專(zhuān)題29等差數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和-2024年數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)重點(diǎn)題型

專(zhuān)題29等差數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和公式核心體系等差數(shù)列二、關(guān)鍵能力1.理解等差數(shù)列的概念；2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題；4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系．三、教學(xué)建議從近三年高考情況來(lái)看，本講一直是高考的熱點(diǎn)．預(yù)測(cè)2022年高考將會(huì)以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為考查重點(diǎn)，也可能將等差數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和及性質(zhì)綜合考查，題型以客觀題或解答題的形式呈現(xiàn)，試題難度一般不大，屬中檔題型.四、自主梳理 1．等差數(shù)列的定義(1)文字語(yǔ)言：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．(2)符號(hào)語(yǔ)言：an＋1－an＝d(n∈N)．2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（☆☆☆）若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d．推廣：an＝am＋(n－m)d．3．等差中項(xiàng)（☆☆☆）如果三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫a和b的等差中項(xiàng)，且有A＝eq\f(a＋b,2)．4．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．(2)Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)．5.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差數(shù)列中，對(duì)任意，，，；（4）在等差數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中項(xiàng).（5）等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即SKIPIF1<0成等差數(shù)列.（6）兩個(gè)等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列．（7）若數(shù)列是等差數(shù)列,則仍為等差數(shù)列．五、高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型考點(diǎn)一、等差數(shù)列的基本量例11.（2023·全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷T20）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．【答案】(1)(2)注：基本量運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，分類(lèi)討論即可得解.【詳解】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）為等差數(shù)列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，，即，解得或（舍去）當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，解得.綜上，.例12.【2022年新高考2卷】已知an為等差數(shù)列，bn是公比為2的等比數(shù)列，且(1)證明：a1=b1；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)9．注：利用基本量探究【解析】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得m=2(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，所以，a1+d?2(2)由（1）知，b1=a1=d2，所以bk=am+a訓(xùn)練題組一（基本量運(yùn)算）1、【2021·全國(guó)高考真題】記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.注：基本量運(yùn)算【解析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.2.【2019·江蘇高考真題】已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是_____.【答案】16.注：d與【解析】由題意可得：，解得：，則.3.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若eq\f(S3,S3＋S6)＝eq\f(1,5)，則eq\f(a3,a3＋a6)等于()A.eq\f(2,15)B.eq\f(1,4)C.eq\f(5,16)D.eq\f(1,3)答案：C注：d與解答：由eq\f(S3,S3＋S6)＝eq\f(1,5)得d=2a1，則eq\f(a3,a3＋a6)=516題組訓(xùn)練二（利用基本量探究）已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且，則的最小值是___________.【答案】5【解析】若等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，則數(shù)列單增，公差，從而表示出，根據(jù)其單減性，求得最小值.【詳解】若等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，則數(shù)列單增，則公差，故為正整數(shù)，關(guān)于d單減，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不符；故的最小值為5，故答案為：52．（2023·全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷T18）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.考點(diǎn)二、等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用例21.【2021·北京高考真題】和是兩個(gè)等差數(shù)列，其中為常值，，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知條件求出的值，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由已知條件可得，則，因此，.故選：B.例22.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若SnA．130B．170C．210D．260【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列性質(zhì)可得：Sn，S2n?Sn例23.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為A．23B．2n+13n+1C．2n?13n?1【答案】C【解析】anb訓(xùn)練題組一1.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足aeq\o\al(2,5)＋aeq\o\al(2,6)＝aeq\o\al(2,7)＋aeq\o\al(2,8)，則S12＝________.答案：0解析：因?yàn)閍eq\o\al(2,5)＋aeq\o\al(2,6)＝aeq\o\al(2,7)＋aeq\o\al(2,8)，所以aeq\o\al(2,7)－aeq\o\al(2,5)＋aeq\o\al(2,8)－aeq\o\al(2,6)＝0，所以2d(a7＋a5)＋2d(a8＋a6)＝0，又d≠0，a8＋a5＝a6＋a7，所以2(a7＋a6)＝0，所以S12＝eq\f(12a1＋a12,2)＝eq\f(12a6＋a7,2)＝0.訓(xùn)練題組二1．【2020年新課標(biāo)2卷理科】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱(chēng)為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【解析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前n項(xiàng)和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到.【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.訓(xùn)練題組三1.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，T【答案】62【解析】a7記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1>0，a1+a2017=0，則【答案】01009或1008【解析】，，，，，，，，，故當(dāng)取得最大值時(shí)，或，故答案為：0，1009或1008．3.在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2020，其前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，則S2022＝________.答案：2022解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝An2＋Bn，則eq\f(Sn,n)＝An＋B，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差數(shù)列．因?yàn)閑q\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的公差為1，又eq\f(S1,1)＝eq\f(a1,1)＝－2020，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以－2020為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以eq\f(S2022,2022)＝－2020＋2021×1＝1，所以S2022＝2022.考點(diǎn)三、前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用例31.【多選題】【2021·全國(guó)高三其他模擬】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（）A．B．的前項(xiàng)和中最小C．的最小值為49D．的最大值為0【答案】BC【解析】由已知條件先計(jì)算出和，然后計(jì)算的值對(duì)A進(jìn)行判斷；求出的表達(dá)式，計(jì)算出最小值即可對(duì)B進(jìn)行判斷；求出的表達(dá)式，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出最小值判斷C選項(xiàng)；求出的表達(dá)式對(duì)D進(jìn)行判斷.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，則

解得，，A錯(cuò)誤；

，當(dāng)n=5時(shí)取得最小值，故B正確；

，設(shè)函數(shù)，

則，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以，，且，，

所以最小值為49，C正確；，沒(méi)有最大值，D錯(cuò)誤．故選：BC例32.．（2023·全國(guó)甲卷T17）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．【詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，，即，．訓(xùn)練題組已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和最大.則當(dāng)時(shí)，___________.【答案】【解析】首先根據(jù)題意求出，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)即可求解.解：由題意可知，，解得，又，則，所以，.由，得，解得或(舍)，故故答案為：20.2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，，…，中最大的項(xiàng)為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵等差數(shù)列前n項(xiàng)和，由S15>0，S16<0，得，∴，若視為函數(shù)則對(duì)稱(chēng)軸在之間，∵，∴Sn最大值是，分析，知為正值時(shí)有最大值，故為前8項(xiàng)，又d＜0，遞減，前8項(xiàng)中遞增，∴前8項(xiàng)中最大最小時(shí)有最大值，∴最大．3.（多選）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a2＝20，S7＝98，則下列結(jié)論中正確的是()A.a1＋a5＝34B.|a8|<|a9|C.Sn≤S9D.滿足Sn<0的n的最小值為17答案：AD解析：因?yàn)镾7＝eq\f(7（a1＋a7）,2)＝7a4＝98，所以a4＝14.對(duì)于A，因?yàn)閍2＝20，所以a1＋a5＝a2＋a4＝34，故A正確；對(duì)于B，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a4－a2＝2d＝－6，得d＝－3，所以an＝a2＋(n－2)×(－3)＝26－3n.因?yàn)閍8＝26－3×8＝2，a9＝26－3×9＝－1.所以|a8|>|a9|，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由d＝－3知數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，又a8＝2>0，a9＝－1<0，所以S8為Sn的最大值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)镾16＝eq\f(16（a1＋a16）,2)＝8(a8＋a9)＝8>0，S17＝eq\f(17（a1＋a17）,2)＝17×a9＝－17<0，所以滿足Sn<0的n的最小值為17，故D正確．故選AD.考點(diǎn)四、證明等差數(shù)列例41.【2021·全國(guó)高考真題（理）】記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項(xiàng)的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得.【詳解】（1）由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)n≥2時(shí),,顯然對(duì)于n=1不成立,∴.例42.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）將已知遞推關(guān)系移項(xiàng)配方整理可得，進(jìn)而利用等差中項(xiàng)法證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）利用裂項(xiàng)求和法求和化簡(jiǎn)后即得證.【詳解】解：（1）由結(jié)合數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)得則，所以數(shù)列是等差數(shù)列；（2），則公差∴，∴.訓(xùn)練題組一1．【2022年全國(guó)甲卷】記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和．已知(1)證明：an(2)若a4,a【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)?78．【分析】（1）依題意可得2Sn+n2（2）由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出a1，即可得到an的通項(xiàng)公式與前(1)解：因?yàn)?Snn+n=2當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn?1①?②得，2S即2a即2n?1an?2n?1an?1所以an是以1(2)解：由（1）可得a4=a1+3又a4，a7，a9即a1+62所以an=n?13，所以所以，當(dāng)n=12或n=13時(shí)Sn訓(xùn)練題組二1.【2021年甲卷理科】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】選①②作條件證明③時(shí)，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；也可分別設(shè)出公差，寫(xiě)出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對(duì)照系數(shù)，得到等量關(guān)系，進(jìn)行證明.選①③作條件證明②時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選②③作條件證明①時(shí)，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；也可利用前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.【詳解】選①③作條件證明②：因?yàn)?，是等差?shù)列，所以公差，所以，即，因?yàn)椋允堑炔顢?shù)列.選②③作條件證明①：[方法一]：定義法設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)?，所以，解得或；?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.[方法二]【最優(yōu)解】：求解通項(xiàng)公式因?yàn)?，所以，，因?yàn)橐矠榈炔顢?shù)列，所以公差，所以，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故的通項(xiàng)公式為，所以，，符合題意.選①②作條件證明③：[方法一]：待定系數(shù)法+與關(guān)系式設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：待定系數(shù)法設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，則，將代入，化簡(jiǎn)得對(duì)于恒成立．則有，解得．所以．【整體點(diǎn)評(píng)】這類(lèi)題型在解答題中較為罕見(jiàn)，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，選①②時(shí)，法一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，平方后得到的關(guān)系式，利用得到的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到，是選擇①②證明③的通式通法；法二：分別設(shè)出與的公差，寫(xiě)出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對(duì)照系數(shù)，得到等量關(guān)系，，進(jìn)而得到；選①③時(shí)，按照正常的思維求出公差，表示出及，進(jìn)而由等差數(shù)列定義進(jìn)行證明；選②③時(shí)，法一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；法二：利用是等差數(shù)列即前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出的通項(xiàng)公式，利用，求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.2.【2019·全國(guó)II卷】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（I）證明：{an–bn}是等差數(shù)列；{an+bn}是等比數(shù)列，（II）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.【答案】（I）見(jiàn)解析；（2），.【解析】（1）由題設(shè)得，即．又因?yàn)閍1–b1=l，所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．由題設(shè)得，即．又因?yàn)閍1+b1=l，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．（2）由（1）知，，．所以，。3.（多選）設(shè){an}是無(wú)窮數(shù)列，An＝an＋an＋1(n＝1,2，…)，則下面給出的四個(gè)判斷中，一定正確的有()A.若{an}是等差數(shù)列，則{An}是等差數(shù)列B.若{An}是等差數(shù)列，則{an}是等差數(shù)列C.若{an}是等比數(shù)列，則{An}是等比數(shù)列D.若{An}是等差數(shù)列，則{a2n}是等差數(shù)列答案：AD解析：若{an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則An＝an＋an＋1＝a1＋(n－1)d＋a1＋nd＝2a1＋2nd－d，則An－An－1＝(2a1＋2nd－d)－[2a1＋2(n－1)d－d]＝2d，所以{An}是等差數(shù)列，故A正確；若{An}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，An－An－1＝an＋an＋1－(an－1＋an)＝an＋1－an－1＝d，即數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，故B不正確，D正確；若{an}是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，當(dāng)q≠－1時(shí)，則eq\f(An,An－1)＝eq\f(an＋an＋1,an－1＋an)＝eq\f(an－1q＋anq,an－1＋an)＝q，當(dāng)q＝－1時(shí)，則An＝an＋an＋1＝0，故{An}不是等比數(shù)列，故C不正確．考點(diǎn)五、數(shù)學(xué)文化小型應(yīng)用題例51.我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問(wèn)：各該鈔若干？其意思是：現(xiàn)有錢(qián)238貫，采用等差數(shù)列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個(gè)人，現(xiàn)在只知道戊所得錢(qián)比甲少33貫600文(1貫=1000文)，問(wèn)各人各得錢(qián)多少？在這個(gè)問(wèn)題中，戊所得錢(qián)數(shù)為（）A．30.8貫 B．39.2貫 C．47.6貫 D．64.4貫【答案】A注：通項(xiàng)應(yīng)用【解析】由題意知甲?乙?丙?丁?戊五個(gè)人所得錢(qián)數(shù)組成等差數(shù)列，由等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)列方程組即可求出所要的結(jié)果.解：依次記甲?乙?丙?丁?戊五個(gè)人所得錢(qián)數(shù)為a1，a2，a3，a4，a5，由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可記公差為d，依題意得：，解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得錢(qián)數(shù)為30.8貫.故選：A.例52.(多選)朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國(guó)乃至世界最早的科學(xué)普及著作．《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問(wèn)題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問(wèn)題．現(xiàn)有100根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問(wèn)題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開(kāi)始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是()A.4B.5C.7D.8答案：BD注：前n項(xiàng)和應(yīng)用解析：依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)即第一層的根數(shù)為a1，公差為d＝1，設(shè)一共放n(n≥2)層，則總的根數(shù)為Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)＝100，整理，得2a1＝eq\f(200,n)＋1－n.因?yàn)閍1∈N*，所以n為200的因數(shù)，eq\f(200,n)＋(1－n)≥2且為偶數(shù)，驗(yàn)證可知n＝5，8滿足題意．故選BD.訓(xùn)練題組一1.（2021·哈爾濱市第一中學(xué)校高三三模（理））習(xí)近平總書(shū)記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對(duì)青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開(kāi)展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列（單位萬(wàn)元，），每年開(kāi)展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為（）A．72萬(wàn)元 B．96萬(wàn)元 C．120萬(wàn)元 D．144萬(wàn)元【答案】C【解析】本題可設(shè)等差數(shù)列的公差為，然后根據(jù)題意得出五年累計(jì)總投入資金為，最后通過(guò)基本不等式即可求出最值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，五年累計(jì)總投入資金為：，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為120萬(wàn)元，故選：C.2.中國(guó)古詩(shī)詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題：“九百九十六斤綿，贈(zèng)分八子做盤(pán)纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言”．題意是：把996斤綿分給8個(gè)兒子作盤(pán)纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17斤綿，那么第8個(gè)兒子分到的綿是()A．174斤 B．184斤C．191斤 D．201斤【答案】B【解析】由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，公差為d＝17，n＝8，S8＝996，以第一個(gè)兒子分到的綿數(shù)a1為首項(xiàng)，所以8a1＋eq\f(8×8－1,2)×17＝996，解得a1＝65，所以第8個(gè)兒子分到的綿數(shù)a8＝a1＋(n－1)·d＝65＋7×17＝184.故選B.訓(xùn)練題組二1.《九章算術(shù)》卷七“盈不足”有這樣一段話：“今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊．齊去長(zhǎng)安三千里．良馬初日行一百九十三里，日增十三里．駑馬初日行九十七里，日減半里．”意思是：今有良馬與駑馬從長(zhǎng)安出發(fā)到齊國(guó)．齊國(guó)與長(zhǎng)安相距3000里．良馬第一日走193里，以后逐日增加13里．駑馬第一日走97里，以后逐日減少0.5里．則8天后兩馬之間的距離為()A.1055里 B.1146里C.1510里 D.1692里答案：B解析：良馬日行里數(shù)構(gòu)成以193為首項(xiàng)，13為公差的等差數(shù)列；駑馬日行里數(shù)則構(gòu)成以97為首項(xiàng)，－0.5為公差的等差數(shù)列，則兩馬同時(shí)出發(fā)后第8日，良馬行193×8＋eq\f(8×7,2)×13＝1908(里)，而駑馬行97×8＋eq\f(8×7,2)×(－0.5)＝762(里)，所以良馬與駑馬相距1908－762＝1146(里)．鞏固訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，則a3等于()A．－2B．0C．3D．6答案：A解析：a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2，故選A.2．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11＝（）A．58 B．88 C．143 D．176答案：B解析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，．3．是等差數(shù)列，，，則該數(shù)列前10項(xiàng)和等于（）A．64 B．100 C．110 D．120答案：B解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由a1+a2=4，a7+a8=28，可得：解方程組可得.故選：B4．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為A．1 B．2C．4 D．8答案：C解析：設(shè)公差為，，，聯(lián)立解得，故選C.5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝ran＋r(n∈N*，r∈R，r≠0)，則“r＝1”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：A當(dāng)r＝1時(shí)，an＋1＝ran＋r?an＋1＝an＋1，∴數(shù)列{an}為公差為1的等差數(shù)列，即充分性成立；∵an＋1＝ran＋r，a1＝1，∴a2＝2r，a3＝2r2＋r，∴若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則4r＝1＋2r2＋r，解得r＝1或r＝eq\f(1,2)，即必要性不成立．綜上，“r＝1”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的充分不必要條件，故選A．6．(2022·汕頭二模)已知數(shù)列{an}中各項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)，a2＝1，a5＝16，若數(shù)列{eq\r(an)}為等差數(shù)列，則a13＝()A．169 B．144C．12 D．13解析：B由題意a2＝1，a5＝16，所以eq\r(a2)＝1，eq\r(a5)＝4，因?yàn)閿?shù)列{eq\r(an)}是等差數(shù)列，所以d＝eq\f(\r(a5)－\r(a2),5－2)＝1，且eq\r(a1)＝0滿足各項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)，則有eq\r(a13)＝eq\r(a1)＋(13－1)d＝12，可得a13＝122＝144．故選B．7．程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩(shī)云“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤(pán)纏．次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言．務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳．”意為：996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)開(kāi)始，以后每人依次多17斤，直到第八個(gè)孩子為止．分配時(shí)一定要等級(jí)分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為()A．65B．176C．183D．184答案：D解析：根據(jù)題意可知每個(gè)孩子所得棉花的斤數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得8a1＋eq\f(8×7,2)×17＝996，解得a1＝65.由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.則第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為184.8．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝－2018，eq\f(S2019,2019)－eq\f(S2013,2013)＝6，則S2020＝________.答案：2020解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列．設(shè)其公差為d，則eq\f(S2019,2019)－eq\f(S2013,2013)＝6d＝6，∴d＝1.故eq\f(S2020,2020)＝eq\f(S1,1)＋2019d＝－2018＋2019＝1，∴S2020＝1×2020＝2020.二、多項(xiàng)選擇題9．設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5<S6，S6＝S7>S8，則下列結(jié)論正確的是()A．d<0 B．a(chǎn)7＝0C．S9>S5 D．S6與S7均為Sn的最大值答案：ABD解析：S6＝S5＋a6>S5，則a6>0，S7＝S6＋a7＝S6，則a7＝0，則d＝a7－a6<0，S8＝S7＋a8<S7，a8<0.a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5＝S9，由a7＝0，a6>0知S6，S7是Sn中的最大值．從而ABD均正確．10．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式成立的是（）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．答案：ABC解析：對(duì)于A，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，，A正確；對(duì)于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，，，．當(dāng)時(shí)，，∴即；當(dāng)時(shí)，，∴即，所以，D不正確．三、填空題11．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2a4a6a8=120，且+++=，則S9的值為．答案：解析：由題意得+++=+++=，則2(a2+a8)=14，即a2+a8=7，所以S9==(a2+a8)=．12．已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足=3n2an+，an≠0，n≥2，n∈N*，那么a=．答案：3解析：在=3n2an+中，分別令n=2，n=3及a1=a，得(a+a2)2=12a2+a2，(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2，因?yàn)閍n≠0，所以a2=122a，a3=3+2a．因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a1+a3=2a2，即2(122a)=a+3+2a，解得a=3．經(jīng)檢驗(yàn)a=3時(shí)，an=3n，Sn=，Sn1=，滿足Sn2=3n2an+Sn12．所以a=3．13．【2020年新高考1卷（山東卷）】將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】首先判斷出數(shù)列與項(xiàng)的特征，從而判斷出兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡(jiǎn)單題目.14．設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，則eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f