2022-2023學(xué)年云南省楚雄州高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年云南省楚雄州高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

2.已知集合4={x∣%2-5x-6<0},B={x∣2x-3>0},則AnB=()

A.(∣,6)B.(-l,+∞)C.(∣,+∞)D.(6,+∞)

3.某學(xué)生記錄了自己8次每分鐘的跳繩數(shù)：158,149,166,143,151,162,147,163.則

該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為()

A.147B,148C.149D.151

4.過圓錐曲線的焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數(shù)學(xué)

家明安圖在得IJ圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓(x+I/+(y-2)2=4的一條

通徑與拋物線y2=2px(p>0)的通徑恰好構(gòu)成一個(gè)正方形的一組鄰邊，則P=()

A.?B.1C.2D.4

5.函數(shù)/(X)=嘉的部分圖象大致為()

-y―y

A._______?_______.

lB.XL≤ΞL.

____X___￥0X

y

c.xL——D-------Xz>

o×ΣZZJ一/0X

6.當(dāng)點(diǎn)M(2,-3)到直線(4m-1)X-(m-l)y+2m+1=0的距離取得最大值時(shí)，n?=()

A.2B.iC.-2D.-4

7.如圖，已知P(-2,2),Q(L2),則CoS(NPOQ+》=()y↑

A-

B.-

0∣X

C3√~IΠ

■io-

θ--?

8.已知球。的半徑為2,AfB,C三點(diǎn)在球。的表面上，SLAB1AC,則當(dāng)三棱錐O-4BC的

體積最大時(shí)，AB=()

A?B.殍C.?r?D?殍

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.我國在預(yù)測人口變化趨勢上有直接推算法、灰色預(yù)測模型、IMR模型、隊(duì)列要素法等多

種方法，直接推算法使用的公式是匕=Po(I+k)fl(k>-l),其中&為預(yù)測期人口數(shù)，PO為

初期人口數(shù)，k為預(yù)測期內(nèi)人口增長率，H為預(yù)測期間隔年數(shù)，則下列說法正確的有()

A.若在某一時(shí)期內(nèi)-l<k<0,則這期間人口數(shù)呈下降趨勢

B.若在某一時(shí)期內(nèi)k>0,則這期間人口數(shù)呈上升趨勢

C.若在某一時(shí)期內(nèi)0<k<l,則這期間人口數(shù)擺動(dòng)變化

D.若在某一時(shí)期內(nèi)k=0,則這期間人口數(shù)不變

10.已知函數(shù)/"(x)=2stna>xcos3x—2√"3sin20)x+√^3(<υ>0)的最小正周期為兀，則()

A.ω=1B.ω=2

C.直線X="是f(x)圖象的一條對稱軸Dj(X)在[0,3上的值域?yàn)?]

11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A'B'C'D'中，點(diǎn)。為底面

ABCD的中心，則()

A.與BB'異面的面對角線共有8條

B.A'D1BD'

C.異面直線40與BD'所成角的余弦值為容

D.若P為正方體4BCD-4'B'C'D'內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且4P1BD',貝加。的最小值為浮

12.己知α>0,e>0,且eα=^b2+ln(b+e),則下列等式可能成立的有()

A.a=bB.α=b+lC.e=α+1D.b=α+2

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量五=(Tn,m+2),B=(6,3)，若行〃石，則m.

14.(X-1)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.

n

15.數(shù)列｛%l｝滿足%==2,an+2=*叱廠嗎S:則｛而的前2023項(xiàng)和

Ianan+lfan—an+l

S2023=----------

C：

16.己知雙曲線捻一，=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為0,F2,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以

汽尸2為直徑的圓與C在第二象限內(nèi)相交于點(diǎn)4與C的漸近線在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)M,且

IJC

OM//F1A,貝的離心率為,若AAMFi的面積為4,則C的方程為

四、解答題(本大題共6小題，共70.()分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知AABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且√~5bsinC=3ccosB.

(1)求角B的值；

(2)若b=4,ac=16,求AABC的周長.

18.(本小題12。分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PB，平面48CD,底面ZBCD為直角梯形，ZBAD=?ABC=90°,

PB=AB=BC=2AD=6,F為PA的中點(diǎn).

(1)證明：BF1PD.

(2)求二面角P-CD-尸的余弦值.

P

19.(本小題12.0分)

已知等差數(shù)列｛%t｝的前n項(xiàng)和為％,且a?=-11,S3=Sr7.

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)試求出所有的正整數(shù)m,使得對任意正整數(shù)n,均有Sjn<S"+l.

20.(本小題12。分)

若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱H為“三

位遞增數(shù)”(如146,369,567等).

(1)從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中，任取三個(gè)數(shù)組成一個(gè)三位遞增數(shù)，求這個(gè)數(shù)能被5整除的

概率.

(2)在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只

能抽取一次.得分規(guī)則：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積既不能被3整除，又不能被5

整除，參加者得O分；若能被3或5整除，但不能被15整除，得1分；若能被15整除，得2分.已

知甲參加該活動(dòng)，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21.(本小題12.0分)

橢圓C：≡∣+4=l(α>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為做一2,0),Tl2(2,0),上頂點(diǎn)為B(0,1),Q是

ab

橢圓C在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，直線AzQ與直線相交于點(diǎn)P,直線BQ與X軸相交于點(diǎn)R.

(1)求橢圓C的方程：

(2)試判斷直線PR是否經(jīng)過定點(diǎn).若經(jīng)過，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=(2x—2')ex—ax2+2a2.

(1)若α=L求不等式/(/>0的解集;

(2)若0<α<l,證明：f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)與，且α*o<5?

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：2—七=2—缺3='—

l+ι222

故選：D.

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：由∣χ2一5x—6<O解得，-1<X<6,

所以4={x∣—1<X<6},

又因?yàn)锽={x∣x>|},所以AnB=G,6).

故選：A.

根據(jù)一元二次不等式的解法和交集的運(yùn)算求解.

本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：數(shù)據(jù)158,149,166,143,151,162,147,163從小到大排序?yàn)椋?43,147,149,

151,158,162,163,166,

8X25%=2,

所以該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為智竺=148.

故選:B.

將原始數(shù)據(jù)從小到大排序，再結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解.

本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閳A(X+I)?+(y-2)2=4的一條通徑與拋物線/=2px(p>0)的通徑恰好構(gòu)成

一個(gè)正方形的一組鄰邊，

而拋物線y2=2px(p>0)的通徑與X軸垂直，

所以圓(X+I)2+(y—2)2=4的這條通徑與y軸垂直，

且圓的通徑的右端點(diǎn)就是拋物線通徑的上端點(diǎn)，

因?yàn)閳AQ+1)2+(y—2)2=4的圓心為(一1,2),半徑為2,所以

該圓與y軸垂直的通徑的右端點(diǎn)為(1,2),

即拋物線y2=2px經(jīng)過點(diǎn)(1,2),則4=2p,即p=2.

故選：C.

根據(jù)圓的通徑的右端點(diǎn)就是拋物線通徑的上端點(diǎn)，可得拋物線

y2=2px經(jīng)過點(diǎn)(1,2),從而求解.

本題考查了拋物線與圓的性質(zhì)，屬于中檔題.

5.【答案】B

【解析】解：因?yàn)?(X)=碧的定義域?yàn)?一8,0)U(O,+8),關(guān)于原點(diǎn)對稱,

旦/(τ)=τ?γ=??=f(辦

所以是偶函數(shù)，排除C,D,

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0,排除4.

故選：B.

根據(jù)奇偶性排除C,D；根據(jù)當(dāng)％>0時(shí)，f(x)>O,排除4從而可得答案.

本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，考查了函數(shù)圖象的變換，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：由(4τn-l)x-(m-l)y+2m÷1=0,得(4X-y+2)m-x+y÷l=0,

(4x-y-^2=0

聯(lián)―Ir+y+l=0解得Z?,?直線經(jīng)過定點(diǎn)N(—1,—2),

當(dāng)直線MN與該直線垂直時(shí)，點(diǎn)M到該直線的距離取得最大值,

4772-1-3-(-2)

此時(shí)——1,解得m——2.

m—12-(-1)

故選：C.

化簡直線為(4x-y+2)m-x+y+1=0,得到直線經(jīng)過定點(diǎn)N(—1,-2),結(jié)合直線MN與該直線

垂直時(shí)，點(diǎn)M到該直線的距離取得最大值，列出方程，即可求解.

本題考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：因?yàn)镻(-2,2),所以射線OP與X軸的負(fù)半軸的夾角為土

又Q(l,2),則PQ=>M+22=門,

所以COS(ZJ5OQ+今=cos(τr—NQoX)=-cos?QOx=*=—胃.

故選:B.

由點(diǎn)P的坐標(biāo)可得射線OP與X軸的負(fù)半軸的夾角為會(huì)由此可得cos("OQ+：)=cos(π-乙QOX)=

-coszρθx,再根據(jù)點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可求解.

本題考查了求解三角函數(shù)值問題，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：如圖，設(shè)AB=α,AC=b,設(shè)△ABC外接圓半徑為r,則BC=2r,

設(shè)點(diǎn)。到平面4BC的距離為九，則α2+b2=4i,產(chǎn)+九2=4,∕^^^??

則Lo-ABC=3αbh≤W(α2+b2)∕ι=gr2h=χ4-∕ι2)∕ι,當(dāng)且僅當(dāng)A--..............1.........'Λ

?乙L乙??,Xl≡

α=b時(shí)，等號成立，

zz

%-A8C=(0<”<2，所以V'o-ABC=g-h2,沃=JSX**

當(dāng)0<九<馬?時(shí)'U'θ-A8C>°，當(dāng)2，^<Zl<2時(shí),U'θ-4BC<°，

所以當(dāng)∕l=*時(shí)，VOYBC取最大值，此時(shí)α=b=殍.

故選：D.

設(shè)AB=α,AC=b,BC=2r,點(diǎn)0到平面ABC的距離為九，則a?+/=4/,r2-∣-∕ι2=4,然后

表示出三棱錐0-ABC的體積，結(jié)合基本不等式和導(dǎo)數(shù)可求出其最大值.

本題考查了多面體與球的綜合問題，考查了基本不等式、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬

于難題.

9.【答案】ABD

【解析】解：對于4由B=Po(I+k)n(k>-l),得當(dāng)一l<k<0時(shí)，0<l+k<l,

因?yàn)镻O>0,所以對任意的n6N*,匕>0,

所以等I=%備^=l+k<l,則&+】<%，

此時(shí)，在某一時(shí)期內(nèi)-l<k<0,則這期間人口數(shù)呈下降趨勢，故A對；

對于8,當(dāng)k>0時(shí)，l+k>l,

因?yàn)镻o>O，所以，對任意的neN*,Pn>0,

所以，贊=霽霽=1+上>1'則&+】>4，

rn尸0l1^+^κ√

故在某一時(shí)期內(nèi)k>0,則這期間人口數(shù)呈上升趨勢，故B對；

對于C,由B選項(xiàng)可知，在某一時(shí)期內(nèi)0<k<l,則這期間人口數(shù)呈上升趨勢，故C錯(cuò);

對于D,當(dāng)k=0時(shí)，Pn=P0,

故在某一時(shí)期內(nèi)k=0,則這期間人口數(shù)不變，故。對.

故選：ABD.

利用數(shù)列的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).

本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

10.【答案】AC

【解析】解：因?yàn)閒(x)=2sinωxcosωx—2√^^3sin2ωx+√-3=sin2ωx+?∕~3cos2ωx=

2sin(2ωx+今，

又因?yàn)閒(x)的最小正周期為兀，所以舁=兀，解得3=1,故A正確，B錯(cuò)誤;

則/(x)=2sin(2x+今，所以/臉)=2s譏(2X令+卞=2,所以直線X=雪是f(x)圖象的一條對

稱軸，故C正確；

?0≤x≤?,≡≤2X+^≤?,-√3≤2sin(2x+?≤2,則f⑶在［0,芻上的值域?yàn)椋?，瓦2］,

所以。錯(cuò)誤.

故選:AC.

利用正余弦的倍角公式以及輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，然后根據(jù)函數(shù)的周期求出3,即可判

斷4B,代入X的值，求出函數(shù)/(雪)的值，由此即可判斷C,根據(jù)X的范圍求出2x+韻勺范圍，再

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域，由此即可判斷D?

本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了正弦型函數(shù)的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求

解能力，屬于中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：正方體力BCD-A'B'C'D'的面對角線共有12條，

其中與BB'共面的面對角線有6條，所以與BB'異面的面對角線有6條，A

不正確.

連接4。'，由4'。1AD',A,D1AB,AD'C?AB=A,知4。_L平面AB。'，

所以AD-LBD8正確.

取。。的中點(diǎn)E,連接4E,OE,^?A,E=yΓ^5,0E=y∏,A'0=√^6.

則COS乙4'。E

2A'00E=^3^,

即異面直線40與8?所成角的余弦值為殍，C正確.

連接AC',CD,P為正方體內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且APJLB劫,

由BD'1平面A'C'。知，P在A4'C'0內(nèi)，當(dāng)P為BD'與平面AC'。的交點(diǎn)時(shí)，PD'取得最小值,

由?J'-A'C'0=^D-A'C'D',可得PD'=。正確.

故選：BCD.

判斷與B8'異面的面對角線的條數(shù)，判斷/的正誤.

連接ZD',通過直線與平面垂直，判斷B的正誤.

取。。的中點(diǎn)E,連接4E,OE,求解異面直線4。與BD'所成角的余弦值，判斷C的正誤.

連接AC',CD,利用由％,i,c,°=V0T,C,D,,可得P。'，判斷。的正誤.

本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷，異面直線所成角的求法，空間距離的求法，是中檔題.

12.【答案】CD

［解析］解：令f(x)=/一g%2_］rι(x+e),則r(X)=e*—X—

令g(χ)=ex-X—?jiǎng)tg'(χ)=ex-1+-?-J.,

八'x+e(x÷e)

當(dāng)%>0時(shí)，βx-1>0,則g'(%)>0恒成立，故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)間(0)=1-?>0,所以g(x)>0,即/(X)>0在(0,+8)上恒成立，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞

增,

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>/(0)=0,BPex>-X2+ln(x÷e),

1212

-e++>-Q

從面e°2In(6β)2+?n(ɑ+e).

令W(X)=∣x2+ln(x÷e)(x>O),φ,(x)=x÷>O(X>0),則p(x)在(O,+8)上單調(diào)遞增，

則b>a

故選：CD.

令f(%)=e"一^%2-ln(%+?),根據(jù)導(dǎo)數(shù)工具證明f(%)>0,把條件可轉(zhuǎn)化成+[n(b+e)>

?ɑ2+?n(ɑ+e),然后再根據(jù)程(X)=∣x2+In(X+e)的單調(diào)性來判斷.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

13.【答案】一4

【解析】解：因?yàn)槲濉ㄋ?(?n+2)—3?n=0,解得Tn=—4.

故答案為：-4.

根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示直接列式求解.

本題主要考查平面向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】-672

【解析】解：(X-幼的展開式的通項(xiàng)公式圖+1=C?X9-r(-?)r=(一2)j^Cjχ9-3r,

令9—3r=0,可得r=3,

所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(一2)3X或=-672.

故答案為:—672.

求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令》的指數(shù)為0,求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng).

本題主要考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】1351

【解析】解：因?yàn)榈?I,。？=2,αn+2=｛比LnTΞ"

iɑ??α∏+ι,%ι—ttn+ι

,F聽以。3=1，。4=1,Clc=0,。6=1，。7=1，ɑθ—0?CLt)=1,。10=1,ɑ??—0,

則｛an｝從第3項(xiàng)起以3為周期的周期數(shù)列,

所以52023=674×2+3=1351.

故答案為：1351.

根據(jù)已知遞推式求出&3,α4-ɑs.。6,?7-ɑs-則可得｛αj2｝從第3項(xiàng)起以3為周期的周期數(shù)列，從

而可求得答案.

本題考查了數(shù)列的周期性，屬基礎(chǔ)題.

16.【答案】

28

【解析】解：如圖，因?yàn)?M〃6A,所以tan乙4&F2=，

又14尸2，I&F2I=2c,所以∣4F∕=2α,?AF2?=2b,

則2b=4α,所以b=2α,則c=√~^α,所以e=(=√~^.

因?yàn)?(-c,0)到漸近線。/y=~的距離為了與

aJb+αz

因?yàn)椤！啊?力，所以點(diǎn)M到FIA的距離為b,

11

所以SAMnFi=2×MFll×b=-×2a×b=2a2=4,

22

所以ci2=2,b=4a=8,則C的方程為［一(=1.

故答案為：√-5;?-?=l?

28

根據(jù)直線的平行關(guān)系與斜率的關(guān)系和直角三角形邊與角的關(guān)系結(jié)合雙曲線的0h,C的關(guān)系可求

離心率；再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，進(jìn)而可表示面積.

本題考查雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)因?yàn)?3ccosB,所以V"3s譏BSiTIC=3sinCcosB,

又C為△4BC內(nèi)角，sinC≠0,所以√^^sinB=3cosB,

顯然8=］不滿足√"^5si幾8=3cosB,即有tanB=√-3,

而Be(0,π),所以B=或

(2)由余弦定理得/=a2+c2—2accosB=(a+c)2—3ac,

b=4,ac=16,則Q÷c=√h2÷3ac=8,

所以BC的周長為a+b+c=12.

【解析】(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡，即可得答案；

(2)由余弦定理結(jié)合已知條件，即可求得答案.

本題考查了正余弦定理，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(I)證明：因?yàn)镻B_L平面/IBC。，ADU平面4BCD,

所以PBJ.皿

又乙BAD=90°,

所以AB1AD.

由PAnAB=4,PA,ABU平面PAB,

得ZD1平面24B.

因?yàn)锽FU平面P4B,

所以4。1BF.

因?yàn)槭瑸镻A的中點(diǎn)，PB^AB,

所以PA1BF.

由PanAD=A,PA,ADU平面PAD,

得BFJ■平面Pm

因?yàn)镻OU平面PA。，

所以BF1PD.

(2)因?yàn)镻BI平面ABCD,AB,BCU平面ABCD,所以PBJ.AB,PB1BC,

因?yàn)榱lBC,所以BA,BC,BP兩兩垂直，

所以以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA,BC,BP所在的直線為X,y,Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

則P(0,0,6),F(3,0,3),C(0,6,0),D(6,3,0),

CF=(3,-6,3),^CD=(6,-3,0).CP=(0,-6,6).

設(shè)平面CDF的法向量為萬=(XlJi,Zi),

則四?三=3%-6%+3z1=。,令Q1,得記=(IZ3).

(Tn?CD=6x1—3y1=0,

設(shè)平面Cz)P的法向量為亢=Q2f2,Z2),

n-CD=6x—3%=0,

則2令&=1，得五=(L2,2).

nCP=-6y2+6z2=0,

沆員_11_11√^4

cos(in,n)=

∣rn∣∣n∣-3?Λl4^42

由圖可知，二面角P—CO-F為銳角,

所以二面角P-CD-F的余弘值為耳更.

42

【解析】(1)由PB_L平面力BCD,得PB14D,結(jié)合AB1AD可得ZD_L平面P4B,則Az)IBF,再

由等腰三角形三線合一可得Pa1BF,再由線面垂直的判定可得BFJ_平面P4D,從而可得BF1PD,

(2)由題意可證得B4BC,BP兩兩垂直，所以以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以B4BC,BP所在的直線

為X,y,Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可.

本題考查空間中垂直關(guān)系的判斷，考查利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間想象能力，

推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)設(shè)｛等差數(shù)列即｝的公差為d,則愿「如

十?ɑ—?/CLA十1?OCL,

解得Ql=-19,d=2,

故冊=α1+(n—l)d=2n—21；

n2

(2)由(1)可知，Sn="αQ=n2-20n=(n-IO)-100,

當(dāng)n=10時(shí)，S71取得最小值-IO0,

由Sm≤Sn+1恒成立，得τ∏2-20m+99≤0,解得9≤m≤11,

因?yàn)門neN*,所以τn=9或10或11.

【解析】(1)由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可先求出首項(xiàng)及公差，再求等差數(shù)列的通

項(xiàng)公式；

(2)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及二次不等式的求法即可求解.

本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)若從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中，任取三個(gè)數(shù)組成的一個(gè)三位遞增數(shù)共有底=10

種情況，

若這個(gè)數(shù)能被5整除，

此時(shí)個(gè)位數(shù)為5,滿足條件的情況有廢=6種情況，

則這個(gè)數(shù)能被5整除的概率P=4=|；

(2)易知IX的所有取值為0,1,2,

因?yàn)闈M足條件的三位遞增數(shù)共有瑤=84種情況，

當(dāng)X=O時(shí)，抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積既不能被3整除，又不能被5整除，

此時(shí)該三位遞增數(shù)中不能含有數(shù)字3,5,6,9,

則滿足條件的三位遞增數(shù)有或=10種情況，

則P(X=O)=患=竟，

當(dāng)X=I時(shí)，抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積能被3或5整除，但不能被15整除，

此時(shí)該三位遞增數(shù)中有數(shù)字5且沒有數(shù)字3,6,9或至少有數(shù)字3,6,9中的1個(gè)且沒有數(shù)字5,

則滿足條件的三位遞增數(shù)有量+CKV+戲讖+C∣=10+30+15+1=56種情況，

則P(X=I)=符=|,

當(dāng)X=2時(shí)，抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積能被15整除，

此時(shí)該三位遞增數(shù)中有數(shù)字5且至少有數(shù)字3,6,9中的1個(gè)，

則滿足條件的三位遞增數(shù)有CKJ+Cl=18種情況，

則p(χ=2)=∣∣=能

所以X的分布列為：

X012

523

P

42314

此時(shí)E(X)=OXK+lx∣+2X號=舁

【解析】(1)由題意，得到滿足條件的三位遞增數(shù)和個(gè)位數(shù)能被5整除的情況，利用古典概型概率

公式進(jìn)行求解即可；

(2)先得到X的所有取值，求出相對應(yīng)的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解.

本題考查離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

21.【答案】解：(1)由橢圓C：務(wù)5=1的左、

右頂點(diǎn)分別為Aι(-2,0),Λ2(2,0),

上頂點(diǎn)為B(0,l),可得α=2,b=l,

2

所以橢圓C的方程為I+y2=1.

4J

(2)依題可設(shè)直線&Q的方程為y=k(χ-2),其

中攵V

(y=fc(x—2)

聯(lián)立方程組包+丫2_］，整理得(l+4k2)χ2-i6∕c2χ+169—4=0,

H-J?16/—4ZB8k2—2

由W=由，"由’

則為=箴，

直線A/的方程為y=∣x+1,

(y=k(x-2).,?

聯(lián)立方程組1,1,解得孫=招z1，yp=患，

Iy=+1f2fc-l"2k-l

+T_

由8,Q,R三點(diǎn)共線，得電［=*，

UK—Z八R

4fc2+l

解得XR=好，

4k

直線PR的方程為y-O=4k鼻-2(X-W