5.1 方陣的特征值與特征向量

第五章相似矩陣§5.1方陣的特征值與特征向量§5.2矩陣相似對(duì)角化§5.3Jordan標(biāo)準(zhǔn)形介紹*§5.1方陣的特征值與特征向量一、問題的引入二、基本概念三、特征值與特征向量的求解方法四、特征值的性質(zhì)五、特征向量的性質(zhì)一、問題的引入矩陣的特征值與特征向量理論有著非常廣泛的應(yīng)用，如工程技術(shù)領(lǐng)域中的振動(dòng)問題和穩(wěn)定性問題，數(shù)學(xué)領(lǐng)域中方陣的對(duì)角化、微分方程組的求解、線性方程組的迭代法求解等問題都會(huì)用到該理論。一、問題的引入引例種群增長模型設(shè)x

代表某種群C

的數(shù)量，y

代表某種群D

的數(shù)量，初態(tài)為一年后的狀態(tài)為：即則第k

年后的狀態(tài)為：問題如何計(jì)算？(工業(yè)增長模型)(某國的工業(yè)增長水平)(該國的環(huán)境污染程度)一、問題的引入1.初步設(shè)想若存在一個(gè)可逆矩陣P，使得則進(jìn)一步有且這兩個(gè)向量必須線性無關(guān)且這兩個(gè)向量必須線性無關(guān)2.簡單分析一、問題的引入尋找一個(gè)可逆矩陣P，使得即記則對(duì)二階方陣A尋找兩個(gè)向量它們被

A

左乘后正好等于自己的某個(gè)倍數(shù)一、問題的引入3.一般性問題的提出對(duì)于方陣A，求向量X

和(實(shí))數(shù)l

，使得比如，對(duì)于矩陣則有令從而有二、基本概念定義設(shè)A

為n

階方陣，如果存在數(shù)l和n

維非零向量X則稱數(shù)l

為方陣A

的特征值，非零使得A

X=

l

X，向量X稱為A

的屬于特征值l

的特征向量。比如，若X

是矩陣A

的屬于特征值l

0的特征向量，(2)屬于同一個(gè)特征值的特征向量不是惟一的。則也是A

的屬于特征值l

0

的特征向量。1.特征值與特征向量注意(1)特征值l可以為零；由有該方程組有非零解的充要條件是分析二、基本概念1.特征值與特征向量2.特征多項(xiàng)式記定義則稱為方陣

A

的特征多項(xiàng)式；稱為方陣A

的特征方程。特征多項(xiàng)式

是l的n

次多項(xiàng)式，

特征多項(xiàng)式“具體”形式其中，稱為

A

的跡，即記為由于特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，且其解的個(gè)數(shù)為特征方程的次數(shù)，步驟(1)求解特征方程得到特征值。值(重根按重?cái)?shù)計(jì)算)。(2)設(shè)

l=l

i

是方陣A

的一個(gè)特征值，則X就是

A

的求解齊次線性方得到非零解程組對(duì)應(yīng)于特征值l

i

的特征向量。三、特征值與特征向量的求解方法因此

n

階方陣有

n

個(gè)特征例求矩陣的特征值與特征向量。解(1)

A

的特征多項(xiàng)式為故

A

的特征值為(單根)(單根)(2)當(dāng)時(shí)，求解得基礎(chǔ)解系為故

A

的屬于特征值的所有特征向量為由有(3)當(dāng)時(shí)，求解得基礎(chǔ)解系為故

A

的屬于特征值的所有特征向量為由有解(1)

A

的特征多項(xiàng)式為故

A

的特征值為(單根)(重根)(2)當(dāng)時(shí)，求解得基礎(chǔ)解系為故

A

的屬于特征值的所有特征向量為由有(3)當(dāng)時(shí)，求解得基礎(chǔ)解系為由有故A

的對(duì)應(yīng)于特征值的所有特征向量為例求矩陣的特征值與特征向量。解(1)

A

的特征多項(xiàng)式為故A

的特征值為(單根)(重根)求解得基礎(chǔ)解系為故A

的對(duì)應(yīng)于特征值的所有特征向量為(2)當(dāng)時(shí)，由有(3)當(dāng)時(shí)，由有求解得基礎(chǔ)解系為故A

的對(duì)應(yīng)于特征值的所有特征向量為解設(shè)l是A

的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為X，則即又由由有即得或例設(shè)方陣

A

為冪等矩陣(即)，求

A

的特征值。因此有設(shè)n

階方陣的特征值為則有性質(zhì)1四、特征值的性質(zhì)證明由有又兩式比較即得性質(zhì)成立。結(jié)論方陣A

可逆若為A

的特征值，注為B

的特征值，不能推出，設(shè)為A

的特征值，則有性質(zhì)2四、特征值的性質(zhì)(1)為的特征值；(3)若A

可逆，則為的特征值。(2)為的特征值證明(1)由(2)由(3)由為A+B

的特征值，為AB

的特征值。設(shè)為A

的特征值，則有性質(zhì)3四、特征值的性質(zhì)(1)為的特征值；(2)為的特征值，證明(2)(略)。(1)由其中，故矩陣B

的特征值分別為例已知三階矩陣A

的特征值為1,-1,2，試求矩陣

B

的特征值以及矩陣解(1)令則(2)例設(shè)四階方陣A

滿足：求

的一個(gè)特征值。解(1)由A

是四階方陣且知A

可逆且有由可得從而有(2)又由知A

有一個(gè)特征值為故

有一個(gè)特征值為即得

有一個(gè)特征值為性質(zhì)1五、特征向量的性質(zhì)方陣A

的一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量的非零線性組合仍為該特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。則有證明設(shè)是A

的特征值對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特征向量，即是A

的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。注方陣A

的一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的所有特征向量構(gòu)成方陣A的一個(gè)特征子空間。但由于不包含零向量，因此嚴(yán)格地講，特征子空間并不是向量空間。五、特征向量的性質(zhì)性質(zhì)2屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。證明下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。對(duì)應(yīng)的特征向量，(1)對(duì)于令(a)(b)由于故有同理可得即性質(zhì)對(duì)時(shí)成立。由得則有設(shè)是方陣

A

的不同特征值令則有(c)(d)又由于故有代入(d)可得性質(zhì)得證。根據(jù)歸納法假設(shè)，有(2)假設(shè)時(shí)性質(zhì)成立，需證時(shí)也成立

.由得向量，證明不是A

的特征向量。例設(shè)是A

的兩個(gè)不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征假設(shè)是A

的特征向量，則存在使得證由題意有線性無關(guān)，且由線性無關(guān)，有即與矛盾，故不是A

的特征向量。五、特征向量的性質(zhì)性質(zhì)3方陣

A

的

s

個(gè)不同的特征值各自所對(duì)應(yīng)的

s

組線性無關(guān)的特征向量并在一起仍然是線性無關(guān)的。證明設(shè)A

的特征值及各自對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量如下：(線性無關(guān))(線性無關(guān))(線性無關(guān))令假設(shè)則由性質(zhì)

1

可知是對(duì)應(yīng)的特征向量，再由性質(zhì)

2

與上式

(a)

可推出矛盾，因此又由線性無關(guān)，有故性質(zhì)的結(jié)論成立。記對(duì)式

(a)

兩端反復(fù)左乘A，注而直接借助范德蒙行列式可證：則(a)則不需要利用性質(zhì)

1

與性質(zhì)

2，對(duì)于

n

階矩陣A，如果l

0是A

的特征方程的

k

重根，則矩陣A

對(duì)應(yīng)于特征值l

0的線性無關(guān)的特征向量的五、特征向量的性質(zhì)性質(zhì)4個(gè)數(shù)證明(略)表明對(duì)于n

階矩陣A，不一定