北京市密云區(qū)2023屆高三考前保溫練習(xí)（三模）數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

北京市密云區(qū)2023屆高三考前保溫練習(xí)卷

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

L已知集合A={TM,8={x∣0V叫，則D(

AB=).

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{2}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為)

1-1

A.(-U)B.(1,-1)C.(-l,i)D.(i,-l)

0)

3.已知α=k>g34,h=Iog072,c=5^?∣,則小C的大小關(guān)系是(

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

4.已知函數(shù)/(x)=CoS2；sin25,則()

/兀JT\

A./(χ)在［-5，-^J上單調(diào)遞減B./(χ)在上單調(diào)遞增

/(χ)在/π7π

上單調(diào)遞減/(X)在上單調(diào)遞增

C.D.4,T2

5.平行四邊形ABco中，點(diǎn)”在邊AB上,AM=3MB,記CA-a,CM=b,則AD=()

2,4

B.一D------Cl

3333

7,414,

C.—b——aD.—a——b

3333

6.設(shè)數(shù)列｛α,,｝前"項(xiàng)和為S“，貝廠對任意"∈N*,%>0''是"數(shù)列｛S,,｝為遞增數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不是充分也不是必要

條件

8.某科技研發(fā)公司2021年全年投入的研發(fā)資金為300萬元，在此基礎(chǔ)上，計(jì)劃每年投入的研發(fā)資金比上

一年增加10%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：

lg2=0.301,Ig3=0.477,Ig5=0.699,lgll=1.041）

A.2027年B.2028年C.2029年D.2030年

9.血藥濃度Concentration）是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用

時(shí)，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)

血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：

不一最低中毒濃度（MTC）

安

峰

濃度

全

范

d圍

,-最低有效濃度（MEC）

101112/（小時(shí)）

j<---------持續(xù)期------殘留期

根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說法中：

①首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用；

②每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時(shí)，一定會產(chǎn)生藥物中毒;

③每向隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用；

④首次服用該藥物1單位3小時(shí)后，再次服用該藥物1單位，不會發(fā)生藥物中毒.

其中正確說法的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

10.已知Λ/是圓C:/+,2=i上一個(gè)動點(diǎn)，且直線∕∣：的一〃丁一3/〃+〃=0與直線

4然y-3,%一〃=0(∈R,//+/聲())相交于點(diǎn)P,貝！JlPM的取值范圍是()

A+B.[√2-l,3√2+l]C.[√2-l,2√2+l]D.[√2-l,3^^+l]

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)?(?)=與苧的定義域?yàn)?

12.已知(2x+l)”的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為81,則二項(xiàng)式系數(shù)之和為.

2

13.已知雙曲v線^--x2=l離心率為正，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；漸近線方程為

m

14.設(shè)函數(shù)/(x)={'~

[-X+2x,x<a

①當(dāng)a=2時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

②若小GR且XW0,使得/(l+x)=∕(l-x)成立，則實(shí)數(shù)4一個(gè)取值范圍.

15.如圖，在正方體43。。一44匕2,P為線段AG上的動點(diǎn)(且不與4，G重合)，則以下幾種說

法：

①BO,C尸

②三棱錐C-BPD的體積為定值

③過P,C,Q三點(diǎn)作截面，截面圖形為三角形或梯形

④。尸與平面A4G。所成角的正弦值最大為g

上述說法正確的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCZ)為矩形，平面平面AJBer),ADlMN,

AB=2,AD=AP=4，M,N分別是BC,PZ)的中點(diǎn).

(2)求二面角N-的余弦值.

17.已知“BC的內(nèi)角48,C的對邊分別為α,O,c,且瓜皿(3+3卜皿((一=0.

(1)求/8的值；

(2)給出以下三個(gè)條件：

222

條件①：a-b+c-3c=0;條件②。=3；條件③SZMBC=^后?這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請選

出正確的條件并回答下面的問題：

(i)求SinA值；

(ii)求/ABC的角平分線8￡)的長.

18.為了解某地區(qū)居民每戶月均用電情況，采用隨機(jī)抽樣的方式，從該地區(qū)隨機(jī)調(diào)查了100戶居民，獲得

了他們每戶月均用電量的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每戶月均用電量都在5()~35()kW?h之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為

左閉右開區(qū)間)，得到如下頻率分布直方圖：

(1)記頻率分布直方圖中從左到右的分組依次為第1組，第2組，…，第6組.從第5組，第6組中任取2

戶居民，求他們月均用電量都不低于30OkW?h的概率；

(2)從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取3戶，設(shè)月均用電量在5()~15()kW?h之間的用戶數(shù)為X,以頻率估計(jì)概

率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);

(3)該地區(qū)為提倡節(jié)約用電，擬以每戶月均用電量為依據(jù)，給該地區(qū)月均用電量不少于WkW?h的居民

用戶每戶發(fā)出一份節(jié)約用電倡議書，且發(fā)放倡議書的數(shù)量為該地區(qū)居民用戶數(shù)的2%.請根據(jù)此次調(diào)查的數(shù)

據(jù)，估計(jì)3應(yīng)定為多少合適？(只需寫出結(jié)論).

19.已知函數(shù)/(x)=Xln(X+1).

(1)求曲線y=∕(x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線方程；

(2)證明：f+-xi≥?2.

20.橢圓C：t+g?=l(α>b>0)的離心率為弓,且過點(diǎn)A(2,l).

(1)求橢圓C的方程和長軸長；

(2)點(diǎn)M,N在C上，且AM證明：直線MN過定點(diǎn).

21.設(shè)P為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列{可}滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱{凡}為況°數(shù)列：

①4+p≥0,Ra2+P=Ot

②4,,-∣<4,,("=1,2,???);

③4"+,,^{am+an+ρ,am+an+p+?],(私〃=1,2,…).

(1)如果數(shù)列{4}的前4項(xiàng)為2,-2,-2,-1,那么{%}是否可能為見2數(shù)列？說明理由；

(2)若數(shù)列{%}是次。數(shù)列，求生；

(3)設(shè)數(shù)列{叫的前〃項(xiàng)和為S”.是否存在也數(shù)列{%},使得S,,≥S∣o恒成立？如果存在，求出所有的

P；如果不存在，說明理由.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知集合A={T01},B={x∣0≤x<3,xeN},則4D5=().

A.{0,l}B.{-l,0,l}C.{-l,0,1,2}D.{2}

【答案】C

【解析】

【分析】先求出B集合的元素，再根據(jù)并集的定義求解.

【詳解】由題意,B={0,l,2},.?.AB={-1,0,1,2}；

故選：C.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)二L對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(-1,1)B.(1,-1)C.(-ι,i)D.(i,-l)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算可得hL=T+i,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出結(jié)果.

1-1

2i2i(l+i)2i+2i2

【詳解J由匚T(I)(I+i)=T+i,則復(fù)數(shù)「對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是

2l-i

故選：A

0

3.已知α=log34,b=Iog072,c=5^∣,則小b,C的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

【解析】

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性跟0,1比較即可判斷.

l0

【詳解】因?yàn)棣?log34>k>g33=l,?=Iog072<Iog07I=O,0<c=5^°<5=B

所以4>C>Z?.

故選：B

4.已知函數(shù)/(x)=CoS23-sin彳，則(

TΓJΓ?/、I71Tl\

[-5,一ZJ上單調(diào)遞減B./(x)在卜1,歷上單調(diào)遞增

(TT,7JΓA

c./(χ)在(0,￡|上單調(diào)遞減D./(X)在匕,五上單調(diào)遞增

【答案】C

【解析】

【分析】利用余弦函數(shù)的二倍角公式化簡得出/(x)=CoSX,利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合

適的選項(xiàng).

【詳解】I3√?∕(x)=cos2^-sin2-=cosx.

ππ

對于A選項(xiàng),當(dāng)—<x<----時(shí),,

/(X)在層,用上單調(diào)遞增，A錯(cuò);

ππ

對于B選項(xiàng)，當(dāng)一一<x<一時(shí),

412

則/(x)在卜jθj上單調(diào)遞增，在(0,π

上單調(diào)遞減,

12

故B錯(cuò);

對于C選項(xiàng)，當(dāng)0<x<］JT時(shí),

則“χ）在（Om

上單調(diào)遞減，C對;

π7ττ

對于D選項(xiàng)，當(dāng)一<χ<-時(shí),

412

π7π

4,T7上單調(diào)遞減，故D錯(cuò).

故選：C.

5.平行四邊形ABCZ)中，點(diǎn)〃在邊AB上,AM^3MB,i己CA=",CM=b,則AD=（）

B-Ua

3333

7,414,-

C.—b—ciD.—a——b

3333

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定的幾何圖形，結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解作答.

【詳解】在YABeD中，AM=3MB>CA=a,CM=b,

11-14

所以AD=BC=3Λ∕+MC=CM=-(CA-CM)-CM=-^a--h.

故選：D

6.設(shè)數(shù)列｛α,,｝的前〃項(xiàng)和為S,,,則“對任意〃eN",%>0"是''數(shù)列｛S,,｝為遞增數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件C.充分必要條件D.既不是充分也不是必要

條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分別判斷充分性和必要性是否成立即可.

【詳解】數(shù)列｛4｝中,對任意〃∈N*，an>0,

則S“=S“T+4>S“T，〃N2，

所以數(shù)列｛S“｝為遞增數(shù)列，充分性成立；

當(dāng)數(shù)列｛S,,｝為遞增數(shù)列時(shí)，5?>Sn,i,n≥2,

即S,-+”,所以q,>0,n≥2,

如數(shù)列-1,2,2,2,,不滿足題意，必要性不成立；

所以“對任意〃€N*，4>0”是“數(shù)列｛S,,｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

故選：A

【解析】

【分析】首先判斷出/(x)為偶函數(shù)，然后結(jié)合0<x<9時(shí)，/(x)為負(fù)數(shù)，確定正確選項(xiàng).

6

2sin∣-x∣-12sin∣x∣-l

【詳解】因?yàn)?(—X)==∕(χ),所以/(χ)是偶函數(shù)，則/(χ)的圖象關(guān)于y

(T)2

軸對稱，排除C,D；當(dāng)0<x<e時(shí)，/(x)<0,排除B.

6

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象，考查推理論證能力.

8.某科技研發(fā)公司2021年全年投入的研發(fā)資金為300萬元，在此基礎(chǔ)上，計(jì)劃每年投入的研發(fā)資金比上

一年增加10%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：

lg2=0.301,Ig3=0.477,lg5=0.699,lgll=1.041)

A.2027年B.2028年C.2029年D.2030年

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，可推得LrV〉2,再結(jié)合對數(shù)運(yùn)算的公式求解即可.

【詳解】設(shè)從2021年后，第X年該公司全年投入的研發(fā)資金為y萬元，

則y=300x(1+10%y,

由題意得，300x(1+10%)'>600,即1.1*>2,

lg2_lg2

故x>log∣∣2

?ΓT^IglI-IglO

lg20.301__

—________—_____________H15

-Igll-I-1.041-1.'

則x≥8,

故公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是2029年.

故選：C

9.血藥濃度(PlaSmaConcentration)是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用

時(shí)，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)

血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：

不一最低中毒濃度(MTC)

安

峰濃度

全

范

d圍

?最低有效濃度(MEC)

0{?12345：6789101112/小時(shí))

!<------持續(xù)期------>!殘留期

根據(jù)圖中提供信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說法中：

①首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用；

②每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時(shí)，一定會產(chǎn)生藥物中毒；

③每向隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用；

④首次服用該藥物1單位3小時(shí)后，再次服用該藥物1單位，不會發(fā)生藥物中毒

其中正確說法的個(gè)數(shù)是()

A.IB.2C.3D.4

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)圖象，結(jié)合題意，逐個(gè)判斷即可.

【詳解】①根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物I單位約IO分鐘后，血液濃度達(dá)到最低有效濃度，藥物發(fā)揮治

療作用，故正確；

②根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位約1小時(shí)后血液濃度達(dá)到最大值，由圖象可知兩次服藥間隔小于

2小時(shí)，一定會產(chǎn)生藥物中毒，故正確；

③根據(jù)圖象可知，每間隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位，可使血藥濃度大于最低有效濃度，藥物持續(xù)發(fā)揮治

療作用，故正確；

④根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位3小時(shí)后，再次服用該藥物1單位，會發(fā)生藥物中毒，故錯(cuò)誤.

故選：C.

10.已知M是圓c：/+y2=1上一個(gè)動點(diǎn)，且直線4：/胡一〃卜-3/〃+"=0與直線

4:∕x+∕”y-3加一〃=0(，〃,〃∈R,m?+/Ho)相交于點(diǎn)P,貝！JIPA4的取值范圍是()

A.[^^-l,2√3+l]B.[√2-l,3√2+l]C.[√2-l,2λ^+l]D.f√2-l,3√3+l]

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件確定出點(diǎn)P的軌跡，再借助圓與圓的位置關(guān)系及圓的幾何性質(zhì)計(jì)算作答.

【詳解】依題意，直線4：加(》—3)-n(y-l)=0恒過定點(diǎn)A(3,l),直線4：〃(XT)+皿丁-3)=0恒過定

點(diǎn)5(1,3),

顯然直線乙，，2,因此，直線4與，2交點(diǎn)P的軌跡是以線段AB為直徑的圓，

其方程為：(x-2)2+(y-2)2=2,圓心N(2,2),半徑花=夜，而圓C的圓心C(0,0),半徑(=1,

如圖：

INCl=2j∑>z1+^,兩圓外離，由圓的幾何性質(zhì)得：IPMImin=INC|—4一弓=&—1,

IpMImIX=INC∣+∕1+G=3√5+1,

所以IPMl的取值范圍是：[祀―1,3J5+1].

故選：B

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一

般不采用代數(shù)法.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/(X)=的定義域?yàn)?

【答案】(O,l)□(l,e]

【解析】

【分析】利用對數(shù)、分式、根式的性質(zhì)列不等式，求X的范圍，即得定義域.

%>0

【詳解】由函數(shù)解析式，知：l-l∏x≥0,解得0<x≤e且XHl.

2x-2≠0

故答案為：(O,l)u(l,e].

12.已知(2x+l)”的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為81,則二項(xiàng)式系數(shù)之和為.

【答案】16

【解析】

【分析】令X=1,結(jié)合二項(xiàng)式(2x+l)”各項(xiàng)系數(shù)和可求得〃的值，進(jìn)而可求得該二項(xiàng)式系數(shù)之和.

【詳解】因?yàn)?2x+l)”的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為81,令x=l,可得3"=81,解得〃=4，

因此，二項(xiàng)式系數(shù)之和為24=16?

故答案為：16.

2_

13.已知雙曲線上--V=I的離心率為&則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為i漸近線方程為

m

(JcA1

【答案】①.[o,±w②.y=±∕尤

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件求得加，由此求得雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程.

2_

【詳解】因?yàn)殡p曲線上--/=1的離心率為逐，

m

所以'1f=,解得W=J,

4m4

Z-√=l

所以雙曲線方程為L,

4

則02=9,

4

所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,±4，漸近線方程為y=±Lχ.

22

故答案為：0,±以T.

2J

x,x≥a

14.設(shè)函數(shù)"x)=<

-X1+2x.x<a

①當(dāng)α=2時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

②若HxeR且XW0,使得/(l+x)=/(Ir)成立，則實(shí)數(shù)”的一個(gè)取值范圍_______.

【答案】①.(-∞,l],[2,+∞)(1,-Hx)

【解析】

【分析】當(dāng)α=2時(shí)，作出/(x)的圖象，結(jié)合圖象，即可求得函數(shù)的遞增區(qū)間，由/(l+x)=∕(l-x),

得到/(x)的圖象關(guān)于X=I對稱，結(jié)合題意，即可求得。的取值范圍.

XX2

【詳解】①當(dāng)α=2時(shí)，可得〃X)=:一，函數(shù)/(x)的圖象，如圖所示，

—X+2x,XV2

可得函數(shù)/(X)單調(diào)遞增區(qū)間為(ro,1],[2,+8).

②由/(l+x)=∕(l-x),可函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于X=I對稱,

若HXeR.且XwO,使得/(l+x)=/(1-X)成立，

如圖所示，則滿足α>l,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(1,+8)?

故答案為：(-∞,l],[2,+∞)；(l,+∞).

15.如圖，在正方體ABC。-AAGOI,P為線段AG上的動點(diǎn)(且不與4，G重合)，則以下幾種說

法:

①_LeP

②三棱錐C-BPD的體積為定值

③過P,C,2三點(diǎn)作截面，截面圖形為三角形或梯形

④OP與平面A與GA所成角的正弦值最大為:

上述說法正確的序號是.

【答案】①②③

【解析】

【分析】①根據(jù)ABCD-AMGA為正方體得到CaJ_30,BDlAC,然后根據(jù)線面垂直的判定定理

和性質(zhì)即可得到BDVCP-,②根據(jù)點(diǎn)P到平面ABCD的距離為定值，三角形BCQ的面積為定值即可得

到三棱錐C-BPD的體積為定值；③根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷截面的形狀即可；④根據(jù)線面角的定義得到

/DPDx為Z)P與平面48∣G2所成角，然后求線面角即可.

連接AC,因?yàn)锳BCZ)—ABCR為正方體，所以CG_L平面A88，四邊形A88為正方形,

因?yàn)锽DU平面ABC。，所以CGJ?BD,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以班＞1.AC,

因?yàn)镃GlAC=C,Cc1,ACU平面ACC4,所以601平面ACCI4，

因?yàn)镃PU平面ACG4,所以班＞_LCP,故①正確；

因?yàn)辄c(diǎn)尸到平面ABe。的距離為定值，三角形BCo的面積為定值，Vp-BCD=yc-BPD＞所以三棱錐

。一BPO的體積為定值，故②正確；

根據(jù)正方體性質(zhì)可知，當(dāng)。尸延長線與棱BIG相交時(shí)，截面為三角形，當(dāng)AP延長線與BJA相交時(shí)，截

面為梯形，故③正確；

連接。產(chǎn)，由題意得NDPa為Z)P與平面4月。ι。所成角，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以?dāng)。P最小時(shí)，

tan/。PA最大，SinNDPDl最大,

歷sinNz)PZ)I=-]=———

設(shè)正方體邊長為。，則O/.=%，此時(shí)「缶丫3，故④錯(cuò).

2Γ+M

故答案為：①②③.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在四棱錐產(chǎn)一ABCD中，底面ABC。為矩形，平面尸AD，平面ABC。，ADlMN,

AB=2,Ar)=AP=4，M,N分別是BC,PD的中點(diǎn).

(1)求證：MN〃平面Q46；

(2)求二面角N-AM-8的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)一走

3

【解析】

【分析】(1)通過求出MN和面P45的一個(gè)法向量，即可證明結(jié)論；

(2)分別求出面AMN和面AMB的法向量，即可求出二面角N-AM-8的余弦值.

【小問1詳解】

由題意，

在矩形ABe。中，AB=2,AD=AP=4，ABYAD,

M,N分別是BC,BD的中點(diǎn)，

BM=CM=—BC=—AD=2，AB-CD-2，

22

在四棱錐P—ABC。中，面B4D，平面ABC。，

面Λ4Dc面ASCD=AD，ABYAD,，ABI面Λ4D,

B4u面PAD,：.PAYAB,

取AP中點(diǎn)E,連接破，由幾何知識得5E〃MN,

VADLMN,：.AD±BE,AD-LAB

?；Aβu面Λ4B,ABBE=B

AD,面∕?β,

PArAD

以AB、AD，ΛP為x、V、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示,

.?.A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),P(0,0,4),M(2,2,0),^(0,2,2),

.?.MN=(-2,0,2),面PAB的一個(gè)法向量為AD=(0,4,0),

,?'MN?AO=-2χ0+0x4+2x0=0,

二MN〃平面

【小問2詳解】

由題意，(1)及圖得，

在面AMN中，A(0,0,0)M2,2,0),N(0,2,2),

AM=(2,2,0),7W=(0,2,2),

設(shè)其法向量為加=(XI,y∣,zj,

m-AM=02ΛI(xiàn)+2JI須=f

則，解得:

m-AN=02JI+2zl=04=-y

當(dāng)M=-I時(shí)，m=(l,-l,l),

在面AΛ仍中，其一個(gè)法向量為AP=（0。4）,

設(shè)二面角N-AW-B為。

l×0+(-l)×0+l×4√3

???cos。=—

θHikpIi√12÷(-1)2+12×3，

由圖象可知二面角N-AM為鈍角，

二面角N-4W-8的余弦值為-立.

3

17.已知一ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,4c,且任由仁+6]+5由]三一8)=0.

(1)求46的值；

(2)給出以下三個(gè)條件：

222

條件①：a-h+c-3c=0;條件②。=3；條件③S^BC=?這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請選

出正確的條件并回答下面的問題：

(i)求SinA的值；

(H)求/ABC的角平分線8。的長.

2兀

【答案】U)y;

AR15

(2)條件*2*3正確，⑴土歸；(ii)-.

148

【解析】

TT

【分析】(1)根據(jù)兩角和與差的正弦公式、輔助角公式化簡計(jì)算可得2sin(B+])=0,即可求得8：

(2)利用余弦定理即可推出條件①不正確；根據(jù)三角形面積公式和余弦定理求出〃，結(jié)合正弦定理即可求出

BDCD

sinA>SinC,再次利用正弦定理可得Smf二鳥。，解方程組即可.

BD_AD

,sinAsinZABD

【小問1詳解】

√3Sinq+B)+Sin(W-B)=0,

WCoS8+上SinB+WcosB—'sin8=0,

2222

sinB+Λ∕3cosB=0，

TTTT

2sin(Bd——)=0,得BT——=kπ,Z∈Z,

33

由OV3＜乃，得JB=—；

3

【小問2詳解】

若條件①正確，由/一廿+C?-3c=0,得/+。2一從=3c,

22121Q?

由余弦定理，得COSB="+c---—,即-7=J-=丁，

2ac22ac2。

解得Q=-3不符合題意，故條件①不正確，則條件②③正確；

⑴由S.C=』Qcsin8SMe='50,。=3，

ΛD(-2ΛD(--4

得住g=Jx3χ立c，解得c=5,

422

由余弦定理，得k=α2+∕-2accosB=9+25-30χ(-!)=49,

2

因?yàn)閎>o,所以匕=7,由正弦定理，

得3=號，即SinA=3=述；

sinBsinAb14

(ii)由正弦定理，得匚竺,即SinC=E曲巨=上叵，

sinBSinCb14

/TTTF

因?yàn)?。平方/ABC,ZABC=—,所以NΛBO=NC8。=二,

33

得出~AD

在AABO中，由正弦定理,

SlnAsinZABD

CD

在ACBO中，由正弦定理，得上？

sinCStnZCBD

Sin「AD

又S=7—A￡),上述兩式相除，得——=-------

SinA7-AD

ADsinA35315

解得AO=~,所以BD=_________=__X一—

OrsinZABD878

B

18.為了解某地區(qū)居民每戶月均用電情況，采用隨機(jī)抽樣的方式，從該地區(qū)隨機(jī)調(diào)查了IOO戶居民，獲得

了他們每戶月均用電量的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每戶月均用電量都在50~350kW?h之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為

左閉右開區(qū)間），得到如下頻率分布直方圖：

（1）記頻率分布直方圖中從左到右的分組依次為第1組，第2組，…，第6組.從第5組，第6組中任取2

戶居民，求他們月均用電量都不低于30OkW?h的概率；

（2）從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取3戶，設(shè)月均用電量在50~150kW?h之間的用戶數(shù)為X,以頻率估計(jì)概

率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）;

（3）該地區(qū)為提倡節(jié)約用電，擬以每戶月均用電量為依據(jù)，給該地區(qū)月均用電量不少于卬kW?h的居民

用戶每戶發(fā)出一份節(jié)約用電倡議書，且發(fā)放倡議書的數(shù)量為該地區(qū)居民用戶數(shù)的2%.請根據(jù)此次調(diào)查的數(shù)

據(jù)，估計(jì)W應(yīng)定為多少合適？（只需寫出結(jié)論）.

【答案】⑴工

20

（2）分布列答案見解析，E（X）=O.9

（3）325

【解析】

【分析】（1）分析可知100戶居民中，第5組的居民數(shù)為12,第6組的居民數(shù)為4,利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合

古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）分析可知X~3（3,0.3）,利用二項(xiàng)分布可得出隨機(jī)變量X的分布列，利用二項(xiàng)分布的期望公式可求

得E（X）的值；

（3）計(jì)算出月均用電量的樣本數(shù)據(jù)的第98百分位數(shù)，即可得解.

【小問1詳解】

由頻率分布直方圖可知，IOO戶居民中，第5組的居民戶數(shù)為IooX50x0.0024=12,

第6組的居民戶數(shù)為l(X)×50×().(XX)8=4,

「2A1

從第5組、第6組中任取2戶居民，他們月均用電量都不低于300kW?h的概率為P=W=訴=布.

V-X16?ΛJ?.)

【小問2詳解】

該地區(qū)月均用電量在50~150kW?h之間的用戶所占的頻率為(0.0024+0.(X)36)x50=0.3,

由題意可知，X~8(3,0.3),

所以，P(X=O)=O7=0.343,P(X=I)=C?03θΛ=0.44,

P(X=2)=C?2>0.3=0.7C,P(X=3)=Oj=0.027,

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：

X0123

P0.3430.4410.1890.027

E(X)=3×0.3=0.9.

【小問3詳解】

前5個(gè)矩形的面積之和為I-0.0008×50=0.96<0.98,

設(shè)月均用電量的樣本數(shù)據(jù)的第98百分位數(shù)為6，則?！?300,350),

則0.96+(Z?—300)×0.0008=0.98,解得匕=325,

故W應(yīng)定為325較為合適.

19.已知函數(shù)/(x)=xln(x+l).

(1)求曲線y=∕(χ)在點(diǎn)(1,/。))處的切線方程；

(2)證明：f(x)+-^x3≥x2.

【答案】(I)y=(g+ln2)x—g

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)計(jì)算出/(1)、/'(1)的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；

(2)g(x)=/(X)+gd-χ2,其中χ>τ,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(χ)的單調(diào)性，證明出g(x)20,即可

證得結(jié)論成立.

【小問1詳解】

X

解：因?yàn)?(X)=Xln(X+1),則/(X)=In(X+1)+

x+1

所以，/(l)=ln2,∕,(l)=ln2+∣,

所以，曲線y=∕(x)在點(diǎn)(IJ(I))處的切線方程為yTn2=g+ln21x-l),

即y=1+回T?

【小問2詳解】

解：令g(x)=∕(x)+gd-χ2=g%3一χ2+χ]n(χ+l),其中

X

—2x+ln(x+l)+

x+T

令〃(X)=?∣∕-2x÷ln(x+l)+-

其中%?一1,

X2(3X+4)

貝IJh'(x?3x-2H--------1----------

I,x+1(x+l)2(χ+ι)2

當(dāng)x>T時(shí)，∕z'(x)≥O且“(X)不恒為零，所以，函數(shù)g'(x)在(一LKQ)上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)—l<x<()B寸，g'(x)<g'(0)=0,此時(shí)函數(shù)g(χ)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>g'(O)=O,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

所以，g(x)≥g(0)=0,即/(x)+Jχ3Nχ2.

20.橢圓C：]+*?=l(α>8>0)的離心率為乎，且過點(diǎn)A(2,l).

(1)求橢圓C的方程和長軸長；

(2)點(diǎn)”，N在C上，且AΛ∕?L4V.證明：直線MN過定點(diǎn).

?>2

【答案】⑴橢圓。的方程為：y+^-=l,長軸長為2面

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(I)利用離心率、橢圓上的點(diǎn)和橢圓α,b,c關(guān)系可構(gòu)造方程組求得。力，從而得到橢圓方程及長

軸長；

(2)由A〃J_4V可得到,方一(乂+必)+1=-3W+2(內(nèi)+工2)一4；假設(shè)直線MN方程，與橢圓方程聯(lián)

立后得到韋達(dá)定理的形式，代入垂直關(guān)系得到等式中，可整理得到初次關(guān)系，代入直線MN方程后可確定

所過定點(diǎn).

【小問1詳解】

a2=b2+C2

cy/2a2-6

由題意得：\^=-=—?解得：〈2，

a2b2=T>

41,

—7+—7=1

[ab^

橢圓C的方程為：[+：=1，長軸長為2#；

【小問2詳解】

設(shè)點(diǎn)M(Xl,χ),N(X2,%)，

AM_LAN>AM-AN=(X-2)(馬—2)+(χ-1)(%—1)=。，

=χ

整理可得：y∣y2-(??+?2)+?~Λ+2(x1+Λ?)-40,

當(dāng)直線MN斜率&存在時(shí)，設(shè)MN:y=kx+m,

y^kx+m得：222

聯(lián)立《(l+2^)x+4^nr+2m-6=0,

%2+2√=61,

22222

由△=16?-4(1+2k)(2∕n-6)>0W:6?-m+3>O,

4km2∕√-6

則玉+x=-

2百至，x'x^T^ie

2λZ∕nr—6k2

%+%=%(%+x)+2m=-~~,yyk2(xx)+km(x+x)+m2

21十乙Ki2l2i2l+2k2

代入①式化簡可得：4%2+8Λm+(m-l)(3m+l)=0,

2Z+1

即(2k+m-l)(2%+3m+l)=0,「.相二1一2左或根=-------,

則直線方程為y=依+1-2左=(x—2)k+1或y=?x=Ix--U--,

(21A

直線過定點(diǎn)(2,1)或￡,-W,又(2,1)和A點(diǎn)重合，故舍去，

I35J

當(dāng)直線MN斜率上不存在時(shí)，則玉=馬，%=一M，

此時(shí)=