基本不等式的證明

重要不等式及其應(yīng)用教案教學(xué)目的(1)使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))及其推論，并能應(yīng)用它們證明一些不等式．(2)通過(guò)對(duì)定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力．教學(xué)過(guò)程一、引入新課師：上節(jié)課我們學(xué)過(guò)證明不等式的哪一種方法？它的理論依據(jù)是什么？生：求差比較法，即師：由于不等式復(fù)雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學(xué)習(xí)一些有關(guān)不等式的定理及證明不等式的方法．如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數(shù)集？為什么？生：當(dāng)a≠b時(shí)，(a－b)2＞0，當(dāng)a=b時(shí)，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈R+∪{0}．師：下面我們根據(jù)(a－b)2∈R+∪{0}這一性質(zhì)，來(lái)推導(dǎo)一些重要的不等式，同時(shí)學(xué)習(xí)一些證明不等式的方法．二、推導(dǎo)公式1．奠基師：如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0．①把①左邊展開(kāi)，得a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．②②式表明兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個(gè)很重要的絕對(duì)不等式，對(duì)任何兩實(shí)數(shù)a、b都成立．由于取“=”號(hào)這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號(hào)成立的充要條件．②式中取等號(hào)的充要條件是什么呢？師：充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來(lái)表達(dá)．“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))．以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來(lái)探索．2．探索師：公式②反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究?jī)蓚€(gè)以上的實(shí)數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個(gè)實(shí)數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對(duì)其中的兩個(gè)運(yùn)用公式②，有a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca．(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)．四個(gè)公式中，②、⑦是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法或三角法證明．幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R+)，則a2＋b2=c2表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而如上左圖所示，顯然有(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)，這時(shí)Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個(gè)圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過(guò)的“勾股方圓圖”，同學(xué)們?cè)诔踔幸呀?jīng)見(jiàn)過(guò)．三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，則2ab=2·csinA·csinB=2c2sinAcosA=c2·sin2A≤c2=a2＋b2(∵sin2A≤1)(當(dāng)且僅當(dāng)sin2A=1，A=45°，即a=b時(shí)取“=”號(hào))．三、應(yīng)用公式練習(xí)1．判斷正誤：下列問(wèn)題的解法對(duì)嗎？為什么？如果不對(duì)請(qǐng)予以改正．a(chǎn)、b∈R+．若tgα、ctgα∈R+．解法就對(duì)了．這時(shí)需令α是第一、三象限的角．]改條件使a、b∈R+；②改變證法．a(chǎn)2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．]師：解題時(shí)，要根據(jù)題目的條件選用公式，特別注意公式中字母應(yīng)滿足的條件．只有公式①、②對(duì)任何實(shí)數(shù)都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正實(shí)數(shù)(事實(shí)上對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)也成立)．2．填空：(1)當(dāng)a________時(shí)，an＋a－n≥________；(3)當(dāng)x________時(shí)，lg2x＋1≥_________；(5)tg2α＋ctg2α≥________；(6)sinxcosx≤________；師：從上述解題中，我們可以看到：(1)對(duì)公式中的字母應(yīng)作廣義的理解，可以代表數(shù)，也可以代表式子．公式可以順用，也可以逆用．總之要靈活運(yùn)用公式．(2)上述題目中右邊是常數(shù)的，說(shuō)明左邊的式子有最大或最小值．因此，在一定條件下應(yīng)用重要不等式也可以求一些函數(shù)的最大(小)值．(3)重要不等式還可以用于數(shù)值估計(jì)．如表明任何自然數(shù)的算術(shù)平方根不大于該數(shù)加1之半．四、布置作業(yè)略．教案說(shuō)明1．知識(shí)容量問(wèn)題這一節(jié)課安排的內(nèi)容是比較多的，有些是補(bǔ)充內(nèi)容．這是我教重點(diǎn)中學(xué)程度比較好的班級(jí)時(shí)的一份教案．實(shí)踐證明是可行的，效果也比較好．對(duì)于普通班級(jí)則應(yīng)另當(dāng)別論．補(bǔ)充內(nèi)容(一般式，幾何、三角證法等)可以不講，例題和練習(xí)也須壓縮．但講完兩個(gè)定理及其推論，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的基本要求仍是可以做到的．還應(yīng)看到學(xué)生接受知識(shí)的能力也非一成不變的．同是一節(jié)課，講課重點(diǎn)突出，深入淺出，富有啟發(fā)性，學(xué)生就有可能舉一反三、觸類旁通，獲取更多的知識(shí)．知識(shí)容量增加了，并未增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)．從整個(gè)單元來(lái)看，由于壓縮了講課時(shí)間，相應(yīng)的就增加了課堂練習(xí)的時(shí)間．反之，如果學(xué)生被動(dòng)聽(tīng)講，目標(biāo)不清，不得要領(lǐng)，內(nèi)容講得再少，學(xué)生也是難以接受的．由此可見(jiàn)，知識(shí)容量的多少，既與學(xué)生的程度有關(guān)，與教學(xué)是否得法也很有關(guān)系．我們應(yīng)當(dāng)盡可能采用最優(yōu)教法，擴(kuò)大學(xué)生頭腦中的信息容量，以求可能的最佳效果．2．教學(xué)目的問(wèn)題近年來(lái)，隨著教改的深入，教師在確定教學(xué)目的和要求時(shí)，開(kāi)始追求傳授知識(shí)和培養(yǎng)能力并舉的課堂教學(xué)效果．在培養(yǎng)學(xué)生的能力方面，不僅要求學(xué)生能夠運(yùn)用知識(shí)，更重要的是通過(guò)自己的思考來(lái)獲取知識(shí)．據(jù)此，本節(jié)課確定如下的教學(xué)目的：一是在知識(shí)內(nèi)容上要求學(xué)生掌握四個(gè)公式；二是培養(yǎng)學(xué)生用綜合法進(jìn)行推理的能力．當(dāng)然，學(xué)生能力的形成和發(fā)展，絕不是一節(jié)課所能“立竿見(jiàn)影”的．它比掌握知識(shí)來(lái)得慢，它是長(zhǎng)期潛移默化的教學(xué)結(jié)果．考慮到中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，大量的是公式和定理，如能在每一個(gè)公式、定理的教學(xué)中，都重視把傳授知識(shí)與開(kāi)拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來(lái)，天長(zhǎng)日久，肯定會(huì)收到深遠(yuǎn)的效果．3．教材組織與教法選用問(wèn)題實(shí)現(xiàn)上述教學(xué)目的，關(guān)鍵在于組織好教材，努力把傳授知識(shí)與開(kāi)拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來(lái)．教材中對(duì)定理1和定理2的安排，可能是為了與前面講的比較法和配方法相呼應(yīng)．但這容易使人感到這兩個(gè)定理之間沒(méi)有什么內(nèi)在聯(lián)系，又似乎在應(yīng)用定理時(shí)才能用綜合法．事實(shí)上，可以用比較法證明兩個(gè)數(shù)的平方和或三個(gè)數(shù)的立方和的不等式，但當(dāng)n＞3，特別對(duì)n是奇數(shù)時(shí)，用比較法就困難了(因?yàn)檫@時(shí)難以配方與分解因式)．因此不具有一般性．而對(duì)綜合法，學(xué)生在初中證幾何題時(shí)已多次用過(guò)了(只是課本上沒(méi)有提到這個(gè)名稱)．現(xiàn)行課本中兩個(gè)不等式定理及其推論，是著名的平均值不等式：和它的等價(jià)形式當(dāng)n=2，3時(shí)的特殊情況(當(dāng)n=2時(shí)，ai的取值有所變化)．在中學(xué)不講一般形式，只講特殊情況是符合大綱要求的．由于普遍性總是寓于特殊性之中，因此，這兩個(gè)特例應(yīng)是一般式的基礎(chǔ)．同時(shí)，這兩個(gè)特例之間應(yīng)有緊密的聯(lián)系，在推導(dǎo)方法上也應(yīng)該與一般式的證明有共性．這就是本教案的設(shè)計(jì)思想，因而改變了現(xiàn)行課本的證法．這里，我們用由定理1先推出一個(gè)輔助不等式a3＋b3≥a2b＋ab2，然后經(jīng)迭代、疊加，推出不等式a3＋b3＋c3≥3abc，這種方法具有一般性．事實(shí)上，引入一個(gè)一般的輔助不等式an＋bn≥an-1b＋abn-1(n＞1)，由迭代、疊加，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法就可以證出公式正因?yàn)樯鲜鲎C法具有一般性，即揭示了證法的本質(zhì)(共性)，就必然有利于遞