時間序列分析 課件 第3、4章 ARCH類模型、兩序列的協(xié)整和誤差修正模型

1第三章ARCH類模型

一、單位根過程（一）單位根過程的含義問題的提出用于預(yù)測的線性平穩(wěn)模型AR（p）模型

方程

（B）=0稱為過程的特征方程，過程平穩(wěn)的條件是，特征方程所有根的絕對值都必須大于1，即在單位圓外。

22.單位根的定義

隨機過程{，t=1，2，......}，若

=t=1，2，......其中，

=1，{}為一穩(wěn)定過程，且E（）

=0，cov(，)=<,這里s=0，1，2，......，則該過程稱為單位根過程（unitrootprocess）。+

+

3特別地，若

=+t=1，2，......其中，{}為獨立同分布，且E（）=0，D（）=<，則{}為一隨機游動過程（randomwaikprocess)?？梢钥闯觯S機游動過程是單位根過程的一個特例。4若隨機過程{}的一階差分過程（=）為一穩(wěn)定過程，則{}服從單位根過程。分別以I（1）和I（0）表示單位根過程和穩(wěn)定過程，則可將和記為

~I（1）

~I（0）

5（二）趨勢的類型

確定性趨勢模型

趨勢平穩(wěn)時間序列中的趨勢有不同的表現(xiàn)形式，如，帶趨勢的穩(wěn)定過程

=c+t+其中，

f(t)=c+t，表示時間序列{}的確定性趨勢（deterministictrend）。

的期望是時間t的線性函數(shù),其值在c+t周圍波動。為一穩(wěn)定過程。6隨機性趨勢模型

差分平穩(wěn)

帶常數(shù)項的單位根過程

=c++

其中，c是常數(shù)項。對不斷地向后迭代，得到

=c+（

c++）+=.......=ct+

確定的時間趨勢ct，是由單位根過程中的常數(shù)項積累而成

零售商品價格指數(shù)時序圖社會商品零售總額時序圖8

時間序列趨勢的三種基本類型：

（1）序列不含常數(shù)項、時間趨勢項

若=1，序列為一單位根過程；若

<1,

序列為一穩(wěn)定過程。

（2）序列含常數(shù)項、不含時間趨勢項

若=1，序列為一帶常數(shù)項（均值不為0）的單位根過程；若

<1,序列為一帶常數(shù)項的穩(wěn)定過程。

9（3）序列帶常數(shù)項和時間趨勢項

若=1，序列為一帶常數(shù)項和時間趨勢項的單位根過程；若

<1，序列為一帶常數(shù)項和時間趨勢項的穩(wěn)定過程。

10

（三）單位根檢驗

1.ADF檢驗1）

迪基—福勒（DF）檢驗

一階自回歸模型

原假設(shè)為真時，最小二乘估計的t統(tǒng)計量為

t=

式中，

為的最小二乘估計，SE（）為的標準差。

：11檢驗標準：t統(tǒng)計量有非標準和非對稱的極限分布，記作，對于給定的樣本量n和顯著性水平,若統(tǒng)計量的實際計算值小于臨界值，則拒絕原假設(shè)。

例3.1

2）ADF檢驗

DF檢驗只對存在一階自相關(guān)的序列適用。ADF檢驗適用于存在高階滯后相關(guān)的序列。模型兩邊減，可

上式中，檢驗假設(shè)為或加帶常數(shù)項，或加帶趨勢項，或加帶常數(shù)項和趨勢項，

檢驗標準同DF檢驗。例3.1

表述為令，檢驗

轉(zhuǎn)換為檢驗。含有單位根的p階自回歸過程可以表述為13

2.PP（PhillipsandPerron）檢驗適用于存在高階自相關(guān)的序列，非參數(shù)檢驗方法檢驗基礎(chǔ)模型以及原假設(shè)同ADF檢驗，修正了系數(shù)的檢驗統(tǒng)計量，如下式。式中，是的t統(tǒng)計量，

是系數(shù)

估計的標準誤，分母中s是檢驗方程回歸估計標準誤，T是時期數(shù)。

檢驗方程（模型）殘差的方差的一致估計，

是殘差零頻譜估計。

修正的t統(tǒng)計量有著和ADF統(tǒng)計量相同的漸近分布。

14

3.其它檢驗1）KPSS（Kwiatkowski,Phillips,Schmidt,和Shin）檢驗

原假設(shè)為序列是平穩(wěn)的，即

檢驗統(tǒng)計量其中，是殘差的零頻譜估計，

是累積的殘差函數(shù)，殘差。采用KPSS檢驗，必須設(shè)定外生回歸項

，估計

的方法。

152）DFGLS（Dickey-FullerTestwithGLSDetrending）檢驗

用GLS去除趨勢得到，。以替代，

得到同ADF檢驗的模型形式和類似的檢驗統(tǒng)計量。根據(jù)ERS(1996)模擬的一套在

中檢驗統(tǒng)計

中檢驗統(tǒng)計量的臨界值，檢驗檢驗統(tǒng)計量取值低于臨界值時，拒絕原假設(shè)，序列平穩(wěn)。

163）ERS（Elliot,Rothenberg,andStockPointOptimal）檢驗

類似DFGLS檢驗，必須設(shè)定外生回歸項

和估計的一種方法。4）

NP（NgandPerron）檢驗

構(gòu)造了基于GLS去勢數(shù)據(jù)

的四個檢驗統(tǒng)計量，必須設(shè)定外生回歸項

和估計的一種方法。

例3.2

例3.3

例3.4

17

二、ARCH模型的基本形式

（一）問題的提出工業(yè)類股票指數(shù)曲線圖18

工業(yè)類股票指數(shù)一階差分序列曲線圖序列進行一階差分，得到

，由圖看序列的趨勢基本消除；如果序列

是白噪聲，即一階差分序列完全隨機，所建立的模型合適。19序列自相關(guān)圖由圖看不出序列有較強的自相關(guān)，但Q=23.29較大，序列無自相關(guān)的概率p=0.503，不夠大，即序列無自相關(guān)的概率只有50%，很難得出序列無自相關(guān)的結(jié)論。工業(yè)類股指條件方差時序圖21序列自相關(guān)圖可以看出，k=1和k=2時，自相關(guān)系數(shù)較大，序列還包含一些有用的信息，殘差序列存在非線性相關(guān)，從建模預(yù)測的角度，已建的模型不合理。22

（二）ARCH模型

1.ARCH含義和基本模型

若有一隨機過程{}，它的平方服從AR（q）過程

其中，（）獨立同分布，且有E（）=0，D（）=，t=1，2，.....，則稱{}服從q階的ARCH（q）過程，記作~ARCH（q）。

一般假設(shè)0，0，i=1，2，......，q。

23為確保{}是一穩(wěn)定過程，

特征方程

1L—=0

的所有根都在單位圓外。即有

++......+<1

24過程在t時刻的條件方差，即給定

，，......，值時的方差

=E（，......，）=++......+可以看出，的條件分布是正態(tài)的，但其條件方差是過去平方誤差的線性函數(shù)，是隨時間而變化的函數(shù)。

25

ARCH類模型一般由兩個方程組成條件均值方程：

條件方差方程：一般來說，ARCH類模型都是針對均值模型的殘差建立。的變化規(guī)律不同，模型不同AR（p）模型

線性回歸模型

單位根過程t=1，2，......26

2.

模型的另一種形式

ARCH模型也可以表述為

其中，{}獨立同分布，且~N（0，1），

t=1，2，.......，T。

參數(shù)的約束同前。27

3.ARCH效應(yīng)檢驗拉格朗日乘子檢驗（LM檢驗）輔助回歸模型

檢驗統(tǒng)計量

~（q）

其中，n為計算輔助回歸時的樣本數(shù)據(jù)個數(shù)，為輔助回歸的未調(diào)整可決系數(shù)，即擬合優(yōu)度。檢驗標準拒絕的概率小于給定的顯著性水平

例3.5

284.

模型參數(shù)估計

最小二乘

二步最大似然5.參數(shù)的檢驗

合理性檢驗

參數(shù)符號

參數(shù)大小

顯著性檢驗

參數(shù)與0的顯著性差異

29

3.

模型的識別和診斷檢驗（1）識別階數(shù)可以與ARMA定階類似利用的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)

（2）診斷檢驗

標準化殘差=/（）

用于檢驗ARCH模型是否有效的去除了平方序列（）中的自相關(guān)和被估計的殘差是否沒有表現(xiàn)出過大的峰度值。30模型判定AICSC殘差的獨立性檢驗殘差的正態(tài)性檢驗JB檢驗

檢驗平方標準化殘差序列（）的自相關(guān)——Q統(tǒng)計量檢驗。

計算標準化殘差序列（）的JB統(tǒng)計量

31只要知道參數(shù)，，......，的值，就可以在（t—1）時刻，利用給定的數(shù)據(jù)，...…

，，預(yù)測在時刻t的條件方差。

4.預(yù)測32

三、

廣義的ARCH模型——GARCH模型

（一）GARCH（p,q）模型的形式1.含義在ARCH（q）過程

其中，{}獨立同分布，且~N（0，1），t=1，2，.......，T。

若階數(shù)q，特征方程的根都在單位圓外

條件異方差可以表示為

上述過程稱為廣義的ARCH過程，簡稱為GARCH過程，記作~GARCH（p，q）。

參數(shù)的約束與ARCH（q

）模型一樣33

參數(shù)的約束與ARCH（q

）模型一樣GARCH過程是穩(wěn)定的過程充分必要條件

保證條件方差為正的條件

其中，（1）=；（1）=

（1）

+（1）<1

i=1，2，......，q；j=1，2，……，p；342.GARCH（1,1）的性質(zhì)GARCH（1,1）模型GARCH（1，1）是穩(wěn)定過程的充分必要條件為

若表明模型中含有單位根，模型記為IGARCH（1，1）。

若+

>0.5,沖擊一般都會持續(xù)一段時間；

若+=1,隨機沖擊會有長久的影響。35（二）GARCH效應(yīng)檢驗

仍可采用LM檢驗

（三）

參數(shù)估計

采用極大似然估計（MLE），假定擾動項服從高斯分布或服從分布；BHHH算法。采用矩估計（ME），避免分布的限制；改進的矩估計法GMM法。

（四）

模型的檢驗與評價1.參數(shù)的檢驗

合理性檢驗

顯著性檢驗

例3.6和例3.5中參數(shù)的檢驗2.殘差檢驗ARCH類模型和其他統(tǒng)計模型一樣，都假定殘差序列獨立同分布，因此殘差的獨立性很重要，也就是殘差序列不能存在自相關(guān)。

例3.737（五）預(yù)測在前一天波動率的基礎(chǔ)上迭代預(yù)測以后的波動率3.模型評價

借助一些評價指標比較不同模型預(yù)測效果實際應(yīng)用中需要注意數(shù)據(jù)的選擇：數(shù)據(jù)時期長度——太長，會包含過多不正常數(shù)據(jù)；太少，不能保證參數(shù)估計的正確收斂；數(shù)據(jù)的頻率——低頻數(shù)據(jù)容易導(dǎo)致GARCH參數(shù)估計中的收斂性或穩(wěn)健性問題。波動測定，一般選擇至少1至2年的日數(shù)據(jù)或日內(nèi)數(shù)據(jù)。38四、ARCH模型的拓廣形式（一）指數(shù)GARCH模型—E（Exponential

）GARCH模型

并設(shè)條件方差有下面的形式：

=

其中，{}獨立同分布，且~N（0，1），t=1，2，.......，T。

則稱服從EGARCH過程。模型中條件方差采用了自然對數(shù)形式，意味著非負且杠桿效應(yīng)是指數(shù)型的。若，說明信息作用非對稱。當時，杠桿效應(yīng)顯著。

39

（二）（G）ARCH-M模型如果隨機過程{}有表現(xiàn)形式

其中，{}獨立同分布，且~N（0，1），t=1，2，.......，T。

=g()為條件方差的函數(shù)，有ARCH（q）或GARCH（p，q）的形式，則隨機過程{}服從（G）ARCH-M過程。

>0，表明回報率同大的波動是正相關(guān)。為簡便，實際應(yīng)用中，常取、或

。

40

（三）TARCH模型

TARCH（ThresholdARCH）模型最先由Zakoian（1990）提出，它具有如下形式的條件方差其中是一個名義變量

41由于引入，股價上漲信息（）和下跌信息（）對條件方差的作用效果不同。上漲時，其影響可用系數(shù)代表；下跌時為。若，則說明信息作用是非對稱的。而當時，負的隨機沖擊較正的隨機沖擊對波動會有更大的影響，即認為存在杠桿（leverage）效應(yīng)。是對GARCH應(yīng)用條件的一個放松。

42

（四）冪ARCH(PARCH)模型

=

其中,>0，1.是標準差的冪參數(shù),用來評價沖擊對條件方差的影響幅度;0,存在非對稱效應(yīng).

模型中,=2,=0,則PARCH模型為GARCH模型.43（五）

成分（Component）

ARCH模型若GARCH(1,1)模型的條件方差可寫為

上式表現(xiàn)條件方差與常數(shù)的平均偏離程度。成分ARCH模型如下式，反映條件方差對于一個變量的平均偏離趨勢

其中44上面的第一個式子描述短期（Transitory）成分，以的勢（power，反映衰減速度）趨于０；第二個式子描述長期（Permanent）成分，以的勢趨于。一般地，，以保證的收斂速度足夠慢．另外，可以在兩式或任意一個中加入外生變量，來改變序列短期或長期波動水平．

45其中，

和都是外生變量，是名義變量．當時，條件方差中存在短期杠桿效應(yīng)。

例3.8（六）非對稱(asymmetric)成分GARCH模型將TARCH模型與成分ARCH模型相結(jié)合可以得到非對稱的成分模型，46模型的選擇先驗信息對稱非對稱從數(shù)據(jù)出發(fā)初選模型檢驗參數(shù)合理性參數(shù)顯著性殘差檢驗分析評價、AIC、SC，Q-P、MAPE五、多元ARCH模型（一）模型形式1.對角VECH（DiagonalVECH）模型其中，（i=0,1,…,p）和(j=1,2,…,q)均為

對稱系數(shù)矩陣，算子為Hadamard乘積，表示矩陣的對應(yīng)元素相乘。模型中的系數(shù)陣可以有幾種不同的約束方式。

系數(shù)約束系數(shù)矩陣不施加限制系數(shù)陣設(shè)為對角陣秩為1（RankOne）法滿秩矩陣法（FullRankMatrix）常數(shù)矩陣

外生變量處理

方差模型中允許有外生變量，可以選擇將其系數(shù)限定為個體的（individual）或是共同的（common）。共同系數(shù)，即認為每個方程中的外生變量具有相同的斜率g；個體系數(shù)則允許每個方程中的外生變量存在各自的變化效應(yīng)。2.DiagonalBEKK模型

與對角VECH模型相比，BEKK模型是一種更為廣泛的模型。其中，為一下三角陣，（i=0,1,…,p）和(j=1,2,…,q)均為沒有限制的矩陣。

最為常見的DiagonalBEKK模型，將模型中的系數(shù)陣限定為對角陣。3.有條件協(xié)相關(guān)模型（ConditionalConstantCorrelation，CCC）模型將條件協(xié)方差陣的元素確定為上面兩式共稱為CCC模型。模型中的ARCH和GARCH系數(shù)陣通常設(shè)定為標量，被設(shè)定為對角陣。

為虛擬變量，即模型可以是類似TARCH的形式?？梢詫Τ?shù)項

施加限制，令，其中，為無條件方差?？梢栽诜讲钅Ｐ椭屑尤胪馍兞?/p>

（二）參數(shù)估計

對模型各項系數(shù)進行約束，保證條件協(xié)方差陣是正定的（或半正定），同時假定誤差項的分布，可以采用最大似然準則對模型的參數(shù)進行估計。

（三）模型檢驗與評價

參數(shù)的顯著性檢驗

模型評價

借助、和最小信息準則比較、評價和選擇

合適的模型。

例3.9

52一、含虛擬變量的回歸模型（一）虛擬變量的設(shè)置

第四章兩序列的協(xié)整和誤差修正模型

1.虛擬變量的定義當解釋變量不是定量測量數(shù)據(jù)，或在不同的情況下，所產(chǎn)生的結(jié)果不同，就需要將解釋變量區(qū)分開，可以采用設(shè)虛擬變量的方法。虛擬變量是取值僅取1或0的變量。一般，基礎(chǔ)類型、肯定類型取值“1”，比較類型、否定類型取值“0”。

532.虛擬變量設(shè)置原則

若某一定性變量有m種情況（狀態(tài)），設(shè)虛擬變量時，只能有m-1個。

（二）虛擬變量對模型的影響引入虛擬變量，對模型截距、斜率的影響對一般的線性回歸模型

=++引入虛擬變量D54

1.加法形式E（）

=+++=

==0：55

2.乘法形式

=E（）

=

=

+

+

+：=056

3.加法、乘法同時采用

=++++

=E（）

=條件：誤差項的方差在前后都是一樣的

=0=0：：

（三）虛擬變量的應(yīng)用

1.

分離異常因素影響政策因素

制度因素

季節(jié)因素

季節(jié)變動：時間序列可以計算季節(jié)指數(shù)，多元回歸中可以利用虛擬變量例：某地區(qū)每月天氣濕度對溫度的影響

制度變化：時間分期，分段回歸

例4.158

2.檢驗不同屬性類型因素對因變量的影響解釋變量為屬性數(shù)據(jù)例：不同年齡、不同文化程度的行為

3.提高模型預(yù)測精度不同屬性類型樣本數(shù)據(jù)合并，相當于擴大樣本容量

例4.259二、Granger因果檢驗問題的提出是貨幣供應(yīng)量的變化引起GDP的變化，還是都由于內(nèi)部原因決定（一）解決的思路若X是引起Y變化的原因，則

1）X應(yīng)有助于預(yù)測Y；

2）Y不應(yīng)當有助于預(yù)測X。60

（二）方法

1.第一個條件的檢驗

原假設(shè)：X不是引起Y變化的原因無限制條件模型（UR）

有限制條件模型（R）

：==…=0612.第二個條件的檢驗原假設(shè)：Y不是引起X變化的原因無限制條件模型（UR）有限制條件模型（R）

：

623.檢驗統(tǒng)計量：利用F檢驗考慮兩個回歸模型的誤差平方和和差異的顯著性。

若成立，不會超過太多，建立檢驗統(tǒng)計量

F=根據(jù)計算的F統(tǒng)計量與相應(yīng)顯著性水平下的臨界值比較可以得出結(jié)論，是否能夠拒絕。63要得到：X是引起Y變化的原因，必須：1）拒絕“X不是引起Y變化的原因”的假設(shè)；2）不能拒絕“Y不是引起X變化的原因”的假設(shè)。K的取值

可取不同的值試驗，以保證結(jié)果不受K

選取的影響；可能存在第三個變量Z，既影響Y，也與X相關(guān)。

例4.364（一）單整序列及性質(zhì)單整序列

經(jīng)過逐期差分平穩(wěn)的序列稱作單整序列。記作I（d）。性質(zhì)1）一個單整序列的線性組合若序列是零階單整序列，如

~I（0），

則其線性組合也是平穩(wěn)的，有a+b~I（0）；若序列是一階單整序列，如

~I（1），則其線性組合也是一階單整序列，有

a+b~I（1）。

三、協(xié)整含義及檢驗

652）兩個零階單整序列的線性組合若兩個序列是平穩(wěn)序列，如

~I（0），~I（0），

則其線性組合也是平穩(wěn)的，有a+b~I（0）；3）一階單整序列與平穩(wěn)序列的線性組合

若序列

是一階單整序列，序列是平穩(wěn)序列，如

~I（0），~I（1），則其線性組合也是一階單整序列，有

a+b~I（1）。

只要序列有趨勢，這種組合無法消除趨勢。

66

4）兩個一階單整序列的線性組合若兩個序列均為一階單整序列，

~I（1），~I（1）一般地，線性組合仍為一階單整序列，則a+b~I（1）。

特殊情況，兩個序列都是一階單整，即

~I（1），

~I（1）均為單位根過程，但可能存在一個非零向量，使兩個序列的線性組合達到平穩(wěn)。67若

=+=A+其中，

~I（1），

~I（0）和

~I（0）均具有零均值。由性質(zhì)（3）知有

~I（1）

~I（1）構(gòu)造、的線性組合

=—A

=—A~I（0）、和、雖然是單位根過程，但它們存在一個線性組合是平穩(wěn)的。這是因為它們具有公共的I（1）因子。

68

（二）協(xié)整的含義及檢驗

1.概念協(xié)整過程（co-integratedprocess）也有譯為同積過程，是一種特殊的向量單位根過程。

設(shè){，t=1，2，......}為一n維的向量單位根過程，它的每一分量序列{}(i=1,2,...n)為一單變量單位根過程，

~I（1）。如果存在一非零的n維向量，使得的線性組合

成為一穩(wěn)定過程，即~I（0），則稱隨機向量是協(xié)整的，為其協(xié)整向量。兩個變量同階單整，具有共同的隨機趨勢，存在協(xié)整關(guān)系。

2.協(xié)整檢驗

兩個變量序列的協(xié)整檢驗通常采用EG兩步法。檢驗的前提是兩個序列是同階單整，~I（1），