數(shù)學(xué)-壓軸題05 幾何綜合（原卷版）

幾何綜合幾何綜合問題在中考中以填空題和解答題的形式出現(xiàn)，考查難度較大.此類問題在中考中多考查面積平分、面積最值和幾何變換的綜合問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、圓、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值等相關(guān)知識，以及分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①幾何圖形中的線段最值問題②探究圖形面積的分割問題；③探究圖形面積的最值問題.右圖為幾何綜合問題中各題型的考查熱度.題型1：線段最值問題①動點(diǎn)路徑問題②“胡不歸”問題③“將軍飲馬”問題④“造橋選址”問題

解題模板：1.（2021秋?白云區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為4，⊙O的半徑為1．若⊙O在正方形ABCD內(nèi)平移（⊙O可以與該正方形的邊相切，則點(diǎn)A到⊙O上的點(diǎn)的距離的最大值為（）A． B． C． D．【變式1-1】（2020?遵義）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E為對角線AC上一動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、C不重合），連接DE，作EF⊥DE交射線BA于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作MN∥BC分別交CD、AB于點(diǎn)M、N，作射線DF交射線CA于點(diǎn)G．（1）求證：EF＝DE；（2）當(dāng)AF＝2時(shí)，求GE的長．2.（2022春?廣陵區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且AM＝2，點(diǎn)P為線段BD上的一個(gè)動點(diǎn)，則MP+PB的最小值是．

【變式2-1】（2021?郴州）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于點(diǎn)D．點(diǎn)P為線段BD上的動點(diǎn)，則PC+PB的最小值為．3.（2022秋?朝陽區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），點(diǎn)C在邊AB上，且＝，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊OA上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在OA上移動時(shí)，使四邊形PDBC周長最小的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．【變式3-1】（2021?聊城）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動，保持EF＝3，當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．

4.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊BC上且CE＝1，長為的線段MN在AC上運(yùn)動，當(dāng)四邊形BMNE的周長最小時(shí)，則tan∠MBC的值是．【變式4-1】如圖，已知四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A（1，3），B（m，0），C（m+2，0），D（5，1），當(dāng)四邊形ABCD的周長最小時(shí)，m的值為．題型2：面積平分問題

解題模板：技巧精講1：利用中線平分圖形面積的方法2.利用對稱性平分圖形面積的方法

5.（1）問題提出：如圖（1），在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)且AD＝2，過點(diǎn)D作直線DE交△ABC于點(diǎn)E，使得△ABC被分成面積相等的兩部分，則DE的長為2．（2）類比發(fā)現(xiàn)：如圖（2），五邊形ABOCD，各頂點(diǎn)坐標(biāo)為：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2）請你找出一條經(jīng)過頂點(diǎn)A的直線，將五邊形ABOCD分為面積相等的兩部分，求出該直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．（3）如圖（3），王叔叔家有一塊四邊形菜地ABCD，他打算過D點(diǎn)修一條筆直的小路把四邊形菜地ABCD分成面積相等的兩部分，分別種植不同的農(nóng)作物，已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝200米，∠BAD＝90°過點(diǎn)D是否存在一條直線將四邊形ABCD的面積平分？若存在，求出平分該四邊形面積的線段長：若不存在，請說明理由．【變式5-1】（2022?江北區(qū)模擬）新知學(xué)習(xí)：若一條線段把一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分，我們把這條線段叫做該平面圖形的二分線．解決問題：

（1）①三角形的中線、高線、角平分線中，一定是三角形的二分線的是；②如圖1，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，DC上，連接EF，與AD交于點(diǎn)G．若S△AEG＝S△DGF，則EF（填“是”或“不是”）△ABC的一條二分線．（2）如圖2，四邊形ABCD中，CD平行于AB，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，射線CG交射線BA于點(diǎn)E，取EB的中點(diǎn)F，連接CF．求證：CF是四邊形ABCD的二分線．（3）如圖3，在△ABC中，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分別是線段BC，AC上的點(diǎn)，且∠BED＝∠A，EF是四邊形ABDE的一條二分線，求DF的長．【變式5-2】（2021?西安一模）問題提出（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一點(diǎn)D，使得AD將△ABC分成面積相等的兩部分，作出線段AD，并求出AD的長度；問題探究（2）如圖②，點(diǎn)A、B在直線a上，點(diǎn)M、N在直線b上，且a∥b，連接AN、BM交于點(diǎn)O，連接AM、BN，試判斷△AOM與△BON的面積關(guān)系，并說明你的理由；解決問題（3）如圖③，劉老伯有一個(gè)形狀為箏形OACB的養(yǎng)雞場，在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在邊AC上存在一點(diǎn)P，使得過B、P兩點(diǎn)修一道筆直的墻（墻的寬度不計(jì)），將這個(gè)養(yǎng)雞場分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線BP的表達(dá)式；若不存在，請說明理由．

題型3：面積最值問題解題模板：6.（2019?無錫）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D為邊AB上一動點(diǎn)（B點(diǎn)除外），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△BDE面積的最大值為．【變式6-1】（1）如圖①，若BC＝6，AC＝4，∠C＝60°，求△ABC的面積S△ABC；（2）如圖②，若BC＝a，AC＝b，∠C＝α，求△ABC的面積S△ABC；（3）如圖③，四邊形ABCD，AC＝m，BD＝n，對角線AC交于O點(diǎn)，他們所成銳角為β，求四邊形ABCD的面積S四邊形ABCD．【變式6-2】如圖，正方形ABCD的邊長為2，動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB﹣BC向終點(diǎn)C運(yùn)動，以DE為邊作正方形DEFG（點(diǎn)D、E、F、G按順時(shí)針方向排列）．設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動的速度為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動的時(shí)間為x秒．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，求證：點(diǎn)G在直線BC上；（2）設(shè)正方形ABCD與正方形DEFG重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）直接寫出整個(gè)運(yùn)動過程中，點(diǎn)F經(jīng)過的路徑長．1．如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠BCD＝60°，連接BD，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的動點(diǎn)，且AE＝BF，連接DE、DP、EF．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求∠EDF的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)時(shí)，∠EDF的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不改變，請證明；若發(fā)生改變，請說明理由；（3）若點(diǎn)P是線段BD上一動點(diǎn)，求PF+DP的最小值．2．（2022?連云港）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求證：四邊形DBCE為菱形；（2）若△DBC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運(yùn)動，求PM+PN的最小值．

3．（2014?海南）如圖，對稱軸為直線x＝2的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，5）兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求a為何值時(shí)，四邊形PMEF周長最??？請說明理由．4．（2021?靖江市校級一模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，點(diǎn)E在邊AD上．若直線l經(jīng)過點(diǎn)E，將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點(diǎn)F，若，則．（請從“線段的長度或線段的位置關(guān)系”的方向設(shè)計(jì)條件及問題，并解答）5．（2012?新密市自主招生）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝60°，點(diǎn)E是AD上一動點(diǎn)（不與

A、D重合），點(diǎn)F是CD上一動點(diǎn)，且AE+CF＝4，則△DEF面積的最大值為．6．（2022?杭州模擬）將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB′，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB′，過點(diǎn)D作DE垂直于直線BB′，垂足為點(diǎn)E