HPM視角下“相似三角形的應(yīng)用”教學設(shè)計

HPM視角下“相似三角形的應(yīng)用”教學設(shè)計關(guān)嘉欣“圖形的相似”是初中數(shù)學的內(nèi)容之一，相似三角形的判定、性質(zhì)和應(yīng)用是其中最重要的內(nèi)容.從歷史上看，相似三角形很早就已經(jīng)被人們所認識.在古巴比倫泥版文獻中已經(jīng)出現(xiàn)相似三角形的應(yīng)用問題；公元前6世紀，古希臘薩摩斯島上的工程師歐帕里諾斯在設(shè)計隧道挖掘工程時可能已經(jīng)運用了相似三角形的性質(zhì)；泰勒斯、公元1世紀的海倫在有關(guān)著作中都曾利用相似三角形的性質(zhì)來解決有關(guān)測量問題.我國漢代的遠距離測量技術(shù)也正是建立在相似三角形性質(zhì)之上的.而在我們實際教學中，如果能把古人們關(guān)于相似三角形的運用融入到教學課堂中，就既可以讓學生領(lǐng)悟到數(shù)學在生活中的應(yīng)用，也能在課堂內(nèi)容更加豐富，從而增強學生對相似三角形的應(yīng)用的認識.以下是相似三角形的應(yīng)用的教學設(shè)計.一、設(shè)置情景，提出問題1、先帶領(lǐng)著學生回憶一下相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理.然后向他們提出了一個問題：同學們，我們都知道這些定理都不可能無端產(chǎn)生.那么古代的科學家們?yōu)槭裁匆芯肯嗨迫切蔚呐卸ǘɡ砗托再|(zhì)定理呢難道是因為閑來無事憑空猜想嗎下面，我們一起來重溫一下相似三角形的歷史發(fā)展歷程，看看同學們能不能從中找到問題的答案.2、向同學們展示公元1世紀以前有關(guān)相似三角形的史料.時間作者或著作工作相似三角形的性質(zhì)前2000年巴比倫祭司分割直角三角形面積之比等于對應(yīng)邊平方比前6世紀泰勒斯測量金字塔高度及輪船與海岸距離對應(yīng)邊成比例前6世紀畢達哥拉斯證明勾股定理面積之比等于對應(yīng)邊平方比前6世紀歐帕里諾斯開掘直線穿山隧道對應(yīng)角相等前3世紀歐幾里得《光學》測量塔高對應(yīng)邊成比例前2世紀周髀算經(jīng)測量太陽直徑對應(yīng)邊成比例公元1世紀九章算術(shù)遠距離測量對應(yīng)邊成比例公元1世紀海倫遠距離測量對應(yīng)邊成比例表格SEQ表格\*ARABIC1公元1世紀以前有關(guān)相似三角形的史料3、向同學們提問：同學們，從這張表格你們發(fā)現(xiàn)在古代相似三角形的性質(zhì)都被用來干什么呢（測量）.那么，數(shù)學家們又是怎樣利用相似三角形的性質(zhì)用于測量的呢現(xiàn)在，讓我們走進古人的心靈之中，當一個小小測量工程師，靈活地運用相似三角形的性質(zhì)來測量出所需要的長度或高度吧！二、小試牛刀，解決問題讓同學們把自己想象成唐代的測量工程師，并被唐僧聘請，跟隨師徒四人一起到西方取西經(jīng).而任務(wù)就是要協(xié)助四人完成一路上的勘測問題.第一關(guān)測量火焰山引導學生利用?ABC~?EDC，根據(jù)對應(yīng)邊成比例即可算出線段AB的長度有一天師徒四人經(jīng)過火焰山，他們不知道山有多高，只知道它的影長為米.然后孫悟空拿出金剛棒立于地面，使其影子的末端與塔影的末端重合.已知金剛棒長為米，其影長引導學生利用?ABC~?EDC，根據(jù)對應(yīng)邊成比例即可算出線段AB的長度這個例子是根據(jù)古希臘哲學家泰勒斯測量金字塔高度的傳說以及歐幾里得《光學》中測量物體高度問題改編而成，并融入神話故事，調(diào)動同學們的興趣.而這道題目的原型為杭州西湖北岸寶石山上的保叔塔.講完這個例子后，跟同學們介紹以下泰勒斯測量金字塔高度的故事，讓同學們明白到早在兩千五百多年前相似三角形就已經(jīng)被古人們所用了.三、層層遞進，鞏固知識經(jīng)過第一題的簡單嘗試，不少同學都有了興趣想蠢蠢欲試，借勢給出第二道題目.第二關(guān)隔河測距引導學生設(shè)AB邊為x，并利用?ABD~?BCE，根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程解出x即可算出線段AB的長度。有一天晚上，師徒四人住在河的左岸的帳篷里，而孫悟空用火眼金睛發(fā)現(xiàn)了河的右岸住了一只妖精.孫悟空想讓你測量出帳篷到妖精的房子的距離.假定帳篷處為點A，妖精家為點B，孫悟空在BA的延長線上取了一點C，作BC的垂線AD和CE引導學生設(shè)AB邊為x，并利用?ABD~?BCE，根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程解出x即可算出線段AB這個問題是根據(jù)海倫Dioptra中的間接測量問題改編而成的.引導學生解決兩個量未知這種情形的相似三角形應(yīng)用問題.第三關(guān)挑戰(zhàn)盤絲洞師徒四人在路經(jīng)盤絲洞時，唐僧意外被蜘蛛精給抓走了.孫悟空帶領(lǐng)著你走進了盤絲洞，要你為他算出盤絲洞的面積.已知盤絲洞地形為正方形，有兩扇門.西門和北門各開在西、北面圍墻的正中間.在北門的正北方30米處有一棵大樹.當你從西門出來，朝正西方走750米，恰好看到盤絲洞北面的大樹，那么你是否能根據(jù)上述條件順利完成任務(wù)呢引導學生設(shè)引導學生設(shè)正方形邊長一半為x，并利用?ABE~?DCE，根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程解出x乘以2后平方這個問題是根據(jù)《九章算術(shù)》勾股章中的“邑方”問題改編而成的，原題為：“今有邑方不知大小，各開中門.出北門三十步有木．出西門七百五十步見木．問：邑方幾何．”這個問題比前兩個問題要難.而且在計算過程中，問一下同學是不是涉及到了開方求解了.從而讓同學們感悟到在漢代，數(shù)學家們已經(jīng)可以處理開方問題了.而這與測量術(shù)的發(fā)達有著密切的聯(lián)系.四、分組討論、合作探究這個問題要用到相似三角形的另一個性質(zhì)：面積之比為相似比的平方。故有：S?BCDS?ACE=BC2AC2，S?ABFS?ACE=AB2AC2由此可得：這個問題要用到相似三角形的另一個性質(zhì)：面積之比為相似比的平方。故有：S由此可得：

S結(jié)合勾股定理:BC2+圖2圖1五、課后作業(yè)請同學們在課外查閱相關(guān)資料，研究公元前6世紀古希臘的一個隧道工程問題，并于下次課上交流各自的方案.附：隧道工程問題資料古希臘歷史學家希羅多德(Herodotus，前5世紀)描述了畢達哥拉斯的故鄉(xiāng)、薩菲斯島上的一條約建于公元前530年、用于從愛琴海引水的穿山隧道，設(shè)計者為工程師歐帕里諾斯(Eupalinos)．這個隧道后來被人遺忘．直到19世紀末，它才被考古工作者重新發(fā)現(xiàn).20世紀70年代，考古工作者對隧道進行了全面的發(fā)掘．隧道全長1036米，寬米，高米．兩個工程隊從山的南北兩側(cè)同時往里挖掘，最后在山底某處會合．考古發(fā)現(xiàn)，會合處誤差極?。敃r人們挖隧道所