四川省涼山州2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷【含答案解析】

涼山州2023-2024學(xué)年度上期期末檢測(cè)試卷高二數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求）1.直線的一個(gè)方向向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由直線斜率得到直線的一個(gè)方向向量，再對(duì)選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)即可.【詳解】直線方程可化為：，故直線的一個(gè)方向向量為：，因?yàn)?，所以D對(duì).故選：D2.“牛角栱”是涼山彝族民房檐枋裝飾藝術(shù)中的重要特色之一，如圖，已知牛角栱外側(cè)弧線部分為拋物線的一部分，寬度，高度根據(jù)圖中的坐標(biāo)系，則這條拋物線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)拋物線方程為，通過(guò)代入B點(diǎn)坐標(biāo)即可求得拋物線方程.【詳解】設(shè)拋物線方程為：，由題意可得，將代入拋物線方程得，所以?huà)佄锞€方程為，故選：D.3.等差數(shù)列中，，，則的值為（）A.18 B.20 C.22 D.24【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】等差數(shù)列中，，，而，所以.故選：C4.經(jīng)過(guò)兩條直線和的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)垂直求出斜率，點(diǎn)斜式寫(xiě)方程即可.【詳解】由題知：，解得：，交點(diǎn).直線的斜率為，所求直線斜率為.所求直線為：，即.故選：B.5.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不大于10的素?cái)?shù)中，選兩個(gè)不同的數(shù)，和為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出不大于10的所有素?cái)?shù)，再利用列舉法求出古典概率即得.【詳解】不大于10的素?cái)?shù)有2，3，5，7，從中任取兩個(gè)數(shù)的試驗(yàn)的樣本空間，共6個(gè)樣本點(diǎn)，其中和為偶數(shù)的樣本點(diǎn)有，其3個(gè)，所以和為偶數(shù)的概率為.故選：D6.已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，，則直線與所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用全等三角形證得，由余弦定理求出，再利用定義法求出直線與所成角的正弦值.【詳解】連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，由底面為正方形，，得，即，又，則，有，即，在中，由余弦定理得，則為正三角形，由，得是直線與所成的角，即，，所以直線與所成角的正弦值為.故選：A7.過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí)的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】判斷已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算即得.【詳解】圓的圓心，半徑，記為點(diǎn)，，即點(diǎn)在圓內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，此時(shí)，所以的面積.故選：A8.空間四邊形中，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】作出空間四邊形，即可得出的表達(dá)式.【詳解】由題意，在空間四邊形中，，為中點(diǎn)，∴,∴,故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列結(jié)論正確的是（）A.若向量，，，則，，共面B.已知平面，不重合，平面和平面的一個(gè)法向量均為，則C.若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則D.若向量，，則在上投影向量為【答案】AB【解析】【分析】利用空間向量的共面定理判斷選項(xiàng)A；根據(jù)利用法向量判斷兩平面的平行關(guān)系確定選項(xiàng)B;根據(jù)向量與平行的關(guān)系判斷選項(xiàng)C；利用投影向量的定義求解選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)A觀察可知，，所以共面，A正確；對(duì)B，平面和平面的一個(gè)法向量相等，則,B正確；對(duì)C，，所以或，C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)?，，所以，所以在上的投影向量為，D錯(cuò)誤；故選:AB.10.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線與所成的角為B.點(diǎn)與平面的距離為C.平面與平面所成的角為D.直線與平面所成的角為【答案】BD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量相關(guān)公式求解線線角，點(diǎn)到平面的距離，面面角和線面角的大小.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A選項(xiàng)，則，故，故，故直線與所成的角為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)平面法向量為，，令得，，故，故點(diǎn)到平面的距離為，B正確；C選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，令，則，故，平面的法向量為，故，故平面與平面所成的角不為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)椤推矫妫矫?，所以⊥，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角大小為，顯然，故直線與平面所成的角為，D正確.故選：BD11.已知等比數(shù)列的公比為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B.C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.【答案】BC【解析】【分析】A、B、C均可由等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式可得；D選項(xiàng)需要利用錯(cuò)位相減法求和，進(jìn)而可得答案.【詳解】由等比數(shù)列的公比為，，，可得，即，故A錯(cuò)誤；，故B正確；又，所以，即是一個(gè)以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故C正確；驗(yàn)證當(dāng)時(shí)的結(jié)果，此時(shí)，則，所以，，，得，所以，故D錯(cuò)誤，故選：BC.12.我們把離心率為的雙曲線叫做理想雙曲線，若雙曲線是理想雙曲線，左右頂點(diǎn)分別為，，虛軸?點(diǎn)為，，右焦點(diǎn)為，離心率為，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，則到漸近線的距離為C.D.外接圓的面積為【答案】AC【解析】【分析】由離心率的意義，結(jié)合計(jì)算判斷AB；利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示判斷C；確定的外接圓半徑判斷D.【詳解】雙曲線是理想雙曲線，則，設(shè)，則有，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，解得，A正確；對(duì)于B，點(diǎn)，雙曲線的漸近線，則到漸近線的距離為，而，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由對(duì)稱(chēng)性，不妨令點(diǎn)，即有，于是，，即，C正確；對(duì)于D，，則，即，因此線段是的外接圓的直徑，該圓半徑為，該圓面積，由于，不確定，因此的外接圓面積不確定，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為，而雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為(即)，應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．）13.過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_(kāi)______________.【答案】或【解析】【分析】分類(lèi)討論直線是否過(guò)原點(diǎn)確定直線方程即可.【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，則，直線方程為，即，當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，直線方程為，整理可得：.故答案為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求解，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14.已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線距離的向量求法計(jì)算即得.【詳解】由點(diǎn)，，，得，所以點(diǎn)到直線的距離.故答案為：15.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差不為0，若，則______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式列式計(jì)算即得.【詳解】在等差數(shù)列中，由，得，整理得，所以故答案為：116.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若為等邊三角形，則的值為_(kāi)_____．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圓、拋物線的對(duì)稱(chēng)性，借助圖形求出的長(zhǎng)即可得解.【詳解】圓的圓心，半徑，由切圓于點(diǎn)，得，且平分，而為等邊三角形，即，于是，，則點(diǎn)，又拋物線的焦點(diǎn)，所以，即.故答案為：4三、解答題（本大題共6小題、共計(jì)70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算過(guò)程）17.已知直線．（1）求證：直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；（2）若直線交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時(shí)直線的方程．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），.【解析】【分析】（1）利用直線的點(diǎn)斜式方程即可得到直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).（2）先求得的面積S的表達(dá)式，再利用均值定理即可求得S的最小值，進(jìn)而求得此時(shí)直線的方程.【小問(wèn)1詳解】直線，化為，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，所以直線過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】依題意，顯然，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，而點(diǎn)分別在軸的正半軸上，即，于是，則的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，，直線的方程的方程為.18.為參加涼山州第八屆“學(xué)憲法講憲法”演講比賽，某校組織選拔活動(dòng)，通過(guò)兩輪比賽最終決定參加州級(jí)比賽人選，已知甲同學(xué)晉級(jí)第二輪的概率為，乙同學(xué)晉級(jí)第二輪的概率為．若甲、乙能進(jìn)入第二輪，在第二輪比賽中甲、兩人能勝出的概率均為．假設(shè)甲、乙第一輪是否晉級(jí)和在第二輪中能否勝出互不影響．（1）若甲、乙有且只有一人能晉級(jí)第二輪的概率為，求的值；（2）在（1）的條件下，求甲、乙兩人中有且只有一人能參加州級(jí)比賽的概率．【答案】18.19.【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式可分別計(jì)算甲、乙贏得比賽的概率，可得到結(jié)論；（2）根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件表示“甲在初賽中晉級(jí)”，事件表示“乙在初賽中晉級(jí)”，由題意可知，，解得.【小問(wèn)2詳解】設(shè)事件為“甲?乙兩人中有且只有一人能參加市級(jí)比賽”，為“甲能參加市級(jí)比賽”，為“乙能參加市級(jí)比賽”，則，，所以.19.三棱柱中，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，．設(shè)，，（1）試用，，表示向量；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合幾何圖形，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即得.（2）由（1）的結(jié)論，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】三棱柱中，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，則，，因此.【小問(wèn)2詳解】，，則，同理得，所以.20.已知數(shù)列中，滿(mǎn)足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）利用已知條件推出，說(shuō)明數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列．然后求解通項(xiàng)公式．（2）利用分組求和法求和；【詳解】解：（1）證明：于是因?yàn)?，即?shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比等比數(shù)列．因?yàn)?，所以?）由（1）知，所以【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21.如圖為直三棱柱，，，設(shè)為的中點(diǎn)．（1）證明；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.（2）以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立坐標(biāo)系，用空間向量法求解.【小問(wèn)1詳解】在直三棱柱中，平面，平面，則，又，且，平面，因此平面，又平面，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，直線兩兩垂直，令，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，得，則，令二面角的大小為，因此，所以二面角的正弦值為.22.已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)直線上一點(diǎn)作橢圓的切線，切點(diǎn)為，，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分