數(shù)學(xué)-專題02 整式乘除法的五種求值題型全攻略（帶答案）

專題02整式乘除法的五種求值題型全攻略【知識點梳理】整式乘法1、單項式乘單項式:單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。2、單項式乘多項式:根據(jù)乘法分配律，用單項式乘以多項式的每一項，再把所得的積相加。3、多項式乘多項式:先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。整式除法1、單項式除單項式：（1）將它們的系數(shù)相除作為上的系數(shù)；（2）對于被除式和除式中都含有的字母，按同底冪的除法分別相除，作為商的因式；（3）被除式中獨有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的因式。2、多項式除單項式：多項式的每一項分別除以單項式，然后再把所得的商相加。類型一、“不含某一項”求參例、已知將（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）乘開的結(jié)果不含x2項，并且x3的系數(shù)為2．則m+n＝_____．【答案】-8【詳解】（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n＝x5﹣3x4+（4+m）x3+（﹣3m+n）x2+(4m﹣3n)x+4n，∵結(jié)果不含x2項，并且x3的系數(shù)為2，∴﹣3m+n＝0，4+m＝2，∴m＝﹣2，n＝﹣6，∴m+n＝﹣2﹣6＝﹣8，

故答案為：﹣8【變式訓(xùn)練1】若多項式x2＋2mx﹣1與x2﹣2x＋n的乘積中不含x2和x3項，則m2﹣mn＋n2＝_____．【答案】【詳解】解：（x2＋2mx﹣1）（x2﹣2x＋n）＝x4﹣2x3＋nx2＋2mx3﹣4mx2＋2mnx﹣x2＋2x﹣n＝x4＋（﹣2＋2m）x3＋（n﹣4m﹣1）x2＋（2mn＋2）x﹣n，∵多項式x2＋2mx﹣1與x2﹣2x＋n的乘積中不含x2和x3項，∴﹣2＋2m＝0，n﹣4m﹣1＝0，解得：m＝1，n＝5，∴m2﹣mn＋n2＝12﹣1×5＋×52＝，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】若的積中不含項與項．(1)求、的值；(2)求代數(shù)式的值．【答案】(1)，；(2)【詳解】（1）解：的積中不含項與項，解得，；（2）解：，，，

．【變式訓(xùn)練3】若（x2＋3mx﹣）（x2﹣3x＋n）的積中不含x和x3項，（1）求m2﹣mn＋n2的值；（2）求代數(shù)式（﹣18m2n）2＋（9mn）﹣2＋（3m）2014n2016的值．【答案】（1）；（2）36【詳解】（x2＋3mx﹣）（x2﹣3x＋n）＝x4＋nx2＋（3m﹣3）x3﹣9mx2＋（3mn＋1）x﹣x2﹣n，由積中不含x和x3項，得到3m﹣3＝0，3mn＋1＝0，解得：m＝1，n＝﹣，（1）原式＝（m﹣n）2＝（）2＝；（2）原式＝324m4n2＋＋（3mn）2014?n2＝324×14×（-）2++[3×1×（-）]2014?（-）2=36＋＋＝36．【變式訓(xùn)練4】已知將展開的結(jié)果不含和項，（m、n為常數(shù)）（1）求m、n的值；（2）在（1）的條件下，求的值．（先化簡，再求值）【答案】（1）；（2），-1792

【詳解】解：（1），，由題意得：，解得：；（2），當(dāng)，時，原式類型二、特殊值法求值例1、已知，則（）A．1 B．－1 C．2 D．0【答案】B【解析】將代入得：，∴．故選：B．【變式訓(xùn)練1】（1）已知：則的值是_____（2）如果記那么_____（3）若則x=_____（4）若則_____【答案】（1）2001（2）（3）（4）﹣120【解析】（1）由題意得：；∴======2001設(shè)，

則；∴，即∴原式=（3）=?==192∴∴∴（4）當(dāng)x=1時，1=……①當(dāng)x=﹣1時，=……②當(dāng)x=0時，1=①＋②==即=∴=＋1=﹣120【變式訓(xùn)練2】小東在學(xué)習(xí)多項式乘以多項式時發(fā)現(xiàn)：的結(jié)果是一個多項式，并且最高次項為：，常數(shù)項為：，那么一次項是多少呢？要解決這個問題，就是要確定該一次項的系數(shù)．根據(jù)嘗試和總結(jié)，他發(fā)現(xiàn)：一次項系數(shù)就是：，即一次項為．請你認真領(lǐng)會小東解決問題的思路、方法，仔細分析上面等式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合自己對多項式乘法法則的理解，解決以下問題，(1)計算所得多項式的一次項系數(shù)為___________；(2)若計算所得多項式不含一次項，求a的值；(3)若，則___________．【答案】(1)；(2)；(3)2023【詳解】（1）解：，∴所得多項式的一次項系數(shù)為，故答案為：（2）解：由題意得，的一次項系數(shù)為：，

∵計算所得多項式不含一次項，∴，∴；（3）解：∵表示2023個相乘，幾個多項式乘積的一次項系數(shù)為多項式中的一次項系數(shù)與其他多項式的常數(shù)項的積的和，∴的結(jié)果的一次項系數(shù)為2023個（一共2023個1），∴的結(jié)果的一次項系數(shù)為2023，∴，故答案為：2023．【變式訓(xùn)練3】我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的相關(guān)規(guī)律．例如：，它只有一項，系數(shù)為；，它有兩項，系數(shù)分別為，，系數(shù)和為；，它有三項，系數(shù)分別為，，，系數(shù)和為；根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：(1)展開式共有______項，系數(shù)和為______．(2)求的展開式；(3)利用表中規(guī)律計算：（不用表中規(guī)律計算不給分）；(4)設(shè)，則的值為______．【答案】(1)，(2)(3)(4)【詳解】（1）解：根據(jù)圖表中的規(guī)律，可得：展開式共有項，系數(shù)和為，故答案為：，；

（2）；（3）根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)：，；（4），當(dāng)時，，當(dāng)時，，，的值為．故答案為：．類型三、整體代入法求值例1、若a+b＝﹣3，ab＝1，則（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）＝_____．【答案】-5【詳解】解：∵a+b=-3，ab=1，∴（a+1）（b+1）（a-1）（b-1）=[（a+1）（b+1）][（a-1）（b-1）]=（ab+a+b+1）（ab-a-b+1）=（1-3+1）×（1+3+1）=-1×5=-5．故答案為：-5．【變式訓(xùn)練1】計算的結(jié)果是（

）

A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】A【詳解】解：設(shè)，，則，，．故選：A．【變式訓(xùn)練2】（1）已知2x2＋6x＝3，求代數(shù)式x（x＋1）（x＋2）（x＋3）的值；（2）如果多項式4x2＋kx－7被4x＋3除后余2，求k的值．【答案】（1）；（2）-9【詳解】（1）由2x2＋6x＝3，得∴x（x＋1）（x＋2）（x＋3）=；（2）∵多項式4x2＋kx－7是二次多項式，除式4x+3是一次多項式∴多項式4x2＋kx－7被4x＋3除，則商應(yīng)為一次多項式∵多項式4x2＋kx－7的二次項系數(shù)為4∴商的一次項系數(shù)為1∵多項式4x2＋kx－7的常數(shù)項為-7，余數(shù)為2

∴商的常數(shù)項為-3∴商為∴4x2＋kx－7=，∴k=-9【變式訓(xùn)練3】已知2a2+a-6=0，求代數(shù)式(3a+2)(3a-2)-(5a3-2a2)÷a的值．【答案】8【詳解】解：，，；∵，∴，∴．類型四、規(guī)律性問題例1、我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”．這個三角形給出了（n＝1，2，3，4，…）的展開式的系數(shù)規(guī)律（按a的次數(shù)由大到小的順序）：11＝a+b121＝1331＝14641＝請根據(jù)上述規(guī)律，寫出的展開式中含項的系數(shù)是（

）A．2021 B．4042 C．2043231 D．2019【答案】B【詳解】解：展開式中含項的系數(shù)，由：＝…，可知，展開式中第二項為，∴的展開式中含項的系數(shù)是4042．故選：B．【變式訓(xùn)練1】大家一定熟知楊輝三角（Ⅰ）,它可以解釋二項式和的乘方規(guī)律，觀察下列等式（Ⅱ）

根據(jù)前面各式規(guī)律，則的展開式是_________．【答案】【詳解】解：，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】請同學(xué)觀察、計算、思考完成下列問題：計算：（1）______；（2）______；（3）______；猜想并驗證：（4）______；思考：（5）求的值．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【詳解】解：（1），故答案為：；（2）

，故答案為：；（3），故答案為：；（4），故答案為：；（5）．【變式訓(xùn)練3】觀察下列各式：(1)根據(jù)以上規(guī)律，則___________．(2)你能否由此歸納出一般規(guī)律___________．(3)根據(jù)以上規(guī)律求的值．【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）∵，，，

∴；故答案是：．（2）根據(jù)題意得：；故答案是：；（3）∵，∴．類型五、整式乘除與幾何綜合問題例、閱讀下列文字：我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如由圖1可以得到．請解答下列問題：(1)用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖2中的大正方形面積：方法一：____________；方法二：____________．(2)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式：____________．(3)利用（2）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知求的值．【答案】(1)；(2)=(3)【詳解】（1）方法一：

故答案為：方法二：

故答案為：（2）因為方法一和方法二表示同一個長方形的面積，因此可=故答案為：=（3）根據(jù)（2）中所的結(jié)論=得=把代入得

解得【變式訓(xùn)練1】閱讀下列文字：我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個等式．例如，由圖1可以得到．請解答下列問題：(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；(2)利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，，求的值；(3)圖3中給出了若干個邊長為和邊長為的小正方形紙片及若干個邊長分別為，的長方形紙片．請利用所給的紙片拼出一個幾何圖形，使得用兩種不同的方法計算它的面積時，能夠得到關(guān)于的數(shù)學(xué)等式.【答案】(1)(2)(3)見解析

【詳解】（1）根據(jù)題意，大矩形的面積為：，各小矩形部分的面積之和，∴等式為，故答案為：．（2）∵∵，∴．（3）∵如圖所示：【變式訓(xùn)練2】在數(shù)學(xué)中，根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系可以形象直觀地表示多項式的乘法．例如：可以用圖（1）表示．(1)根據(jù)圖（2），寫出一個與多項式乘法有關(guān)的等式_________________________________；

(2)有足夠多的兩種正方形卡片（①號、②號）和一種長方形卡片（③號），如圖（3），現(xiàn)選?、偬?、②號、③號卡片分別為1張、2張、3張，拼成一個長方形（不重疊無縫隙），請畫出這個圖形的草圖，并寫出計算它的面積能得到的數(shù)學(xué)等式．【答案】(1)(2)圖見解析，【詳解】（1）根據(jù)圖（1）的面積可以表示為或，∴，故答案為：（2）解：依題意，如圖，現(xiàn)選取①號、②號、③號卡片分別為1張、2張、3張，拼成一個長方形∴．【變式訓(xùn)練3】數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，利用圖中邊長分別為、的兩個正方形紙片和長為、寬為的長方形紙片，可以拼出一些圖形來解釋某些等式，如，由圖可得．則：(1)由圖可以解釋的等式是____________；(2)用張邊長為的正方形紙片，張長為、寬為的長方形紙片，張邊長為

的正方形紙片拼成一個大正方形，求這個大正方形的邊長；(3)用張長為，寬為的長方形紙片按照圖方式不重疊地放在大長方形內(nèi)，大長方形中未被覆蓋的兩個部分的面積設(shè)為、，的長設(shè)為．①請用含的代數(shù)式表示：；②若無論取任何實數(shù)時，①的結(jié)果始終保持不變，請直接寫出與滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)①；②【詳解】（1）解：大長方形的面積為：，兩個小正方形（邊長為），一個大正方形（邊長為），三個長方形（長為、寬為）的面積和為：，∵面積相等，∴，故答案為：．（2）解：張邊長為的正方形紙片的面積為：，張長為、寬為的長方形紙片的面積為，張邊長為的正方形紙片的面積為：，∴拼成一個大正方形的面積為：，∴大正方形的邊長為：，∵，，∴，∴，∴大正方形的邊長為．（3）解：①根據(jù)題意得，的長設(shè)為，∴，，∴，∴；②無論取任何實數(shù)時，①的結(jié)果始終保持不變，∴中含項的系數(shù)為零，∴，即，∴．

【變式訓(xùn)練4】七年級學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時，遇到這樣一類題“代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，求a的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項，因為代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項的系數(shù)為0，即原式