拉格朗日插值的認(rèn)識

淺談拉格朗日公式【問題背景】約瑟夫·拉格朗日(JosephLouisLagrange)，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的奉獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。拉格朗日對流體運(yùn)動的理論也有重要奉獻(xiàn)，提出了描述流體運(yùn)動的拉格朗日方法。數(shù)據(jù)建模有兩大方法：一類是插值方法，另一類是擬合函數(shù)一般的說，插值法比擬適合數(shù)據(jù)準(zhǔn)確或數(shù)據(jù)量小的情形。然而Lagrange插值有很多種，1階，2階,…n階。我們可以利用拉格朗日插值求方程?！菊勘疚暮喗槔窭嗜詹逯?，它的算法及程序和拉格朗日在實(shí)際生活中的運(yùn)用。運(yùn)用了拉格朗日插值的公式，以及它在VB中的算法程序，并用具體例子說明。【關(guān)鍵詞】拉格朗日；插值；公式；算法程序。

正文1、根本概念函數(shù)y=f(x)在假設(shè)干點(diǎn)的函數(shù)值=〔i=0,1,,n〕一個差值問題就是求一“簡單”的函數(shù)p(x)：p()=,i=0,1,,n,(1)那么p(x)為f(x)的插值函數(shù)，而f(x)為被插值函數(shù)會插值原函數(shù)，，，，...,為插值節(jié)點(diǎn)，式〔1〕為插值條件，如果對固定點(diǎn)求f()數(shù)值解，我們稱為一個插值節(jié)點(diǎn)，f()p()稱為點(diǎn)的插值，當(dāng)[min(，，，...,)，max(，，，...,)]時，稱為內(nèi)插，否那么稱為外插式外推，特別地，當(dāng)p(x)為不超過n次多項(xiàng)式時稱為n階Lagrange插值。Lagrange插值公式〔1〕線性插值設(shè)，及=f(),=f(),為不超過一次多項(xiàng)式且滿足=,=,幾何上，為過〔，〕，〔，〕的直線，從而得到=+〔x-〕.〔2〕為了推廣到高階問題，我們將式〔2〕變成對稱式=〔x〕+(x).其中，〔x〕=,(x)=。均為1次多項(xiàng)式且滿足〔x〕=1且(x)=0?；颉瞲〕=0且(x)=1。兩關(guān)系式可統(tǒng)一寫成=。〔3〕〔2〕n階Lagrange插值設(shè)，，，...,及=f()(i=0,1,.....,n),為不超過n次多項(xiàng)式且滿足〔i=0,1,...n〕.易知=〔x〕+....+.其中，均為n次多項(xiàng)式且滿足式〔3〕〔i,j=0,1,...,n〕,再由〔ji〕為n次多項(xiàng)式的n個根知=c.最后，由c=,i=0,1,...,n.總之，=，=式為n階Lagrange插值公式，其中，〔i=0,1,...n〕稱為n階Lagrange插值的基函數(shù)?！?〕Lagrange插值余項(xiàng)設(shè)，，，...,[a,b],f(x)在[a,b]上有連續(xù)的n+1階導(dǎo)數(shù)，為f(x)關(guān)于節(jié)點(diǎn)，，，...,的n階Lagrange插值多項(xiàng)式，那么對任意x[a,b],其中，位于，，，...,及x之間〔依賴于x〕，(x)=舉例說明問題：從函數(shù)表出發(fā)，分別用分段線性插值；分段二次插值；全區(qū)間上拉格朗日插值計(jì)算f(0.15);f(0.31).程序設(shè)計(jì)：PrivateSubCommand1_Click()DimcAsSingle,iAsInteger,jAsInteger,aAsSinglec=Val(Text4)Fori=0To4Ifc>Text1(i)Andc<Text1(i+1)Thena=Val(Text2(i))*(c-Text1(i+1))/(Val(Text1(i))-Val(Text1(i+1)))+Val(Text2(i+1))*(c-Val(Text1(i)))/(Val(Text1(i+1))-Val(Text1(i)))Text3=Str(a)EndIfNextEndSubPrivateSubCommand2_Click()DimcAsSingle,iAsInteger,jAsInteger,aAsSingle,SAsSinglec=Val(Text4)Fork=0To3IfVal(Text1(k))<cAndVal(Text1(k+1))>cThenFori=kTo(k+2)a=1:n=0Forj=kTo(k+2)Ifi=jThenj=j+1a=a*(c-Val(Text1(j)))/(Val(Text1(i))-Val(Text1(j)))Elsen=n+1a=a*(c-Val(Text1(j)))/(Val(Text1(i))-Val(Text1(j)))Ifn=2ThenExitForEndIfNextja=a*Val(Text2(i))S=S+aNextiEndIfText3.Text=Str(L1)Ifc>Text1(4)Andc<Text1(5)ThenMsgBox"插值點(diǎn)缺乏，無法用二次插值法計(jì)算！"ExitForEndIfNextkEndSubPrivateSubCommand3_Click()DimcAsSingle,iAsInteger,jAsInteger,aAsSingle,SAsSinglec=Val(Text4)Fori=0To5a=1:n=0Forj=0To5Ifi=jThenj=j+1a=a*(c-Val(Text1(j)))/(Val(Text1(i))-Val(Text1(j)))Elsen=n+1a=a*(c-Val(Text1(j)))/(Val(Text1(i))-Val(Text1(j)))Ifn=4ThenExitForEndIfNextja=a*Val(Text2(i))S=S+aNextiText3.Text=Str(L1)EndSub程序運(yùn)行：線性插值二次插值拉格朗日插值f(0.15)0.39403950.39446030.380823綜合評價：拉格朗日插值模型簡單，結(jié)構(gòu)緊湊，是經(jīng)典的插值法。但是由于拉格朗日的插值多項(xiàng)式和每個節(jié)點(diǎn)都有關(guān)，當(dāng)改變節(jié)點(diǎn)個數(shù)時，需要重新計(jì)算。且當(dāng)增大插值階數(shù)時容易出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。拉格朗日想選用的基函數(shù)具有對稱性，所以我們可以從中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的對稱美，事實(shí)上它也是證明差商具有對稱性的根底。正是因?yàn)槔窭嗜詹逯刀囗?xiàng)式所具有的美學(xué)價值，所以它對我們以后的學(xué)習(xí)有重大的影響。此公式看上去形式較