人教版七年級下冊數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)：壓軸題 練習(xí)題（含答案解析）

人教版七年級下冊數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)：壓軸題專項練習(xí)題

1.如圖1,在四邊形ABC。中，AD^BC,NA=NC.

(1)求證：ZB-ZZ)；

(2)如圖2,點E在線段AO上，點G在線段的延長線上，連接BG,NAEB=24G,

求證：BG是NEBC的平分線；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點E在線段的延長線上，NfDC的平分線?！苯籅G于

點、H,若NABE=66。，求N8H。的度數(shù).

2.已知：0是直線48上的一點，NCo。是直角，OE平分/B0C.

(1)如圖1,當NAOC=40。時，求/。OE的度數(shù)；

(2)如圖2,OFZBOD,求/E0尸的度數(shù)；

(3)如圖3,NAOC=36。，此時/C0。繞點。以每秒6。沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，秒(OWf<60),

請直接寫出ZAOC和ZDOE之間的數(shù)量關(guān)系

3.如圖1,ADBC,NBA。的平分線交BC于點G,ZBCD=90°.

圖3

(1)試說明：NBAG=NBGA；

(2)如圖2,點尸在AG的反向延長線上，連接CF交A。于點E,若NBAG-NF=45。,

求證：Cf平分NBC￡＞；

⑶如圖3,線段4G上有點P,滿足乙?BP=3NPBG,過點C作CH〃AG.若在直線AG

上取一點M,使NPBM=NDCH,求幺也的值.

NGBM

4.已知直線4〃4,直線4和4,4分別交于C,。兩點，點A,B分別在直線乙，4上,

且位于直線4的右側(cè)，動點尸在直線上，且不和點C,Z)重合.

(1)如圖1,當動點P在線段CO上運動時，求證：ZAPB=NCAP+NDBP.

(2)如圖2,當動點P在點C上方運動時(P,A,3不在同一直線上)，請寫出ZAPB,

ZCAP,N/)3P之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑶如圖3,當動點尸在點。下方運動時(P,A,B不在同一直線上)，直接寫出NAP8,

ZCAP,NP之間的數(shù)量關(guān)系.

5.如圖1,直線EF與直線AB,Cf)分別交于點E、F,EM平分/AEF交CO于點M,

且NFEM=NFME.

第2頁共43頁

(1)求證：AB//CD；

(2)如圖2,點G是射線MD上一動點(不與點”、尸重合)，EH平分NFEG交CD于

點”，HN工EM于點N,設(shè)NEHN=α,NEGF=R.

①當點G在點F的右側(cè)時，若￡=50。,求a的大小；

②點G在整個運動過程中，直接寫出a和4之間的數(shù)量關(guān)系.

6.已知C與AADE共頂點A,ZBAC=ZDAE=90,頂點B和C在直線∕∣上(點

B在點C的左側(cè))，頂點。和E在直線4上(點。在點E的左側(cè))，且直線4〃，2.

⑴如圖1,頂點A在4與4之間，判斷NBAD與NASC+NAf>E是否相等，并說明理由.

(2)如圖2,頂點A在4與4之間，NABC的外角平分線與NAa的角平分線交于點凡

若NBAo=70,求NBFE的度數(shù).

(3)若頂點A在直線的下方，且頂點8、A、。不在一條直線上，/ABC的外角平分線

與/AED的角平分線交于點F,記ZAM>=a,ZBFE=β,請?zhí)骄縜與萬的數(shù)量關(guān)系,

并直接寫出結(jié)論.

7.在AABC中，ZC=90o,AM平分N84C,O為直線BC上一點，DEJ_AB于點E,

NCDE的平分線交直線AC于點F.

(1)如圖①，當點。在邊BC上時，判斷。尸與AM的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)①如圖②，當點。在邊BC延長線上時，則。尸與AM的位置關(guān)系是；

②如圖③，當點。在邊C8延長線上時，則。F與AM的位置關(guān)系是；

(3)請就(2)中①或②中的一種情況，給出證明.

8.猜想說理：

(1)如圖，AB//CD//EF,分別就圖1、圖2、圖3寫出NA,/C,NAR7的關(guān)系,

(2)如圖4,若ABCD,則NA+NC+NAFC=_度;

(3)在圖5中，若AB〃4。，請你用含〃的代數(shù)式表示Nl+N2+N3+N4++N〃的

度數(shù).

9.如圖I,已知直線點A、8在直線4上，點C、。在4上，線段Ao交線段BC

圖2

⑴求證：ZASE+NEf)C=60°；

(2)如圖2,當尸、G分別在線段AE、EC上，且ZABF=2NFBE,ZEDG=2ZGDC,

標記NBFE為NI,ZBGD為Zl.

①若/1一/2=16。，求NADC的度數(shù);

第4頁共43頁

②當k=時，(ZN1+N2)為定值，此時定值為.

10.如圖，已知A8〃C￡),M,N分別是直線AB,CO上一點，點E在直線AB,CD

之間.

(1)如圖1,求證：ZBME+NDNE=NMEN；

(2)如圖2,F是EM上一點、,NE平分乙FND,FH平分ZNFE,試探究ZNHF與ZBME

之間的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

(3)如圖3,P為直線MN上一動點(不與點N重合)，過點P作PGLMN交直線Co于

點G,NPNG的角平分線和NPGC的角平分線交于點0,則/0的度數(shù)為(直

接寫出結(jié)果).

11.如圖在平面直角坐標系中，點A,8的坐標分別為A(4,0),8伍,0).且小〃滿足

,+3|+(。-?+7)2=0,現(xiàn)同時將點A,B分別向左平移2個單位，再向上平移2個單

位，分別得到點A、8的對應(yīng)點C、D,連接AC,BD,CA的延長線交y軸于點K.

(1)點尸是線段CK上的一個動點，點Q是線段CO的中點，連接PQ,PO,當點P在線

段CA上移動時(不與A,C重合)，請找出NP。。，NOPQ,NPOB的數(shù)量關(guān)系，并

證明你的結(jié)論.

(2)連接AO,在坐標軸上是否存在點例，使VMAD的面積與AACO的面積相等？若存

在，直接寫出點”的坐標；若不存在，試說明理由.

12.如圖,在平面直角坐標系中，已知A(α,O),B(8,0),其中α方滿足∣α+2∣+(b-4)2=0.

(1)填空：a—,b=；

(2)如果在第三象限內(nèi)有一點用(Y,n),請用含〃的式子表示三角形A8M的面積；

⑶在(2)的條件下，當〃=-4時，線段MB與y軸的交點坐標C(0,-2),在y軸上有一

點P,使得三角形BMP的面積與三角形ABM的面積相等，請求出點P的坐標.

13.對于平面直角坐標系Xay中的圖形G和點P,給出如下定義：將圖形G沿上、下、

左、右四個方向中的任意一個方向平移一次，平移距離小于或者等于1個單位長度，平

移后的圖形記為G',若點尸在圖形G'上，則稱點P為圖形G的穩(wěn)定點，例如，當圖形

G為點(-2,3)時，點出(-1,3)戶(-2,3.5)都是圖形6的穩(wěn)定點.

⑴已知點A(TO),8(2,0).

①在點4(-2,0),6(4,0),月［1，3B-1］中，線段48的穩(wěn)定點是.

②若將線段48向上平移/個單位長度,使得點E((U)或者點尸(0,5)為線段AB的穩(wěn)定點,

寫出f的取值范圍___________.

(2)邊長為a的正方形，一個頂點是原點O,相鄰兩邊分別在X軸、y軸的正半軸上，這

個正方形及其內(nèi)部記為圖形G.若以(0,2),(4,0)為端點的線段上的所有點都是這個圖形

G的穩(wěn)定點，直接寫出a的最小值.

14.平面直角坐標系中，AmO),B(0,?),b均為整數(shù)，且滿足b=

(1)請直接寫出點A,B,C的坐標;

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(2)如圖(1),若點。的坐標為(TO),點尸WM為線段Z)E上一點，且AAC尸的面

積大于12,求優(yōu)的取值范圍；

(3)如圖(2),若OE與y軸的交點G在B點上方，點P為)，軸上一動點，請直接寫出

NEBO,NBPD,NTYM之間的數(shù)量關(guān)系.

15.如圖，在平面直角坐標系中，點A、8的坐標分別為A(0,a),B(b,0),且〃、b滿

足∣2α-b-6∣+√α+2%-13=0,點C在X軸的負半軸上，連接A8、AC.

(2)如圖2,在(1)的條件下，點P從點。出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿。8方向

移動，同時點Q從點A出發(fā)以每秒2個單位長度的速度在AO間往返移動，即先沿Ao

方向移動，到達點。反向移動.設(shè)移動的時間為?秒，四邊形ACQB與aABP的面積分

別記為5、邑，若存在時間《區(qū)長5)使\=452,直接寫出/值

16.如圖①，在平面直角坐標系中，A(a,O),CS,2),且滿足(a+2)2+√?T2=0,過

C作C8_LX軸于8.

(1)直接寫出三角形ABC的面積_；

⑵如圖②,若過B作B￡>〃AC交y軸于。,且AE,。E分別平分NC4B,NOQB,求NAEO

的度數(shù)；

(3)在y軸上是否存在點P,使得三角形ACP和三角形ABC的面積相等？若存在，求出

P點的坐標；若不存在，請說明理由.

17.如圖9,在平面直角坐標系中，點A,B分別在y軸，X軸上，將三角形AoB沿X

軸正方向平移一段距離，平移后的圖形為三角形CM,連接AC

(1)觀察發(fā)現(xiàn)

如圖①，點C到X軸的距離為7,到y(tǒng)軸的距離為6.直接寫出點C的坐標.

⑵探究證明

如圖②，若NABD平分線B尸與CD交于點F,連接AR則NC4F,ZAFB,NABD三

個角滿足的關(guān)系是什么？并說明理由.

(3)拓展延伸

如圖③，尸是線段CO上一點，連接A凡BF,取平面內(nèi)一點P,連接AP,BP,若

ACAPAFAP,NDBP=3NFBP,請直接寫出幺竺的值.

NAFB

18.如圖1,在平面直角坐標系中，點力在X軸正半軸，到y(tǒng)軸的距離為2,點B的坐標

為(0,1),點〃在無軸上點A的右側(cè)，且MA=1,過點M作平行于y軸的直線加，點。

(1)若點。在第一象限，且到X軸的距離為1.

①點D的坐標為；

②線段BO的長為；

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③如圖2,連接54、DA、BD,平移線段84,使A到。的位置、8到C的位置，則

點C的坐標為.

(2)平移圖2中的線段8,點。始終在直線機上，設(shè)點。的縱坐標為d?

①在點。運動的過程中，若線段C。與X軸有一個交點，則點。的縱坐標d的取值范圍

是.

②當三角形麗的面積等于2.5時，求點C的坐標.

參考答案：

L(I)證明見解析

⑵證明見解析

(3)57°

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NA+N8=180。，進而推出NC+N8=180。，即可證明

AB//CD1得到NA+NZ>180。，據(jù)此即可證明結(jié)論；

(2)先由平行線的性質(zhì)得到NCBG=NG,NAEB=NCBE,進而推出NEBG=NCBG=NG,

即可證明BG是NEBC的平分線；

(3)設(shè)NGfW=NHOC=I,設(shè)/EBG=NCBG=A根據(jù)平行線的性質(zhì)推出66。+2夕+2即180。，

則α+夕=57。,過點“作“尸〃A3交AG于P,得到NP”3+NAB”=180。,推出NOHP=N"OC=α,

則NOHP+NB"D+NA8E+NGBE=1800即α+ZBHD÷66o+∕J=180o,NBHD=57。；

【解析】(1)解：YAO〃BC,

.?ZA+ZB=180°,

YZΛ=ZC,

.?.ZC+ZB=180o,

.?AB∕∕CD,

：.ZΛ+ZZ>180o,

；?NB=ND;

(2)解：VAD//BCf

???NCBG=NG,NAEB=NCBE,

YNAEB=2/G,

；?NCBE=2/G,

：.NEBG+NCBG=2NG,

：?/EBG=/CBG=/G,

???8G是NEBC的平分線；

(3)解：”是NGZ)C的平分線，

???/GDH=/HDC,

沒∕GDH=∕HDC=a,

YAD〃BC,

：.ZBCD=ZGDC=2a,

沒∕EBG=∕CBG=β,

?ΛAB∕∕CD,

：.ZABC+ZBCD=180°,

，NABE+NEBC+NBCo=I80。，

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.?.66。+2夕+2儀=180。，

o

Λa+jβ=57,

過點H作HP//AB交AG于P,

ΛZPHB+ZABH=180°,

a

：AB//CDf

.?CD∕∕HPf

：.ZDHP=ZHDC=af

：.ZDHP+ZBHD+ZABE+ZGBE=180°

即ct+ZBHD+66o+^=180o,

JNBHD=57。；

圖3

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定,熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.

2.(1)20°

(2)45°

⑶ZAOC=IZDOE或ZAOe+2ZDOE=33

【分析】(1)由補角及直角的定義可求得的280C度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求解NDOE

的度數(shù)；

(2)由角平分線的定義可得/EOF=/BOE-ABOF=?(ΛBOC-ZBOD)=?ZCODf進而可求解；

(3)可分兩種情況：①當0Vz≤6時，ZAOC=36o-6o/,求出Zzx史=18。-3。/,得出答案；②當

6VV60時，∠AOC=6or-36o,得出ZD0七=198。-3。/,進而得到答案.

【解析】(1)解：?.?ZAOC=4θo,

JZBOC=180°-ZAOC=180°-40°=140°,

?/OE平分NBOC,

：.ZCOE=-ZBOC='X140。=70°,

22

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,.?NCOD=90。，

.?ZDOE=ZCOD-ZJCOE=90o-70o=20o；

(2)VOEWZfiOC,OF平分NBOD,

：.ZBOE=-ZBOC,ZBOF=?/BOD,

22

.*.NEOF=NBoE-乙BoF=?(ZBOC-ZBOD)=?ZCOD,

,.?NCoD=90。，

,NEOF=45。；

(3)①當0VY6時，由題意可得

ZAoC=36?！?。7,

NDoE=ZCOD-ZCOE=ZCOD-LI80。-ZAOC),

2

=90o-∣∕l80o-(36o-6or)7

=18o-3o/,

：?NAOC=2NDOE；

②當6V/V60時，如下圖，

ZAOC=6oz-36°,

：?NDOE=ZCOD+/COE

=90。+'/18(尸-(6。-36?！?198。-3。/,

2

.?.Z4(9C+2Z∞E=360o

【點評】本題主要考查角的計算，角平分線的定義，補角的定義等知識的綜合運用，分類討

論是解題的關(guān)鍵.

3.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)5或;

【分析】(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NGS=NBGA,再根據(jù)角平分線的定義可得

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ZBAG=ZGAD,然后根據(jù)等量代換即可得證；

(2)過點尸作FMBe于例，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N8G4=NMFG,N8CF=NMFC,

從而可得NBAG-NG尸C=NMFC,W∣JZSCF=ZMFC=45°,再根據(jù)角平分線的定義即可

得證；

(3)設(shè)NA3C=4x(x>0),則NA3P=3x,NPBG=x,先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

ZBΛZ)=180o-4Λ,從而可得NBG4=90。-2X,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

ZfiCW=ZBGA=90o-2x,從而可得NPBM=NDCH=2x,然后分①點〃在BP的下方和

②點M在BP的上方兩種情況，根據(jù)角的和差可得NABM和NGBM的值，由此即可得.

【解析】(1)證明：YA￡?〃BC,

ZGAD=ZBGA,

?.?AG平分/84。，

ZBAG=ZGAD,

,NBAG=NBGA.

(2)證明：如圖，過點F作FMBC于M,

.?.ZBGA=AMFG,ZBCF=ZMFC,

由(1)已證：ZBAG=NBGA,

ZBAG=AMFG=ZMFC+NGFC,即NBAG-ZGFC=ZMFC,

又NBAG-NGFC=45。,

.-.ZMFC=45°,

.-.ZBCF=45°,

又；ZBcD=90°,

CF平分NBCD.

(3)解：設(shè)ZABC=4x(x>0),

?'ZABP=3NPBG,

：.ZABP=3x,NPBG=x,

AD?BC,

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??.ZBAD=180o-ZABC=180o-4x,

由(1)己得：ZBGA=ZBAG=?ZBAD=90°-2x,

?：AG//CH,

???ZBCH=ZBGA=90°-2x,

?/ZBCD=9()°,

???/PBM=ZDCH=90o-(90o-2x)=2x,

由題意，分以下兩種情況：

①如圖，當點M在成的下方時，

：.ZABM=ZABP+NPBM=3x+2x=5xf

NGBM=NPBM-ZPBG=2x-x=x，

.ZABM5xU

>?----------=—=5：

/GBMX

②如圖，當點M在成的上方時,

：.ZABM=ZABP-/PBM=3x-2x=χf

/GBM=4PBM+ZPBG=2x+x=3xf

.ZABMXl

??ZGBM~3x~3；

,?,ZABMM/士口L-PJ

綜上，的值是5或Z.

N(JBM3

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，較難的是題(3),正確分

兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

4?(1)見解析

(2)ZAPB=ZDBP-ZCAP,理由見解析

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(3)ZAPB=ZCAP-ZDBP

【分析】(1)過點P作PE〃/「即可得PE〃/-即有NC4P=NAPE,ZDBPZBPE,

結(jié)合NAPB=NAPE+NBPE,即可證明；

(2)過點P作PE〃/「即可得PE〃/=即有NC4P=NAPE,ZDBP=ZBPE,三口口

ZAPB=ZBPE-ZAPE,即可證明；

?i?

(3)過點P作PE〃/.即可得PE〃/*即有NCAP=NAPE,ZDBP=ABPE,知口

ZAPB=ZAPE-ZBPE,即可證明.

(1)

.?.PE//12,

：.NCAP=ZAPE,ZDBP=ZBPE,

又,?,ZAPB=ZAPE+ABPE.

/.ΛAPB=ZCAP+ZDBP■,

(2)

ZAPB=ZDBP-NCAP,理由如下:

.?.PE//12,

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ΛZCAP=ZAPE,ZDBP=ZBPE.

?.?ZAPB=ZBPE-ZAPE,

：.ZAPB=NDBP-ZCAP；

(3)

ZAPB=ZCAP-ZDBP,理由如下:

過點尸作PE〃/1,如圖3,

圖3

?,*I1/∕l2,PE//I1,

：.PE//12,

ACAP=ZAPE,ZDBP=ZBPE.

"：ZAPB=ZAPE-NBPE,

二ZAPB=ZCAP-NDBP.

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，添加合理的輔助線并掌握兩直線平行內(nèi)錯角相等是

解答本題的關(guān)鍵.

5.(1)證明見解析

⑵①25。；②當點G在點F的右側(cè)時，a=*。；當點G在點F的左側(cè)時，?=90°-^

【分析】(1)由角平分線的定義即得出NAfiW=NfEW,結(jié)合題意可證明ZAfiW=ZΛWE,

即得出A8CD.

(2)①由平行線的性質(zhì)可得出NBEG=NEG尸=6=50。，從而可求出

ZAEG=180o-ZBfG=130°.再根據(jù)角平分線的定義可得出

ZHEF=-NFEG,NMEF=-ZAEF,從而可求出NMEH=-ZAEG=65。.過點N作NK//GH,

222

即得出NEVK=NAEM,ZHNK=AMHN.由NENK+NHNK=90。,可得出

ZAEM+ZMHN=90°.最后由NAEM+NME”+NMHN+α=180。，即可求出ɑ的大??；

②分類討論：當點G在點F的右側(cè)時和當點G在點F的左側(cè)時，根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平

分線的定義結(jié)合圖形即可解答.

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【解析】(1)證明：?.?EM平分/AE尸,

：?ZAEM=ZFEM.

又?：NFEM=ZFME,

，ZAEM=AFME,

：.ABCD；

(2)φVABCDf

o

：./BEG=/EGF=β=50f

：.ZAEG=180o-/BEG=130°.

又???EH平分NFEGEM平分NAEF,

ZHEF=-ZFEG9/MEF=LZAEF,

22

.?.ZMEH=?ZAEG=65°.

2

又?：HNlEM,

J/MNH=90。.

如圖，過點N作NK〃GH,

：?ZENK=ZAEM,/HNK=AMHN.

o

,：ZENK+ZHNK=90f

：.ZAEM+ZMHN=90°.

?.,ABCD,

JZAEM+NMEH+NMHN+a=180。,

Λσ=180o-90o-65o=25o;

②分兩種情況討論：如圖，當點G在點尸的右側(cè)時,

JZΛEG=180o-/7.

第17頁共43頁

又：EH平分∕FEG,EM平分NAE廠,

，NHEF=-ZFEG,ZMEF=LZAEF,

22

：.NMEH=；ZAEG=90。-3尸.

'：HNLME,

，ΛEHN=90°-ZMEH=90°-(90°-?∕?)=?/7,即α=’/?；

222

如圖，當點G在點尸的左側(cè)時，

,：ABCD,

ZAEG=ZEGF=β.

又,：EH①分NFEG,EM平分/A所，

.,.ZHEF=-ZFEG,NMEF=-ZAEF,

22

.".NMEH=NMEF-NHEF=?(ZAEF-NFEG)=?ZAEG=.

'：HNLME,

：.NEHN=90。-NMEH=90。0,即a=9(F；/.

【點評】本題考查角平分線的定義，平行線的判定和性質(zhì).利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想

是解題關(guān)鍵.

6.(1)ZBAD=ZABC+ZADE,理由見解析

(2)100°

(3)90。=24+夕或90。=2尸-0

【分析】（1）過點A作AG〃4,根據(jù)平行線的性質(zhì)直接求解即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)（1）中的方法可知NBAo=ZABC+NAOE=70,ZBFE=N1+N2,根據(jù)角平分

線的性質(zhì)及鄰補角的定義等量代換即可得到結(jié)論；

（3）令NABF=蒼ZAEF=y,根據(jù)角平分線定義得NFBH=X,ZFED=y,過/作尸G〃/1,

過A作AJ〃4,得到FG〃AJ〃4〃，2,從而根據(jù)點。與NABR的關(guān)系分五種情況求解，

由角度和差關(guān)系得到Z?=x-y,90°=α+2（x-y）或90。=2（》-），）-￡,聯(lián)立方程組得到

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90。=2￡+0或者90。=2/7-儀.

【解析】（1）解：ZBAD=ZABC+ZADE.

過點A作AG〃/如圖所示：

,I1//I2,

???AG//li//I21

???/I=ZABC,

N2=ZAD石，

Zβ4D=Zl+Z2,

???/BAD=ZABC+ZADE；

(2)解：如圖所示:

由(1)可知NBAo=ZABC+NADE=70，

同(1)理可得NBFE=N1+N2,

?；BF平分NABH,E尸平分NAED,

.?.Nl=LZABH,Z2=-ZDEA,

22

??NBAC=90,ZDAE=90,

N2=g(90-ZADE)=45-^ZAD￡,Nl=；(180-ZΛBC)=90-ZABC,

:.ZfiF￡=Zl+Z2=45--ZADE+90--ZABC=↑35-35=IOO；

22

(3)解：根據(jù)點。與NAfi尸的關(guān)系分五種情況求解：

1..點D在NABf的邊防左側(cè)，如圖所示：

第19頁共43頁

令NABF=X,NAEF=y,則根據(jù)角平分線定義得NFBH=x,AFED=y,

過戶作FG〃/一過A作A/〃(，則FG〃AJ〃《〃4，

.?.NEFG=ZDEF=y,ZBAJ=ZΛBC=180o-2x,ZDAJ=ZADE,

.?.NBFG=AHBF=x=NBFE+NEFG=∕?+y①，

在AADE中，^DAE=90°,

ZADE+ZAED=90°,

:.ZDAJ=ZADE=90°-2y,

.?.NBAJ=ZABC=180。-2x=ZDAJ+ZBAD=(90°-2y)+α②，

由①得6=χ-y,

由②得90。=￡+2(*—y),

將①代入②得9O°=2￡+c；

2.點。在NABF的邊BF上，如圖所示：

令ZABF=X,ZAEF=y,則根據(jù)角平分線定義得/EBH=x,NFED=y,

過尸作/G〃/一過A作A/〃4,則FG〃/1/〃4〃4，

/.NEFG=NDEF=y,ZBAJ=ZABC=180o-2x,ADAJ=ZADE,

.?.NBFG=NHBF=X=NBFE+NEFG=￡+y①，

在ΔADE中，^DAE=9Q°,

:.ZADE+ZAED=90°,

:.ZDAJ=ZADE=90°-Iy,

.?.ZBAJ=ZABC=180o-2x=ADAJ+ZBAD=(90o-2y)+α②，

由①得6=χ-y,

第20頁共43頁

由②得90。=1+2（》—y）,

將①代入②得90°=2￡+a；

3.點。在NABF內(nèi)，如圖所示:

令NABF=X,NAEF=y,則根據(jù)角平分線定義得/用”=x,NFED=y,

過尸作FG〃/一過A作AJ〃4,則FG〃/L7〃4〃/2，

.?.ZEFG=ZDEF=y,ZBAJ=ΛABC=180o-2x,ZDAJ=ZADE,

:.NBFG=ZHBF=x=ZBFE+ZEFG=分+y①，

,在ΔADE中，NTM￡=90。，

.?.ZADE+ZAED=90°,

:.ZDAJ=ZADE=90°-Iy,

.?.NBAJ=ZABC=180°-2X=ADA.J+NBAD=(90o-2y)+。②，

由①得6=χ-y,

由②得9()o=a+2(x-y),

將①代入②得90°=2尸+c；

4.點。在NAB尸的邊A8上，ZBAD=a=0o,如圖所示：

令ZABF=X,ZAEF=y,則根據(jù)角平分線定義得NFB"=x,NFED=y,

過/作FG〃/一過A作A?/〃4，則FG〃A7〃4〃4，

.?.NEFG=ZDEF=y,ZBAJ=ZABC=180o-2x,ZDAJ=ZADE,

:.ZBFG=NHBF=x=NBFE+ZEFG=尸+y①，

在ΔA3E中，NTME=90°,

:.ZADE+ZAED=90。,

:.ZDAJ=ZADE=90°-2y,

第21頁共43頁

.?./BA/=ZABC=I80。-2x=NZMZ+NS4D=（90。一2y）②,

由①得6=χ-y,

由②得9θo=2(x-y),

將①代入②得￡=45。，

a=0o,4=45。，滿足90°=24+α;

5.點。在NΛB尸的邊A8右側(cè)，如圖所示:

令ZABF=X,ZAEF=y,則根據(jù)角平分線定義得∕FB"=x,AFED=y,

過/作FG〃/一過A作A/〃4,則尸G〃AJ〃/1〃4，

.?.NEFG=NDEF=y,ZBAJ=ZABC=180o-2x,ZDAJ=ZADE,

.?.NBFG=NHBF=x=NBFE+NEFG=β+yφ,

,在ΔA∕)E中，^DAE=90°,

..ZADE+ZAfiD=90°,

/.ZDAJ=ZADE=90°-2y,

.?.NBAJ=ZASC=180o-2x=ZDAJ-NBAD=(90°-2y)-￡②，

由①得力=χ-y，

由②得90。=2(k一打一環(huán)

將①代入②得90°=2/-a；

綜合上述1、2、3、4、5可得90。=2尸+&或90。=2￡一夕.

【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，涉及到角平分線的性質(zhì)、鄰補角定義、直角三角形銳角互

余等性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，分類討論并根據(jù)圖形恰當表示出各角之間的關(guān)系是解決問

題的關(guān)鍵.

7.(I)DFHAM,理由見解析

(2)φDF±AM;?DF1AM.

(3)選①證明見解析；選②證明見解析.

【分析】(1)先判斷出NBAC+/CDE=180。，可得/CAM+NCDF=90。，進而判斷出

NCDF=NCMA即可得出結(jié)論;

第22頁共43頁

(2)①，先判斷出NBAC=NCoE,可得NC4W=NC。尸,進而判斷出NC3尸+/4MC=90。,

即可得出結(jié)論解答;選②，先判斷出NBAC=ZCDE,可得∕C4M=∕CZ)F,進而判斷出/CAM

+N尸=90。,即可得解答；

(3)(2)中任選一個進行證明即可.

【解析】(1)解：(1)DFHAM.理由如下：

VZC=90o,DEYAB,

：.∕BAC+∕COE=360°-90°x2=180°,

YAM平分/8AC,。5平分NCoE,

ΛZCΛM=yZBAC,NCDF=；NCDE,

圖①

：.ZCAM+ZCDF^^(NBAC+NCDE)=90°,

又YNCAM+ZCMA=90°,

.?ZCDF^ZCMA,

J-BDHMF.

(2)ΦVZC=90o,DEA,AB,

：.ZBAC+ZB=ZBDE+ZB=90o,

：.NBAC=NCDE,

圖②

YAM平分NBAC,平分NCoE,

：.ΛCAM=ZCDF,

'：ZCAM+ZAMC=W,

二ZCDF+ZAMC=90o,

：.DFA.AM.

故答案為DFLAM.

②：∕C=90°,DEA.AB,

第23頁共43頁

.*.NBAC+/B=/BDE+/B=90°,

：.ΛBAC=ACDE,

二?AM平分NBAcO尸平分NCOE,

.?.NCAM=NCDR

VZCDF+ZF=90o,

ΛZCAM+ZF=90o,

ΛDFlAM.

故答案為DFLAM.

(3)解：選②證明.證明如下：

o

VZC=90,DElABf

o

：.ZBAC+ZB=ZBDE+ZB=90f

：.ZBAC=ZCDEf

TAM平分NAACDF平分NCDE,

：.ΛCAM=ZCDF,

?.?NCOF+N∕7=90°,

.?.ZCAM+ZF=90o,

：.DF.LAM.

【點評】本題屬于三角形綜合題，主要考查了角平分線的定義、同角的余角線段、平行線的

判定、垂直的判定等知識點，說明NCAM=NCQF是解答本題的關(guān)鍵.

8.(1)ZA+ZC=ZAFC;ZA-ZC=ZAFC;NC-ZA=ZAFC

(2)360

(3)(∕2-1)×180O

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可直接得到結(jié)論；

(2)過點尸作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)，計算出NA+NC+NAFC的度數(shù)；

第24頁共43頁

(3)過點E作48的平行線，過點尸作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)，計算出

ZA+ZAE/^+NEFC+NC度數(shù)；通過前面的計算，找出規(guī)律.利用規(guī)律得到有〃個折點的

結(jié)論；

【解析】解：(1)如圖1：ZAYAC=ZAFC,

如圖2：ZA-ZAFC,

如圖3：ZC-ZA=ZAFC,

如圖1說明理由如下：

'：AB//CD//EF,

,ZA=ZAFENC=NEFC,

：.ZA+ZC^ZAFE+ZEFC,

即NA+NANAFC；

過F作FH〃J\B、

：.ZA+ZAFW=I80°,

又‘：AB"CD,

：.CD//FH,

ZC+ZCFW=180o,

.?.ZA+ZA77∕+ZC+ZCf77^60o,

即ZA+ZC+ZAFC=360o；

故答案為：360；

過E作EG〃AB,過下作切〃A3,

,/AB//CD,

：.AB//EG//FH//CD,

：.ZA+ZA￡G=180o,NGEF+ZEFH=I80。,ZHFC+ZC=?80o,

：.ZAEG+ZGEF+ZEFH+ZHFC+ZO=?80o×3,

即ZA+Z4EF+ZfiFC+ZC=540o；

綜上所述：

第25頁共43頁

由當平行線AB與CD間沒有點的時候，ZA+ZC=ISOo,

當A、C之間加一個折點/時，ZA+Z4FC+ZO=2×180°；

當A、C之間加二個折點E、尸時，則NA+ZAEF+NEbC+NC=3xl8()θ;

以此類推，如圖5,AiB∕/AnD,

當A、A之間加三個折點4、4、A.時，

則z?+ZA,+ZA3+ZA4+NA=4x1800；

當A、Al之間加“個折點&、A3、...4I時，

則ZΛl+ZA2+ZA3+...ZA=(“-1)x180°,

即Zl+Z2+Z3+Z4+L+Zn的度數(shù)是(n-l)×l80°.

【點評】本題是探索型試題，主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用平行線

的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)等知識求解是解答此題的關(guān)鍵.

9.(1)證明見解析

⑵①36。；②2；140°

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)解答即可；

⑵①設(shè)NFBE=a,NGDC=b,則NA6尸=為，/EDG=Tb,結(jié)合平行線的性質(zhì)，利

用方程的思想方法，依據(jù)已知條件列出方程組即可求解；

②利用①中的方法，設(shè)∕FBE=",ΛGDC=b,ZABF=2a,AEDG=Tb,通過計算

kZλ+Z2,令計算結(jié)果中的。的系數(shù)為0即可求得結(jié)論.

(1)

證明：如圖，作EF

：.NFED=NEDC,

?.?∕∕L

EF//Ix,

：.ZABE=ZBEF,

'：NBED=60。,

：.ZABE+NEDC=ZBEF+NFED=/BED=60°

(2)

第26頁共43頁

設(shè)NFBE=a,NGDC=b,

VZABF=2AFBE,ZEDG=2ZGDC,

：.ZABF=2a,ΛEDG=2b,

'：ιt∕/12,

：.ZBAD=ZADC=3b,ZABC=/BCD=3a,

由(1)可得：

Zλ=2a+3>h,Z2=3a+b,ZBED=3a+3h=O)°,

.?.a+6=20。，

ΛZl=60o-α,Z2=20o+20,

φVZl-Z2=16o,

60o-i∕-(20o+2a)=16o,

.?.a=8。，6=12。，

.,.ZAZ)C=3/?=36°；

②k=2,定值為140。，理由如下：

kZ?+Z2

=k(60°-4)+(20°+24)

=60ok-kcι+20o+2a

=(2-?)a+60%+20o

當k=2時，ZNl+/2=140。，

.?.當人=2時，/N1+N2為定值，此時定值為140。.

故答案為：2；140°.

【點評】本題考查平行線的性質(zhì).利用方程或方程組的思想解答是解題的關(guān)鍵.

10.(1)證明見解析

(2)2NNHF=I80°+NBME,理由見解析

(3)45°或135°

【分析】(1)如圖所示，過點E作小〃AB,利用平行線的性質(zhì)得到/MEF=/BME,

NNEF=NDNE,即可證明結(jié)論：

(2)如圖所示，過點尸作FG〃AB,過點H作“P〃/W,同(1)可證∕Λ∕∕7G=∕8ME,

第27頁共43頁

/PHN=NDNE,∕GFN=∕DNF,NGFH+NPHF=180。,再根據(jù)角平分線的定義得到

ZNFE=2ΛNFHfZDNF=2ZDNEf在分別推出/"/7/=90。-1/8加￡一/。ζ七，

2

NPHF=90-DNE+；NBME,即可得到答案；

（3）分點P在點N上方和點P在點N下方,利用平行線的性質(zhì)與角平分線的定義分類討論

求解即可.

【解析】（1）解：如圖所示，過點E作E?〃AB,

VAB//CDf

：?AB∕∕CD∕∕EFf

：./MEF=∕BME,/NEF=NDNE,

：./BME+/DME=∕MEF+/NEF=/MEN；

M

如圖所示，過點尸作尸G〃A8,過點H作HP〃AB,

同（1）可知ΛB∕∕CD"FG〃PH,

：.NMFG=NBME,NPHN=NDNE,/GFN=/DNF,NGFH+NPHF=18。。,

：.ZMFN=ZBME+ZDNF9

?：FN平一分4NFE,NE平分/DNF,

：.ZNFE=2ZNFH,ZDNF=2ZDNE1

o

：.NNFE=2NNFH=180-NM尸N=I80。-NBME-2ZDNEf

：.ZNFH=90°--ZBME-ZDNE,

2

o

ZGFH+ZPHF=ISO9

：.ZGFN+ZNFH+ZPHF=180°,

.,.2ZDNE+ZNFH+NPHF=180°,

???4PHF=180o-2Z.DNE-/NFH=90°-ZDNE+?NBME,

2

???ZNHF=ZPHN+ZPHF=90o+-ZBME,

2

J2ZNHF=180°+ZBME；

第28頁共43頁

M

(3)解：如圖1所示，當點尸在點N上方時，過點。作/a〃C￡>,

.?ZKOG=ZZNGOfZLON=ZGNOt

：.ZOGN+ZONG+ZGNO=ZKoG+ZLoN+ZGON=I80°,

???NOGC+NOGN=180。，

JZOGC=ZGON+ZONG,

同理可證NoGC=NGPN+NPNG,

,/OG平分NPGC,ON平分4PNG,

：.ZPNG=2ZONG9∕PGC=2N0GC,

???2ZOGC=ZGPN+2ZONG,

VPGIMN,

：.NGPN=90。，

ΛZOGC=45o÷ZOΛfG,

???/GON=/OGcNONG=45。；

如圖2所示，當點P在點N下方時，同上可證NNPG+NPNG+/PGN=180。,

o

ZO+ZONG+ZOGN=ISO9NNPG=90。，

JNpNG+NPGN=900,

'.'NO平分NPNG,GO平分4PDN,

：.ZPNG=2ZONGfZPGN=2ZOGNf

：.NONG+NOGN=45。，

；?NO=135。,

綜上所述，N。的度數(shù)為45?；?35。.

第29頁共43頁

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，熟知平行線的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

11.(?)ZPQD+ZOPQ+APOB=360°,證明見解析

(2)存在，M點坐標為(—8,0),(2,0),(0,引，(θ,-g)

【分析】(1)根據(jù)平方與絕對值的非負性即可求出“、匕的值，過點尸作尸EAB,由平移

的性質(zhì)可得A8CD,利用平行線的性質(zhì)即可求解；

(2)先求出AACD的面積，再根據(jù)。在X軸上與y軸上分別求解.

【解析】(1)解：NPQD+NOPQ+NPOB=360°,證明如下：

證明：?.1α+3∣+(α-?+7)2=0

."+3=0,a-2b+7=0,解得α=-3,b=2,

.?.A(-3,0),8(2,0),

???將點A、B分別向左平移2個單位，再向上平移2個單位，得到對應(yīng)點C、D,

ΛC(-5,2),D(0,2),

過點P作尸EAB,由平移的性質(zhì)可得ABCD,

第30頁共43頁

???/PQD+ZEPQ=180o,ZOPE+ZPOB=180o,

.?.NPQD+NEPQ+NoPE÷ZPOB=360o,

即ZPQD+ZOPQ+4POB=360o.

(2)解：存在，M點坐標為(-8,0),(2,0),(0,高.理由如下：

△AC3的面積為gχ5χ2=5,

①M在X軸上，根據(jù)VMW的高與aACD相等的高，

：.AM=CD=5,

；?點M坐標為(-8,0),(2,0),

②M在y軸上，VMAr)的高為AO=3,VMAQ的面積為5,

即SVWAL；AoXMQ=5

MD=-

3

又Y0(0,2),

點M坐標為(θ,g),(θ