7.1.2弧度制及其與角度制的換算（3知識點6題型強化訓(xùn)練）

弧度制及其與角度制的換算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）理解弧度制的概念及其在數(shù)學(xué)和物理中的應(yīng)用；（2）掌握弧度與角度的換算關(guān)系；（3）能運用弧度制進(jìn)行簡單的計算和推理；（3）了解弧度制在解決實際問題中的應(yīng)用。（1）了解弧度制的概念、表示方法及其優(yōu)點；（2）掌握弧度與角度的換算公式；（3）會進(jìn)行弧度制下的簡單計算。知識點01弧度制1、角度制的定義：把圓周等分成360份，稱其中每一份所對的圓心角為1度的角，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制，角度制規(guī)定1度等于60分，1份等于60秒。2、弧度制的定義：我們稱弧長與半徑比值的這個常數(shù)稱為圓心角的弧度制，長度等于半徑長的圓弧所對的圓心為1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度，這種用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制。3、弧度制與角度制的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別(1)單位不同，弧度制以“弧度”為度量單位，角度制以“度”為度量單位；(2)定義不同.聯(lián)系不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關(guān)的定值.【即學(xué)即練1】（2023·高一課時練習(xí)）（多選）下列說法正確的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．的角是周角的，的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角時，角的大小與圓的半徑有關(guān)【答案】ABC【解析】由題意，對于A中，“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位,所以是正確的；對于B中，周角為，所以的角是周角的，周角為弧度，所以的角是周角的是正確的；對于C中，根據(jù)弧度制與角度制的互化，可得，所以是正確；對于D中，用弧度制度量角時，角的大小與圓的半徑無關(guān)的，所以D項是錯誤的.故選ABC.知識點02角度制與弧度制的互化1、角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)2、一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0【即學(xué)即練2】（2023·貴州遵義·高一遵義二十一中?？茧A段練習(xí)）（多選）下列弧度與角度的轉(zhuǎn)化正確的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】對于A，，A對；對于B，，B錯；對于C，，C對；對于D，，D錯.故選：AC知識點03扇形的弧長與面積公式設(shè)扇形的半徑為，弧長為，或°為其圓心角，則弧長公式與扇形面積公式如下：類別/度量單位角度制弧度制扇形的弧長扇形的面積【即學(xué)即練3】（2023·天津和平·高一統(tǒng)考期末）已知扇形的弧長，面積為，則扇形所對的圓心角的弧度數(shù)是（）A．B．4C．D．2【答案】D【解析】設(shè)扇形圓心角為，弧長為，半徑為，則，即，則，則，故選：D.【即學(xué)即練4】（2023·四川綿陽·高一南山中學(xué)實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）（多選）若扇形周長為36，當(dāng)這個扇形面積最大時，下列結(jié)論正確的是（）A．扇形的圓心角為2radB．扇形的弧長為18C．扇形的半徑為9D．扇形圓心角所對弦長為【答案】ABC【解析】設(shè)扇形半徑為，弧長為，圓心角為，所以扇形弧長為，所以面積，當(dāng)時，面積有最大值，（rad）此時，，圓心角弧度數(shù)，所對弦長為，故選：ABC【題型一：對弧度制概念的理解】例1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）從2023年12月14日13∶00到當(dāng)天13∶25，某時鐘的分針轉(zhuǎn)動的弧度為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為分針是按照順時針方向旋轉(zhuǎn)，所以轉(zhuǎn)動的角為負(fù)角，所以分針轉(zhuǎn)動的弧度為.故選：C.變式11．（2023·湖南株洲·高一校考階段練習(xí)）時鐘的時針走過了1小時40分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度為．【答案】【解析】由題意得分針順時針轉(zhuǎn)過的角度為.變式12．（2023·高一課時練習(xí)）（多選）下列各說法，正確的是（）A．半圓所對的圓心角是πradB．圓周角的大小等于2πC．1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑D．長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度【答案】ABC【解析】由弧度制的定義可知：長度等于半徑的弧所對的圓心角的大小是1弧度，則長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小不是1弧度，D的說法錯誤，根據(jù)弧度的定義及角度與弧度的換算可知，ABC的說法正確．故選：ABC變式13．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高一萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）下列說法中正確的是（）A．度與弧度是度量角的兩種不同的度量單位B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長短有關(guān)【答案】ABC【解析】根據(jù)角度制和弧度制的定義可知，度與弧度是度量角的兩種不同的度量單位，所以A正確；由圓周角的定義知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正確；根據(jù)弧度的定義知，一定等于弧度，所以C正確；無論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長短無關(guān)，只與弧長與半徑的比值有關(guān)，故D不正確，故選：ABC.【方法技巧與總結(jié)】辨析弧度制與角度制（1）以弧度、度為單位的角，都是一個與半徑無關(guān)的量；（2）1弧度是弧長等于半徑長的弧所對的圓心角的大小，而1度是圓周的所對的圓心角的大小，所以1弧度≠1度；（3）同一個式子中，角度、弧度不可以混用?！绢}型二：角度制與弧度制的互化】例2．（2023·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）的角化成弧度制為．【答案】【解析】因為，所以.變式21．（2023·陜西咸陽·高一校考階段練習(xí)）將化為弧度為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】將化為弧度為.故選：B變式22．（2023·湖南株洲·高一?？茧A段練習(xí)）把化成角度是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故選：B變式23．（2023·海南?？凇じ咭缓Ｄ现袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是（）A．化成弧度是B．化成角度是C．化成弧度是D．化成角度是【答案】ACD【解析】化成弧度是，A選項正確.化成角度是，B選項錯誤.化成弧度是，C選項正確.化成角度是，D選項正確，故選：ACD【方法技巧與總結(jié)】角度與弧度互化的注意點（1）角度與弧度的互化關(guān)系為，則，；（2）將角度化為弧度，當(dāng)角度制中含有“分”“秒”單位時，應(yīng)先將他們統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為“度”表示，再利用化為弧度即可?！绢}型三：弧長公式的應(yīng)用】例3．（2023·河北保定·高一保定一中校聯(lián)考期中）在半徑為的圓上，有一條弧的長是，則該弧所對的圓心角（正角）的弧度數(shù)為（）A．B．C．D．2【答案】A【解析】該弧所對的圓心角（正角）的弧度數(shù)為.故選：A變式31．（2023·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則此圓弧所對的圓心角的弧度數(shù)為（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】不妨設(shè)正的外接圓半徑，圓心為，取的中點為，連接，易知在上，且，；如下圖所示：在中，，所以；依題意可知該圓弧長，所以圓心角，故選：C變式32．（2023·四川成都·高一?？茧A段練習(xí)）已知扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的半徑為（）A．B．3C．D．6【答案】D【解析】由扇形的圓心角為，即為，又弧長為，故扇形的半徑為，故選：D變式33．（2023·江西上饒·高一校考期末）若半徑為2的扇形的弧長為，則該扇形的圓心角所對的弦長為（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】由題意弧長，半徑為2，所以扇形的圓心角，如圖，過點作，所以，又，所以，所以扇形的圓心角所對的弦長.故選：C【方法技巧與總結(jié)】在計算扇形弧長時要注意圓心角表示的形式，即圓心角需要使用弧度制表示?！绢}型四：扇形面積的計算】例4．（2023·上海·高一行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知扇形的弧所對的圓心角為，且半徑為，則該扇形的面積為．【答案】【解析】，半徑為，所以該扇形的面積為.變式41．（2023·浙江溫州·高一溫州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知扇形的圓心角為2弧度，且圓心角所對的弦長為4，則該扇形的面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為扇形的圓心角弧度為2，所對弦長為4，為圓心，如下圖，取的中點，連接，則，則，則扇形的半徑，所以扇形的弧長，則扇形的面積為.故選：A.變式42．（2023·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）扇形的面積為，半徑為，則扇形的圓心角是（）A．2B．4C．2或2D．4或4【答案】D【解析】設(shè)扇形的圓心角弧度為，由扇形的面積為，半徑為，可得，故選：D變式43．（2023·江蘇蘇州·高一校考階段練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，分別以點A，B為圓心，AF長為半徑畫弧，兩弧交于點G，則，，AB圍成的陰影部分的面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意知，線段的長度都等于半徑，所以，為正三角形，則，故的面積為，扇形的面積為，由圖形的對稱性可知，扇形的面積與扇形的面積相等，所以陰影部分的面積，故選：A.【方法技巧與總結(jié)】在計算中要確保單位的一致性，特別是當(dāng)涉及不同單位的數(shù)值時（如弧度與度）?！绢}型五：弧長與扇形面積的實際應(yīng)用】例5．（2023·安徽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是杭州2023年第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發(fā)展.如圖是會徽的幾何圖形，設(shè)弧長度是，弧長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（）A．9B．8C．4D．3【答案】B【解析】設(shè)，，則，則∴，故，故選：B變式51．（2023·山東青島·高一?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》中《方田》一章涉及到了弧田面積的計算問題，弧田是由弧和弦所圍成的弓形部分（如圖陰影部分）.若弧田所在扇形的圓心角為，扇形的面積為，則此弧田的面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，，解得，因此等腰腰上的高，的面積，所以此弧田的面積為.故選：B變式52．（2023·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)?？计谀┠铣瘶犯窀琛蹲右顾臅r歌》之夏歌曰：“疊扇放床上，企想遠(yuǎn)風(fēng)來；輕袖佛華妝，窈窕登高臺.”，中國傳統(tǒng)折扇有著極其深厚的文化底蘊.如圖所示，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形環(huán)（扇形環(huán)是一個圓環(huán)被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打開時，其扇形環(huán)扇面尺寸（單位：）如圖所示，則該扇面的面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖：與交于圓心O，設(shè)圓心角，圓的半徑，由弧長公式得，解得，該扇面的面積為，故選：A變式53．（2023·全國·高一期末）中國早在八千多年前就有了玉器，古人視玉為寶，玉佩不再是簡單的裝飾，而有著表達(dá)身份、感情、風(fēng)度以及語言交流的作用.不同形狀.不同圖案的玉佩又代表不同的寓意.如圖1所示的扇形玉佩，其形狀具體說來應(yīng)該是扇形的一部分（如圖2），經(jīng)測量知，，，則該玉佩的面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，取AD的中點為M，連接BM，CM，延長AB，CD交于點O，由題意，△AOB為等腰三角形，又∵，∴AD//BC，又∵M(jìn)為AD的中點，，∴AM與BC平行且相等，∴四邊形ABCM為平行四邊形，∴，同理，∴△ABM，△CDM都是等邊三角形，∴△BOC是等邊三角形，∴該玉佩的面積.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】在解題過程中，明確題目給出的已知量（如圓心角、半徑、弧長或面積等）是至關(guān)重要的。這有助于建立方程或直接使用公式進(jìn)行計算?！绢}型六：弧長與扇形面積的最值問題】例6．（2023·江蘇徐州·高三?？茧A段練習(xí)）已知某扇形的面積為3，則該扇形的周長最小值為（）A．2B．4C．D．【答案】D【解析】設(shè)扇形的弧長為，半徑為，所以扇形的面積為，所以，又扇形的周長為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故選：D.變式61．（2023·河南·高一鎮(zhèn)平縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若扇形周長為10，當(dāng)其面積最大時，其扇形內(nèi)切圓的半徑r為.【答案】【解析】設(shè)扇形半徑為，則弧長為，面積，當(dāng)時，面積最大，此時圓心角為，如圖所示：根據(jù)對稱性知，，，解得.變式62．（2023·上海寶山·高一?？茧A段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l．（1）若，，求扇形的弧長l；（2）若扇形面積為16，求扇形周長的最小值，及此時扇形的圓心角．【答案】（1）；（2）扇形周長的最小值為，此時【解析】（1）因為，，所以扇形的弧長；（2）由扇形面積，得，則扇形周長為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，此時，，所以，所以扇形周長的最小值為，此時.變式63．（2023·河南·高一濟源第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為．（1）若，求扇形的弧長：（2）若扇形的周長為12，當(dāng)為多少弧度時，該扇形面積最大？并求出最大面積．【答案】（1）；（2），最大值9【解析】（1），（2）設(shè)扇形的弧長為，則，即，扇形的面積，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值9，此時．【方法技巧與總結(jié)】解決弧長與扇形面積最值問題需要注意兩點：1、熟練掌握弧長公式與扇形面積公式；當(dāng)涉及到扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等計算時，要靈活運用公式求解或列方程（組）；2、最值問題時常常結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或者基本不等式進(jìn)行求解。一、單選題1．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一海拉爾第一中學(xué)?？计谀⒒癁榛《戎疲_的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故選：C.2．（2023·湖北·高一湖北省天門中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知相互嚙合的兩個齒輪，大輪50齒，小輪20齒，當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動一周時小輪轉(zhuǎn)動角度是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為相互嚙合的兩個齒輪，大輪50齒，小輪20齒，所以當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動一周時時，大輪轉(zhuǎn)動了50個齒，所以小輪此時轉(zhuǎn)動周，即小輪轉(zhuǎn)動的角度為，故選：D3．（2023·吉林·高一吉林一中?？计谀┮阎刃蔚幕￠L為1，面積為2，則該扇形的圓心角的弧度為（）A．B．C．2D．4【答案】A【解析】設(shè)扇形半徑為R，圓心角為，則，解得，故選：A．4．（2023·云南昆明·高一云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知扇形的圓心角是，半徑為3，則扇形的面積為（）A．60B．120C．D．【答案】D【解析】因為扇形的圓心角是，半徑為3，所以扇形的面積，故選:D.5．（2023·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知扇形的面積為，圓心角為2弧度，則此扇形的弧長為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，圓心角為，所以扇形的面積，得（），由（），故選：A6．（2023·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）已知一個扇形的周長為8，則當(dāng)該扇形的面積取得最大值時，圓心角大小為（）A．B．C．D．2【答案】D【解析】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，由已知得，扇形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，則圓心角，故選：D.7．（2023·湖南岳陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓與直線相切于點，若點，同時從點出發(fā)，沿直線勻速向右、沿圓周按順時針方向以相同的速率運動，當(dāng)點運動到如圖所示的位置時，點也停止運動，連接，，則曲邊三角形的面積與扇形的面積的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．先，再，最后【答案】B【解析】因為速率相等，所以線段與劣弧長的長度相等，因為直線與圓相切于，所以，則三角形的面積，扇形的面積，所以三角形的面積與扇形的面積相等，因為扇形為公共部分，所以剩余部分，故選：B.8．（2023·江蘇蘇州·高一蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）折扇圖1在我國已有三千多年的歷史，.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化圖2為其結(jié)構(gòu)簡化圖，設(shè)扇面A，間的圓弧長為，，間的圓弧長為，當(dāng)弦長為，圓弧所對的圓心角為，則扇面字畫部分的面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】記，如圖，在中，因為，，，所以，即，，又，即，所以，所以扇面字畫部分的面積為，故選：A．二、多選題9．（2023·高一課時練習(xí)）下列各說法中，正確的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．1弧度的角是長度等于半徑長的弧所對的圓心角C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．無論用角度制還是用弧度制度量角，它們均與圓的半徑長短有關(guān)【答案】ABC【解析】“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位，故A正確；1弧度的角是長度等于半徑長的弧所對的圓心角，故B正確；根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度，故C正確；根據(jù)角度和弧度的定義，可知無論是角度制還是弧度制，角的大小均與圓的半徑長短無關(guān)，而是跟弧長與半徑的比值有關(guān)，故D錯誤的.故選：ABC.10．（2023·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）已知某扇形的弧長為，圓心角為，則（）A．該扇形的半徑為B．該扇形的周長為C．該扇形的面積為D．該扇形的面積為【答案】AD【解析】設(shè)該扇形所在圓的半徑為，弧長為，圓心角為，則，A正確；該扇形的周長為，該扇形的面積為，BC錯誤，D正確.故選：AD11．（2022·陜西商洛·高一校考階段練習(xí)）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是（）A．化成弧度是B．化成角度是C．化成弧度是D．化成角度是【答案】ABD【解析】對于A,化成弧度是,故A正確，對于B，，故B正確，對于C，，故C錯誤，對于D，，故D正確，故選：ABD12．（2023·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某時鐘的分針長4cm，將快了5分鐘的該時鐘校準(zhǔn)后，則（）A．時針轉(zhuǎn)過的角為B．分針轉(zhuǎn)過的角為C．分針掃過的扇形的弧長為D．分針掃過的扇形的面積為【答案】BC【解析】由題意，得時針轉(zhuǎn)過的角為，分針轉(zhuǎn)過的角為，分針掃過的扇形的弧長為，面積為，故選：BC.三、填空題13．（2023·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）扇形的圓心角為弧度，周長為7米，則扇形的面積為平方米.【答案】【解析】設(shè)扇形半徑為r，由扇形弧長公式可知弧長為，周長為.故，.故面積.14．（2023·上?！じ咭徊軛疃行？计谀┮阎刃蔚幕￠L為4cm，面積為，則該扇形的圓心角的大小為.【答案】【解析】設(shè)扇形的半徑為，圓心角的大小為，其中cm，則，解得cm，則.15．（2023·云南保山·高一?？奸_學(xué)考試）如圖，正六邊形的邊長為1，以點為圓心，的長為半徑，作扇形，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留根號和）.【答案】【解析】因為正六邊形的邊長為1，所以正六邊形的面積為，扇形的面積為：，所以陰影部分的面積為：.16．（2023·廣東江門·高一鶴山市第一中學(xué)?？计谀毒耪滤阈g(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計算問題，如圖所示，弧田是由弧和弦所圍成的圖中陰影部分．若弧田所在扇形的圓心角為，扇形的面積為，則此弧田的面積為．【答案】【解析】設(shè)扇形的半徑為，則扇形的面積為，解得，取的中點，連接，如下圖所示：因為，則，又因為，則，所以，，，則，所以，，因此，弧田的面積為.四、解答題17．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）將下列角度與弧度進(jìn)行互化：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.18．（2023·甘肅白銀·高一甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)?？计谀┮阎刃蔚陌霃綖椋￠L為，面積為，圓心角為．（1）若，求