幾種常用的二次曲面與空間曲線

三、幾種常用的空間曲線一、旋轉(zhuǎn)曲面

二、柱面幾種常用的二次曲面與空間曲線定義1.一條平面曲線一、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:一、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．一、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．一、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．一、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．一、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．一、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．一、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．一、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．一、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．一、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．一、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．一、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．一、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．下面我們重點(diǎn)討論母線在坐標(biāo)面,軸是坐標(biāo)軸的故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:旋轉(zhuǎn)曲面.同理：當(dāng)曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)得旋轉(zhuǎn)曲面方程:例1.旋轉(zhuǎn)拋物面特點(diǎn):母線C為拋物線,軸L為拋物線的對(duì)稱軸。例如:將yoz平面上的拋物線C:繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的拋物面為:例如:將yoz平面上的拋物線C:繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的拋物面為:問:此曲線若繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的是何圖形? 例2:其圖形頂點(diǎn)在z軸上(0,0,1)處,開口向下的旋轉(zhuǎn)拋物面.例3.

旋轉(zhuǎn)橢球面特點(diǎn):母線C為橢圓,軸為橢圓的對(duì)稱軸.例如:yoz面上的橢圓:繞z軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面方程:繞y軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面方程:(0,0,1)注:旋轉(zhuǎn)曲面的重要特征是其兩個(gè)變量的平方項(xiàng)系數(shù)相等.例4.試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方例5.

求坐標(biāo)面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為二、柱面引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為故在空間過此點(diǎn)作圓柱面.對(duì)任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,定義二、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線.平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.定義二、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線.定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線.二、柱面定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線.二、柱面定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線.二、柱面定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線.二、柱面定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線.二、柱面定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線.二、柱面定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線.二、柱面定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線.二、柱面定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線.二、柱面定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線.二、柱面定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線.二、柱面定義二、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線.定義2.平行定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線l形成的軌跡叫做柱面.

表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準(zhǔn)線為xoy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.

z

軸的平面.

表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.一般地,在三維空間曲面圖形的方程中缺少一個(gè)變量,柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線

xoz

面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線

xoy

面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線

yoz面上的曲線l2.母線此方程表示柱面方程.其圖形平行于所缺變量對(duì)應(yīng)的數(shù)軸.注:柱面方程與坐標(biāo)面上的曲線方程容易混淆,在不同的坐標(biāo)系中應(yīng)該注意。一般在xoy面上的曲線，在空間直角坐標(biāo)系中應(yīng)該表示為：而在空間坐標(biāo)系中表示柱面。例如：拋物柱面在xoz平面上的準(zhǔn)線L3三、幾種常用的空間曲線三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)1、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y,z表示成參數(shù)t

的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度,稱為螺距

.例1.將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:(1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),(2)將第二方程變形為故所求為得所求為2、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為消去

z

得投影柱面則C在xoy面上的投影曲線C′為滿足（1）的數(shù)中的必滿足（2）式。這說明曲線C上所有點(diǎn)都在（2）式所表示的曲面上。求其在平面上的投影.2、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為消去x得C在yoz

面上的投影曲線方程消去y得C在zox面上的投影曲線方程例2C在xoy面上的投影曲線方程為（1）－（2）（3）代入（1）整理得求曲線C在xoy面上的投影曲線方程。為投影柱面，例3所圍的立體在xoy

面上的投影上半球面和錐面在xoy面上的投影曲線二者交線所圍圓域:二者交線在xoy面上的投影曲線所圍之域.區(qū)域?yàn)?例4求曲線繞z

軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面的交線在

xoy平面的投影曲線方程.解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為此曲線向xoy

面的投影柱面方程為此曲線在xoy面上的投影曲線方程為,它與所給平面的(2)(1)展示空間圖形(3)思考:交線情況如何?交線情況如何?內(nèi)容小結(jié)1.

空間曲面三元方程

球面

旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z

軸的旋轉(zhuǎn)曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z

軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.2.二次曲面三元二次方程

橢球面

拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面

雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面

橢圓錐面:

空間曲線三元方程組或參數(shù)方程

求投影曲線(如,圓柱螺線)3、幾種常用的空間曲線斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y

軸的直線平行于yoz面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓