2022-2023學(xué)年河北省石家莊市高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題2【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省石家莊市高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知向量m=(4,-1),〃=(-5,2),且(戊+砂〃(初則實(shí)數(shù)X=()

-77

A.1B.—1C.-D.—

55

【答案】B

【分析】分別求〃?+〃和〃的坐標(biāo)，再根據(jù)向量平行，列式求解.

【詳解】/??+?=(-1,1),x∕77-n=(4x+5,-x-2),

因?yàn)?/"+")//(?m-"),fiffl?(-l)×(-x-2)-(4x+5)=0,

解得：x=-l.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.

1]3

2.已知點(diǎn)42,-5),8(萬(wàn)，5),則與向量A8同方向的單位向量是

A.(9)-/43、

D.(——,-)

555555

【答案】C

與向量同方向的單位向量是

【詳解】試題分析:A”-.)

【解析】單位向量的求法.

3.在4ABC中，AQ為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則EB=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

31—1一3…

C.-A8+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【分析】分析：首先將圖畫(huà)出來(lái)，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得=+之后

應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則——三角形法則，得到BC=BA+AC，之后將其合并，得到

3131

BE=^-BA+-AC下一步應(yīng)用相反向量，求得=從而求得結(jié)果.

44944

【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得

E

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA^-（BA+AC?=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC

222424v724444f

31

所以破=2/18——AC,故選A.

44

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、

向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要認(rèn)真對(duì)待每

一步運(yùn)算.

4.對(duì)任意向量α1,下列關(guān)系式中不恒成立的是

A.∣a??>∣≤∣α∣∣?∣

B.∣<7-?∣≤∣∣W∣-∣∕J∣∣

C.(a+b)2=?a+b?2

D.(?+?)(α-?)=ɑ2-?2

【答案】B

【詳解】因?yàn)椴反?|陋際〈。力〉日|刑，所以選項(xiàng)A正確；當(dāng)4與/,方向相反時(shí)，,”|邨|訓(xùn)

不成立,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤:向量的平方等于向量的模的平方,所以選項(xiàng)C正確；（4+租〃-。）=。2-。2,

所以選項(xiàng)D正確.故選B.

【考點(diǎn)定位】1、向量的模；2、向量的數(shù)量積.

TT

5.已知ABC中角A、B、C對(duì)邊分別為“、b、c,若α=4,A=-,則6+c的最大值為（）

A.4B.6C.8D.以上都不對(duì)

【答案】C

【分析】利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得b+c?的最大值.

【詳解】由余弦定理可得16="=b1+c2-2Z>ccosA-b2+c2-?c=(?+c)^-2>bc

N(6+c)2一,

v,44

所以，(?+C?)2≤64,即6+C≤8,

當(dāng)且僅當(dāng)。=c=4時(shí)，等號(hào)成立，故b+c的最大值為8.

故選：C.

6.已知三個(gè)向量〃，b，C共面，且均為單位向量，a?b=0,則I。+。-Cl的取值范圍是

A.[五-1,五+1]B.[1,逝]C.[√2,√3]D.[√2-l,l]

【答案】A

【詳解】因?yàn)棣哩M=0,所以∣α+∕√=∕+2a.6+/=2,所以∣α+6∣=√∑,所以∣α+∕,-c∣2=

a2+b2+c,2+2a?b-2(a+b)?c=3-2(α+0)?c,則當(dāng)C與(α+/?)同向時(shí)3+A)?c最大，|〃+/?—e『最

2

小，此時(shí)(α+6)?c=k+"c|cosO。=應(yīng)，∣67+?-c∣=3-2√2,所以∣d+B-√Imin=0-1；當(dāng)C與

(α+b)反向時(shí)(α+b)?c最小，∣α+b-cf最大，此時(shí)(α+6)?c=∣<2+Z2∣∣C∣COSΛ?=-Λ∕2,

∣Λ+?-C∣2=3+2√2,所以∣4+b-c∣M=&+1,所以∣“+b-c∣的取值范圍為[√Σ-1,√Σ+1],故選

A.

7.如圖所示，等邊一ABC的邊長(zhǎng)為2,。位邊AC上的一點(diǎn)，且Az)=2AC，VAOE也是等邊三角

44

形，若BEBD=則2的值是()

【解析】根據(jù)向量表示以及向量數(shù)量積定義化簡(jiǎn)條件，解得結(jié)果.

【詳解】BEBD=(BA+AE)(BA+AE+ED)

2~2

=BA~+BA?AE-}-BA?ED+AE?BA+AE~+AEED

=22+2-2λcos--2-2λ+2-2λcos-+4λ2+4λ2cos-

333

=2Λ2+4

4442

則2宏+4=方=￡=：因?yàn)?>0,所以/1=(.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查向量表示以及向量數(shù)量積，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

8.在,ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為“、b、c,a=b=5,c=8,/是,.ΛBC內(nèi)切圓的圓

心，^AI=xAB+yAC,則X+N的值為()

20Clo-3-13

A.—B.—C.-D.——

33218

【答案】D

【分析】計(jì)算出一43C的內(nèi)切圓半徑，以AB直線為X軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐

標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得X、y的值，即可得解.

【詳解】α=)=5,c=8,所以，ABC內(nèi)切圓的圓心/在AB邊高線OC上(也是AB邊上的中線),

??Q=O3=4,OC≈√βC2-OB2?√52-42?3-

以AB直線為X軸，A8的垂直平分線為V軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則A(T0)、8(4,0)、C(0,3),

設(shè)_A6C的內(nèi)切圓的半徑為r，根據(jù)等面積法可得：—a-OC=—(?+?+c)r,

解得'=ξ??=g,即點(diǎn)/(。*,則川=(8,0),AC=(4,3),A/=(4,g

^8x+4γ=4x=A

18,,13

因?yàn)锳/=xAB+yAC,則,。4,解得,4)則mf=G

3>'=-

-3

故選：D.

二、多選題

9.已知向量。,方是同一平面ɑ內(nèi)的兩個(gè)向量，則下列結(jié)論正確的是()

A.若存在實(shí)數(shù)2,使得〃="，貝跖與。共線

B.若°與6共線，則存在實(shí)數(shù)2,使得/,=zla

C.若α與人不共線，則對(duì)平面ɑ內(nèi)的任一向量c,均存在實(shí)數(shù)大〃，使得c=+

D.若對(duì)平面ɑ內(nèi)的任一向量°,均存在實(shí)數(shù)4〃，使得c=2α+〃匕，則°與人不共線

【答案】ACD

【解析】根據(jù)平面向量共線、平面向量的基本定理判斷出正確選項(xiàng).

【詳解】根據(jù)平面向量共線的知識(shí)可知A選項(xiàng)正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，若“與b共線，可能a=0,當(dāng)6為非零向量時(shí)，不存在實(shí)數(shù)％,使得6=20,所以B

選項(xiàng)錯(cuò)誤.

根據(jù)平面向量的基本定理可知C、D選項(xiàng)正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量共線、平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

10.已知兩個(gè)單位向量e∣,e2的夾角為仇則下列結(jié)論正確的是（）

A.不存在仇使e「e?=啦B.∣el—2e,∣=∣2el-e2∣

13

C.當(dāng)，=120?時(shí)，（2e/e2＞（e「2e2）=5D.e∣在e?方向上的投影數(shù)量為Sine

【答案】ABC

【分析】根據(jù)條件知同=同=1,再利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)

果.

【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量q,弓的夾角為。，所以同=同=1,

選項(xiàng)A,因?yàn)閑∣?e?=同同CoSe=Cos。，又6e[θ,π],所以e∣?e2≤l,故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B,因?yàn)椴法O-2eJ=同-4ele2+4p2∣=5-4e1e2=5-4cos0,

∣2el-￠2∣=4∣el∣-4^1?e2+∣e2∣=5-4e∣?e?=5-4cos0,所以＞∣-2eJ=∣2^l-e2∣,即

pl-2e,∣=∣2￠l-e2∣,故選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C,因?yàn)椋?e∣-ez）?（e∣-2e?）=2同°_5e「g+2,2『=4-5e,?e2=4-5cos（9,

113,

又夕=120?,所以（2e∣-∕＞（e∣-？々）=4-5x（-]）二萬(wàn)，故選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)D,因?yàn)閝在C?方向上的投影數(shù)量為甘"=同COSO=COsd,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

II.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)6(COSC,sina),Λ(cos/?,-sin/?),鳥(niǎo)(CoS(C+y0),sin(α+;?)),A(l,0),

則()

A?∣04I=IoWB.卜止,可

C.OAoP3=OP??OP1D.OAoP?=OP2?OP3

【答案】AC

UUUUUU

【分析】A、B寫(xiě)出。4，OP2、APl,A6的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)

向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡(jiǎn)，即可判斷正誤.

【詳解】A：Oq=(COSa,sinα),OP2=(cosβy-sinβ),所以Ioql=JCoS?α+sin?α=1,

22

IOP2∣=λ∕(cosy5)+(-sin∕7)=1,故IoIl=I"|,正確；

B：AP{=(cos□r-l,sintz),AP2=(cosyff-l,-siny?),所以

222

IAPxI=J(CoSa-1)」+sin"α=√cosa-2cosα÷l+sina=,2(1-cosa)=J4siny=2∣sin-?∣,同理

IA鳥(niǎo)I=J(CoS夕-1)2+sin?)=21sin?I,故∣∣,∣|不一定相等，錯(cuò)誤；

C：由題意得：OA?OF?t=1×cos(a+∕?)+0×sin(α÷∕?)=cos(α÷β),

OPxOP2=cosa?cos∕?÷sina?(-sinβ)=cos(α÷β),正確；

D：由題意得：OA-OPx=l×∞sα÷0×sina=cosa,OP2?OP3=cosβ×cos(a+/7)+(-sin∕?)×sin(<z+β)

=cos(β+(α+β))=cos(α+2β),故一般來(lái)說(shuō)。4?O<wOR?O^故錯(cuò)誤；

故選：AC

〃力,當(dāng)a,〃不共線時(shí)

12.定義一種向量運(yùn)算“⑤”：a0z7=k?∣當(dāng)Qb共線時(shí)，(〃，力是任意的兩個(gè)向量)對(duì)于同一平

面內(nèi)的向量〃，b,C,e,給出下列結(jié)論，其中正確的選項(xiàng)是()

A.a?b=h?ciB.X(a應(yīng)方)=(之a(chǎn))應(yīng)伙，∈R)；

C.(a+b)?c=a?c+b?c；D.若e是單位向量，則卜區(qū)e∣≤∣a∣+1

【答案】AD

【分析】AD可根據(jù)定義及向量運(yùn)算法則計(jì)算得到；BC可舉出反例.

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)椤??=6?α,卜-4=性故aBb=b③a，A正確；

B選項(xiàng)，當(dāng)a力不共線時(shí)，A(a?b)=Aa-b,(Aa)?b=Aab,

當(dāng)α,b共線時(shí)，Λ(a0?)=Λ∣a-?∣,(λ^h=?λa-l^,

不妨設(shè)2=2,β=(l,0),?=(2,0),則曲-*2,1￡一相OI=0,故B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，不妨設(shè)α=(O,l),6=(2,0),c=(2,l),滿足4+%,c共線，α,c與b,c均不共線,

當(dāng)α+B,c共線時(shí)，S+3③c=∣α+力一Cl=O,

α,c與/7,C均不共線時(shí)，a?c+b?c=a-c+b-c=\+^=5>

此時(shí)兩者不相等，故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，e是單位向量，當(dāng)α,e不共線時(shí)，,③e∣=ke∣=∣qcos0≤∣”∣<∣α∣+l,

當(dāng)a,e共線時(shí)，∣θ<S>4=∣α-e∣≤同+H≤∣α∣+1,

故若e是單位向量，則卜z8e∣Sa∣+l,D正確.

故選：AD

三、填空題

13.ABCO是邊長(zhǎng)為1的正方形，E、F分別是3C、8的中點(diǎn)，則AE?AF=.

【答案】1

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)坐標(biāo)，向量的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.

【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；

則A(0,0)、8(1,0)、C(1,1)、D(O5I),

因?yàn)镋、F分別是8C、CZ)的中點(diǎn)，則小?、叫,1

所以AE=(I,；AF=K』］,故AE?AF=IXLLX1=1.

U)22

故答案為：1?

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)表示，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知.ABC中角A、B、C對(duì)邊分別為“、b、c,若a:b:c=3:2:6,則LABC中最大角的余弦

值為.

【答案】-B

6

【分析】根據(jù)大邊對(duì)大角，結(jié)合余弦定理求解即可.

【詳解】因?yàn)閍:b:c=3:2：6,不'妨設(shè)a=3k,b=2k,c=幣k(k>O),

在三角形中，大邊對(duì)大角，所以最大角為A,

根據(jù)余弦定理‘c°X=L〃+?C2—qM22+3-32-2√3

2×2×?j3~4-j3~6

故答案為：-3.

6

15.如圖，在,ABC中，。是BC的中點(diǎn)，E在邊48上，BE=2EA,AO與CE交于點(diǎn)。.若

A8?AC=6AO?EC,則下的值是.

【答案】√3?

【分析】由題意將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積，然后利用幾何性質(zhì)可得比值.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DFVCE,交48于點(diǎn)F,由BE=2E4,。為BC中點(diǎn)，?BF=FE=EAAO=OD.

6AO.EC=3AO?(AC-AE)=MAB+AC).(AC-AE)

=∣(AB+AC).^AC-∣AB^=∣^ΛB.AC-∣Aβ2+AC2-∣AB.AC^

3,21?2A1232

=--AB.AC——AB'+AC'?=AB.AC——AB+-AC=AB.AC,

2(33J22

得=5AC2,即網(wǎng)=網(wǎng)AC∣,故嗡=在

22AC

【點(diǎn)睛】本題考查在三角形中平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題.

16.已知W=W=α?b=2,|?-c∣=√3,則」.工的取值范圍為_(kāi)______.

【答案】[2-2√3,2+2√3]

【分析】設(shè)α=(2,0),根據(jù)W=M=αW=2,得到b=(l,√J),設(shè)c=(x,y),根據(jù)卜-*6,得至I」

(Λ-2)2+√=3,再由f=6?c=x+√Jy,利用直線與圓的位置關(guān)系求解.

【詳解】設(shè)(4,b)=α,

因?yàn)镸=W=4?6=2,

所以COSa=J,

因?yàn)棣羍[0,司，

所以ag

設(shè)”=(2,0),則6=(1,6),設(shè)C=(X,y),

因?yàn)椴?Cl=后,

所以(x-2y+y2=3,表示以(2,0)為圓心，以√J為半徑的圓，

則/=6?c=x+λ∕Jy，表示一條直線在y軸上的截距，

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，

即d=H=r=6,

2

解得f=2+2√J或f=2-2√J,

所以從C的取值范圍為[2-2G,2+2√Γ∣,

故答案為：[2-2^,2+2√3]

四、解答題

2

17.已知4、々，、%、%是正實(shí)數(shù)，證明：χlχ2+yly2≤7XI+K√ΛJ+^(并說(shuō)明式子左邊與右

邊相等時(shí)的條件）

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】利用向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.

【詳解】設(shè)a=（x∣,χ）,b=^x2,y2）,

?平洞那I，

.?.X1X2+yly2≤+J考+）J，當(dāng)且僅當(dāng)Xly2=々乂時(shí)取等號(hào).

18.如圖，在403C中，點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)。是。8上靠近點(diǎn)3的一個(gè)三等分點(diǎn)，OC和OA交

于點(diǎn)￡設(shè)OA=a,0B=b.

⑴用向量α,b表示。C,QC,

(2)若。E=204,求實(shí)數(shù)2的值.

UUUrrUUirr5r

【答案］(I)OC=2a-h,DC=2a--h

4

(2)2=-

【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解；

（2）根據(jù)三點(diǎn)共線結(jié)合平面向量基本定理運(yùn)算求解.

IILr1Ulin1uuπr1uun?r

【詳解】（1）：點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，則04=50C+∕08,即+

整理得OC=2α-6,

___2一O5

可得OC=OC-OD=OC--OB=2a-b--b=2a~/

uuιπrruuιrr5r

故OC=2a-b,DC=2a——h.

3

（2）由題意可得：OE=AOA=Aa,

YC,。,E三點(diǎn)共線，則OE=mOC+"OQ,月.機(jī)+〃=1,

UunUUIIUUnl/rr?(2Dr(1Vr

貝IJOE-mOC÷nOD=myla-b^÷77∣-?I=Ima+?-n-rn?b=λcι,

2

m=-

2m=z5

23

可得v?■〃-加=。，解得，

m-?-n-?4

Λ=-

5

故2二二.

19.已知向量K=(CoSe,sin8)，9w[0,句，向量Z=(G,-1).

(1)求，的值；

—>—>

(2)若2"-b<機(jī)恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)y:(2)加>4.

【解析】(1)根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示得tane=6,再結(jié)合ew[o,句得夕=。；

(2)先根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算得2?=(2cos。-后,2sinJ+l),再根據(jù)模的坐標(biāo)表示得

2a-b=8+8sinlI,故2α-〃的最大值為16,,進(jìn)而得的最大值為4,故相>4.

【詳解】解：(1).Va±?,

?*?>∕3cos，一Sine=O,即：tanJ=有,

又6e[o,句，.?.e[

(2)V2α-?≈(2cos6>-√3,2sin6>+l),

.?.Ici-Z=(2COSe-6『+(2Sine+iy=8+8(gsin6>-等COSe

=8+8sin("∣^,

又；同0,司，

.n乃7t2π'

?^^yeL^ττJ,

sin(θj)w-?,l,

—>—>一

2a-b的最大值為16,

???2a-b的最大值為4,又2〃-〃<加恒成立，

.,.m>4.

【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，向量模的計(jì)算，三角函數(shù)求最值，考查運(yùn)算能力，是中檔

題.

20.如圖，。是ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZAoB=I50。，ZAOC=I20。，向量OAoB,OC的模分別為2,√3,

⑴求IoA+08+0C∣;

(2)^OC=mOA+nOB，求實(shí)數(shù)〃?，〃的值.

【答案】⑴3

(2)m=n=-4

【分析】(1)應(yīng)用向量數(shù)量積定義，及其運(yùn)算律求|。4+。8+。。|；

(2)由已知，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律OA.OC=WOA2、OBOC=mOB-OA+nOB'列

方程組求參數(shù).

【詳解】(1)由已知，OAOB=∣OA∣∣O8∣COS∕AOB=-3,OA-OC=?OA∣∣OC?cosAOC=-4,

XZBOC=360o-ZAOB-ZAOC=90°,故O8?OC=0,

222

???OA+OB+OC?2=OA+OB'+OC'+2(OAOB+OAOC+OBOC)=9^

：.\OA+OB+OC∣=3.

(2)由OC=〃?OA+“03得：OAOC=mθ^+nOA-OB>OBOC=mOB-OA+nθβ"-

[4m-3π=-4/

J<,可得機(jī)=〃=-4.

-3///+3/1=0

21.在工ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別為“、b、c,向量W=(SinA,√Jsin8)與"=(COSA,sin3)平行.

⑴求角A;

（2）若匕=3,點(diǎn)。滿足CO=2OB,∣AC∣=JΣT,求α.

【答案】（I）A=?

⑵α=3&

【分析】(1)根據(jù)平行的數(shù)量積公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(2)過(guò)點(diǎn)。作龍〃47交AB于點(diǎn)E,根據(jù)三角形中平行線的性質(zhì)可得￡?=4與A8=6,再在一ASC

中由余弦定理求解即可.

【詳解】⑴'：m//n

?*?sinAsinB="73cosAsinB

：B∈(0,π),sinB≠(),

?,?SinA=?∣3cosA

?^?tan4=6

"."0<A<π,

(2)過(guò)點(diǎn)。作應(yīng)'〃/C交AB于點(diǎn)E,