2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第二章 第九講　函數(shù)模型及其應(yīng)用 學(xué)案

第九講函數(shù)模型及其應(yīng)用

?雙基自測(cè)

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)函數(shù)模型及其應(yīng)用

1.幾類常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型.x)=0x+應(yīng)”,匕為常數(shù)，.WO)

fix)=^+b(k,人為常數(shù)且k≠O)

反比例函數(shù)模型

二次函數(shù)模型./(X)=OX2+bx+c(α,b,C為常數(shù)，π≠0)

指數(shù)函數(shù)模型/X)=從f+c(a,b,C為常數(shù)，3≠0,α>0且α≠l)

對(duì)數(shù)函數(shù)模型/U)==og4x+c(α,b,C為常數(shù)，-WO,α>0月旦≠1)

幕函數(shù)模型flX)=ajd,+b{a,b為常數(shù)，α≠0)

2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

?.函數(shù)

y=ax(a>[)y=logd(α>l)y=xn(">O)

性質(zhì)

￠(0,+∞)

單調(diào)一遞增一單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長(zhǎng)速度越來越盤_越來越」S_相對(duì)平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表隨X的增大逐漸表隨〃值變化而各有

圖象的變化

現(xiàn)為與一y軸一平行現(xiàn)為與一X軸一平行不同

值的比較存在一個(gè)Xo,當(dāng)x>xo時(shí)，有l(wèi)og^<√,<av

3.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟

(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用

數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論;

(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題.

以上過程用框圖表示如下：

I加L,rml分析、聯(lián)想、

≡≡~~抽象、轉(zhuǎn)化-I建立函數(shù)模型I

數(shù)學(xué)|推演

答

還原

實(shí)際結(jié)果1數(shù)學(xué)結(jié)果I

歸納拓展

1.函數(shù)IAX)=無+f(α>O,x>0)在區(qū)間(0,3］內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間［如，+∞)

內(nèi)單調(diào)遞增.

2.直線上升、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)、指數(shù)爆炸.

雙基自測(cè)

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“義”)

(1)函數(shù)y=2*的函數(shù)值比y=x2的函數(shù)值大.(×)

(2)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y=α?〃+c(α≠0,b>0,匕#1)增長(zhǎng)速度越來越

快的形象比喻.(×)

(3)基函數(shù)增長(zhǎng)比直線增長(zhǎng)更快?(×)

(4)不存在Xo,使σvo<Λβ<log<,xo.(X)

［解析］⑴當(dāng)尸一1時(shí)，2-<(-IR

(2)“指數(shù)爆炸”是針對(duì)b>l,α>0的指數(shù)型函數(shù)g(x)=α?"+c.

(3)塞函數(shù)增長(zhǎng)速度是逐漸加快的，當(dāng)變量較小時(shí)，其增長(zhǎng)很緩慢，題目說

的太絕對(duì)，也沒有任何條件限制.

(4)當(dāng)α∈(0,1)時(shí)存在尤0,使αro<r6<log0xo.

題組二走進(jìn)教材

2.(必修1PI4OT6改編)某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)圖如圖

所示，則下列說法中錯(cuò)誤的是(D)

A.收入最高值與收入最低值的比是31

B.結(jié)余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同

D.前6個(gè)月的平均收入為40萬元

3.(必修1P∣56T14改編)在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得變量X和變量y的幾組

數(shù)據(jù)，如下表:

X0.500.992.013.98

y-0.99(λδι(198Ξδδ

則對(duì)X,y最適合的擬合函數(shù)是(D)

A.y=2xB.y=x1~?

C.y=2x-2D.y=Iogzx

［解析］根據(jù)X=O.50,γ=-0.99,代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)尤=2.01,

γ=0.98,代入計(jì)算，可以排除B、C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=log2χ,可知滿足題

意，故選D.

4.泌修1PI6IT8改編)某種動(dòng)物繁殖量y只與時(shí)間X年的關(guān)系為γ=αlog3(x

+1),設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只，到第8年它們將發(fā)展到(A)

A.200只B.300只

C.400只D.500只

［解析］：繁殖數(shù)量y只與時(shí)間X年的關(guān)系為y=αlog3(x+l),這種動(dòng)物第2

年有100只,

Λ100=αlog3(2+1),Λa=100,

.?.y=lθθlog3(x+l),

當(dāng)X=8時(shí)，y=1001og3(8+1)=100X2=200.故選A.

題組三走向高考

5.(2020?全國(guó)III,4)LOgiStiC模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)

領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)7(0(/的單位：

K

天)的LogiStiC模型：/(f)=］+e-o.23(L53)，其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)∕Q*)=0.95K

時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則廣約為Qn19心3)(C)

A.60B.63

C.66D.69

［解析］本題以LOgiStiC模型和新冠肺炎為背景考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算.由

K1

題意可得")=1+二蘇=53j=0?95K,化簡(jiǎn)得屋°?23(,*-53)=言，即0.23(/-53)

=In19,所以f*=?L普+53%高+53-66.故選C.

6.(2022?北京高考卷)在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)

保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一

定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和IgP的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；

P表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是(D)

A.當(dāng)T=220,P=Io26時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)T=270,P=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)T=300,P=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)T=360,P=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

［解析］對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)T=220,P=1026,即IgP=Ig1026>lg103=3時(shí),

根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于固態(tài)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)T=270,P=128,即IgP

=Ig128∈(lgIO2,IgIO3),即lgP∈(2,3)時(shí)，根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于液態(tài)；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)T=300,P=9987,即IgP=Ig9987<lg1()4=4時(shí)，根據(jù)圖象

可知，二氧化碳處于固態(tài)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)T=360,P=729,即IgP=Ig729

∈(lglθ2,IglO3),即IgP=Ig729∈(2,3)時(shí)，根據(jù)圖象可知,二氧化碳處于超臨

界狀態(tài).故選D.

場(chǎng)居?意善?互動(dòng)探究

考點(diǎn)函數(shù)模型及應(yīng)用

考向1利用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題的變化過程——自主練透

例1(1)(多選題)某“跑團(tuán)”為了解團(tuán)隊(duì)每月跑步的平均里程，收集并整理了

2022年1月至2022年11月期間“跑團(tuán)”每月跑步的平均里程(單位：千米)的數(shù)

據(jù).繪制了下面的折線圖.

根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是(CD)

A.月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對(duì)應(yīng)的平均里程數(shù)

B.月跑步平均里程逐月增加

C.月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月

D.1月至5月的月跑步平均里程相對(duì)于6月至11月，波動(dòng)性更小，變化比

較平穩(wěn)

(2)(2023.武漢模擬)在用計(jì)算機(jī)處理灰度圖象(即俗稱的黑白照片)時(shí)，將灰度

分為256個(gè)等級(jí)，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中間的灰度根

據(jù)其明暗漸變程度用。至255之間對(duì)應(yīng)的數(shù)表示，這樣可以給圖象上的每個(gè)像素

賦予一個(gè)“灰度值”.在處理有些較黑的圖象時(shí)，為了增強(qiáng)較黑部分的對(duì)比度，

可對(duì)圖象上每個(gè)像素的灰度值進(jìn)行轉(zhuǎn)換，擴(kuò)展低灰度級(jí)，壓縮高灰度級(jí)，實(shí)現(xiàn)如

下圖所示的效果：

則下列可以實(shí)現(xiàn)該功能的一種函數(shù)圖象是(A)

（3）（2022.武漢調(diào)研）為研究西南高寒山區(qū)一種常見樹的生長(zhǎng)周期中前10年的

生長(zhǎng)規(guī)律，統(tǒng)計(jì)顯示，生長(zhǎng)4年的樹高為;米，如圖所示的散點(diǎn)圖，記錄了樣本

樹的生長(zhǎng)時(shí)間*年）與樹高y（米）之間的關(guān)系.請(qǐng)你據(jù)此判斷，在下列函數(shù)模型：

?y=2'—a；②y=α+l0g2f;③④y=3+α中（其中α為正的常數(shù)），生

長(zhǎng)年數(shù)與樹高的關(guān)系擬合最好的是②（填寫序號(hào)）,估計(jì)該樹生長(zhǎng)8年后的樹

高為號(hào)_米.

［解析］（1）由折線圖知，月跑步平均里程的中位數(shù)為5月份對(duì)應(yīng)的平均里程

數(shù)，A錯(cuò)誤；月跑步平均里程不是逐月增加的，B錯(cuò)誤；月跑步平均里程高峰期

大致在9月和10月，C正確；1月至5月的月跑步平均里程相對(duì)于6月至11月，

波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)，D正確.

（2）根據(jù)圖片處理過程中圖象上每個(gè)像素的灰度值轉(zhuǎn)換的規(guī)則可知，相對(duì)于

原圖的灰度值，處理后的圖象上每個(gè)像素的灰度值增加，所以圖象在y=x上方，

結(jié)合選項(xiàng)只有A選項(xiàng)能夠較好的達(dá)到目的.

（3）由散點(diǎn)圖的走勢(shì)，知模型①不合適.

曲線過點(diǎn)（4,?j,則后三個(gè)模型的解析式分別為②y=g+log2t;③y=%∣?/；

④y=3+g,當(dāng)，=1時(shí)，代入④中，得y=*與圖不符，易知擬合最好的是②.

將r=8代入②式，得y=g+log28=果米）.

名帥A撥MINGSHIDIANBO

1.用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題的解題思路

將實(shí)際問題中兩個(gè)變量間變化的規(guī)律（如增長(zhǎng)的快慢、最大、最小等）與函數(shù)

的性質(zhì)（如單調(diào)性、最值等）、圖象（增加、減少的緩急等）相吻合即可.

2.判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法

（1）構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再

結(jié)合模型選圖象.

（2）驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的

變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的

情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.

考向2已知函數(shù)模型的實(shí)際問題——師生共研

例2（2022?云南昆明市第三中學(xué)期中）第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年9月10

日至2022年9月25日在浙江省杭州市舉行，換上智慧腦、聰明肺的黃龍?bào)w育中

心承辦足球、體操、水球等項(xiàng)目.為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場(chǎng)館還配備了先

進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水污染物數(shù)量Mmg/L）與時(shí)間/的

關(guān)系為N=Noeh（NO為最初污染物數(shù)量）.如果前4小時(shí)消除了20%的污染物，

那么污染物消除至最初的64%還需要（C）

A.3.6小時(shí)B.3.8小時(shí)

C.4小時(shí)D.4.2小時(shí)

［解析］因?yàn)榍?小時(shí)消除了20%的污染物，所以0.8M）=NOe一軟，解得Z=

Jn0.8

一4，

In0.8.

設(shè)經(jīng)過/小時(shí)污染物消除至最初的64%,則0.64NO=Noe二二

即生詈/=In0.64,解得t=8,

所以污染物消除至最初的64%還需要8-4=4小時(shí).故選C.

名幃點(diǎn)披MINGSHIDIANBO

求解已給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)

1.認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

2.根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

3.利用該模型求解實(shí)際問題.

〔變式訓(xùn)練1〕

(2022.海南?？诙?在核酸檢測(cè)時(shí)，為了讓標(biāo)本中DNA的數(shù)量達(dá)到核酸探

針能檢測(cè)到的閾值，通常采用PCR技術(shù)對(duì)DNA進(jìn)行快速復(fù)制擴(kuò)增數(shù)量.在此過

程中，DNA的數(shù)量X”(單位：μg∕μL)與PCR擴(kuò)增次數(shù)〃滿足X"=Xo><1.6",其中

Xo為DNA的初始數(shù)量.已知某待測(cè)標(biāo)本中DNA的初始數(shù)量為0.1μg∕μL,核酸

探針能檢測(cè)到的DNA數(shù)量最低值為10μg∕μL,則應(yīng)對(duì)該標(biāo)本進(jìn)行PCR擴(kuò)增的次

數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù)：Ig1.6^0.20,In1.6^0.47)(B)

A.5B.10

C.15D.20

［解析］由題意知XO=O.1,XZl=I0,令I(lǐng)O=O.1X1.6",得16=100,取以

2

10為底的對(duì)數(shù)得〃lg1.6=2,所以“=?^γ石心10.故選B.

考向3構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題—多維探究

角度1一次函數(shù)、二次函數(shù)分段函數(shù)模型

例3共享單車是城市慢行系統(tǒng)的一種模式創(chuàng)新，對(duì)于解決民眾出行“最后一

公里”的問題特別見效，由于停取方便、租用價(jià)格低廉，各色共享單車受到人們

的熱捧.某自行車廠為共享單車公司生產(chǎn)新樣式的單車，已知生產(chǎn)新樣式單車的

固定成本為20OOO元，每生產(chǎn)一輛新樣式單車需要增加投入100元.根據(jù)初步

測(cè)算，自行車廠的總收益(單位：元)，滿足分段函數(shù)h(x)=

400Λ-0<x≤400,

其中X是新樣式單車的月產(chǎn)量(單位：輛)，利潤(rùn)=總

180000,x>400,

收益一總成本.

(1)試將自行車廠的利潤(rùn)y(單位：元)表示為關(guān)于月產(chǎn)量X的函數(shù)；

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少輛時(shí)，自行車廠的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

［解析］(1)依題設(shè)知，總成本為(20000+IOOx)元，

-?+300χ-20000,0<Λ≤400,且X∈N,

2ΛW"八Λ75

則y='

60000-100Λ-,X>400,且X∈N.

(2)當(dāng)0<x≤400時(shí)，γ=-^(χ-300)2+25OOO,

故當(dāng)x=300時(shí)，ymax=25000；

當(dāng)x>400時(shí)，y=60000—IOOX是減函數(shù)，

故y<60OOO-100×400=20000.

所以當(dāng)月產(chǎn)量為300輛時(shí)，自行車廠的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為25000元.

名帥A撥MINGSHIDIANBO

(1)分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作

幾個(gè)問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量

的范圍，特別是端點(diǎn)值.

(2)構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，做到分段合理不重不漏.

角度2指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型

例42020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王

旗預(yù)定區(qū)域安全著陸.嫦娥五號(hào)返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是

因?yàn)樗捎脧椞椒祷貜椀?，?shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”

原理類似(如圖所示).現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為100

m∕s,這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水

漂”的速率為上一次的90%,若要使石片的速率低于60m∕s,則至少需要“打水

漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：?In0.6^-0.51bIn0.9^-0.105)(C)

A.4B.5

C.6D.7

［解析］設(shè)石片第〃次“打水漂”時(shí)的速率為力,

貝IJ%=100X0.90"I.

由IooXo.90"T<60,得0.90"T<0.6,

則（〃一I）In0.90<ln0.6,

In0.6—0.511.

即Cm“一1>麗心^^=4.87,則心5用7,

故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.

名帥A撥MINGSHIDIANBO

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用技巧

(1)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問題，在求解時(shí)，要先

學(xué)會(huì)合理選擇模型，在兩類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來越快(底數(shù)大

于D的一類函數(shù)模型，與增長(zhǎng)率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型.

(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需要通過待定系數(shù)法確

定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題.

〔變式訓(xùn)練2〕

(1)(角度1)“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進(jìn)入消費(fèi)者

視線的.已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費(fèi)A之間滿足關(guān)系R=ay［A

(α為常數(shù))，廣告效應(yīng)為。=6區(qū)一4那么精明的商人為了取得最大廣告效應(yīng)，投

入的廣告費(fèi)應(yīng)為仁(用常數(shù)a表示).

(2)(角度2)(2022?青島檢測(cè))一種放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過一

3

年就有G的質(zhì)量發(fā)生衰變.若該物質(zhì)余下質(zhì)量不超過原有的1%,則至少需要的年

數(shù)是(C)

A.6B.5

C.4D.3

2

［解析］⑴令f=b(f20),則A=/2,所以D=αL∕2=-(L5)+%2.所以

當(dāng)r=gα,即A=(/時(shí)，￡)取得最大值.

(2)設(shè)這種放射性物質(zhì)最初的質(zhì)量為1,

經(jīng)過X(X∈N)年后，剩余量是y,

則有產(chǎn)出

依題意得≤-?.

則22JeIo0,解得x24.

所以至少需要的年數(shù)是4.

?素養(yǎng)提升

的數(shù)y=x+*α>O)模型及應(yīng)用

例5(2022?全國(guó)高三專題練習(xí))十九大指出中國(guó)的電動(dòng)汽車革命早已展開，通

過以新能源汽車替代汽/柴油車，中國(guó)正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的

計(jì)劃，2020年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備看，通過市場(chǎng)分析，全年需

投入固定成本3OOO萬元，每生產(chǎn)無(百輛)需另投入成本M萬元)，且y=

10√+100x,0<X<40,

',10000、由市場(chǎng)調(diào)研知，每輛車售價(jià)5萬元，且全年內(nèi)

50Ix+---------4500,x≥40.

IX

生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.

(1)求出2020年的利潤(rùn)S(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式；(利潤(rùn)=銷

售額一成本)

(2)當(dāng)2020年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).

[解析](1)由題意得當(dāng)0<x<40時(shí)，S(x)=500Λ-(10Λ2+100Λ)-3000=-

10√+400A-3000,

當(dāng)x240時(shí)，S(x)=500Λ-[^50lΛ÷10θ00-4500)—3000=1500-χ-10θ00

1Of+40OX—3000,0<x<40,

所以S(x)='10000、

1500-X---------，x≥40.

IX

(2)由(1)得當(dāng)(Kr<40時(shí)，5(X)=-10X2+400Λ-3000,

當(dāng)X=20時(shí)，SmaXa)=IO00,

的=]5。。一L等嗎5。。一(葉叫，

當(dāng)x240時(shí),

..,1000022、