數(shù)學(xué)-2020年北京二模-新定義問題（學(xué)生版）

2020年北京二?！露x問題1．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N，連接，則稱的長度為點(diǎn)P的垂點(diǎn)距離，記為h．特別地，點(diǎn)P與原點(diǎn)重合時(shí)，垂點(diǎn)距離為0．（1）點(diǎn)的垂點(diǎn)距離分別為________，___________，____________；（2）點(diǎn)P在以為圓心，半徑為3的上運(yùn)動(dòng)，求出點(diǎn)P的垂點(diǎn)距離h的取值范圍；（3）點(diǎn)T為直線位于第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，對(duì)于點(diǎn)T的垂點(diǎn)距離h的每個(gè)值有且僅有一個(gè)點(diǎn)T與之對(duì)應(yīng)，求點(diǎn)T的橫坐標(biāo)t的取值范圍．2．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的定點(diǎn)P和圖形F，給出如下定義：若在圖形F上存在一點(diǎn)N，使得點(diǎn)Q，點(diǎn)P關(guān)于直線ON對(duì)稱，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于圖形F的定向?qū)ΨQ點(diǎn)．（1）如圖，，，，①點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)B的定向?qū)ΨQ點(diǎn)的坐標(biāo)是；②在點(diǎn)，，中，______是點(diǎn)P關(guān)于線段AB的定向?qū)ΨQ點(diǎn)．

（2）直線分別與x軸，y軸交于點(diǎn)G，H，⊙M是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．①當(dāng)時(shí)，若⊙M上存在點(diǎn)K，使得它關(guān)于線段GH的定向?qū)ΨQ點(diǎn)在線段GH上，求的取值范圍；②對(duì)于，當(dāng)時(shí)，若線段GH上存在點(diǎn)J，使得它關(guān)于⊙M的定向?qū)ΨQ點(diǎn)在⊙M上，直接寫出b的取值范圍．3．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P和圖形M，給出如下定義：Q為圖形M上任意一點(diǎn)，如果兩點(diǎn)間的距離有最大值，那么稱這個(gè)最大值為點(diǎn)P與圖形M間的開距離，記作．已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，的半徑為1．（1）若，①求的值；②若點(diǎn)C在直線上，求的最小值；（2）以點(diǎn)A為中心，將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)E在線段組成的圖形上，若對(duì)于任意點(diǎn)E，總有，直接寫出b的取值范圍．4．過直線外一點(diǎn)且與這條直線相切的圓稱為這個(gè)點(diǎn)和這條直線的點(diǎn)線圓．特別地，半徑最小的點(diǎn)線圓稱為這個(gè)點(diǎn)和這條直線的最小點(diǎn)線圓．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)，，，分別以，為圓心，1為半徑作，，以為圓心，2為半徑作，其中是點(diǎn)和軸的點(diǎn)線圓的是________；（2）記點(diǎn)和軸的點(diǎn)線圓為，如果與直線沒有公共點(diǎn)，求

的半徑的取值范圍；（3）直接寫出點(diǎn)和直線的最小點(diǎn)線圓的圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．5．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形，，給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，為圖形上任意一點(diǎn)，如果線段的長度有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形，的“近距”，記作；如果線段的長度有最大值，那么稱這個(gè)最大值為圖形，的“遠(yuǎn)距”，記作．已知點(diǎn)，．（1）（點(diǎn)，線段）______，（點(diǎn)，線段）______；（2）一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若（線段，線段），①求的值；②直接寫出（線段，線段）______；（3）的圓心為，半徑為1．若（線段），請(qǐng)直接寫出（，線段）的取值范圍．6．在平面內(nèi)，對(duì)于給定的，如果存在一個(gè)半圓或優(yōu)弧與的兩邊相切，且該弧上的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部或邊上，則稱這樣的弧為的內(nèi)切?。?dāng)內(nèi)切弧的半徑最大時(shí)，稱該內(nèi)切弧為的完美內(nèi)切?。ㄗⅲ夯〉陌霃街冈摶∷趫A的半徑）在平面直角坐標(biāo)系中，．

（1）如圖1，在弧，弧，弧中，是的內(nèi)切弧的是____________；（2）如圖2，若弧G為的內(nèi)切弧，且弧G與邊相切，求弧G的半徑的最大值；（3）如圖3，動(dòng)點(diǎn)，連接．①直接寫出的完美內(nèi)切弧的半徑的最大值；②記①中得到的半徑最大時(shí)的完美內(nèi)切弧為弧T．點(diǎn)P為弧T上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交x軸和直線于點(diǎn)D，E，點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，直接寫出線段長度的取值范圍．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，存在半徑為2，圓心為(0，2)的，點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，如果點(diǎn)在線段上，那么稱點(diǎn)為的“限距點(diǎn)”．（1）在點(diǎn)中，的“限距點(diǎn)”為____________________________；（2）如果過點(diǎn)且平行于軸的直線上始終存在的“限距點(diǎn)”，畫出示意圖并直接寫出的取值范圍；（3）的圓心為，半徑為1，如果上始終存在的“限距點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．

8．過三角形的任意兩個(gè)頂點(diǎn)畫一條弧，若弧上的所有點(diǎn)都在該三角形的內(nèi)部或邊上，則稱該弧為三角形的“形內(nèi)弧”．（1）如圖，在等腰中，，．①在下圖中畫出一條的形內(nèi)弧；②在中，其形內(nèi)弧的長度最長為______．（2）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，．點(diǎn)M為形內(nèi)弧所在圓的圓心．求點(diǎn)M縱坐標(biāo)的取值范圍；（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)G為x軸上一點(diǎn)．點(diǎn)P為最長形內(nèi)弧所在圓的圓心，求點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍．9．已知：如圖，⊙O的半徑為r，在射線OM上任取一點(diǎn)P（不與點(diǎn)O重合），如果射線OM上的點(diǎn)P'，滿足OP·OP'=r2，則稱點(diǎn)P'為點(diǎn)P關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙O的半徑為2．(1)已知點(diǎn)A(4，0)，求點(diǎn)A關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)A'的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)B'恰好為直線與直線x=4的交點(diǎn)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)C為直線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)C關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)C'在⊙O的內(nèi)部，求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m的范圍；(4)若點(diǎn)D為直線x=4上一動(dòng)點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)D關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)D'的橫坐標(biāo)t的范圍．

10．平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：對(duì)于圖形G及圖形G外一點(diǎn)P，若圖形G上存在一點(diǎn)M，滿足PM=2，且使點(diǎn)P繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P’在這個(gè)圖形G上，則稱點(diǎn)P為圖形G的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”．已知點(diǎn)A（－1，0），B（－1，2），C（2，-2），D（0，3），E（2，2），F(xiàn)（3，0）（1）①判斷：點(diǎn)B________線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；②點(diǎn)C，D，E中，是線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”的有_________；（2）已知直線，若直線l上存在線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，求b的取值范圍；（3）⊙T是以點(diǎn)T（t，0）為圓心，為半徑的一個(gè)圓，已知在線段AD上存在這個(gè)圓的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，

直接寫出t的取值范圍．11．在平面中，給定線段AB和C，P兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)P分布在線段AB的異側(cè)，滿足

，則稱點(diǎn)C與點(diǎn)P是關(guān)于線段AB的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，．（1）在，，三個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn)O與點(diǎn)P是關(guān)于線段AB的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的是________；（2）若點(diǎn)C與點(diǎn)P是關(guān)于線段OA的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)m的取值范圍；（3）直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若在線段AB上存在點(diǎn)P與點(diǎn)O是關(guān)于線段EF的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫出b的取值范圍．12．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，且，．給出如下定義：若平面上存在一點(diǎn)P，使是以線段為斜邊的直角三角形，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”．

（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為．①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，在點(diǎn)、和中，是點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”的是_________；②點(diǎn)B在x軸的正半軸上，且，當(dāng)直線上存在點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”時(shí)，求b的取值范圍；（2）的半徑為r，點(diǎn)為點(diǎn)、點(diǎn)的“直角點(diǎn)”，若使得與有交點(diǎn)，直接寫出半徑r的取值范圍．13．如圖1，點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)A，B是上不重合的兩個(gè)點(diǎn)，連結(jié)

．當(dāng)時(shí)，我們稱點(diǎn)P為的“關(guān)于的關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．

（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，點(diǎn)P是的“關(guān)于