2023-2024屆新高考一輪復習人教A版 第一章 第四講　不等關系與不等式 學案

第四講不等關系與不等式

■雙基自測IULISHUANGJlZlCK

知識梳理

知識點一兩個實數(shù)比較大小的方法

a—?>0<=>α>b

a-b=^a=b(a,b∈R)

{g-b<Q^a<b

a

^>l<=>α>_b

(2)作商法VJ=1<=>α=b(a∈R,/?>0)

'bτ<l<=>α-<-_--b

知識點二不等式的基本性質

性質性質內容特別提醒

對稱性6z>?<=>b<aO

傳遞性a>b,b>c=>a>c今

可加性〃>—<=>g+c>h+c臺

a>b

=>ac>be

c>0

可乘性注意c的符號

a>b

=>ac<be

c<0

a>b

同向可加性=α+c>6+d臺

c>d

a>h>0

同向同正可乘性=>(ic>bd今

c>d>O

可乘方性a>b>O^an>bn(n∈N,π≥l)a,力同為正數(shù)

可開方性?>/?>0=>?[a>y[b(n∈N,〃三2)a,〃同為正數(shù)

歸納拓展

1.a>b,ah>Q^~<^.

2.a<O<b^~a<bτ.

ab

3.a>b>O,d>c>O=^~>j.

,,,bb^?-mbb-m

4.右a>b>O,m>0,π則一<-^-；->(b-m>O).

aa-τmaa~m

雙基自測

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“或“義”)

(1)若1>1,則a>b.(X)

(2)若a>b,貝Uac2>bc2.(X)

(3)若ac2<hc2,則a<b.(√)

(4)若a>b貝IJa2>b2.(X)

(5)若cob貝IJa3>b?(√)

(6)若(>\〉0,則b>α>O.(√)

題組二走進教材

2.(必修1P43T11改編)(2022?全國高中課時練習)大橋頭豎立的“限重40噸”

的警示牌，是指示司機要安全通過該橋，應使車和貨總重量T不超過40噸，用

不等式表示為(C)

A.T<4QB.7>40

C.?！?0D.T≥40

[解析]由題可得TW40.故選C.

ii22f,

3.(必修1P43T8改編)若a,b都是實數(shù)，則“如一亞>0”是a-b>O

的(A)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

[解析]y[a-?[b>O^^?[a>yfb^a>b≥O^a2>b2,

但由a1~b2>O≠>y∣a-?[b>Q.

4.（必修1PI4T7改編）已知一l<α<2,-3<b<5,則a-b的取值范圍是（B）

A.(-3,2)B.(-6,5)

C.(-4,7)D.(-5,-1)

［解析］'?'-3<?<5,/.-5<~b<3,又一l<α<2,/.~6<a~b<5.

題組三走向高考

5.（2022?上海卷）已知實數(shù)α,b,c,d滿足：a>b>c>d,則下列選項中正確

的是（B）

A.a^?^d>b-?^cB.a+c>b-?^d

C.ad>bcD.ac>bd

［解析］選項A,如取g=4,b=3,c=2,J=-4,此時α+d<b+c,故A

錯誤；

選項B,α+c,>"+c>"+d,故B正確；

選項C,如取a=4,b=-?,C=—2,J=-3,此時αd<8c,故C錯誤；

選項D,如取a=4,b=~?,c=-2,J=-3,此時αc<bd,故D錯誤.故

選B.

6.(2016?北京)已知九，y∈R,且x>y>0,則(C)

B.SinX-siny>0

D.Inx+lnγ>0

［解析］?.?χ,y∈R,且x>y>0,則:<；,

?y

sinX與Siny的大小關系不確定<0,Inx+lny與0

的大小關系不確定，故選C

KAODIA、TuPOHl

考點一比較代數(shù)式的大小—自主練透

例1（1）已知0<4ι<l,0<α2<l,記M=α1α2,N=a?+aι~?,則M與N的大小

關系是（B）

A.M<NB.M>N

C.M=ND.不確定

a+b

(2)若<7>0,b>O,貝IJP=(CIby與q=ab?ha的大小關系是(A)

2

A.p2qB.PWq

C.p>qD.p<q

(3)若4=竽,,In4In5

O=丁'c=『則(B)

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<a<c

［解析］(1)解法一：*.*Λ∕—N=Ciiai—a?—及+1=(1—αι)?(l—。2)>0,：,M>N.

解法二(特殊值法)：取0ι=Q2=g,L=VN=O,.?M>N,

(2)由題意知p>0,q>0,則寧絲，“空戶=仔『若α>b>O,則齊1,

a-b>O,則g>1；?O<a<b,則a-b<O,則?>1；若a=b,則。=L綜上,

qDqq

p2q.

(3)解法一：易知”,b,C都是正數(shù)，

§=捐T=Iog8i64<l,所以。>"；

~=^~∣=log6251024>l,所以b>c,即c<A<Q.

解法二：構造函數(shù).*X)=乎，

?,,1—InX

則/(X)=p'

由f'U)>0.得O<x<e;

由f'W<0,得x>e.

二段)在(O,e)上為增函數(shù)，在(e,+8)上為減函數(shù).

?M3)/4)次5),即α>b>c.

名帥A撥MINGSHIDIANBO

比較兩實數(shù)大小的方法

(1)作差(商)法：作差(商)=變形=判斷.

(2)構造函數(shù)法：利用函數(shù)的單調性比較大小.

(3)中間量法：利用中間量法比較兩式大小，一般選取“0”或“1”作為中間量.

考點二不等式的性質及應用—多維探究

角度1不等式的性質

例2(1)(多選題)已知a>b>0,c>d>0,則下列不等式中一定成立的是(ABD)

A.a^?-c>b^?^dB.a—d>b—C

C.~>^D.y［ac>-?［bd

(2)(2022.廣東華附、省實、廣雅、深中期末聯(lián)考)設α>l>A>-l,?≠0,則下

列不等式中恒成立的是(C)

1111

A.a-<τbB.-a>τb

C.a>b2D.a2>2b

⑶修選題)(2023?長沙調研)若聶<0,則下列不等式中正確的是(AC)

^^'a-?-bzabB.?a?+b>O

11z,

C.a-~a>b-τbD.Ina>?nb~

［解析］(1)對于A,因為α>∕>0,c>d>O,所以α+c>"+d成立；

對于B,因為α+c>b+d,所以Q—d>b—C成立；

對于C,舉反例，如α=6,b=2,c=3,J=I,可知￡=今故C錯誤；

對于D,因為α>0>0,c>d>O,所以qc>標/〉0,故五石成立.故選ABD.

(2)對于A,當α為正數(shù)，Z?為負數(shù)時，［>點,所以，A錯誤；對于B,當a

=2,時，B不成立，所以錯誤；對于C,1>。>一1=*序<1,而α>l,所以C

正確；對于D,取反例：?=l.l=>6i2=1.21,?=0.8=>2Z?=1.6,D錯誤.

(3)?^<∣<0,可知A<α<0.A中，因為α+8<0,ab>O,所以，7^<0,￡>0.故

有*<意即A正確；

B中，因為b<a<O9所以一b>—tz>O.

故一b>∣4∣,即間+h<0,故B錯誤；

C中，因為Xa<0,X^<∣<0,則一十>一%°，所以a—%>—點,故C正確；

D中，因為b<α<O,根據(jù)y=f在(-8,0)上為減函數(shù)，可得力2>∕>o,而y

=In九在定義域(0,十8)上為增函數(shù)，所以InUan/,故D錯誤.由以上分析，

知A,C正確.

名幃A披MINGSHIDIANBO

(1)在判斷一個關于不等式命題的真假時，先把要判斷的命題和不等式的性

質聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質，并根據(jù)性質判斷命題的真假，有時還

要用到其他知識，如本例中霖函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質等.

(2)在應用不等式的性質時，不可以強化或弱化不等式成立的條件，如“同

向不等式”才可以相加，“同向正數(shù)不等式”才可以相乘.

(3)在不等關系的判斷中，賦值法是非常有效的方法.

角度2利用不等式的性質求范圍問題

例3(1)已知一l<x<4,2<y<3,則x—y的取值范圍是(一4,2),3x+2y的取值

范圍是(1,18),W的取值范圍是(二U

(2)已知-?<χ-y<4,2<x+y<3,則3x+2y的取值范圍為(IJ學)_.

［解析］(l)V-l<x<4,2<γ<3,

-3<—y<—2,-4<χ-y<2.

?—l<x<4,2<y<3,得一3<3x<12,4<2y<6,

Λl<3x+2y<18.

,,日111

由2<><3,?2<-<25

X

當0<x<4時，0<^<2,

Y

當LO時，-=0,

當一1VXVO時，OV-XV1,

?-X1.IX-C

0<-y<2τ,2..y—τ<<0,

綜上-4<2.

乙y

(2)設3%+2y=2(χ-γ)+∕∕(x+j),

即3x+2y=(4+ju)x+(∕z—λ)y,

?λ+μ=3,Z=2

于是解得15

i2,μ∣

.?.3x+2y=^χ-y)÷∣(x+y).

*/—1<%—y<4,2<x+y<3,

5

W+Λ<15

(X√2

’5<5(χ--y)+](χ+y)<y.

名幃點披MINGSHIDIANBO

利用不等式性質可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應注意兩點：一是必須嚴

格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值

范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后

通過“一次性”不等關系的運算求解范圍.

〔變式訓練1〕

（1）（角度1）（多選題）（2022?四川攀枝花統(tǒng)考改編）設a,h,c為實數(shù),且a<b<0,

則下列不等式正確的是（CD）

11,,

A.-<τB.acz<bcz

aD

Cba—,,

C.~<^D.a1>ab>b1

（2）（角度1）（2023?山東省棗莊市模擬）已知0<α<l,0<c?C<l,下列不等式成立

的是（D）

,cc+α

A.ab>aeB.τ>73-

bb+a

bc

C.log際logsD,τq^>-τ-

（3）（角度2）若l<α<3,-4<β<2,則彳一夕的取值范圍是（二|一芳）_.

（4）（角度2）（2022?上海金山中學期中）已知l<α<2,2<X3,則稱的取值范圍是

［解析］（1）對于A顯然錯誤；對于B,當C=O時，不正確；對于C,鴻=

a<b?

?^a2>ah

b2-a2(b+a)(b-d),I??

-<0,22

aι~~------7------故正確；對于D,r^>a>ab>b,故

b<0?J

選CD.

(2)解法一：顯然b+α>0,c+4>0,

bc

/.7^i->-1-妗be+ah>hc+ac,

b+ac+a

即ab>ac<^b>c,故選D.

解法二：不妨取c=/,a=b=3,

代入選項A,B,C都錯，故選D.

（3）由l<a<3得;<］<|,

由-4<6<2得一2<一∕<4,

(4),.*2<b<3,/.

r1Cl

又?l<α<2,.?g<g<l?

面展?曲版

?素養(yǎng)提升

比較大小微專題

微專題1特殊值法

例4設a>b>O,下列各數(shù)小于1的是（D）

［解析］解法一(特殊值法)：

取α=2,b=1,代入驗證.

解法二：y=4?r(4>O且4≠l).

當α>l,尤>0時,y>li

當0<“<l,x>0時，0<y<l.

'.'a>b>09

.?a-h>O,^>l,0<^<l.

由指數(shù)函數(shù)性質知，D成立.

名獐A撥MINGSHIDIANBO

特殊值法比較大小的思路

利用特殊值法比較不等式的大小時需要注意以下問題：選擇項兩數(shù)大小是確

定的，如果出現(xiàn)兩數(shù)大小由某個參數(shù)確定或大小不確定的選項，就無法通過特殊

值進行檢驗；賦值應該滿足前提條件：當一次賦值不能確定準確的選項，則可以

通過二次賦值檢驗，直至得到正確選項.

〔變式訓I練2〕

已知實數(shù)X,y滿足αyαv(0<α<l),則下列關系式恒成立的是(C)

A.ln(x2÷l)>ln(y2÷1)B.SinX>siny

C`D.擊

［解析］解法一：因為實數(shù)X,y滿足加<α>(0<α<l),所以x>y.

對于A,取X=1,y=—3,不成立；

對于B,取x=7i,y=~π,不成立；

對于C,由于HX)=Λ3在R上單調遞增，故x3>γ3成立；

對于D,取X=2,y=~l,不成立.選C.

解法二：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質得光>y,此時％2,V的大小不確定.故選項A、

D中的不等式不恒成立；根據(jù)三角函數(shù)的性質，選項B中的不等式也不恒成立；

根據(jù)不等式的性質知，選項C中的不等式成立.

微專題2中間量法

0.2

例5設α=logpO=C，c=2∣,則（D）

A.b<a<cB.c<a<h

C.c<b<aD.a<b<c

0.2

［解析］因為0<3<l,所以α=log∣3<log∣l=0;因為］<1,所以<（；）

0

=1;

?

因為2>為所以c=2%20=L

綜上，α<8<c.故選D.

名帥點撥MINGSHIDIANBO

中間量法比較大小的思路

利用中間量法比較不等式大小時要根據(jù)已知數(shù)、式靈活選擇中間變量，指數(shù)

式比較大小，一般選取1和指數(shù)式的底數(shù)作為中間值；對數(shù)式比較大小，一般選

取0和1作為中間值，其實質就是根據(jù)對數(shù)函數(shù)/U）=log,M0>0且αW