平面向量期末復(fù)習(xí)+平面向量強(qiáng)化訓(xùn)練經(jīng)典題型含詳細(xì)答案

數(shù)學(xué)必修4平面向量復(fù)習(xí)一基本概念:1.向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒有方向的量．零向量：長度為的向量．2.單位向量：是模（長度）為1的向量，若其坐標(biāo)為(x，y)，其中x，y滿足x2+y2=13.平行向量（即共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行，．4.相等向量：長度相等且方向相同的向量．5．向量的坐標(biāo)i、j是與x軸、y軸方向相同的單位向量，若a==xi+yj，則A(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a==(x，y)．二、向量運(yùn)算：向量加法運(yùn)算：=1\*GB2⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連．=2\*GB2⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)．=3\*GB2⑶三角形不等式：．=4\*GB2⑷運(yùn)算性質(zhì)：=1\*GB3①交換律：；=2\*GB3②結(jié)合律：；=3\*GB3③．=5\*GB2⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，則．向量減法運(yùn)算：=1\*GB2⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量．=2\*GB2⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，則．設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則．注意：正反思維：向量數(shù)乘運(yùn)算：=1\*GB2⑴實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作．=1\*GB3①；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，．=2\*GB2⑵運(yùn)算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=3\*GB2⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則．平面向量的數(shù)量積：1．向量的夾角：向量a和b，作=a，=b，則AOB=(0180)叫做向量a和b的夾角．2.數(shù)量積：=1\*GB2⑴．零向量與任一向量的數(shù)量積為．坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量，，則．即3性質(zhì)：設(shè)和都是非零向量，則=1\*GB3①當(dāng)與同向時(shí)即θ=0°，；當(dāng)與反向時(shí)即θ=180°，；=3\*GB2⑶或．=3\*GB3③．4運(yùn)算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．5.特別注意：①向量的投影：向量b在a方向上的投影是：|b|cos②當(dāng)為銳角時(shí)，且與不同向；當(dāng)為鈍角時(shí)，且與不反向；當(dāng)=90時(shí)，③數(shù)量積不適合乘法結(jié)合律如(ab)ca(bc)(∵(ab)c與c共線，而a(bc)與a共線)．④．?dāng)?shù)量積的消去律不成立若a、b、c是非零向量且ac=bc，并不能得到a=b．三、平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使．1．不共線的向量、作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2、分點(diǎn)坐標(biāo)求法：設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別是，，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)的方法：設(shè)P的坐標(biāo)為則∴當(dāng)四、向量的應(yīng)用：（一）求長度

①若，則，或②兩點(diǎn)間的距離：若，，,（二）證垂直：向量垂直的條件：（三）向量平行(共線)的充要條件：

①向量與共線即，存在唯一實(shí)數(shù)，使②三點(diǎn)A、B、C共線共線(四).求向量夾角：是與的夾角，設(shè)、都是非零向量，，，則．注意：的范圍：五、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若與不共線，則對平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、；使得。2、向量的模：＝＝；非零向量與的夾角：3、向量平行：∥；向量垂直：⊥三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件的向量形式1）是的重心;若是的重心，則故;為的重心.2）是的垂心;若是(非直角三角形)的垂心，則故3）是的外心若是的外心,則故是內(nèi)心的充要條件是引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡潔。如果記的單位向量為，則剛才是內(nèi)心的充要條件可以寫成是內(nèi)心的充要條件也可以是若是的內(nèi)心，則故;的內(nèi)心;向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；六、基礎(chǔ)訓(xùn)練（1）已知，且，則向量在向量上的投影為（2）已知A（3，y），B（，2），C（6，）三點(diǎn)共線，則y=_________.（3）非零向量和滿足：，則與的夾角等于.七、典例講解.例1.已知，，（1）證明：三點(diǎn)共線.（2）為何值時(shí)，①向量與平行②向量與垂直例2、平面內(nèi)有向量，點(diǎn)Q為直線OP上一動點(diǎn)，1）求取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)2）當(dāng)點(diǎn)Q滿足1）的條件和結(jié)論時(shí)，求的值。例3.已知向量，，（1）若求的值。（2）求的最小值.（3）求函數(shù)=·的單調(diào)增區(qū)間八、鞏固練習(xí)1．已知平面內(nèi)三點(diǎn)A（-1，0），B（x，6），P（3，4），且=，x和的值分別為()A．-7，2B．5，2C．-7，D．5，2、向量，滿足，，則的取值范圍是．3、已知，，，則．4、已知+，２－，則向量+2與2－（）A、一定共線B、一定不共線C、僅當(dāng)與共線時(shí)共線D、僅當(dāng)=時(shí)共線5、已知ABC頂點(diǎn)A（―1，），B（2，3）及重心坐標(biāo)G（1，），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為__________6．已知O（0，0）和A（6，3）兩點(diǎn)，若點(diǎn)P在直線OA上，且，又P是線段OB的中點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是7、已知||=||，，且（+）（k-），則k的值是()A．1B．-1C．0D．-28、已知，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________________9、已知點(diǎn)O（0，0），A（1，2），B（4，5）,為一動點(diǎn)，及，（1）t為何值時(shí)，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？（2）四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由。10、已知，，且與的夾角為（1）求，，（2）證明：與垂直11、已知：、、是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且‖，求的坐標(biāo)（2）若||=，且+2與2-垂直，求與的夾角.12、已知等邊三角形的邊長為2，⊙的半徑為1，為⊙的任意一條直徑，（Ⅰ）判斷的值是否會隨點(diǎn)的變化而變化，請說明理由；（Ⅱ）求的最大值．平面向量A組（1）如果，是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（）(A)(B)(C)(D)（2）在四邊形中，若，則四邊形的形狀一定是()(A)平行四邊形(B)菱形(C)矩形(D)正方形（3）若平行四邊形的3個(gè)頂點(diǎn)分別是（4，2），（5，7），（3，4），則第4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是（）(A)（12，5）(B)（-2，9）(C)（3，7）(D)（-4，-1）（4）已知正方形的邊長為1，，，，則等于()(A)0(B)3(C)(D)（5）已知，，且向量，不共線，若向量與向量互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為．（6）在平行四邊形ABCD中，，，O為AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)M在BD上，，則向量用，表示為；用，表示為．（7）在長江南岸渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h．渡船要垂直地渡過長江，則航向?yàn)椋?）三個(gè)力，，的大小相等，且它們的合力為0，則力與的夾角為．（9）用向量方法證明：三角形的中位線定理．（10）已知平面內(nèi)三點(diǎn)、、三點(diǎn)在一條直線上，，，，且，求實(shí)數(shù)，的值．B組（11）已知點(diǎn)、、不在同一條直線上，點(diǎn)為該平面上一點(diǎn)，且，則()(A)點(diǎn)P在線段AB上(B)點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上(C)點(diǎn)P在線段AB的延長線上(D)點(diǎn)P不在直線AB上（12）已知D、E、F分別是三角形ABC的邊長的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，且，，，則①，②，③，④中正確的等式的個(gè)數(shù)為()（A）1（B）2（C）3（D）4（13）已知向量，，則向量在方向上的投影為．（14）已知，，點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為S，點(diǎn)S關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為N，則向量用、表示為．（15）已知向量，，若向量與的夾角為直角，則實(shí)數(shù)的值為；若向量與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．（16）已知，，，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，求的最小值及取得最小值時(shí)的值．平面向量C組1．下列各組平面向量中，可以作為基底的是（）A．B．C．D．2．已知向量＝（1,2），＝（x，－4），若∥，則（）A．4B．－4C．2D．3．設(shè)是單位向量，且則的最小值是（）A．B．C．D．4．已知三點(diǎn)、、，則等于（）A．－2B．－6C．2D．35．已知向量，，若∥，則等于（）A．B．C．D．6．若向量，，，則（）A．B．C．D．7．與向量平行的單位向量為（）A．B．C．或D．8．已知向量=（2，3），向量=（-4，7），則在上的投影為（）A．B．C．D．9．已知點(diǎn)為的外心，且則（）A．2B．4C．6D．810．已知平面向量，且∥，則（）A．-3B．-9C．9D．111．已知平面向量的夾角為，（）A．B．C．D．12．定義：，其中為向量與的夾角，若，則等于（）A．8B．－8C．8或－8D．613．已知向量，，，若用和表示，則=．14．向量，滿足，且，，則在方向上的投影為．15．若非零向量，滿足，且，則與的夾角為__________．16．設(shè)非零向量與的夾角是，且，則的最小值是．17．（10分）已知向量（1）求的坐標(biāo)表示；（2）求的值．18．（10分）已知點(diǎn)M1（6，2）和M2（1，7），直線y=mx－7與線段M1M2的交點(diǎn)M分有向線段的比為3∶2，求m的值．19．（12分）在△OAB的邊OA、OB上分別有一點(diǎn)P、Q,已知:＝1:2,:＝3:2,連結(jié)AQ、BP,設(shè)它們交于點(diǎn)R,若＝a，＝b．（1）用a與b表示；（2）過R作RH⊥AB,垂足為H,若|a|＝1,|b|＝2,a與b的夾角的范圍．20．（12分）設(shè)向量滿足（1）求的值（2）求與夾角的正弦值．21．（12分）已知向量，，設(shè)與的夾角為．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的值．22．（14分）已知向量=（3，－4），求：（1）與平行的單位向量；（2）與垂直的單位向量（3）將繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的向量的坐標(biāo)．一．選擇題（共30小題）1．（2011?重慶）已知向量=（1，k），=（2，2），且+與共線，那么?的值為（） A．1 B．2 C．3 D．42．（2011?遼寧）若為單位向量，且=0，，則的最大值為（） A．﹣1 B．1 C． D．23．（2011?湖北）若向量=（1，2），=（1，﹣1），則2+與的夾角等于（） A．﹣ B． C． D．4．（2011?湖北）已知向量∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y滿足不等式|x|+|y|≤1，則z的取值范圍為（） A．[﹣2，2] B．[﹣2，3] C．[﹣3，2] D．[﹣3，3]5．（2011?廣東）已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若λ為實(shí)數(shù)，（（a+λb）∥c），則λ=（） A． B． C．1 D．26．（2011?番禺區(qū)）如圖，已知=，=，=3，用，表示，則等于（） A．+ B．+ C．+ D．+7．（2011?番禺區(qū)）已知A（3，﹣6）、B（﹣5，2）、C（6，﹣9），則A分的比λ等于（） A． B．﹣ C． D．﹣8．（2010?重慶）已知向量a，b滿足a?b=0，|a|=1，|b|=2，，則|2a﹣b|=（） A．0 B． C．4 D．89．（2010?天津）如圖，在△ABC中，AD⊥AB，BCsinB=，，則=（） A． B． C． D．10．（2010?廣東）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）滿足條件（8﹣）?=30，則x=（） A．6 B．5 C．4 D．311．（2010?福建）若向量=（x，3）（x∈R），則“x=4”是“|a|=5”的（） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件12．（2010?湖南）若非零向量a，b滿足|a|=|b|，（2a+b）?b=0，則a與b的夾角為（） A．30° B．60 C．120° D．150°13．（2010?湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，則等于（） A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．1614．（2010?安徽）（安徽卷理3文3）設(shè)向量，，則下列結(jié)論中正確的是（） A． B． C．與垂直 D．15．（2009?浙江）已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量滿足（+）∥，⊥（+），則=（） A．（，） B．（﹣，﹣） C．（，） D．（﹣，﹣）16．（2009?四川）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，其一條漸近線方程為y=x，點(diǎn)在雙曲線上、則?=（） A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．417．（2009?陜西）在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=1，點(diǎn)P在AM上且滿足學(xué)，則等于（） A． B． C． D．18．（2009?山東）設(shè)p是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，則（） A． B． C． D．19．（2008?山東）已知a，b，c為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m=（，﹣1），n=（cosA，sinA）．若m⊥n，且αcosB+bcosA=csinC，則角A，B的大小分別為（） A．， B．， C．， D．，20．（2008?遼寧）已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A（0，2），B（﹣1，﹣2），C（3，1），且，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（） A． B． C．（3，2） D．（1，3）21．（2008?湖南）在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，則=（） A． B． C． D．22．（2008?海南）已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），與垂直，則λ是（） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．223．（2008?廣東）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，則=（） A．（﹣5，﹣10） B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）24．（2007?遼寧）若向量a與b不共線，a?b≠0，且，則向量a與c的夾角為（） A．0 B． C． D．25．（2007?湖北）連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記向量與向量的夾角為θ，則的概率是（） A． B． C． D．26．（2007?北京）已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且，那么（） A． B． C． D．27．（2006?陜西）已知非零向量與滿足（+）?=0，且?=﹣，則△ABC為（） A．等腰非等邊三角形 B．等邊三角形 C．三邊均不相等的三角形 D．直角三角形28．（2006?遼寧）△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c設(shè)向量，，若，則角C的大小為（） A． B． C． D．29．（2006?湖南）已知，且關(guān)于x的方程有實(shí)根，則與的夾角的取值范圍是（） A． B． C． D．30．（2006?廣東）如圖所示，D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則向量=（） A． B． C． D．

答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一．選擇題（共30小題）1．（2011?重慶）已知向量=（1，k），=（2，2），且+與共線，那么?的值為（） A．1 B．2 C．3 D．4考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題：計(jì)算題。分析：利用向量的運(yùn)算法則求出兩個(gè)向量的和；利用向量共線的充要條件列出方程求出k；利用向量的數(shù)量積公式求出值．解答：解：∵=（3，k+2）∵共線∴k+2=3k解得k=1∴=（1，1）∴=1×2+1×2=4故選D點(diǎn)評：本題考查向量的運(yùn)算法則、考查向量共線的充要條件、考查向量的數(shù)量積公式．2．（2011?遼寧）若為單位向量，且=0，，則的最大值為（） A．﹣1 B．1 C． D．2考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；向量的模。專題：計(jì)算題；整體思想。分析：根據(jù)及為單位向量，可以得到，要求的最大值，只需求的最大值即可，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則展開即可求得．解答：解：∵，即﹣+≤0，又∵為單位向量，且=0，∴，而==3﹣2≤3﹣2=1．∴的最大值為1．故選B．點(diǎn)評：此題是個(gè)中檔題．考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和模的計(jì)算問題，特別注意有關(guān)模的問題一般采取平方進(jìn)行解決，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析、解決問題的能力．3．（2011?湖北）若向量=（1，2），=（1，﹣1），則2+與的夾角等于（） A．﹣ B． C． D．考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角。分析：由已知中向量=（1，2），=（1，﹣1），我們可以計(jì)算出2+與的坐標(biāo)，代入向量夾角公式即可得到答案．解答：解：∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=（3，3）=（0，3）則（2+）?（）=9|2|=，||=3∴cosθ==∴θ=故選C點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，其中利用公式，是利用向量求夾角的最常用的方法，一定要熟練掌握．4．（2011?湖北）已知向量∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y滿足不等式|x|+|y|≤1，則z的取值范圍為（） A．[﹣2，2] B．[﹣2，3] C．[﹣3，2] D．[﹣3，3]考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用。專題：數(shù)形結(jié)合。分析：根據(jù)平面向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算法則，我們易根據(jù)已知中的=（x+z，3），=（2，y﹣z），⊥，構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于x，y，z的方程，即關(guān)于Z的目標(biāo)函數(shù)，畫了約束條件|x|+|y|≤1對應(yīng)的平面區(qū)域，并求出各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可求出目標(biāo)函數(shù)的最值，進(jìn)而給出z的取值范圍．解答：解：∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），又∵⊥∴（x+z）×2+3×（y﹣z）=2x+3y﹣z=0，即z=2x+3y∵滿足不等式|x|+|y|≤1的平面區(qū)域如下圖所示：由圖可知當(dāng)x=0，y=1時(shí)，z取最大值3，當(dāng)x=0，y=﹣1時(shí)，z取最小值﹣3，故z的取值范圍為[﹣3，3]故選D點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，其中利用平面向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算法則，求出目標(biāo)函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．5．（2011?廣東）已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若λ為實(shí)數(shù)，（（a+λb）∥c），則λ=（） A． B． C．1 D．2考點(diǎn)：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)所給的兩個(gè)向量的坐標(biāo)，寫出要用的+λ向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩個(gè)向量平行，寫出兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示形式，得到關(guān)于λ的方程，解方程即可．解答：解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故選B．點(diǎn)評：本題考查兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示，考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的加減數(shù)乘運(yùn)算，考查方程思想的應(yīng)用，是一個(gè)基礎(chǔ)題．6．（2011?番禺區(qū)）如圖，已知=，=，=3，用，表示，則等于（） A．+ B．+ C．+ D．+考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)向量加法的三角形法則可得要求只需求出即可而根據(jù)題中條件=3可得故只需利用向量的減法求出即可得解．解答：解析：∵=，=∴根據(jù)向量減法的定義可得=∵=3∴=∴根據(jù)向量加法的三角形法則可得=+=故選B點(diǎn)評：本題主要考察向量的加法，減法的三角形法則，屬基礎(chǔ)題，較易．解題的關(guān)鍵是利用條件=3得出這一結(jié)論！7．（2011?番禺區(qū)）已知A（3，﹣6）、B（﹣5，2）、C（6，﹣9），則A分的比λ等于（） A． B．﹣ C． D．﹣考點(diǎn)：線段的定比分點(diǎn)。專題：計(jì)算題。分析：可先求=（8，﹣8），=（3，﹣3）．根據(jù)與與共線同向，可求λ=解答：解：∵A（3，﹣6）、B（﹣5，2）、C（6，﹣9），∴=（8，﹣8），=（3，﹣3）．∴與與共線同向，∴λ==．故選C．點(diǎn)評：本題主要考查了向量點(diǎn)分線段所成比的求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)向量的共線定理，屬于基礎(chǔ)試題8．（2010?重慶）已知向量a，b滿足a?b=0，|a|=1，|b|=2，，則|2a﹣b|=（） A．0 B． C．4 D．8考點(diǎn)：向量的模。專題：計(jì)算題。分析：利用題中條件，把所求|2|平方再開方即可解答：解：∵=0，||=1，||=2，∴|2|====2故選B．點(diǎn)評：本題考查向量模的求法，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．9．（2010?天津）如圖，在△ABC中，AD⊥AB，BCsinB=，，則=（） A． B． C． D．考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。分析：本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算與解三角形的基礎(chǔ)知識，屬于難題．從要求的結(jié)論入手，用公式寫出數(shù)量積，根據(jù)正弦定理變未知為已知，代入數(shù)值，得到結(jié)果，本題的難點(diǎn)在于正弦定理的應(yīng)用．解答：解：=故選D．點(diǎn)評：把向量同解三角形結(jié)合的問題，均屬于中等題或難題，應(yīng)加強(qiáng)平面向量的基本運(yùn)算的訓(xùn)練，尤其是與三角形綜合的問題．10．（2010?廣東）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）滿足條件（8﹣）?=30，則x=（） A．6 B．5 C．4 D．3考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)所給的向量的坐標(biāo)，寫出要用的8﹣的坐標(biāo)，根據(jù)它與的數(shù)量積是30，利用坐標(biāo)形式寫出兩個(gè)向量的數(shù)量積，得到關(guān)于x的方程，解方程即可．解答：解：∵向量=（1，1），=（2，5），∴∴∴x=4．故選C．點(diǎn)評：向量的坐標(biāo)運(yùn)算幫助認(rèn)識向量的代數(shù)特性．向量的坐標(biāo)表示，實(shí)現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的互相轉(zhuǎn)化．以向量為工具，幾何問題可以代數(shù)化，向量是數(shù)形結(jié)合的最完美體現(xiàn)．11．（2010?福建）若向量=（x，3）（x∈R），則“x=4”是“|a|=5”的（） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件考點(diǎn)：向量的模。分析：當(dāng)x=4時(shí)能夠推出|a|=5成立，反之不成立，所以是充分不必要條件．解答：解：由x=4得=（4，3），所以||=5成立反之，由||=5可得x=±4所以x=4不一定成立．故選A．點(diǎn)評：本題考查平面向量和常用邏輯用語等基礎(chǔ)知識．12．（2010?湖南）若非零向量a，b滿足|a|=|b|，（2a+b）?b=0，則a與b的夾角為（） A．30° B．60 C．120° D．150°考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角。專題：計(jì)算題。分析：由+3與7﹣5垂直，﹣4與7﹣2垂直，我們不難得到（+3）?（7﹣5）=0（﹣4）?（7﹣2）=0，構(gòu)造方程組，我們易得到2=2=2?，再結(jié)合cosθ=，我們求出與的夾角．解答：解：∵2+與垂直∴（2+）?=2+2?=0即||2=﹣2?又∵||=||∴||?||=﹣2?又由cosθ=易得：cosθ=﹣則θ=120°故選C點(diǎn)評：若θ為與的夾角，則cosθ=，這是利用向量求角的唯一方法，要求大家熟練掌握．13．（2010?湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，則等于（） A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；向量的加法及其幾何意義。專題：計(jì)算題。分析：本題是一個(gè)求向量的數(shù)量積的問題，解題的主要依據(jù)是直角三角形中的垂直關(guān)系和一條邊的長度，解題過程中有一個(gè)技巧性很強(qiáng)的地方，就是把變化為兩個(gè)向量的和，再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算．解答：解：∵∠C=90°，∴=0，∴=（）==42=16故選D．點(diǎn)評：啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)．14．（2010?安徽）（安徽卷理3文3）設(shè)向量，，則下列結(jié)論中正確的是（） A． B． C．與垂直 D．考點(diǎn)：向量的模；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。專題：計(jì)算題。分析：本題考查的知識點(diǎn)是向量的模，及用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，由，我們易求出向量的模，結(jié)合平面向量的數(shù)量坐標(biāo)運(yùn)算，對四個(gè)答案逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．解答：解：∵，∴=1，=，故不正確，即A錯誤∵?=≠，故B錯誤；∵﹣=（，﹣），∴（﹣）?=0，∴與垂直，故C正確；∵，易得不成立，故D錯誤．故選C點(diǎn)評：判斷兩個(gè)向量的關(guān)系（平行或垂直）或是已知兩個(gè)向量的關(guān)系求未知參數(shù)的值，要熟練掌握向量平行（共線）及垂直的坐標(biāo)運(yùn)算法則，即“兩個(gè)向量若平行，交叉相乘差為0，兩個(gè)向量若垂直，對應(yīng)相乘和為0”．15．（2009?浙江）已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量滿足（+）∥，⊥（+），則=（） A．（，） B．（﹣，﹣） C．（，） D．（﹣，﹣）考點(diǎn)：平行向量與共線向量；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。專題：計(jì)算題。分析：設(shè)出要求的向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量之間的平行和垂直關(guān)系，寫出兩個(gè)關(guān)于x，y的方程，組成方程組，解方程組得到變量的值，即求出了向量的坐標(biāo)．解答：解：設(shè)=（x，y），則+=（x+1，y+2），+=（3，﹣1）．∵（+）∥，⊥（+），∴2（y+2）=﹣3（x+1），3x﹣y=0．∴x=﹣，y=﹣，故選D點(diǎn)評：本題考查向量平行和垂直的充要條件，認(rèn)識向量的代數(shù)特性．向量的坐標(biāo)表示，實(shí)現(xiàn)了形與數(shù)的互相轉(zhuǎn)化．以向量為工具，幾何問題可以代數(shù)化，代數(shù)問題可以幾何化．16．（2009?四川）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，其一條漸近線方程為y=x，點(diǎn)在雙曲線上、則?=（） A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．4考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；雙曲線的簡單性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：由雙曲線的漸近線方程，不難給出a，b的關(guān)系，代入即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可以求出F1、F2，及P點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量坐標(biāo)后代入向量內(nèi)積公式即可求解．解答：解：由漸近線方程為y=x知雙曲線是等軸雙曲線，∴雙曲線方程是x2﹣y2=2，于是兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（﹣2，0）和F2（2，0），且或、不妨令，則，∴?=故選C點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是雙曲線的簡單性質(zhì)和平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，處理的關(guān)鍵是熟練掌握雙曲線的性質(zhì)（頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、漸近線、實(shí)軸、虛軸等與a，b，c的關(guān)系），求出滿足條件的向量的坐標(biāo)后，再轉(zhuǎn)化為平面向量的數(shù)量積運(yùn)算．17．（2009?陜西）在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=1，點(diǎn)P在AM上且滿足學(xué)，則等于（） A． B． C． D．考點(diǎn)：向量的共線定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題：計(jì)算題。分析：由M是BC的中點(diǎn)，知AM是BC邊上的中線，又由點(diǎn)P在AM上且滿足可得：P是三角形ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)，即可求解．解答：解：∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，知AM是BC邊上的中線，又由點(diǎn)P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴==﹣又∵AM=1∴=∴=﹣故選A點(diǎn)評：判斷P點(diǎn)是否是三角形的重心有如下幾種辦法：①定義：三條中線的交點(diǎn)．②性質(zhì)：或取得最小值③坐標(biāo)法：P點(diǎn)坐標(biāo)是三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均數(shù)．18．（2009?山東）設(shè)p是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，則（） A． B． C． D．考點(diǎn)：向量的加法及其幾何意義；向量的三角形法則。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)所給的關(guān)于向量的等式，把等式右邊二倍的向量拆開，一個(gè)移項(xiàng)一個(gè)和左邊移來的向量進(jìn)行向量的加減運(yùn)算，變形整理，得到與選項(xiàng)中一致的形式，得到結(jié)果．解答：解：∵，∴，∴∴∴故選B．點(diǎn)評：本題考查了向量的加法運(yùn)算和平行四邊形法則，可以借助圖形解答．向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，要學(xué)好向量的加減運(yùn)算．19．（2008?山東）已知a，b，c為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m=（，﹣1），n=（cosA，sinA）．若m⊥n，且αcosB+bcosA=csinC，則角A，B的大小分別為（） A．， B．， C．， D．，考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；三角函數(shù)的積化和差公式。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)向量數(shù)量積判斷向量的垂直的方法，可得cosA﹣sinA=0，分析可得A，再根據(jù)正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sin2C，有和差公式化簡可得，sinC=sin2C，可得C，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得B，進(jìn)而可得答案．解答：解：根據(jù)題意，，可得=0，即cosA﹣sinA=0，∴A=，又由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sin2C，sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC=sin2C，C=，∴B=．故選C．點(diǎn)評：本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，判斷向量的垂直，解題時(shí)，注意向量的正確表示方法．20．（2008?遼寧）已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A（0，2），B（﹣1，﹣2），C（3，1），且，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（） A． B． C．（3，2） D．（1，3）考點(diǎn)：平面向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用。分析：本小題主要考查平面向量的基本知識，先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)所給的點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)乘關(guān)系，得到向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，由橫標(biāo)和縱標(biāo)分別相等，得到結(jié)果．解答：解：設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y）∵，，且，∴故選A點(diǎn)評：向量首尾相連，構(gòu)成封閉圖形，則四個(gè)向量的和是零向量，用題目給出的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出要求的坐標(biāo)，寫出首尾相連的四個(gè)向量的坐標(biāo)，讓四個(gè)向量相加結(jié)果是零向量，解出設(shè)的坐標(biāo)．21．（2008?湖南）在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，則=（） A． B． C． D．考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的含義與物理意義。分析：在三角形中以兩邊為向量，求兩向量的數(shù)量積，夾角不知，所以要先用余弦定理求三角形一個(gè)內(nèi)角的余弦，再用數(shù)量積的定義來求出結(jié)果．解答：解：∵由余弦定理得cosA=，∴，∴，故選D點(diǎn)評：由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系．，所以本題能考慮到需要先求向量夾角的余弦值，有時(shí)數(shù)量積用坐標(biāo)形式來表達(dá)．22．（2008?海南）已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），與垂直，則λ是（） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。專題：計(jì)算題。分析：由于，所以，即（λ+4）﹣3（﹣3λ﹣2）=0，整理得λ=﹣1．解答：解：∵，∴，即（λ+4）﹣33λ﹣2）=0，整理得10λ+10=0，∴λ=﹣1，故選A．點(diǎn)評：高考考點(diǎn)：簡單的向量運(yùn)算及向量垂直；易錯點(diǎn)：運(yùn)算出錯；全品備考提示：高考中每年均有相當(dāng)一部分基礎(chǔ)題，要想得到高分，這些習(xí)題均不能大意，要爭取多得分，最好得滿分．23．（2008?廣東）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，則=（） A．（﹣5，﹣10） B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）考點(diǎn)：平面向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用。分析：向量平行的充要條件的應(yīng)用一種做法是根據(jù)平行求出向量的坐標(biāo)，然后用向量線性運(yùn)算得到結(jié)果；另一種做法是針對選擇題的特殊做法，即排除法．解答：解：排除法：橫坐標(biāo)為2+（﹣6）=﹣4，故選B．點(diǎn)評：認(rèn)識向量的代數(shù)特性．向量的坐標(biāo)表示，實(shí)現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的互相轉(zhuǎn)化．以向量為工具，幾何問題可以代數(shù)化，代數(shù)問題可以幾何化．24．（2007?遼寧）若向量a與b不共線，a?b≠0，且，則向量a與c的夾角為（） A．0 B． C． D．考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角。分析：求兩個(gè)向量的夾角有它本身的公式，條件中表現(xiàn)形式有點(diǎn)繁瑣，我們可以試著先求一下要求夾角的向量的數(shù)量積，求數(shù)量積的過程有點(diǎn)出乎意料，一下就求出結(jié)果，數(shù)量積為零，兩向量垂直，不用再做就得到結(jié)果，有些題目同學(xué)們看著不敢動手做，實(shí)際上，我們試一下，它表現(xiàn)得很有規(guī)律．解答：解：∵==0∴向量a與c垂直，故選D．點(diǎn)評：用一組向量來表示一個(gè)向量，是以后解題過程中常見到的，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，本題使用兩個(gè)不共線的向量來表示第三個(gè)向量，這樣解題時(shí)運(yùn)算有點(diǎn)麻煩，但是我們應(yīng)該會的．25．（2007?湖北）連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記向量與向量的夾角為θ，則的概率是（） A． B