數(shù)學-專項08 因式分解重難點題型專訓（40道）（帶答案）

專題08因式分解重難點題型專訓（40道）【因式分解重難點題型專訓】因式分解的解題步驟因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項法等.特別說明：落實好方法的綜合運用：首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項平方或立方，三項完全或十字；四項以上想分組，分組分得要合適；幾種方法反復試，最后須是連乘式；因式分解要徹底，一次一次又一次.題型一簡單的因式分解問題題型二因式分解與三角形問題綜合題型三幾何背景下的因式分解問題題型四因式分解中的新定義問題題型五因式分解中的“配方法”求最值問題題型六因式分解中的整體代換思維【題型一簡單的因式分解問題】1．（2022秋·四川達州·八年級?？计谥校┮蚴椒纸猓?1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可；（2）先對原式變形，再利用平方差公式進行分解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式

．【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止．2．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期中）分解因式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，然后用完全平方公式即可求得（2）先將完全平方公式展開，然后再用完全平方公式合并，最后用平方差公式即可【詳解】（1）解：（2）解：【點睛】本題考查了用提取公因式、平方差公式和完全平方公式分解因式，靈活運用恰當?shù)姆椒ǚ纸庖蚴绞墙鉀Q問題的關鍵3．（2021春·河南鄭州·八年級鄭州市鄭中國際學校?？计谥校┓纸庀铝幸蚴剑?/p>

(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）直接提公因式進行分解即可；（2）先提公因式4，再利用平方差公式因式分解即可；（3）把當作一個整體，先利用多項式的乘法計算，再利用完全平方公式因式分解得，最后對再利用完全平方公式因式分解即可；（4）把當作一個整體，先用十字相乘法因式分解得，再利用十字相乘法和完全平方公式分別對和進行因式分解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；

（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．4．（2022秋·湖南衡陽·八年級衡陽市實驗中學校考期中）分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接提取公因式即可得到答案；（2）直接利用平方差公式即可得到答案；（3）直接利用平方差公式即可得到答案；（4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式即可得到答案．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式

；（3）解：原式；（4）解：原式．【點睛】本題考查提取公式法因式分解及公式法因式分解，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式與平方差公式．5．（2022秋·四川巴中·八年級統(tǒng)考期末）分解因式(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用提取公因式法因式分解．（2）公式法因式分解．（3）先提取公因式，再用平方差公式因式分解．（4）十字相乘法因式分解．【詳解】（1）（2）（3）

（4）【點睛】此題考查了因式分解，解題的關鍵是熟知提取公式法、公式法、十字相乘法．6．（2022秋·天津東麗·八年級?？计谀┮蚴椒纸猓?1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）提取公因式，再分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解因式即可；（3）先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可．【詳解】（1）解：．（2）．（3）

．【點睛】本題考查的是提公因式分解因式，利用平方差公式與完全平方公式分解因式，掌握“因式分解的方法與步驟”是解本題的關鍵，易錯點是分解因式不徹底．【題型二因式分解與三角形問題綜合】7．（2023秋·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期末）【閱讀材料】若，求，的值．解：，∴，∴．(1)【解決問題】已知，求的值；(2)【拓展應用】已知，，是的三邊長，且，滿足，是中最長的邊，求的取值范圍．【答案】(1)1(2)【分析】（1）將拆分成和，再根據(jù)完全平方公式配方解答；（2）先根據(jù)閱讀材料求出，的值，再根據(jù)三角形的三邊關系解答．【詳解】（1），將拆分成和，可得，根據(jù)完全平方公式得：，∴，，∴，（2）∵，根據(jù)完全平方公式得：

，，∴，，∴，，∵是中最長的邊，∴，即的取值范圍．【點睛】本題考查了配方法的應用，根據(jù)完全平方公式進行配方是解題的關鍵．8．（2022秋·全國·八年級專題練習）閱讀材料，解答問題：我們已經(jīng)學過多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實多項式的因式分解還有別的方法．下面再介紹一種方法：“添（拆）項分組分解法”．例題：（添上，再減去使多項式的值不變）（分成兩組）（兩組分別因式分解）＝________（兩組有公因式，再提公因式）(1)請將上面的例題補充完整；(2)仿照上述方法，因式分解：；(3)若是三邊長，滿足，且c為整數(shù)，試判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)是等腰三角形，理由見解析．【分析】（1）運用提公因式法分解即可；（2）需要添項，，，所以添，湊成完全平方式，然后再運用平方差公式繼續(xù)分解；

（3）仿照例題運用拆項分組分解法，把19拆成3和16，然后湊成兩個完全平方式，再利用平方式的非負性進行計算．【詳解】（1）解：．故答案為：；（2）解：；（3）解：∵，∴，∴，∴，∴，，∴，．∵是三邊長，∴，∴．又∵c為整數(shù)，∴，∴，∴是等腰三角形．【點睛】本題考查了因式分解的應用，需要學生必須掌握完全平方公式和平方差公式的特征，才能靈活運用到解題中去．9．（2022秋·重慶萬州·八年級重慶市萬州新田中學?？计谥校╅喿x材料：若

，求、的值．解：∵，∴∴，而，，∴且，∴，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則______；______；(2)已知的三邊長、、，其中，，求的周長．【答案】(1)；；(2)的周長為．【分析】（1）模仿材料將方程配成完全平方和等于0的形式，再由平方的非負性即可得到字母的值，從而得到答案．（2）模仿材料將方程配成完全平方和等于0的形式，再由平方的非負性即可得到字母的值，最后根據(jù)三角形周長公式進行計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴．∵，，∴，，∴．（2）∵，∴，∴．∵，，

∴，，∴．∵，∴的周長為．【點睛】本題考查完全平方公式的應用，非負數(shù)的性質(zhì)，因式分解的應用．掌握平方的非負性是解題關鍵．10．（2022秋·河南鶴壁·八年級統(tǒng)考期中）閱讀材料：若，求m，n的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知，則______，______；(2)已知的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足，求c的值；(3)若，，試比較A與B的大小關系，并說明理由．【答案】(1)6；(2)(3)，詳見解析【分析】（1）將變形為，得出，，即可得出答案；（2）先根據(jù)，求出，，再根據(jù)三角形三邊關系，得出，根據(jù)c是正整數(shù)，即可得出答案；（3）用作差法比較大小即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，

∴，，∴，．故答案為：6；．（2）解：∵，∴，，解得：，，∵a，b，c是的三邊長，，又∵c是正整數(shù)，∴（3）解：；理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了整式加減的應用，二次方的非負性，完全平方公式的變形應用，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式，準確計算．11．（2021秋·陜西渭南·八年級統(tǒng)考階段練習）我們已經(jīng)學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫做分組分解法．例如：．②拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫做拆項法．

例如：．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）；②（拆項法）；(2)已知a、b、c為的三條邊，且滿足，求的周長；(3)已知的三邊長a，b，c滿足，判斷的形狀并說明理由．【答案】(1)①；②(2)7(3)是等腰三角形或等邊三角形，證明見解析【分析】(1)①將分組成為分解即可．②將拆項為分解即可．(2)分組拆項配成完全平方式的和形式，利用非負性計算即可．(3)分解成計算即可．【詳解】（1）解：①

．

②

．（2）∵，∴，

∴，

∴，，，

∴．∴的周長為7．（3），∴，∴，

∴或或且，

∴或或，∴是等腰三角形或等邊三角形．【點睛】本題考查了新方法分解因式及其應用，正確理解新方法，靈活運用新方法解題是解題的關鍵．12．（2022秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考階段練習）我們已經(jīng)學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．①分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．例如：．②拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項法．例如：③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項式的分解因式．分解步驟：1．分解二次項，所得結果分別寫在十字十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數(shù)項，所得結果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項；4．觀察得出原二次三項式的兩個因式，并表示出分解結果．這種分解方法叫作十字相乘法．觀察得出：兩個因式分別為與例如：分析：解：原式（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）

②（拆項法）③________．（2）已知：、、為的三條邊，，求的周長．【答案】（1）①，②，③；（2）7【分析】（1）①將原式化為，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②將原式化為，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；（2）先利用完全平方公式對等式的左邊變形，再根據(jù)偶次方的非負性可得出，，的值，然后求和即可得出答案．【詳解】解：（1）①；②；③；故答案為：；（2）∵，∴，∴，∴，，，∴．∴的周長為7．【點睛】本題考查因式分解的方法及其在幾何圖形問題中的應用，讀懂題中的分解方法并熟練掌握整式乘法公式是解題的關鍵．

【題型三幾何背景下的因式分解問題】13．（2021春·江蘇泰州·七年級?？计谥校┤鐖D，將一個邊長為的正方形分割成四部分（邊長分別為，的正方形、邊長為和長方形），請認真觀察圖形，解答下列問題：(1)請用兩種方法表示該正方形的面積（用含、的代數(shù)式表示）①______，②______；由此可以得到一個等量關系是______．(2)若圖中、滿足，，求的值．(3)若，求的值．(4)請利用上面的圖形分割方法進行因式分解：______（直接寫出分解結果即可）．【答案】(1)，，(2)5(3)(4)【分析】（1）該正方形的面積等于邊長的平方，或兩個長方形及兩個小正方形的面積之和；（2）根據(jù)，先求出，即可求出的值；（3）根據(jù)即可求解；（4）利用圖形分割的方法畫出圖形，即可求解．【詳解】（1）解：該正方形的面積可以表示為，也可以表示為，故答案為：，，；（2）解：，，，

或（舍去），即的值為5；（3）解：，即，，，；（4）解：如圖所示，，故答案為：．【點睛】本題考查多項式乘多項式和因式分解的應用，熟練運用完全平方公式，并且能夠通過圖形分割的方法進行因式分解是解題的關鍵．14．（2023秋·河南南陽·八年級?？计谀┪覀冎?，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)字等式，例如圖1可以得到．請解答下列問題：(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學等式________；(2)利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：已知，，求

的值；(3)小明同學用2張邊長為的正方形，3張邊長為的正方形，5張邊長分別為、的長方形紙片拼出了一個長方形，那么該長方形較長一邊的邊長為多少？(4)小明同學又用張邊長為的正方形，張邊長為的正方形，張邊長分別為、的長方形紙片拼出了一個面積為長方形，那么________．【答案】(1)(2)(3)(4)2016【分析】（1）直接求得正方形的面積，然后再根據(jù)正方形的面積＝各矩形的面積之和求解即可；（2）將，代入（1）中得到的關系式，然后進行計算即可；（3）先列出長方形的面積的代數(shù)式，然后分解代數(shù)式，可得到矩形的兩邊長；（4）長方形的面積，然后運算多項式乘多項式法則求得的結果，從而得到、、的值，代入即可求解．【詳解】（1）解：正方形的面積，正方形的面積各個矩形的面積之和，所以，故答案為：；（2）解：由（1）知，因此；（3）解：長方形的面積，所以長方形的邊長為和，因為，所以較長的一邊的邊長為；（4）解：因為長方形的面積

，所以，，，所以．故答案為：2016．【點睛】本題考查多項式乘多項式的應用、因式分解的應用，利用面積法列出等式是解題的關鍵．15．（2023秋·吉林長春·八年級校考期末）數(shù)學課上，老師用圖1中的一張邊長為a的正方形紙片A，1張邊長為b的正方形紙片B和2張寬與長分別為a與b的長方形紙片C，拼成了如圖2所示的大正方形，觀察圖形并解答下列問題：(1)由圖1和圖2可以得到的等式為（用含a，b的等式表示）；(2)莉莉想用這三種紙片拼出一個面積為的大長方形，求需A，B，C三種紙片各多少張；(3)用圖1中的若干個圖形（三類圖形都要用到）拼成一個長方形，使其面積為a2＋4ab＋3b2，畫出你的拼法，并根據(jù)畫的圖形分解因式：．【答案】(1)或(2)需A紙片2張，B紙片2張，C紙片5張(3)圖見解析，【分析】（1）圖形整體面積等于各部分面積之和．（2）根據(jù)多項式乘多項式的乘法法則解決此題．（3）根據(jù)確定三種材料的張數(shù)，畫出圖形，寫成結果即可．【詳解】（1）或．（2）

．∴需A紙片2張，B紙片2張，C紙片5張．（3）如圖所示，長方形的長，寬為，面積為，即．【點睛】本題主要考查多項式乘多項式，熟練掌握多項式乘多項式的乘法法則是解決本題的關鍵．16．（2022秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）【任務一】下面是慧慧同學的數(shù)學日記，其中一部分不小心被墨跡所覆蓋，請你把覆蓋部分補充完整．10月20日

星期四

晴我發(fā)現(xiàn)：借助拼圖可以解決整式乘法及因式分解的相關問題．如圖，我有，，三種類型的卡片各若干張，已知，是邊長分別為，的正方形卡片，是長為，寬為的長方形卡片．我利用，，三種類型的卡片拼成如圖所示的長方形，該長方形的面積可以用多項式表示為，還可以用整式乘積的形式表示為，利用上述面積的不同表達方式可以得到等式．我利用，，三種類型的卡片拼成如圖所示的大長方形．

從而可以將進行因式分解為．【任務二】善于思考的慧慧同學又編了以下兩個問題，請你任選一題進行解答．問題1：先計算，再用圖形的面積解釋它的正確性．問題2：請寫出一個代數(shù)恒等式，然后用圖形的面積解釋它的正確性．【答案】任務一．，，；；任務二．問題1：，圖見解析；問題2：，圖見解析．【分析】任務一．用多項式表示：用A的面積的2倍+B的面積的3倍+C的面積即可；用整式乘積的形式表示：用拼成的長方形的長×拼成的長方形的寬；利用上述面積的不同表達方式可以得到等式：用=連接上面的2個式子即可；任務二．問題1，利用多項式乘多項式進行運算，再畫出圖形即可；問題2，畫出圖形驗證完全平方公式即可．【詳解】任務一．用多項式表示：，用整式乘積的形式表示：，利用上述面積的不同表達方式可以得到等式：；由圖可知：．故答案為：，，；

；任務二：問題1：；如圖，問題2：．【點睛】本題考查因式分解的應用，熟練掌握多項式乘多項式的運算法則，利用四邊形的面積建立等量關系是解題的關鍵．17．（2023秋·山西朔州·八年級?？计谀┯凶銐蚨嗟拈L方形和正方形卡片（如圖1），分別記為1號，2號，3號卡片．(1)如果選取4張3號卡片，拼成如圖2所示的一個正方形，請用2種不同的方法表示陰影部分的面積（用含，的式子表示）．①方法1：________；方法2：________；②請寫出，，三個代數(shù)式之間的等量關系：________．(2)若，求的值．(3)如圖3，選取1張1號卡片，2張2號卡片，3張3號卡片，可拼成一個長方形（無縫隙不重疊），請畫出該長方形，根據(jù)圖形的面積關系，分解因式：________．【答案】(1)①，；②

(2)20(3)圖見詳解，【分析】（1）①從“整體”和“部分”兩個方面分別表示陰影部分的面積即可；②由①中兩種方法所表示的面積相等可得答案；（2）根據(jù)非負數(shù)的定義可得，，再根據(jù)進行計算即可；（3）求出所拼成的長方形的長、寬以及總面積即可．【詳解】（1）解：①方法1：圖2中陰影部分是邊長為，因此面積為，方法2：圖2陰影部分也可以看作從邊長為的正方形減去4個長為．寬為的長方形面積，因此有，故答案為：，；②由①得，故答案為：；（2）解：，，，，，即，，，∴的值為20；（3）解：1張1號，2張2號，3張3號卡片的總面積為，而1張1號，2張2號，3張3號卡片可以拼成長為，寬為的長方形，如圖所示：所以有，

故答案為：．【點睛】本題考查完全平方公式，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的前提．18．（2022秋·四川內(nèi)江·八年級四川省內(nèi)江市第六中學?？计谥校┤鐖D1，是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖）．(1)自主探究：如果用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積，從而發(fā)現(xiàn)一個等量關系是；(2)知識運用：運用你所得到的公式，計算：若，，則；(3)知識延伸：已知，求的值．(4)知識拓展：用完全平方公式和非負數(shù)的性質(zhì)解決下列問題：若，求代數(shù)式：的最小值．【答案】(1)(2)49(3)(4)最小值為5【分析】（1）由陰影部分正方形的邊長為，可得其面積，結合陰影部分正方形的面積等于大正方形的面積減去四個長方形的面積，可得公式；（2）由，再代入數(shù)值進行計算即可；（3）設，，可得，，再求解，，從而可得答案；（4）由，可得，代入可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：圖2的陰影正方形面積可表示為：，即，

也可表示為：，∴．（2）∵，，∴故答案為：49．（3）設，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．（4）∵，∴，∴；∵，，∴，

∴的最小值為5．【點睛】本題考查的是完全平方公式的幾何意義，利用完全平方公式及其變形求解代數(shù)式的值，利用完全平方公式的求解代數(shù)式的最小值，利用完全平方公式分解因式，靈活應用完全平方公式是解本題的關鍵．19．（2022春·山東青島·八年級校考期中）數(shù)形結合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想．我們常利用數(shù)形結合思想，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．(1)探究一：將圖1的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個多項式的分解因式____________________．(2)探究二：類似地，我們可以借助一個棱長為的大正方體進行以下探索：在大正方體一角截去一個棱長為的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為____________；(3)將圖3中的幾何體分割成三個長方體①、②、③，如圖4、圖5所示，∵，，，∴長方體①的體積為．類似地，長方體②的體積為________，長方體③的體積為________；（結果不需要化簡）(4)用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個多項式因式分解）為______________．(5)問題應用：利用上面的結論，解決問題：已知a-b=6，ab=2，求的值．(6)類比以上探究，嘗試因式分解：=．

【答案】(1)(2)(3)，(4)(5)252(6)【分析】（1）圖1中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，圖2中陰影部分的面積等于長為、寬為的長方形的面積，由此即可得；（2）直接利用大正方體的體積減去小正方體的體積即可得出答案；（3）根據(jù)長方體的體積公式即可得；（4）根據(jù)（2）和（3）的結論可得，再將等號右邊利用提取公因式分解因式即可得出答案；（5）先利用完全平方公式求出，再根據(jù)（4）的結論即可得；（6）將改寫成，再根據(jù)（4）的結論進行因式分解即可得．（1）解：圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為，拼圖前后圖形的面積不變，，可得一個多項式的分解因式為，故答案為：．（2）解：由題意，得到的幾何體的體積為，故答案為：．（3）

解：，長方體②的體積為，，長方體③的體積為，故答案為：，．（4）解：由（2）和（3）得：，則可以得到的恒等式（將一個多項式因式分解）為，故答案為：．（5）解：，，．（6）解：由（4）可知，，則，故答案為：．【點睛】本題考查了平方差公式與圖形面積、利用完全平方公式變形求值、利用提公因式法分解因式等知識點，熟練掌握利用不同的方法表示同一個幾何體的體積得到代數(shù)恒等式是解題關鍵．20．（2022春·遼寧鐵嶺·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示，圖甲由長方形①，長方形②組成，圖甲通過移動長方形②得到圖乙．(1)_______，__________（用含a、b的代數(shù)式分別表示）；

(2)利用（1）的結果，說明、、的等量關系：(3)應用所得的公式計算：(4)如圖丙，現(xiàn)有一塊如圖丙尺寸的長方形紙片，請通過對它分割，再對分割的各部分移動，組成新的圖形，畫出圖形，利用圖形說明、、三者的等量關系．【答案】(1)；(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)長方形的面積計算公式及正方形的面積計算公式進行計算，即可得出結論．（2）利用圖甲與圖乙的面積相等，即可得到．（3）根據(jù)（2）得到的平方差公式將每一個因式分解并約分可得到結論．（4）將圖丙分成四個長為a，寬為b的小長方形，再拼成大正方形，即可得到、、ab三者的等量有關系．（1）解：由題意可得：；，故答案為：；；

（2）∵圖甲與圖乙的面積相等，∴、、的等量關系為：；（3）；（4）如圖①所示，將圖丙分成四個長為a，寬為b的小長方形，再拼成如圖②所示的正方形．圖②中大正方形的面積為：，圖②中四個小長方形的面積與中間小正方形的面積和為：，∴【點睛】此題考查了平方差公式的幾何背景，運用幾何圖形直觀理解平方差公式，解決完全平方公式的推導過程，熟練掌握相關的公式并靈活運用是解題關鍵．【題型四因式分解中的新定義問題】21．（2021·重慶·九年級專題練習）若一個四位自然數(shù)滿足個位數(shù)字與百位數(shù)字相同，十位數(shù)字與千位數(shù)字相同，我們稱這個四位自然數(shù)為“雙子數(shù)”．將“雙子數(shù)”

的百位、千位上的數(shù)字交換位置，個位、十位上的數(shù)字也交換位置，得到一個新的雙子數(shù)，記為“雙子數(shù)”的“雙11數(shù)”．例，，，則（1）計算3636的“雙11數(shù)”__________．（2）已知兩個“雙子數(shù)”、，其中，（其中，，，且、、、都為整數(shù)），若的“雙11數(shù)”能被17整除，且、的“雙11數(shù)”滿足，令，求的值．【答案】（1）18；（2）G（p，q）的值為51或17．【分析】（1）直接根據(jù)“雙子數(shù)”m的“雙11數(shù)”的計算方法即可得出結論；（2）先根據(jù)“雙11數(shù)”F（p）能被17整除，進而判斷出p為8989，求出F（q）=2（c+d），再根據(jù)F(p)+2F(q)-(4a+3b+2d+c)=0，得出d=，進而求出c，d，即可得出結論．【詳解】解：（1）由題意知，3636的“雙11數(shù)”，故答案為：18；（2）∵“雙子數(shù)”p，，∴F（p）=2（a+b），∵“雙11數(shù)”F（p）能被17整除，∴a+b是17的倍數(shù)，∵1≤a＜b≤9，∴3≤a+b＜18，∴a+b=17，∴a=8，b=9，∴“雙子數(shù)”p為8989，F(xiàn)（p）=34，∵“雙子數(shù)”q，，∴F（q）=2（c+d），∵F（p）+2F（q）-（4a+3b+2d+c）=0，∴34+2×2（c+d）-（4×8+3×9+2d+c）=0，

∴3c+2d=25，∴，∵1≤c≤9，1≤d≤9，c≠d，c、d都為整數(shù)，∴c為奇數(shù)，1≤c＜9，當c=1時，d=11，不符合題意，舍去，當c=3時，d=8，∴“雙子數(shù)”q為3838，∴，當c=5時，d=5，不符合題意，舍去，當c=7時，d=2，∴“雙子數(shù)”q為7272，∴，∴G（p，q）的值為51或17．【點睛】本題是新定義題目，主要考查了完全平方數(shù)，整除問題，理解和運用新定義是解本題的關鍵．22．（2022秋·全國·八年級專題練習）整式乘法與多項式因式分解是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩種變形．例如，是單項式乘多項式的法則；把這個法則反過來，得到，這是運用提取公因式法把多項式因式分解．又如、是多項式的乘法公式；把這些公式反過來，得到、，這是運用公式法把多項式因式分解．有時在進行因式分解時，以上方法不能直接運用，觀察甲、乙兩名同學的進行的因式分解．甲：（分成兩組）（分別提公因式）乙：（分成兩組）（運用公式）

請你在他們解法的啟發(fā)下，完成下面的因式分解問題一：因式分解：（1）；（2）．問題二：探究對、定義一種新運算，規(guī)定：（其中，均為非零常數(shù)）．當時，對任意有理數(shù)、都成立，試探究，的數(shù)量關系．【答案】問題一：因式分解：（1）（2）；問題二：探究的數(shù)量關系．【分析】問題一：因式分解：（1）按系數(shù)成比分組提公因式再利用平分差公式因式分解，最后整理為即可；（2）按完全平方公式分組，然后利用公式變形為再利用平方差公式因式分解即可；問題二：探究∶先求，再求，由，可得，合并同類項，由，對任意有理數(shù)x、y都成立，可得即可．【詳解】解：問題一：因式分解：（1）=，==，=；（2）==

==；問題二：探究，，∵，∴，∴，∴，∵，對任意有理數(shù)x、y都成立，∴，∴m，n的數(shù)量關系．【點睛】本題考查分組因式分解的方法，新定義實數(shù)運算，利用因式分解與多項式乘法之間關系，掌握分組因式分解的方法，利用因式分解與多項式乘法之間關系，構造恒等式找出m與n關系是解題關鍵．23．（2022秋·重慶·九年級重慶南開中學?？茧A段練習）材料一：一個三位數(shù)M，若它的各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且滿足十位上的數(shù)字的平方等于百位數(shù)字與個位數(shù)字之積的k倍（k為整數(shù)），則稱M為“k階比例中項數(shù)”；材料二：一個三位數(shù)，它的百位數(shù)字和十位數(shù)字組成的兩位數(shù)為，十位數(shù)字和個位數(shù)字組成的兩位數(shù)為，規(guī)定；例如：244，因為，其中，2是整數(shù)，所以244是“2階比例中項數(shù)”，；又如：321，因為，但不是整數(shù)，所以321不是一個“階比例中項數(shù)”，．(1)363是“___________階比例中項數(shù)”；最大的“3階比例中項數(shù)”為___________；(2)若（其中，，，均為正整數(shù)，且為偶數(shù)）是一個“階比例中項數(shù)”，且被7除余1，求出所有滿足條件的N．【答案】(1)4；993

(2)221或461【分析】（1）根據(jù)“階比例中項數(shù)”的含義直接作答即可；（2）經(jīng)過分析確定個位數(shù)為1，根據(jù)是“階比例中項數(shù)”得到與的數(shù)量關系，根據(jù)被7除余1，得到另外一個與的數(shù)量關系，通過列舉法確定的值．【詳解】（1）解：（1），是“4階比例中項數(shù)”；若一個三位數(shù)是“3階比例中項數(shù)”那百位和個位數(shù)字積的3倍是十位上數(shù)字的平方，設這個三位數(shù)為，則，且，其中，均為整數(shù)，且均在1到9之間，為3的倍數(shù)，可能是3，6，9，若這個數(shù)最大，即當時，此時，當，時，這個三位數(shù)最大，為993．故答案為：4；993．（2）由題意可知，，，是7的倍數(shù)，，，，均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，可能是2，4，6，8，當時，的值為1、2、4，，當，時，不是7的倍數(shù)，不符合題意；當，時，是7的倍數(shù)，符合題意，此時；當，時，不是7的倍數(shù)，不符合題意；當時，的值為1、2、4，，同理，當時，均不符合題意；

當時，的值為1、2、3、4，，同理，當時，符合題意，此時；當時，的值為1、2、4，，同理，當時，均不符合題意；綜上，符合條件的有221或461．【點睛】本題考查因式分解的應用，能夠運用題干當中的新定義是解答本題的關鍵，方法不唯一．【題型五因式分解中的“配方法”求最值問題】24．（2021春·浙江金華·七年級?？计谥校┙炭茣羞@樣寫道：“我們把多項式及叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等問題．例如：分解因式求代數(shù)式的最小值，．當時，有最小值，最小值是，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：__________．（2）當x為何值時，多項式有最大值？并求出這個最大值．（3）若，求出a，b的值．【答案】（1）（x+1）（x-5）；（2）x=-1，最大值為5；（3）a=2，b=1【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以將題目中的式子因式分解；（2）根據(jù)題目中的例子，先將所求式子變形，然后即可得到當x為何值時，所求式子取得最大值，并求出這個最大值；（3）將題目中的式子化為完全平方式的形式，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，即可得到a、b的值．【詳解】解：（1）x2-4x-5=（x-2）2-9

=（x-2+3）（x-2-3）=（x+1）（x-5），故答案為：（x+1）（x-5）；（2）∵-2x2-4x+3=-2（x+1）2+5，∴當x=-1時，多項式-2x-4x+3有最大值，這個最大值是5；（3）∵，∴，∴，∴，∴a-2b=0，b-1=0，∴a=2，b=1．【點睛】本題考查非負數(shù)的性質(zhì)、因式分解的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用因式分解的方法和非負數(shù)的性質(zhì)解答．25．（2022秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）問題情境：我們知道形如的式子稱為完全平方式．對于一些不是完全平方式的多項式，我們可做如下變形：先添加一個適當?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決數(shù)學問題的方法，不僅可以將有些看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關的問題及求代數(shù)式最大、最小值等問題．例如（1）分解因式．原式；例如（2）求代數(shù)式的最小值．原式．，當時，有最小值是2．解決問題：(1)若多項式是一個完全平方式，那么常數(shù)的值為_____________；(2)分解因式：；

(3)求代數(shù)式的最大或最小值．【答案】(1)25(2)(3)最大值45【分析】（1）利用完全平方公式的特征求解；（2）仿照題中的配方法求解；（3）利用題中的配方法進行變形，再利用非負數(shù)的性質(zhì)判斷．【詳解】（1）∵，且是一個完全平方式，所以的值為25，故答案為：25．（2）（3），當時，有最大值45【點睛】本題考查了因式分解的應用，理解配方法及非負數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．26．（2022秋·河南開封·八年級金明中小學?？茧A段練習）先仔細閱讀材料，再嘗試解決問題：

通過對實數(shù)的學習，我們知道，根據(jù)完全平方公式：，所以完全平方公式的值為非負數(shù)，這一性質(zhì)在數(shù)學中有著廣泛的應用，比如探求多項式的最小值時，我們可以這樣處理：解：原式，且時，的值最小，為；請根據(jù)上面的解題思路，解答下列問題：(1)求多項式的最小值是多少，并寫出對應的x的值；(2)多項式的最大值；(3)求多項式的最小值．【答案】(1)當時，原多項式的最小值是(2)的最大值為5(3)多項式的最小值為4【分析】（1）先把給出的式子化成完全平方的形式，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；（2）根據(jù)完全平方公式把給出的式子進行整理，即可得出答案；（3）根據(jù)完全平方公式把給出的式子進行整理，即可得出答案．【詳解】（1）解：，無論取什么數(shù)，都有的值為非負數(shù)，的最小值為0，此時，的最小值為；則當時，原多項式的最小值是；（2）同（1）得：，無論取什么數(shù)，都有的值為非負數(shù)，的最小值為0，此時，

的最大值為：，則當時，原多項式的最大值是5．（3）同（1）得：，當，時，多項式的最小值為4．【點睛】此題考查了完全平方公式，非負數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是把給出的式子化成完全平方的形式．27．（2023秋·廣東·八年級校聯(lián)考期末）閱讀以下文字并解決問題：【方法呈現(xiàn)】形如這樣的二次三項式，我們可以直接用公式法把它分解成的形式，但對于二次三項式，就不能直接用公式法分解了，此時，我們可以在中間先加上一項9，使它與的和構成一個完全平方式，然后再減去9，則整個多項式的值不變．即：，像這樣，把一個二次三項式變成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．同樣地，把一個多項式進行局部因式分解可以來解決代數(shù)式值的最?。ɑ蜃畲螅﹩栴}．例如：，∵，∴．則這個代數(shù)式的最小值是2，這時相應的x的值是－1．【嘗試應用】(1)利用“配方法”因式分解：；(2)求代數(shù)式的最?。ɑ蜃畲螅┲担懗鱿鄳膞的值．【答案】(1)(2)，．【分析】（1）按照題目中配方法進行因式分解即可．（2）按照題目中配方法進行因式分解并取最大值即可．【詳解】（1）

（2）∵，∴則這個代數(shù)式的最小值是，這時相應的x的值是．【點睛】此題考查了配方法來因式分解，解題的關鍵是讀懂題意并根據(jù)題目要求做題．28．（2021春·江蘇南京·七年級南京鐘英中學?？计谥校W習了乘法公式后，老師向同學們提出了如下問題：①將多項式因式分解；②求多項式的最小值．①．②由①知：，因為，所以，所以當時，的值最小，最小值為．請你運用上述的方法解決下列問題：(1)將多項式因式分解．(2)求多項式的最大值．【答案】(1)；

(2)最大值為．【分析】（1）加上9就可以用完全平方分解，然后再用平方差公式分解即可；（2）先配方，再利用即可解決問題．【詳解】（1）解：；（2）解：因為，所以所以所以當時，的值最大，最大值為．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的應用，本題關鍵是利用二次項系數(shù)和一次項系數(shù)的特殊性，加上一次項系數(shù)一半的平方，可以構成完全平方公式，同時要減去加上一次項系數(shù)一半的平方，使整式的值不變．29．（2022秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·八年級校考期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題例題：若，求m和n的值解：∵∴∴∴，∴，問題：

(1)若，求的值；(2)試探究關于x、y的代數(shù)式是否有最小值，若存在，求出最小值及此時x、y的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)4(2)存在，最小值為，，【分析】（1）先配方，再根據(jù)非負性求出x、y，即可得到答案；（2）先配方，再根據(jù)非負性即可求出最小值．【詳解】（1）解：由題意可得，，∴，∴，，∴，，∴；（2）解：原式∵，，∴當，，有最小值，∴原式，∴當，時，即當，時，代數(shù)式有最小值．【點睛】本題考查配方及非負性應用，解題的關鍵是掌握非負性式子和為0，它們分別等于0．30．（2023春·江蘇·七年級專題練習）【閱讀理解，自主探究】把代數(shù)式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負數(shù)這一性質(zhì)增加問題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應用．例1用配方法因式分解：a2＋6a＋8．原式＝a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．

例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，∴當a＝b＝1時，M有最小值1．請根據(jù)上述自主學習材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式：a2＋10a＋________；(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．(3)若M＝a2－3a+1，則M的最小值為________；(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，則a＋b＋c的值為________；【答案】(1)25；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）利用完全平方公式的結構特征判斷即可；（2）原式常數(shù)項35分為，利用完全平方公式化簡，再利用平方差公式分求解即可；（3）配方后，利用非負數(shù)的性質(zhì)確定出最小值即可；（4）將已知等式利用完全平方公式配方后，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出，，的值，代入原式計算即可．【詳解】（1）解：；故答案為：25；（2）解：；（3）解：，

當，即時，取最小值，最小值為；故答案為：；（4）解：，，即，，，，，，，解得：，，則．故答案為：．【點睛】本題考查了整式的混合運算，非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方，完全平方式，以及因式分解分組分解法，解題的關鍵是熟練掌握各自的運算法則及公式．31．（2023春·江蘇·七年級專題練習）閱讀材料：利用完全平方公式可以將一些形如的多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式的配方法，利用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行因式分解．例如：．根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)分解因式（利用配方法）：；(2)求多項式的最小值；(3)比較與的大小，并說明理由．【答案】(1)；(2)多項式的最小值為；(3)，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)題意，先利用完全平方公式進行配方，再利用平方差公式進行因式分解即可得到答案；（2）利用完全平方公式進行配方，根據(jù)平方的非負性即可得出答案；（3）先將兩個多項式相減，再利用平方的非負性即可得到答案．

【詳解】（1）解：；（2）解：，，當時，即時，多項式有最小值，多項式的最小值為；（3）解：，理由如下：，，，，．【點睛】本題考查了完全平方公式，平方差公式，平方的非負性，熟練掌握兩個公式及其特點是解題關鍵．【題型六因式分解法的應用】32．（2023春·江蘇·七年級專題練習）閱讀理解：對于一些次數(shù)較高或者是比較復雜的式子進行因式分解時，換元法是一種常用的方法，下面是某同學用換元法對多項式進行因式分解的過程．解：設原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）回答下列問題：(1)該同學第二步到第三步運用了因式分解的__________（填代號）．

A．提取公因式

B．平方差公式

C．兩數(shù)和的完全平方公式

D．兩數(shù)差的完全平方公式(2)按照“因式分解，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止”的要求，該多項式分解因式的最后結果為______________．(3)請你模仿以上方法對多項式進行因式分解．【答案】(1)C；(2)；(3)【分析】（1）從解題步驟可以看出該同學第二步到第三步運用了兩數(shù)和的完全平方公式；（2）對第四步的結果括號里的部分用完全平方公式分解，再用冪的乘方計算即可；（3）模仿例題設，對其進行換元后去括號，整理成多項式，再進行分解，分解后將A換回，再分解徹底即可．【詳解】（1）該同學第二步到第三步運用了因式分解的兩數(shù)和的完全平方公式，故選：C；（2）原式=故答案為：；（3）設．．【點睛】本題考查的是因式分解，解題關鍵是要能理解例題的分解方法并能進行模仿，要注意分解要徹底．33．（2023春·江蘇·七年級專題練習）閱讀：把多項式分解因式得

，由此對于方程可以變形為，解得或．觀察多項式的因式、，與方程的解或之間的關系．可以發(fā)現(xiàn)，如果、是方程的解，那么、是多項式的因式．這樣，若要把一個多項式分解因式，可以通過其對應方程的解來確定其中的因式．例如：對于多項式．觀察可知，當時，．則，其中為整式，即是多項式的一個因式．若要確定整式，則可用豎式除法：∴．填空：(1)分解因式：______；(2)觀察可知，當______時，，可得______是多項式的一個因式．分解因式：______．(3)已知：，其中為整式，則分解因式：______．【答案】(1)(2)1；；(3)【分析】（1）通過得出方程的根，即可求解；（2）通過對豎式除法的掌握，進行計算即可得到；（3）通過對豎式除法的掌握，進行計算即可得到．【詳解】（1）解：，故答案為：；

（2）解：當時，，可得是多項式的一個因式，通過豎式除法得：，故答案為：1；；．（3）解：，為整式，通過豎式除法得：，，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，解題的關鍵是掌握通豎式除法的運算法則，進行計算即可得到．34．（2022秋·全國·八年級專題練習）將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：仿照以上方法，探索并解決下列問題：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）利用“”分法結合公式法進行因式分解；（2）利用“”分法結合公式法進行因式分解；（3）利用“”分法結合公式法進行因式分解．【詳解】（1）解：

；（2）；（3）．【點睛】本題考查的是分組分解法因式分解，掌握分組分解法、公式法的一般步驟是解題的關鍵．35．（2022秋·云南昭通·八年級?？计谀┫乳喿x下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“A”還原，得原式．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學解題中常用的一種思想方法，請解答下列問題：(1)因式分解：．(2)因式分解：．【答案】(1)(2)【分析】（1）把看作一個整體，直接利用完全平方公式因式分解即可；（2）令，代入后因式分解后代入即可將原式因式分解．【詳解】（1）解：＝；

（2）解：令，則原式變?yōu)?，故．【點睛】本題主要考查利用完全平方公式進行因式分解，能夠熟練的運用整體思想及完全平方公式是解題關鍵．36．（2022秋·全國·八年級專題練習）閱讀下列材料：材料1：將一個形如x2＋px＋q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q＝mn且p＝m＋n則可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：將“x＋y看成一個整體，令x+y＝A，則原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再將“A”還原得：原式＝（x＋y＋1）2上述解題用到“整體思想”整體思想是數(shù)學解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：（1）根據(jù)材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）結合材料1和材料2，完成下面小題；①分解因式：（x﹣y）2﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣3【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2【分析】（1）將x2+2x-24寫成x2+（6-4）x+6×（-4），根