23=（）

?！?1-an

A.2023B.2024C.4045D.4047

9.已知α=sinθ.9,Z?=0.9,c=e"",d=cos0.9,則α,b,c,d的大小關(guān)系是（）

A.a>b>c>dB.b>Oa>dC.c>b>a>dD.b>a>d>c

10.在正方體A8C?！?4GA中，”,^^分別為人。，GA的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

①"N〃平面A4lC∣C；②MN③直線MN與AG所成角余弦值為逑

3

④過(guò)M,N,Bl三點(diǎn)的平面截正方體ABCD-ABCDl所得的截面為梯形

A.1B.2C.3D.4

11.若函數(shù)/（x）=2InX-/在[J∑,e]上存在兩個(gè)零點(diǎn)，則α的取值范圍是（）

^ln2「21、C2In2^∣Γ1

?'l,?`ejB?旨力C-[p^,,-J0-[P^,eJ

12.P為拋物線ny2=2pχ（p>0）上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn).如圖,M（3,2）,|尸尸∣+∣PM的最小值

為4,直線/：y=x與拋物線「交于點(diǎn)M點(diǎn)AB在線段ON上，點(diǎn)C,。在拋物線「上.若四邊形ABC。為

A.6-4返B.6&—8C.12-8√2D.12√2-16

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知(2x-l)”的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開式中χ2的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

14.已知向量e∣=(cosα,sinα),e2=(cos/?,sin,m=(θ,l),若則/e2=.

15.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，物,｝是等比數(shù)列且或＞0,cn=an+bl,,數(shù)列｛q,｝的前〃項(xiàng)和

為T,，若S]4=7(如j+3),仇=片=16,則Z)=.

16.三棱錐P—ABC四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，已知P到平面ABC的距離為7,ABJ.AC,

BC=6.記Rl與平面ABC所成的角為6,則Sine的取值范圍為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

222

17.-ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,c=2(?cosC-?),c+a=b+y∕jac,b=2.

(1)求A；

TT

(2)若N在線段BC上且和B,C都不重合，ZMAN^-,求面積的取值范圍.

18.為進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的文明養(yǎng)成教育，推進(jìn)校園文化建設(shè)，倡導(dǎo)真善美，用先進(jìn)人物的先進(jìn)事跡來(lái)感動(dòng)師

生，用身邊的榜樣去打動(dòng)師生，用真情去發(fā)現(xiàn)美，分享美，弘揚(yáng)美，某校以爭(zhēng)做最美青年為主題，進(jìn)行“最

美青年”評(píng)選活動(dòng)，最終評(píng)出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生。學(xué)校準(zhǔn)備從這10位“最美青年”

中每次隨機(jī)選出一人做事跡報(bào)告.

(1)若每位“最美青年”最多做一次事跡報(bào)告，記第一次抽到女生為事件A,第二次抽到男生為事件3,求

P(B),P(B∣A);

(2)根據(jù)不同需求，現(xiàn)需要從這10位“最美青年”中每次選1人，可以重復(fù)，連續(xù)4天分別為高一、高

二、高三學(xué)生和全體教師做4場(chǎng)事跡報(bào)告，記這4場(chǎng)事跡報(bào)告中做報(bào)告的男生人數(shù)為X,求X的分布列和

數(shù)學(xué)期望.

19.如圖，四邊形ABe。為菱形，EDlnABCD,FBED,BD=6ED=26FB?

(1)證明：平面E4C，平面E4C；

(2)若NBAT)=60°,求二面角R—AE—C的大小.

20.橢圓C：+l(α>人>0)的短軸長(zhǎng)為2,離心率為，過(guò)點(diǎn)尸(3,0)的直線/與橢圓C交于

7F2

M,N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2)橢圓C上是否存在點(diǎn)。，使得直線M。，NQ與直線χ=3分別交于點(diǎn)A,B,且∣Q4∣=∣P8∣?若存

在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.已知函數(shù)/(x)=ejvlnx,g(x)=(7?+%)ev-X

2

(1)求/(χ)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若方程/(χ)=g(χ)的兩個(gè)解分別為牛芻，求證：X1X2<1.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

f21

22.在直角坐標(biāo)系XOy中，曲線G的參數(shù)方程為I?C為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半

>=T

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(2,兀)，曲線C,的極坐標(biāo)方程為Q=-曲線G，C的交

cos/9

點(diǎn)為P∣,P2■

(1)求G和G的直角坐標(biāo)方程；

(2)圓經(jīng)過(guò)4，鳥，歷三點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的兩條直線4，，2分別交圓G于A，B和C,。四點(diǎn)，求證:

?OA?-?OB?=?OC?-?OD?.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)g(x)=∣xT∣最小值為加，/(%)=g(x)+W的最小值為〃.實(shí)數(shù)a,b,C滿足

a+b+c=m,ObC=H,aib,c>0.

(1)求〃?和〃；

(2)證明：a+b<-^4-

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合U=R,A=Mi+3≤0},B={x∣l<bg2x<2},則()

A.ADB=JBB.ACB={x∣2<xW3}

C.(”)A=UD.幽U(M=U

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合A、B,利用幾何的基本計(jì)算逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?={x*-4χ+3Wθ}={x∣l≤x≤3},B=(Λ∣1<Iog2x<2}=?［Λ∣2<x<4},

所以，電A={x∣x<l或x>3},

所以，AuB={x∣l<x<4}≠β,A錯(cuò)；

AC8={x∣2<x≤3},B對(duì)；

gB={Hx<2或x≥4},則(eB)uA={xk<3或x≥4},C錯(cuò)；

(稠)u(UA)={X∣X<2或XN3}HU,D錯(cuò).

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足z2+z+l=0,則IZl=()

A.1B.?C.垃D.1或企

【答案】A

【解析】

a1+a+?-b2=Oa~2

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得《，進(jìn)而得〈?,由模長(zhǎng)公式即可求解.

2ab+b=0?2=3

,^4

【詳解】設(shè)z=α+0i,(α,beR),

.?.(?+?i)2+?+?i+1=0,:.a2+a+?-b2+(2ab+6)i=0,

1

a=——

α~+α+l—b~—02

2ab+b-0b-

4

：.\z\-?∣a2+b2=1.

故選：A

3.在區(qū)間［-2,2］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)6,則直線y=x+b與圓V+y2=g有公共點(diǎn)的概率是（）

Ag1

B.在cD.-

48??4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離與半徑的關(guān)系，即可由幾何概型的計(jì)算公式求解.

【詳解】圓/+V=1的圓心為（0,0）,z?=也，故圓心到直線y=χ+b的距離為d=±L,

22√2

若直線y=x+A與圓Y+y2=:有公共點(diǎn)，則d=也≤Y2=-l≤0≤l,

2√22

由幾何概型可知：在區(qū)間［-2,2］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)4則直線y=χ+b與圓/+y2=g有公共點(diǎn)的概率是

IfJ

2-(-2)2,

故選：C

4.2022年，中央網(wǎng)信辦舉報(bào)中心受理網(wǎng)民舉報(bào)違法和不良信息1.72億件.下面是2021年、2022年連續(xù)兩

年逐月全國(guó)網(wǎng)絡(luò)違法和不良信息舉報(bào)受理情況數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)圖，下面說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

-?-2O221473.71233.2I2SN6IM19ISMJI49S71441.416017ISlXK1400.31188.31462X

A.2022年比2021年平均每月舉報(bào)信息數(shù)量多B.舉報(bào)信息數(shù)量按月份比較，8月平均最多

C.兩年從2月到4月舉報(bào)信息數(shù)量都依次增多D.2022年比2021年舉報(bào)信息數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差大

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)逐項(xiàng)計(jì)算得出結(jié)論.

【詳解】對(duì)于A,由圖表可以看出2022年的數(shù)據(jù)基本在2021年之上，但7月份，8月份和11月份2021年

的數(shù)據(jù)較2022年大，

其差距與1月份，2月份和12月份基本相等，所以2022年的月平均數(shù)要大一些，正確；

對(duì)于B,從2年的角度看，8月份平均最多，正確；

對(duì)于C,從圖表可以看出，從2月份到4月份，兩條曲線都是遞增的，正確；

對(duì)于D,從圖表可以看出2022年的數(shù)據(jù)更加集中，即標(biāo)準(zhǔn)差更小，錯(cuò)誤；

故選：D.

22

5.雙曲線鼻一方=l(α>0,b>0)的左焦點(diǎn)6關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)P在另一條漸近線上，該雙曲線

的離心率為()

A.√2B.√3C.2D.√5

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得其中一條漸近線的傾斜角為g,可得2=有即可求出.

【詳解】由題結(jié)合雙曲線對(duì)稱性可得其中一條漸近線的傾斜角為W,

則2=6e=￡=.11+(—=2.

aa?/IaJ

故選：C.

6.下述四個(gè)結(jié)論：

①命題“若”=0,則出?=0"的否命題是“若α=O,則必H0”；

②V—5x—6=0是戶一1的必要而不充分條件；

③若命題“W與命題"°或都是真命題，則命題4一定是真命題；

④命題“HxocR,ln(j?+l)≥%)”的否定是”Vx∈R,ln(x+l)≤x”.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①②B.@(3)C.④D.②③④

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)否命題，即可判斷①；解出/一5犬一6=0的解，即可判斷②；根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞，即可判斷

③；根據(jù)存在量詞命題的否定，即可判斷④.

【詳解】對(duì)于①，根據(jù)否命題的概念，可知“若α=0,則"=0”的否命題是“若α≠0,則

ab≠(Γ,故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，解Y—5x—6=0可得，X=-I或x=6,所以Y—5x—6=0是X=-I的必要而不充分條件，故

②正確；

對(duì)于③，因?yàn)榱檎婷}，所以命題。為假命題；

因?yàn)槊}"P或是真命題，命題P為假命題，所以命題q為真命題.

故③正確；

對(duì)于④，根據(jù)存在量詞命題的否定可知，"≡?wR,In(%+l)NXo”的否定是“TxeR,

1Π(Λ+1)<X,,,故④錯(cuò)誤.

綜上所述，②③正確.

故選：B.

I9

7.已知/(x)+l在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).若正實(shí)數(shù)α,匕滿足/(。-4)+/(3=—2,則一+丁的最

ab

小值為()

A.-4-B.—k5/2C.3+2-J^?D.—K

424、2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得a—4=—8=α+b=4,進(jìn)而根據(jù)基本不等式即可求解.

【詳解】由于〃x)+l為奇函數(shù)，所以〃x)+l+((-x)+l=0n∕(x)+((T)=-2,

由/(a-4)+∕(8)=-2得a-4=—b=a+Z?=4,

5,12If12、/1Lhα?1∕-?3√2

由于α>On,b>nO,所rrκ以l一+—=——+-(a+b]^-?3+—+—≥-∣n3+2√r2)=-+—,

abbΓ，4IazJ4、>42

當(dāng)且僅當(dāng)α=匕時(shí)取等號(hào)，故工+?的最小值為之+也，

ab42

故選：A

L

8.已知數(shù)列｛q｝滿足&詈=2〃，4=1,則“2023=()

an+?~ttn

A.2023B.2024C.4045D.4047

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系化簡(jiǎn)后，由累乘法直接求生023?

【詳解】?4a+%?=2",

--an+x+an=2n(an+l-an)

即(I-2n)αn+l=(-2H-1)?,

a..2〃+1

可得才n=罰

.?,a2o23=?x?×?.χ...χAx?×ɑι

。2022%021。2020。2。1

40454043404153

____X____X____X—X—X1=4045.

40434041403931

故選：C.

9.已知α=sin0.9,b=0.9,c=e"",d=cos0.9,則4,b,c,d的大小關(guān)系是()

A.a>b>c>dB.b>oa>dC.c>b>a>dD.b>a>d>c

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)/(x)=e'-x-l?g(x)=x—sinx,y=sinx—cosx,利用導(dǎo)數(shù)探討

單調(diào)性比較大小作答.

【詳解】令函數(shù)/(x)=e*-x-l,x<0,求導(dǎo)得/'(x)=e*-l<0,函數(shù)/*)在(一8,0)上遞減,

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)>∕(0)=0,則/(—0.1)=e^o∣-0.9>0,于是e<∣>0.9,即c>力，

令函數(shù)g(x)=x-SinX,x>0,求導(dǎo)得g'(x)=I-CosxNO,函數(shù)g(x)在(0,+8)上遞增，

當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>g(O)=O,則g(0.9)=0.9-SinO.9>0,于是0.9>sinθ.9,即，，>“，

當(dāng)x∈（巴,巴）時(shí)，y=Sinx-COsx=V2sin（x--）,x--e（θ,?）,則V∑sin（x一色）>O,

424444

ππ

即SinX>cosx,而一<0.9<一,于sin0.9>cos0.9?即a>d,

42

所以〃，h,c,d的大小關(guān)系是c>Z?>a>d,C正確.

故選：C

10.在正方體ABC。一ABCA中，M,N分別為AD,GA的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

①M(fèi)N〃平面A4lC。；②MNLBIC；③直線MN與Aa所成角的余弦值為漢1

3

④過(guò)M,N,d三點(diǎn)的平面截正方體ABCD-AtBeDl所得的截面為梯形

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)直線與平面平行的判定可判斷①；根據(jù)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)可判斷②；通過(guò)平行線平

移可確定直線MN與AG所成角，然后通過(guò)余弦定理可求得角的余弦值，進(jìn)而判斷③；畫出截面圖可判斷

④

【詳解】連接B。，交AC于點(diǎn)。，則。是AC的中點(diǎn)，連接。M,0C∣,由于M,0,N是中點(diǎn)，可得

OM/ICD/IC?N,OM=*CD=C?N,

所以四邊形MoCN是平行四邊形，所以O(shè)eJ/MN,

又OClU平面A&G。，MNN平面A4CC，所以MN〃平面A4。。，即①正確；

______________KDl

By------------%

連接BG,AD∣,則BGl.qc,在正方體ABCD-A4GA中，平面BCG4,又BCU平面

BeClBI,所以AB,

又BGrlA8=6,BGU平面A6C∣0,ABU平面ABGQ,所以8（，平面ABC∣2,若

MN1B1C,則MN〃平面ABGA或MNU平面ABGA,而MN與平面ABGA相交，所以MN與

BC不垂直，即②錯(cuò)誤；

由于。6〃MN,所以NOaA為直線MN與AG所成角(或補(bǔ)角),

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,

)

則AO=J5,AG=2√3,OCl=J^,所以由余弦定理得CoSNOclA=ACi^^"=半,即③

正確；

因?yàn)槠矫鍭BCO與平面4耳G。平行，則過(guò)",N,用三點(diǎn)的截面與這兩個(gè)平面的交線平行，由于其中一

條交線是用N,另一交線過(guò)點(diǎn)M,所以在平面ABCC)內(nèi)作ME與BlN平行(E是靠近A的四等分點(diǎn))，

7

連接用E,同理作出N尸與與E平行(JF是靠近。的三等分點(diǎn))，從而得到截面M∕N8∣E,可知截面是五

邊形，即④錯(cuò)誤；

綜上，正確的個(gè)數(shù)是2個(gè).

故選：B.

11.若函數(shù)/(x)=2InX-加在［J5,e］上存在兩個(gè)零點(diǎn)，則α的取值范圍是()

【答案】A

【解析】

【分析】分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)函數(shù)的單調(diào)性及最值，數(shù)形結(jié)合得解.

【詳解】函數(shù)/(刈=21門-"在［6'目上存在兩個(gè)零點(diǎn)，

即α=4g在［√∑,e］上有2個(gè)解，

即g(x)=2詈與丁=。的圖象在［夜,e］上有2個(gè)交點(diǎn)，

gG)=2(ITnx),由g<χ)>o可得0<χ<6，函數(shù)單調(diào)遞增，

X'

故6<x<e時(shí)，g'(x)<O,函數(shù)單調(diào)遞減，

所以g(x)maχ=g(五)=Lg(忘)=ln√∑=乎,g(e)=2,

e2e^

由/>2時(shí)，2'>/知，2/>七2)2,即e21n2>4,可得寫>/，

作出y=g(χ),y=α圖象，如圖,

由圖象可知，當(dāng)電2≤α<!時(shí)滿足條件.

2e

故選：A

12.P為拋物線Γ?y=2pχ(p>0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn).如圖，M(3,2),I尸目+JPMl的最小值

為4,直線Ay=X與拋物線「交于點(diǎn)N,點(diǎn)A,3在線段QV上，點(diǎn)C,。在拋物線『上.若四邊形ABCo為

菱形，且A￡>_LX軸，則IABl=()

A.6-40B.6√2-8C.12-8√2D.12√2-16

【答案】D

【解析】

【分析】由拋物線的定義，得到點(diǎn)P,E,M三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)|圖+IaMl取得最小值4,求得〃=2,得

到拋物線方程為V=4x,設(shè)4人根),8(〃,")，求得C(〃,2?)和。(〃?,2詬)，根據(jù)ABC。為菱形，

列出方程組求得J￡=4+20或而=20一2,進(jìn)而求得IABl的長(zhǎng).

【詳解】作出拋物線V=2px的準(zhǔn)線方程χ=-?^,過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為E，

因?yàn)?(3,2),由拋物線的定義，可得IP產(chǎn)∣+∣PMI=IP目+∣PM∣,

當(dāng)點(diǎn)P,E,M三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)I陽(yáng)+1PM取得最小值，最小值為3+5=4,

可得〃=2,所以拋物線方程為V=4χ,

因?yàn)锳,B在直線/:y=x上，可設(shè),

可得直線AD和BC的方程分別為X="和X=/2,

聯(lián)立方程組12，解得y=2赤，SPZ)(m,2√^),同理可得C(22?)

[y=4x

2-∕rn-m=J∑(zz-m)

2(y[n-y∕m)9可得+6=2，即〃=(2-J^)。

---------------=1

、n-m

代入2J五-m=J5(〃-m),可得2J/-m=?∣2?(2-Vm)2-?∣2m,

整理得m-(4√2+2)√m+4√2=(),其中[一(4JΣ+2)]2-4×4√2=36>0,

解得-Jm=4。十,所以=4+2JΣ或?[m=2-J1-2，

2

因?yàn)?=2-J即J^?<2,

所以Jj?=2??^^-2,可得Jj^=4—2-^^,

所以IABl=應(yīng)(〃-W)=I2&-16.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知（2x-l）”的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開式中/的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【答案】60

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和可得2"=64,解出〃，結(jié)合通項(xiàng)公式計(jì)算即可求出爐的系

數(shù).

【詳解】由題意知，

二項(xiàng)式系數(shù)之和2"=64=〃=6,

所以卻=Cg廣（Ty=（T）Tga廣

所以6—廠=2=廠=4,

所求Y的系數(shù)為26-4C：=60.

故答案為：60.

14,已知向量q=(cosα,sine),e2=(cos/7,sin,Zn=(0,1),若=m，則e/e?=-

【答案】一,##-0.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量相等可得CoSa+cos尸=0,Sina+sinQ=l,兩式平方相加結(jié)合數(shù)

量積的坐標(biāo)表示，即可得答案.

【詳解】由題意e∣+e2=加可知(COSa,sinα)+(CoS耳,sin⑶=(0,1),

即CoSa+cos尸=0,Sina+sinβ=?,

將兩式平方相加可得COSaCOS/7+sinαsinβ?-?,

故e∣?e2=COSaCOS尸+sinαsinβ=-g,

故答案為：—

2

15.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，｛〃,｝是等比數(shù)列且包>0,cn=an+bn,數(shù)列｛c,,｝的前〃項(xiàng)和

為T.，若S∣4=7(4+3),t>5=b；=16,則4=.

【答案】538

【解析】

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛對(duì)｝的公差為d,等比數(shù)列出｝的公比為4,由已知可得%=3,q=2,b∣=l,再

利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式計(jì)算可得答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列｛a｝的公比為4，且4>0,

因?yàn)閍="=16,所以

若Sμt=7(α∣o+3),則14q+^^d=7(4+9d+3),可得%=3,

若4=16,則=(4。)4=16,可得q=2,4=l,

因?yàn)椋?%+"，

所以<=￡+。2++G=(4+&++<?)+(Z?]+b2++4)

=5x9+4(T1-29

2l-q1-2

1-29

=3x9+------=538.

1-2

故答案為：538.

16.三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，已知P到平面ABC的距離為7,ABlAC,

BC=6.記PA與平面ABC所成的角為。，則Sinθ的取值范圍為.

回性叫

【解析】

【分析】設(shè)F為三棱錐P—ABC外接球的球心，E為一ABC外接圓的圓心，過(guò)點(diǎn)尸作QW，平面ABC,

M為垂足，作尸G_LPM,垂足為G,根據(jù)￡M—E4≤AM≤HW+E4,求得AV的范圍，進(jìn)而可求得

Q4的范圍，從而可得出答案.

【詳解】設(shè)尸為三棱錐尸―ABC外接球的球心，E為-ABC外接圓的圓心，

則E為BC的中點(diǎn)，EEl平面ABC,

過(guò)點(diǎn)P作PM，平面ABC,M為垂足，則ZR4M=6,PM=Q,

作尸GLPM,垂足為G,則四邊形MEFG為矩形，

BC=6,得BE=3,BF=5,

則￡77=125—9=4,所以MG=4,

故PG=3,所以ME=G∕7=√25-9=4,

則￡A/—E4≤AM≤￡M+E4，即1≤AM≤7,

則PA=PM2+AM2="9+AM2∈[5√2,7√2],

ficrl.z,PM7?！?IE

所以sin。=----=——∈——,-----.

PAPAL210

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)￡M-E4≤AM≤EM+E4,求得40的范圍，進(jìn)而求得Q4的范圍，是解

決本題的關(guān)鍵.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

222

17.AABe的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,8,%c=2(αcosC-?),c+a=b+>∕3ac>b=2.

(1)求A；

π

(2)若N在線段BC上且和B,C都不重合，ZMAN=-,求二AMN面積的取值范圍.

3

【答案】(1)—

3

⑵D

【解析】

【分析】(1)結(jié)合條件，利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果；

設(shè)在，中，利用正弦定理得到.(兀),在中，利用正弦定

(2)NBAM=α,ABMs%+αjANC

1S=_______-_______

理得到AN=——，從而得到獨(dú)於-".(C兀、，，再利用V=Sinx的性質(zhì)即可求出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

由c=2(αcosC-b)得24cosC=c?+2?,由正弦定理得

2sinAcosC=sinC÷2sin3=sinC+2sin(A+C)=sinC+2sinAcosC+2cosAsinC,

所以2cosAsinC+sinC=0,又因?yàn)镃￡(0，π),所以SinC≠0,

所以CoSA=—g,又A∈(0,π),所以A=g,

【小問(wèn)2詳解】

由C?+/=/+氐°，^c2+a2-b2=j3ac由余弦定理知CoSB=U?二■土=正，又因?yàn)?/p>

Iac2

B∈（0,兀），所以8=2,

6

Tt

所以C=π-A-8=-,所以〃=c?=2,如圖，設(shè)NBA"=α,

6

BMNC

7r5TTπ

則NCAN=——α,NBMA=——a,ΛCNA=-+a,

362

csinB

在，礪中，由正弦定理可知AM=而苕港

OSinC1

在，4VC中,由正弦定理可知AN

SinZCTVAcosa

SAMN=-AM-ANsinNMAN=-L?sin色

故AMN22CoSa3..[π)

4sιna+—ICOSa

#__________√3_________

Sina+cosα)cosαsinorcosa+2cos2a

√3sin2α+cos2α+l2sin∣2α+訃1'

因?yàn)閕∈(θ,;],所以4<2α+N<生，所以:<sin(2α+F]≤l,

k3√666216J

(π>也<_______B______<走

所以2<2sin2。+w+143,所以3一。兀)，2.

(6)2sιnl2a+-1+1

c[/G)

即SAMN≡—■

18.為進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的文明養(yǎng)成教育，推進(jìn)校園文化建設(shè)，倡導(dǎo)真善美，用先進(jìn)人物的先進(jìn)事跡來(lái)感動(dòng)師

生，用身邊的榜樣去打動(dòng)師生，用真情去發(fā)現(xiàn)美，分享美，弘揚(yáng)美，某校以爭(zhēng)做最美青年為主題，進(jìn)行“最

美青年”評(píng)選活動(dòng)，最終評(píng)出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生。學(xué)校準(zhǔn)備從這10位“最美青年”

中每次隨機(jī)選出一人做事跡報(bào)告.

(1)若每位“最美青年”最多做一次事跡報(bào)告，記第一次抽到女生事件A,第二次抽到男生為事件B,求

P(B),P(BlAb

(2)根據(jù)不同需求，現(xiàn)需要從這10位“最美青年''中每次選1人，可以重復(fù)，連續(xù)4天分別為高一、高

二、高三學(xué)生和全體教師做4場(chǎng)事跡報(bào)告，記這4場(chǎng)事跡報(bào)告中做報(bào)告的男生人數(shù)為X,求X的分布列和

數(shù)學(xué)期望.

24

【答案】(OP(B)=M；P(BiA)=-

O

(2)分布列見解析；E(X)=-

【解析】

324~c,,、P(AB)

【分析】(1)由題意求得P(A)=3P(B)=—,P(AB)=工，結(jié)合條件概率的公式P(BlA)=喂一，即

5515P(A)

可求解；

(2)被抽取的4次中男生人數(shù)X的取值，得到XB(4,∣),求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望公

式，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

64432

解：由題意得，第二次抽到男生的概率為P(B)=—x—+—x==一,

1091095

“在第一次抽到女生的條件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的概率，

而P(A)=(P(AB)=?[=?,所以P⑻==2

【小問(wèn)2詳解】

2

解：被抽取的4次中男生人數(shù)X的取值為0,1,2,3,4且X8(4,1).

可得P(X=O)=Cxl1∣1°=懸;P(X=D=CB閨=Il

y?yy?y62313y/y?y623

ax=2γ(∣j(∣J=m；p(χ=3)=c].3VpY96

5J⑴^625

<3V<2Y16

P(X=4)=C：--

k?/v?/^625,

所以隨機(jī)變量X的分布列,為:

X01234

812162169616

P

625625625625625

2Q

所以隨機(jī)變量X的期望為：E(X)=4×-=-.

19.如圖，四邊形ABCZ)為菱形，ABCD,FBED,BD=6，ED=2?FB.

(1)證明：平面K4C，平面E4C；

(2)若N6AD=60°,求二面角F-AE-C的大小.

【答案】(1)證明見解析

π

(2)-

4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)線面垂直得線線垂直，進(jìn)而由線段的長(zhǎng)度得勾股定理，證明線線垂直，即可得線面垂直證

明面面垂直.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解二面角大小.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)8。交AC于點(diǎn)。，連接EO,FO,

因?yàn)樗倪呅蜛BCZ)為菱形，所以ACIBZZ

因?yàn)長(zhǎng)平面4BCZ),ACu平面ABC￡),所以Ae

又EDBD=D,ED,8。U平面BOEF,所以ACj"平面BDEF；

又七OU平面8。E兄所以ACj,EO.

設(shè)FB=1,由題意得ED=2,BD=2√2,DO=BO=-/1.

因?yàn)槭珺∕∕ED,?ED±?ABCD,P∣∣JFB1ABCD,

而08,。。U平面ABCE),故ODlED,

所以O(shè)F=y/OB:+BF?=6,EO=√ED2+Z)O2=√6-EF=QBD。+(ED-BF?=?^Ti=3?

因?yàn)镋R2=OE2+OR2,所以￡0_LFO.

因?yàn)镺FCAC=O,OF,ACu平面4C居所以EO_L平面4CE

又EOU平面EAC,所以平面EACl.平面FAC.

【小問(wèn)2詳解】

取EF中點(diǎn)G,連接。G,所以O(shè)G//ED,OGI底面ABCD

以。為原點(diǎn)，以O(shè)AOa。G分別為X軸，y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镹BM>=60°,由(1)中所設(shè)知，AB=AD=2近，

所以，OA=OC=

所以A(J^o,0),/(O,√Σ,1),E(0,-√2,2),C(-√6,0,0).

所以網(wǎng)=(備,—√Σ,-1),E4=(√6,√2,-2),EC=(-√6,√2,-2),

設(shè)平面FAE的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),

m`FA=O√6x-√2γ-z=0X=0

則《=>

m?EA=OΛ∕6X+Λ∕2V-2Z=0z-2y∕2y

所以m=(百,1,20)；

平面AEC的一個(gè)法向量為〃=(α,b,c),

Zf-EC=O(-√6a+√2?-2c=0。二0

則<LL=<

n?EA-0[yj6a+√2Z?-2c=0b=立C

所以〃=(O,JΣ,1);

3√2_√2

所以CoS(機(jī),/2)

√3+l+(2√2)22

由圖形可知二面角尸-AE-C的平面角為銳角，

20.橢圓。：0+5=1（。＞人＞0）短軸長(zhǎng)為2,離心率為暫，過(guò)點(diǎn)戶（3,0）的直線/與橢圓C交于

M,N兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）橢圓C上是否存在點(diǎn)Q,使得直線M。，NQ與直線χ=3分別交于點(diǎn)A,B,且IPAI=I尸邳？若存

在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

_???-X2

【答案】（1）-+y2=?

4-

【解析】

【分析】(1)由橢圓的短軸長(zhǎng)和離心率得到。力，求出橢圓方程；

(2)考慮當(dāng)/斜率不為O時(shí)，設(shè)/：X=即，+3,與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出直線

-t,、(tn+3-s)y.

M,Q?.y-t=^V1一(x-s),得到以=λ(r-n--+--3一-.s)上V1，同理得到為=------丁上，分弘=%與

Xl-Snjl+3-5ny2+3-s

,=一為討論，得到。點(diǎn)坐標(biāo)，再考慮當(dāng)/斜率為O時(shí)，也滿足要求，從而求出答案.

【小問(wèn)1詳解】

2

r13

由題意得Z?=1,則e2=——1—-二—n。=2,

a2a24

2

所以橢圓C的方程為二+y2=ι.

4-

【小問(wèn)2詳解】

X=ny+3

當(dāng)/斜率不為。時(shí)?，設(shè)/:x=〃y+3,聯(lián)立〈2A2

X+4/=4

可得(/+4)V+6町;+5=0.

Δ=36/-20(n2+4)=16n2S0>0=>n2>5.

設(shè)Q(S/),M(xl,yl),JV(x2,y2),

6n5

則%+為=一乂%=?~7

〃2+4n+4

直線VQιyτ=?^√x-s),