數(shù)學-專項07 復合二次根式的化簡（帶答案）

專題07復合二次根式的化簡【例題講解】閱讀材料：若想化簡，只要我們找到兩個正數(shù)，使，即，那么便有：．例：化簡．解：首先把化為，這里，由于即．．請你仿照閱讀材料的方法解決下列問題：(1)填空：___________，___________；(2)化簡：寫出計算過程(3)化簡：為正整數(shù)【詳解】（1）這里，，即：，這里，，即：，故答案為：；（2）這里，，即：，（3）．．．．．．，原式．．．【綜合解答】

1．觀察下列各式及其化簡過程：，．(1)按照上述兩個根式的化簡過程的基本思路，將化簡；(2)化簡；(3)針對上述各式反映的規(guī)律，請你寫出中，m，n與a，b之間的關(guān)系．【答案】(1)；(2)；(3)，．【分析】（1）將31分解成，再利用完全平方公式即可求出答案；（2）先將7分解成，計算第二層根式，再將35分解成，利用完全平方公式即可求出答案；（3）將等式兩邊同時平方即可求出答案．【詳解】（1）（2）

（3）兩邊平方可得：∴，【點睛】本題考查了二次根式的化簡與性質(zhì)及配方法的應用，讀懂題中的配方法并明確二次根式的化簡方法是解題關(guān)鍵．2．先閱讀材料，然后回答問題(1)肖戰(zhàn)同學在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題，化簡經(jīng)過思考，肖戰(zhàn)解決這個問題的過程如下，①②③④在上述化簡過程中，第______步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結(jié)果為_____________(2)根據(jù)上述材料中得到的啟發(fā)，化簡﹒【答案】(1)④，(2)【分析】（1）由于，則可知在第④步化簡的時候出現(xiàn)錯誤，據(jù)此求出正確的化簡結(jié)果即可；（2）仿照題意進行化簡即可．【詳解】（1）解：①②③

④，∴上述的化簡過程中，第④步出現(xiàn)了錯誤，正確的化簡結(jié)果為，故答案為：④，；（2）解：．【點睛】本題主要考查了化簡復合二次根式，正確理解題意掌握化簡復合二次根式的方法是解題的關(guān)鍵．3．問題探究：因為，所以因為，所以因為，所以請你根據(jù)以上規(guī)律，結(jié)合你的經(jīng)驗化簡下列各式：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）因為，且，由此把原式中被開方式改為完全平方式，進一步因式分解，化簡得出答案即可;（2）因為，且，由此把原式中被開方式改為完全平方式，進一步因式分解，化簡得出答案即可．（1）解：

＝＝＝＝．（2）＝＝＝＝=．【點睛】此題考查活用完全平方公式，把數(shù)分解成完全平方式，進一步利用二次根式的性質(zhì)化簡，注意在整數(shù)分解時參考后面的二次根號里面的數(shù)值．4．閱讀：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，有：．根據(jù)這一性質(zhì)，我們可以將一些“雙重二次根式”去掉一層根號，達到化簡效果．如：在實數(shù)范圍內(nèi)化簡．解：設(shè)（，為非負有理數(shù)），則．∴由①得，，代入②得：，解得，∴，∴請根據(jù)以上閱讀理解，解決下列問題：

(1)請直接寫出的化簡結(jié)果是__________；(2)化簡；(3)判斷能否按照上面的方法化簡，如果能化簡，請寫出化簡后的結(jié)果，如果不能，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)不能，理由見解析【分析】（1）利用題中復合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法以及一元二次方程的解法進行求解；（2）利用題中復合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法以及一元二次方程的解法進行求解；（3）利用題中復合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法以及一元二次方程的根的判別式求解．（1）解：＝＝＝＝．故答案為：；（2）設(shè)（，為非負有理數(shù)），則，∴，由①得，，代入②得：，解得，，∴，，

∴，∴；（3）不能，理由如下：設(shè)（，為非負有理數(shù)），則，∴，由①得，，代入②得：，即：，，∴關(guān)于的一元二次方程無解，∴不能按照上面的方法化簡．【點睛】此題考查活用完全平方公式，把數(shù)分解成完全平方式，一元二次方程的解法和根的判別式，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．5．像，…這樣的根式叫做復合二次根式．有一些復合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進行化簡，如：＝＝＝＝．再如：請用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡：；(2)化簡：；(3)若，且a，m，n為正整數(shù)，求a的值．【答案】(1)(2)(3)14或46【分析】（1）利用題中復合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；

（2）利用題中復合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，結(jié)合整除的意義求解．（1）（2）（3）∵，∴，，∴又∵、n為正整數(shù)，∴，或者，∴當時，；當時，．∴a的值為：或．【點睛】此題考查活用完全平方公式，把數(shù)分解成完全平方式，進一步利用公式因式分解化簡，注意在整數(shù)分解時參考后面的二次根號里面的數(shù)值．6．有這樣一類題目：將化簡，如果你能找到兩個數(shù)，，使并且，則將變成，開方，從而使得化簡．例如：化簡：∵∴仿照上例化簡下列各式：(1)(2)【答案】(1)(2)

【分析】(1)根據(jù)，確定后化簡計算．(2)根據(jù)，確定后化簡計算．【詳解】（1）因為，所以．（2）因為，所以．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握閱讀學習的基本方法是解題的關(guān)鍵．7．先閱讀下列解答過程：形如的式子的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)a，b，使，，即，，那么便有．例如：化簡．解：首先把化為，這里，，由于，，即，，所以．請根據(jù)材料解答下列問題：(1)填空：______；(2)化簡：（請寫出計算過程）；(3)化簡：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）化簡時，根據(jù)范例確定a，b值為3和1；（2）將轉(zhuǎn)化為：，即可求解；

（3）先把各項中分母的無理式變成的形式，再進行分母有理化后，進行計算即可求解．【詳解】（1）解：在中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3即，∴=；故答案為：；（2）原式．（3）原式．【點睛】本題考查二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡，分母有理化．二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡是符合完全平方公式的特點的式子．8．有這樣一類題目：將化簡，如果你能找到兩個數(shù)m、n，使m2+n2=a且，則將將變成m2+n2±2mn，即變成(m±n)2開方，從而使得化簡．例如，，∴．請仿照上例解下列問題：(1)；

(2).【答案】（1）；（2）【詳解】（1）∵==，

∴==+1．（2）∵13-=

∴9．有這樣一類題目：將化簡，如果你能找到兩個數(shù)、，使記，并且，則將，變成開方，從而使得化簡．例如：化簡．因為所以仿照上例化簡下列各式：（1）；（2）．【答案】(1)；（2）．【分析】根據(jù)題目所提供的方法，先將被開方式化為完全平方的形式，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可.【詳解】原式．原式．【點睛】本題考查了復合二次根式的化簡，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)完全平方公式將被開放式化為完全平方的形式.10．若要化簡我們可以如下做：∵3+2=2+1+2=()2+2××1+12=(+1)2，∴；

仿照上例化簡下列各式：(1)；(2).【答案】（1）；（2）【詳解】分析：（1）根據(jù)=即可得出結(jié)論;（2）根據(jù)即可得出結(jié)論;詳解：(1)；(2).點睛：本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡,根據(jù)題意把被開方數(shù)化為完全平方式的形式是解答此題的關(guān)鍵.11．閱讀下面材料，回答問題：(1)在化簡的過程中，小張和小李的化簡結(jié)果不同；小張的化簡如下：；小李的化簡如下：；請判斷誰的化簡結(jié)果是正確的，誰的化簡結(jié)果是錯誤的，并說明理由．(2)請你利用上面所學的方法化簡．【答案】（1）小李化簡正確，小張的化簡結(jié)果錯誤．（2）【分析】分析：(1)、根據(jù)的性質(zhì)來進行判定得出答案；(2)、將被開方數(shù)轉(zhuǎn)化為完全平方式，從而得出答案．【詳解】詳解：解：（1）小李化簡正確，小張的化簡結(jié)果錯誤．因為；（2）原式=．【點睛】本題主要考查的是二次根式的化簡法則，屬于中等題型．解決本題的關(guān)鍵就是將整數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個實數(shù)的平方和，從而得出完全平方式．12．閱讀下面的解答過程，然后作答：有這樣一類題目：將化簡，若你能找到兩個數(shù)m和n，使m2+n2=a且mn=，則a+2

可變?yōu)閙2+n2+2mn，即變成（m+n）2，從而使得化簡．例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2∴==+請你仿照上例將下列各式化簡（1），（2）．【答案】（1）1+；（2）.【分析】參照范例中的方法進行解答即可.【詳解】解：（1）∵，∴；（2）∵，∴.13．閱讀材料：把根式進行化簡，若能找到兩個數(shù)m、n，是m2+n2＝x且mn＝，則把x±2變成m2+n2±2mn＝(m±n)2開方，從而使得化簡．例如：化簡解：∵3+2＝1+2+2＝12+()2+2×1×＝(1+)2∴；請你仿照上面的方法，化簡下列各式：(1)；(2).【答案】(1)；(2)2-【分析】（1）直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案；（2）直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案．【詳解】(1)∵5+2＝3+2+2＝()2+()2+2××＝(+)2，∴；(2)∵7﹣4＝4+3﹣4＝22+()2﹣2×2×＝(2﹣)2，

∴．【點睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是正確應用完全平方公式．14．有這樣一類題目：將化簡，如果能找到兩個數(shù)m、n，使且，則可將變成，即變成開方，從而使得化簡.例如：5+2=3+2+2==請仿照上例化簡下列各式：(1)(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式把5-2化為，然后利用二次根式的性質(zhì)計算；（2）根據(jù)完全平方公式把4-2化為，然后利用二次根式的性質(zhì)計算．【詳解】(1)5-2=3+3-2=+-2=，所以=．(2)4-2=3+1-2=+(1)2-2=，所以=．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡：|a|．也考查了完全平方公式和閱讀理解能力．15．先閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數(shù)學上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去一層根號．例如：＝|1＋|＝1＋解決問題：①模仿上例的過程填空：＝__________