3.3 垂徑定理-北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊課件

第三章

圓3垂徑定理1.探索并證明垂徑定理.2.掌握垂徑定理及其推論，并能利用它們進行計算和證明.3.在探索與證明的過程中，進一步發(fā)展推理能力.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.什么是軸對稱圖形？我們學(xué)過哪些軸對稱圖形？

如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形，如線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形.2.圓是軸對稱圖形嗎？如果是,它的對稱軸是什么?你能找到多少條對稱軸？知識回顧圓是軸對稱圖形.圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線,它有無數(shù)條對稱軸.●O可利用折疊的方法即可解決上述問題.情境引入OACBNMD任意一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸

任意一條直徑都是圓的對稱軸（）③AM=BM,一、垂徑定理你能發(fā)現(xiàn)圖中哪些等量關(guān)系?與同伴說說你的想法和理由.作直徑CD,使CD⊥AB,垂足為M.下圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么？由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.題設(shè)結(jié)論新知探究ABCDMO連接OA,OB,●OABCDM└則OA=OB.∴AM=BM,∠AOC=∠BOC.⌒⌒∴AC=BC.在Rt△OAM和Rt△OBM中，證明：已知：CD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，且CD⊥AB于M.求證：AM=BM，AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒⌒∵OA=OB,OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM

(HL).垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.題設(shè)結(jié)論（1）直徑（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)弧（5）平分弦所對的劣弧例1在下列圖形中，你能否利用垂徑定理找到相等的線段或相等的圓??？例題講解例2如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求⊙O的半徑.E.ABO解：連接OA.過O作OE⊥AB，垂足為E，則OE＝3厘米，AE＝BE.∵AB＝8厘米，∴AE＝4厘米.

在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理有OA＝5厘米.∴⊙O的半徑為5厘米.②CD⊥AB,AB是⊙O的一條弦（不是直徑）,且AM=BM.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說說你的想法和理由.過點M作直徑CD.●O下圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?小明發(fā)現(xiàn)圖中有:CD由①CD是直徑③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗二、垂徑定理的推論新知探究OABMN一個圓的任意兩條直徑總是互相平分，但是它們不一定互相垂直.因此這里的弦如果是直徑，結(jié)論就不一定成立.推論1. 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.CD你可以寫出相應(yīng)的命題嗎?如圖,在下列五個條件中:只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結(jié)論.●OABCDM└①

CD是直徑,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD

=BD.垂徑定理的逆定理CDABE例：平分已知弧AB.已知：弧AB.作法：⒈連接AB.⒉作AB的垂直平分線CD，交弧AB于點E.點E就是所求弧AB的中點.求作：弧AB的中點.

學(xué)以致用：畫一畫你能破鏡重圓嗎？ABCmn·O作弦AB，AC及它們的垂直平分線m，n，交于O點；以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓.破鏡重圓ABCmn·O弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對的兩條弧.

作圖依據(jù)：1.判斷⑴垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的弧()⑵弦所對的兩弧中點的連線,垂直于弦,并且經(jīng)過圓心()⑶圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分()⑷平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧()⑸圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分（）×√××√隨堂練習(xí)（6）平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧.（7）平分弦的直線，必定過圓心.（8）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直線垂直這條弦.

ABCDO(1)ABCD

O(2)ABCD

O(3)（9）弦的垂直平分線一定是圓的直徑.（10）平分弧的直線，平分這條弧所對的弦.（11）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分.

ABC

O(4)ABCD

O(5)ABCD

O(6)E2.已知：如圖，⊙O

中，AB為弦，C

為弧AB

的中點，OC交AB于D

，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O

的半徑OA.挑戰(zhàn)自我做一做?怎樣解答3.如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為7.2米,拱頂高出水面2.4米.現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？解:如圖,用表示橋拱,所在圓的圓心為O,半徑為Rm,經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OD,D為垂足,與相交于點C.根據(jù)垂徑定理,D是AB的中點,C是的中點,CD就是拱高.由題設(shè)得在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得

R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此貨船能順利通過這座拱橋.

垂徑定理及其推論1的實質(zhì)是把(1)直線MN過圓心;(2)直線MN垂直AB