2022年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理科）注意事項：．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效．．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共2小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．.設(shè)全集，集合M滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先寫出集合,然后逐項驗證即可【詳解】由題知,對比選項知，正確,錯誤故選:2.已知，且，其中a，b為實數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先算出,再代入計算,實部與虛部都為零解方程組即可【詳解】由,得,即故選:.已知向量滿足，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.【詳解】解：∵，又∵∴9，∴故選：C.4.嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關(guān)系判斷中各項的大小，即可求解.【詳解】解：因為，所以，，得到，同理，可得，又因為，故，；以此類推，可得，，故A錯誤；，故B錯誤；，得，故C錯誤；，得，故D正確.故選：D.5.設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，從而求得點的橫坐標，進而求得點坐標，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點到準線的距離為2，所以點的橫坐標為，不妨設(shè)點在軸上方，代入得，，所以.故選：B6.執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的（）A. B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)框圖循環(huán)計算即可.【詳解】執(zhí)行第一次循環(huán)，，，；執(zhí)行第二次循環(huán)，，，；執(zhí)行第三次循環(huán)，，，，此時輸出.故選：B7.在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面【答案】A【解析】【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因為分別為的中點，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；如圖，以點原點，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故C錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故D錯誤，故選：A.8.已知等比數(shù)列的前項和為68，，則（）A.4 B.2 C.6 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.9.已知球O的半徑為，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先證明當(dāng)四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為，進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時其高的值.【詳解】設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對角線夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時等號成立）即當(dāng)四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為又則當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故選：C0.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（）A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大【答案】D【解析】【分析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率.并對三者進行比較即可解決【詳解】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，記該棋手在第二盤與甲比賽，且連勝兩盤的概率為則記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為則記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為則則即，，則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項D判斷正確；選項BC判斷錯誤；與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項A判斷錯誤.故選：D.雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C的兩支交于M，N兩點，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，可判斷在雙曲線的右支，設(shè)，，即可求出，，，在中由求出，再由正弦定理求出，，最后根據(jù)雙曲線的定義得到，即可得解；【詳解】解：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，所以，因為，所以在雙曲線的右支，所以，，，設(shè)，，由，即，則，，，在中，，由正弦定理得，所以，又，所以，即，所以雙曲線的離心率故選：C2.已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因為的圖像關(guān)于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯(lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，所以因為，所以.所以.故選：D【點睛】含有對稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為____________．【答案】##0.【解析】【分析】根據(jù)古典概型計算即可【詳解】從5名同學(xué)中隨機選名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：4.過四點中的三點的一個圓的方程為____________．【答案】或或或；【解析】【分析】設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點的坐標，得到方程組，解得即可；【詳解】解：依題意設(shè)圓的方程為，若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或；5.記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點，即可求出的取值，從而得解；【詳解】解：因為，（，）所以最小正周期，因為，又，所以，即，又為的零點，所以，解得，因為，所以當(dāng)時；故答案為：6.已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】由分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，可得時，，時，，再分和兩種情況討論，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義結(jié)合圖象即可得出答案.【詳解】解：，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，若時，當(dāng)時，，則此時，與前面矛盾，故不符合題意，若時，則方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，令，則，設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的范圍為.【點睛】本題考查了函數(shù)的極值點問題，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想，有一定的難度.三、解答題：共0分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第7~2題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、2題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．7.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（）證明：；（2）若，求的周長．【答案】（）見解析（2）4【解析】【分析】（）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.【小問詳解】證明：因為，所以，所以，即，所以；【小問2詳解】解：因為，由（）得，

由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.

8.如圖，四面體中，，E為的中點．（）證明：平面平面；（2）設(shè)，點F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．【答案】（）證明過程見解析（2）與平面所成的角的正弦值為【解析】【分析】（）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標系，結(jié)合線面角的運算法則進行計算即可.【小問詳解】因為，E為的中點，所以；在和中，因為，所以，所以，又因為E為的中點，所以；又因為平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】連接，由（）知，平面，因為平面，所以，所以，當(dāng)時，最小，即的面積最小.因為，所以，又因為，所以是等邊三角形，因為E為的中點，所以，，因為，所以,在中，，所以.以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，又因為，所以，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.9.某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了0棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號ｉ24567890總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.50.40.60.460.420.40.9并計算得．（）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.0）；（）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．附：相關(guān)系數(shù)．【答案】（）；（2）（）【解析】【分析】（）計算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）代入題給相關(guān)系數(shù)公式去計算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值；（）依據(jù)樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．【小問詳解】樣本中0棵這種樹木的根部橫截面積的平均值樣本中0棵這種樹木的材積量的平均值據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為【小問2詳解】則【小問詳解】設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為，又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得，解之得．則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為20.已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．（）求E的方程；（2）設(shè)過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．【答案】（）（2）【解析】【分析】（）將給定點代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【小問詳解】解：設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.【小問2詳解】，所以，①若過點的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點.②若過點的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點【點睛】求定點、定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.2.已知函數(shù)（）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】（）（2）【解析】【分析】（）先算出切點,再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對分類討論,對分兩部分研究【小問詳解】的定義域為當(dāng)時,,所以切點為,所以切線斜率為2所以曲線在點處的切線方程為【小問2詳解】設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點,不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點,不合題意若()當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng)當(dāng)所以在上有唯一零點又沒有零點,即在上有唯一零點(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減有而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點,