2022-2023學年八年級數(shù)學知識點串講（蘇科版）：菱形、正方形、三角形的中位線

專題03菱形、正方形、三角形的中位線

知識點一、菱形

?.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

一組鄰邊相等的四邊形不一定是菱形.

2.菱形的性質(zhì)定理：菱形的四條邊相等，對角線互相垂直.

(1)菱形是特殊的平行四邊形，所以矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

(2)菱形的兩條對角線互相垂直，且對角線將菱形分成四個全等的直角三角形，菱形的邊長的平方等于兩

條對角線一半的平方和.

(3)菱形的面積等于兩條對角線長乘積的一半.

3.菱形的判定定理：

(1)四邊相等的四邊形是菱形；

(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

(3)有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

四條邊相等＞菱形

四邊形對角線互相垂直*矩形

平行四邊形

一組鄰邊相等*矩形

例：如圖，回ABCD對角線AC,BD相交于點O,過點D作DE〃AC且DE=OC,連接CE,OE,OE=CD.

(1)求證：團ABCD是菱形；

(2)若AB=4,ZABC=60o,求AE的長.

【考點】菱形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【解答】(1)證明：VDE√AC,DE=OC,

四邊形OCED是平行四邊形.

VOE=CD,

平行四邊形OCED是矩形,

ΛZCOD=90o,

ΛAClBD,

.?.EIABCD是菱形；

(2)解：Y四邊形ABCD是菱形，

ΛOA=OC,CD=AB=BC=4,AC±BD,

VZABC=60o,

/.?ABC是等邊三角形，

AC=AB=4,

ΛOA=OC=2,

在RZ?OCD中，由勾股定理得：C)D=√CD2-OC2=√42-22=2√3,

由(1)可知，四邊形OCED是矩形，

ΛCE=OD=2√3,ZOCE=90°,

ΛAE=√ΛC2+CE2=J42+(2√3)2=2√7,

即AE的長為2b.

知識點二、正方形

I.正方形的定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.

2.正方形的性質(zhì)：正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，它具有矩形、菱形的一切性質(zhì).

(1)正方形是有一組鄰邊相等的矩形；

(2)正方形是有一個角是直角的菱形.

3.正方形的判定定理：

(1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形；

(2)有一個角是直角的菱形是正方形；

(3)有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.

4.幾個特殊的四邊形間的關系：

例：在AABC中，NACB=90。，NABC、NBAC的平分線相交于點D,DE_LBC,DFlAC,垂足為E、F.

(1)求證：四邊形DECF為正方形；

(2)若BC=8,AC=6,求正方形DECF的面積.

【考點】正方形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)：勾股定理.

【解答】(1)證明：過D作DNl.AB,連接CD,

B

VZC=90o,DE±BC,DFlAC,

四邊形DECF是矩形，

VZBAC,NABC的平分線相交于點D,DE_LBC,DFlAC,DN±AB,

DF=DN,DE=DN,

ΛFD=ED,

四邊形DECF是正方形；

(2)解：?.?BC=8,AC=6,

ΛAB=y/AC2+BC2=√64+36=10,

VSΔABC=?×BC?DE+?×AC?DF+∣×AB?DN,

11

Λ-×6×8=?×(6+8+10)×DF,

22

ΛDF=2,

二正方形DECF的面積=DF2=4.

知識點三、三角形的中位線的概念及定理

1.概念：連接三角形兩邊中點的線段叫作三角形中位線.

如圖所示，在AABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，則DE是AABC的一條中位線.

PS：三角形的中位線是一條線段，不是直線或射線.

2.三角形的中位線與三角形的中線是不一樣的，三角形中位線是兩條邊中點的連線，而三角形中線是頂

點與對邊中點的連線.

3.三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.

三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形周長

的看,每個小三角形的面積為原三角形面積的J.

例：如圖，在AABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線

于點F,連接CF.

(I)求證：AF=DC;

(2)若AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論.

【考點】三角形中位線定理.

【解答】(1)證明：YE是AD的中點,

ΛAE=DE,

VAF√BC,

ΛZAFE=ZDBE.

在AAFE和ADBE中,

?AFE=乙DBE

?FEA=乙BED,

AE=DE

Λ?AFE^?DBE(AAS),

.?.AF=DB.

：AD是BC邊上的中線，

ΛDC=DB,

ΛAF=DC；

（2）解：四邊形ADCF是矩形.

證明：連接DF,

由（1）得AF=DB,AF∕/DB,

.?.四邊形ABDF是平行四邊形，

二AB=DF,

VAB=AC,

ΛAC=DF,

由（1）得AF=DC,AF〃DC,

.?.四邊形ADCF是平行四邊形，

.?.四邊形ADCF是矩形.

知識點四、中點四邊形

I.中點四邊形：順次連接任意四邊形各邊中點所組成的四邊形叫作中點四邊形.

2.常見的中點四邊形

（1）順次連接任意四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形；

（2）順次連接平行四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形；

（3）順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是菱形；

（4）順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形；

（5）順次連接正方形各邊中點得到的四邊形是正方形.

3.中點四邊形的形狀取決于原四邊形的兩條對角線的位置關系和數(shù)量關系.

（1）若原四邊形的對角線互相垂直，則新四邊形是矩形；

（2）若原四邊形的對角線相等，則新四邊形是菱形；

(3)若原四邊形的對角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.

例：如圖，E,F,G,H是四邊形ABCD各邊的中點.

(1)證明：四邊形EFGH為平行四邊形.

(2)若四邊形ABCD是矩形，且其面積是7C"2,則四邊形EFGH的面積是,

【考點】中點四邊形；平行四邊形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【解答】(1)證明：連接BD,

圖1

VEsF分別為AD、AB的中點,

ΛEF??ABD的中位線，

,EF=^BD,EF〃BD,

1

同理，GH=*BD,GH〃BD,

.?.EF=GH,EF/7GH,

.?.四邊形EFGH為平行四邊形;

：四邊形ABCD是矩形,

.?.AB=CD,AD=BC,NA=NB=NC=ND=90。,

VE,F,G,H是四邊形ABCD各邊的中點,

,DH=AF=CH=BF,

???四邊形AFHD和四邊形HFBC都是矩形，

,AD=HF=BC,DC=EG=AB,