磁場的性質(zhì) 帶電粒子在磁場及復(fù)合場中的運動【講解】【解析版】-2023年高考物理二輪復(fù)習（新教材新高考）

第三部分電場與磁場

專題09磁場的性質(zhì)帶電粒子在磁場及復(fù)合場中的運動【講】

目錄

講高考真題——感悟核心素養(yǎng)....................................................................1

【考情研判】...................................................................................1

【考題分析】...................................................................................1

【題后總結(jié)］..................................................................................12

二.講核心問題――提煉主干必備知識.............................................................13

核心問題一磁感應(yīng)強度的疊加問題.............................................................13

核心問題二磁場對通電導(dǎo)體的作用力問題.......................................................14

核心問題三帶電粒子在勻強磁場中的運動問題...................................................16

核心問題四帶電粒子在組合場中的運動問題.....................................................22

核心問題五帶電粒子在疊加場中的運動問題.....................................................27

三.講重點模型——模型構(gòu)建――動態(tài)圓模型.......................................................30

四.講學科態(tài)度——磁與現(xiàn)代科技的應(yīng)用...........................................................33

講高考真題--感悟核心素養(yǎng)

【考情研判】

1.帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動問題是高考考查的重點和熱點，可能以選擇題單獨命題，也可能結(jié)合

其它知識以計算題的形式考查.

2.縱觀近幾年高考，涉及磁場知識點的題目每年都有，對與洛倫茲力有關(guān)的帶電粒子在有界勻強磁場中的運動

的考查最多，一般為勻強磁場中的臨界、極值問題，其次是與安培力有關(guān)的通電導(dǎo)體在磁場中的加速或平衡問

題.

3.新高考命題仍會將帶電粒子在勻強磁場中的運動作為重點，可能與電場相結(jié)合，也可能將對安培力的考查與

電磁感應(yīng)相結(jié)合.

【考題分析】

【例1】（2022?全國高考真題）兩足夠長直導(dǎo)線均折成直角，按圖示方式放置在同一平面內(nèi)，EO與。'Q在一條

直線上，PO，與。F在一條直線上，兩導(dǎo)線相互絕緣，通有相等的電流/,電流方向如圖所示。若一根無限長直

導(dǎo)線通過電流/時，所產(chǎn)生的磁場在距離導(dǎo)線d處的磁感應(yīng)強度大小為B,則圖中與導(dǎo)線距離均為d的M、N

兩點處的磁感應(yīng)強度大小分別為（）

M-

11;

A.B、OB.0、26C.2B、2BD.B、B

【試題情境】本題以通電直導(dǎo)線周圍磁場的分布為素材創(chuàng)設(shè)學習探索問題情境。

【考核要求】本題考核要求屬于基礎(chǔ)性。

【必備知識】本題考查的知識點為磁場的疊加。

【關(guān)鍵能力】（1）理解能力：要求能根據(jù)題設(shè)情境結(jié)合安培定則畫出直導(dǎo)線周圍磁場的分布圖。

（2）推理論證能力：根據(jù)直導(dǎo)線周圍磁場的分布圖求解M、N兩點處的磁感應(yīng)強度。

（3）模型構(gòu)建能力：根據(jù)問題情境，建立磁感線的理想化模型。

【學科素養(yǎng)】（1）考查物理觀念：①物質(zhì)觀，磁場；②相互作用觀，安培力。

（2）科學思維：建立磁感線的理想化模型之后，根據(jù)直導(dǎo)線周圍磁場的分布的特點分析求解磁場的疊加。

【答案】B

【解析】兩直角導(dǎo)線可以等效為如圖所示的兩宜導(dǎo)線，由安培定則可知，兩宜導(dǎo)線分別在M處的磁感應(yīng)強度方

向為垂直紙面向里、垂直紙面向外，故M處的磁感應(yīng)強度為零；兩直導(dǎo)線在Λ/處的磁感應(yīng)強度方向均垂直紙面

向里，故M處的磁感應(yīng)強度為28；綜上分析B正確。

故選Bo

M?N

EO'Q

【例2】（2022?全國高考真題）如圖，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，質(zhì)量為m、電荷量為q（q>0）的

帶電粒子從圓周上的M點沿直徑MON方向射入磁場。若粒子射入磁場時的速度大小為匕，離開磁場時速度方

向偏轉(zhuǎn)90。；若射入磁場時的速度大小為嶺，離開磁場時速度方向偏轉(zhuǎn)60。，不計重力，則+為（）

A.?B.在C.走D.√3

232

【試題情境】本題以帶電粒子在圓形磁場中的運動為素材創(chuàng)設(shè)學習探索問題情境。

【考核要求】本題考核要求屬于基礎(chǔ)性。

【必備知識】本題考查的知識點為洛倫茲力、幾何知識。

【關(guān)鍵能力】(1)理解能力：要求能根據(jù)題設(shè)情境結(jié)合圓形磁場徑向?qū)ΨQ的特點準確分析帶電粒子的受力及運動

情況。

(2)推理論證能力：根據(jù)左右定則、圓形磁場徑向?qū)ΨQ的特點、洛倫茲力提供向心力、幾何知識等綜合推理分析。

(3)模型構(gòu)建能力：根據(jù)問題情境構(gòu)建勻速圓周運動模型模型。

【學科素養(yǎng)】(1)考查物理觀念：①物質(zhì)觀，帶電粒子、磁場；②相互作用觀，洛倫茲力。

(2)科學思維：能利用運動和相互作用的觀念對帶電粒子的運動進行分析，根據(jù)牛頓第二定律和幾何知識推導(dǎo)帶

電粒子在運動過程中的速度表達式。

【答案】B

【解析】根據(jù)題意做出粒子的圓心如圖所示

設(shè)圓形磁場區(qū)域的半徑為R,根據(jù)幾何關(guān)系有第一次的半徑

A=R

第二次的半徑

r1—y∕3R

根據(jù)洛倫茲力提供向心力有

qvB=-

可得

?Lj=立

v2r23

故選B?

【例3】（2022?河北高考真題）如圖，距離為d的兩平行金屬板P、Q之間有一勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為與，

一束速度大小為V的等離子體垂直于磁場噴入板間，相距為L的兩光滑平行金屬導(dǎo)軌固定在與導(dǎo)軌平面垂直的

勻強磁場中，磁感應(yīng)強度大小為芻，導(dǎo)軌平面與水平面夾角為凡兩導(dǎo)軌分別與P、Q相連，質(zhì)量為m、電阻

為R的金屬棒必垂直導(dǎo)軌放置，恰好靜止，重力加速度為g,不計導(dǎo)軌電阻、板間電阻和等離子體中的粒子重

力，下列說法正確的是（）

mgRsinθ

A.導(dǎo)軌處磁場的方向垂直導(dǎo)軌平面向上，V=e

tngRs↑nθ

B.導(dǎo)軌處磁場的方向垂直導(dǎo)軌平面向下，e

ByB2Ld

__mgRtanθ

C.導(dǎo)軌處磁場的方向垂直導(dǎo)軌平面向上，

BxB2Ld

m父RtanΘ

D.導(dǎo)軌處磁場的方向垂直導(dǎo)軌平面向下，

D∣o?La

【試題情境】本題以磁流體發(fā)動機為背景創(chuàng)設(shè)科技探索問題情境。

【考核要求】本題考核要求屬于基礎(chǔ)性、應(yīng)用性。

【必備知識】本題考查的知識點為安培力公式、電磁平衡。

【關(guān)鍵能力】（1）理解能力：要求能根據(jù)題設(shè)情境準確對等離子體進行受力分析和運動分析。

（2）推理論證能力：能正確根據(jù)題意建立帶電粒子在復(fù)合場中的勻速直線運動模型并應(yīng)用其規(guī)律推理分析。

（3）模型構(gòu)建能力：根據(jù)問題情境，電磁平衡模型。

【學科素養(yǎng)】（1）考查物理觀念：①物質(zhì)觀，磁場、等離子體；②相互作用觀，電場力、洛倫茲力、安培力。

（2）科學思維：建立根據(jù)問題情境分析等離子體受力特點，能對等離子體進行準確的運動分析，根據(jù)平衡條件及

安培力公式求解得出結(jié)論。

【答案】B

【解析】等離子體垂直于磁場噴入板間時，根據(jù)左手定則可得金屬板Q帶正電荷，金屬板P帶負電荷，則電流

方向由金屬棒a端流向b端。等離子體穿過金屬板P、Q時產(chǎn)生的電動勢U滿足

q%=qB?V

a

由歐姆定律/=與和安培力公式尸=8〃可得

R

再根據(jù)金屬棒ab垂直導(dǎo)軌放置，恰好靜止，可得

F笠=rngsinθ

則

_mgRs?nθ

BxB2Ld

金屬棒ab受到的安培力方向沿斜面向上，由左手定則可判定導(dǎo)軌處磁場的方向垂直導(dǎo)軌平面向卜。

故選Bo

【例4】(2022?廣東高考真題)圖是一種花瓣形電子加速器簡化示意圖，空間有三個同心圓a、b、C圍成的區(qū)域，

圓α內(nèi)為無場區(qū)，圓。與圓b之間存在輻射狀電場，圓b與圓C之間有三個圓心角均略小于90。的扇環(huán)形勻強

磁場區(qū)回、回和回。各區(qū)感應(yīng)強度恒定，大小不同，方向均垂直紙面向外。電子以初動能耳0從圓b上P點沿徑向

進入電場，電場可以反向，保證電子每次進入電場即被全程加速，已知圓α與圓b之間電勢差為U,圓b半徑

為R,圓C半徑為6R,電子質(zhì)量為m,電荷量為e,忽略相對論效應(yīng)，取tan22.5。=().4。

(1)當々。=0時?，電子加速后均沿各磁場區(qū)邊緣進入磁場，且在電場內(nèi)相鄰運動軌跡的夾角。均為45。，最終

從Q點出射，運動軌跡如圖中帶箭頭實線所示，求回區(qū)的磁感應(yīng)強度大小、電子在回區(qū)磁場中的運動時間及在Q

點出射時的動能；

(2)已知電子只要不與回區(qū)磁場外邊界相碰，就能從出射區(qū)域出射。當耳O=AeU時，要保證電子從出射區(qū)域出

射，求k的最大值。

【試題情境】本題以電子加速器簡化示意圖為背景創(chuàng)設(shè)學習探索問題情境.

【考核要求】本題考核要求屬于綜合性、應(yīng)用性。

【必備知識】本題考查的知識點為動能定理、牛頓運動定律、幾何知識等.

【關(guān)鍵能力】(1)理解能力：要求能根據(jù)題設(shè)情境準確對電子受力分析和運動分析。

(2)推理論證能力：能正確根據(jù)題意做出電子軌跡并依據(jù)動能定理求速度、幾何知識求半徑、牛頓定律求k。

(3)模型構(gòu)建能力：根據(jù)問題情境，建立液滴的點電荷模型、等勢面理想化模型.

【學科素養(yǎng)】(1)考查物理觀念：①物質(zhì)觀，電子、加速器、磁場；②運動觀，勻速圓周運動③相互作用觀，靜

電力、洛倫茲力④能量觀，動能定理。

(2)科學思維：根據(jù)問題情境，磁場、電場的分布特點，能對電子進行準確的受力分析，根據(jù)動能定理、牛頓運

動定律、幾何知識等求解相關(guān)問題。

【答案】(1)5師,亞亞，8“/；(2)??

eR4eU6

【解析】(1)電子在電場中加速有

2eU—?nιv2

2

在磁場團中，由幾何關(guān)系可得

∕?=Rtan22.5=0.4/?

V2

BIeV=m—

r

聯(lián)立解得

_5?∣eUm

'eR

在磁場團中的運動周期為

T2兀r

1=---

V

由幾何關(guān)系可得，電子在磁場網(wǎng)」運動的圓心角為

5

φ--π

4

在磁場回中的運動時間為

?r

聯(lián)立解得

從Q點出來的動能為

Ek=SeU

（2）在磁場團中的做勻速圓周運動的最大半徑為小，此時圓周的軌跡與回邊界相切，山幾何關(guān)系可得

22

=R+rm

2eU=-mv^-keU

2

聯(lián)立解得

【例5】（2022?湖南）帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一、帶電粒子流（每個粒子

的質(zhì)量為用、電荷量為+4）以初速度V垂直進入磁場，不計重力及帶電粒子之間的相互作用。對處在XOy平面

內(nèi)的粒子，求解以下問題。

（1）如圖（a）,寬度為24的帶電粒子流沿X軸正方向射入圓心為A（（）,4）、半徑為4的圓形勻強磁場中，若帶

電粒子流經(jīng)過磁場后都匯聚到坐標原點0,求該磁場磁感應(yīng)強度4的大小；

（2）如圖（a）,虛線框為邊長等于"的正方形，其幾何中心位于C（0,-乃）。在虛線框內(nèi)設(shè)計一個區(qū)域面積最

小的勻強磁場，使匯聚到。點的帶電粒子流經(jīng)過該區(qū)域后寬度變?yōu)?4,并沿X軸正方向射出。求該磁場磁感應(yīng)

強度感的大小和方向，以及該磁場區(qū)域的面積（無需寫出面積最小的證明過程）；

（3）如圖（b）,虛線框回和回均為邊長等于4的正方形，虛線框團和回均為邊長等于，:1的正方形。在回、回、回和13

中分別設(shè)計一個區(qū)域面積最小的勻強磁場，使寬度為4的帶電粒子流沿X軸正方向射入團和回后匯聚到坐標原點

0,再經(jīng)過回和團后寬度變?yōu)?，并沿X軸正方向射出，從而實現(xiàn)帶電粒子流的同軸控束。求回和回中磁場磁感應(yīng)

強度的大小，以及回和回中勻強磁場區(qū)域的面積（無需寫出面積最小的證明過程）。

2r2—H

圖(a)

【試題情境】本題以帶電粒子流的磁聚焦和磁控束技術(shù)為背景創(chuàng)設(shè)探索問題情境。

【考核要求】本題考核要求屬于應(yīng)用性、創(chuàng)造性。

【必備知識】本題考查的知識點洛倫茲力、牛頓運動定律、幾何知識。

【關(guān)鍵能力】（1）理解能力：要求能根據(jù)題設(shè)情境抽象、簡化出帶電粒子流的運動情況并能做出軌跡圖。

（2）推理論證能力：能正確洛倫茲力、牛頓運動定律、幾何知識分析問題解決問題。

（3）模型構(gòu)建能力：根據(jù)問題情境，建立帶電粒子流勻速圓周運動模型。

【學科素養(yǎng)】①物質(zhì)觀，帶電粒子流；②運動觀，勻速圓周運動③相互作用觀，洛倫茲力

（2）科學思維：根據(jù)問題情境，磁場的分布特點，能對帶電粒子流進行準確的受力分析，根據(jù)牛頓運動定律、幾

何知識等求解相關(guān)問題。

mvmv一.mv?mv1,1,

22

【答案】（I）一;（2）一,垂旦與紙面向里，5,=π/;；（3）BI=—,B111=一，5ll=（-τr-1）^,SlV=（彳萬一1）4

"Sqri*"2'"2

【解析】（1）粒子垂直龍進入圓形磁場，在坐標原點O匯聚，滿足磁聚焦的條件，即粒子在磁場中運動的半徑

等于圓形磁場的半徑4,粒子在磁場中運動，洛倫茲力提供向心力

（2）粒子從。點進入下方虛線區(qū)域，若要從聚焦的。點飛入然后平行X軸飛出，為磁發(fā)散的過程，即粒子在下

方圓形磁場運動的軌跡半徑等于磁場半徑，粒子軌跡最大的邊界如圖所示，圖中圓形磁場即為最小的勻強磁場

區(qū)域

磁場半徑為4，根據(jù)《田=/n?-可知磁感應(yīng)強度為

B,=—

'qr1

根據(jù)左手定則可知磁場的方向為垂直紙面向里，圓形磁場的面積為

2

S2=π/;

(3)粒子在磁場中運動，3和4為粒子運動的軌跡圓，1和2為粒子運動的磁場的圓周

2

根據(jù)q田="?上可知1I和Ill中的磁感應(yīng)強度為

r

圖中箭頭部分的實線為粒子運動的軌跡，可知磁場的最小面積為葉子形狀，取I區(qū)域如圖

圖中陰影部分面積的一半為四分之一圓周梟。8與三角形SAOZf之差，所以陰影部分的面積為

Sl=2(SAClB-SAoB)==(/乃—1)4

類似地可知IV區(qū)域的陰影部分面積為

根據(jù)對稱性可知Il中的勻強磁場面積為

S“=(g%T)W

【例6】(2022?全國高考真題)如圖，長度均為/的兩塊擋板豎直相對放置，間距也為/,兩擋板上邊緣P和M

處于同一水平線上，在該水平線的上方區(qū)域有方向豎直向下的勻強電場，電場強度大小為E;兩擋板間有垂直

紙面向外、磁感應(yīng)強度大小可調(diào)節(jié)的勻強磁場。一質(zhì)量為m,電荷量為q(q>0)的粒子自電場中某處以大小為

VO的速度水平向右發(fā)射，恰好從P點處射入磁場，從兩擋板下邊緣Q和N之間射出磁場，運動過程中粒子未與

擋板碰撞。已知粒子射入磁場時的速度方向與PQ的夾角為60。，不計重力。

(1)求粒子發(fā)射位置到P點的距離；

(2)求磁感應(yīng)強度大小的取值范圍；

(3)若粒子正好從QN的中點射出磁場，求粒子在磁場中的軌跡與擋板MN的最近距離。

［試題情境】本題以帶電粒子在組合場中運動為背景創(chuàng)設(shè)探索問題情境。

【考核要求】本題考核要求屬于綜合性、創(chuàng)造性。

【必備知識】本題考查的知識點為運動合成與分解、類平拋規(guī)律、牛頓運動定律、幾何知識。

【關(guān)鍵能力】(1)理解能力：要求能準確獲取題目信息畫出粒子運動軌跡并能聯(lián)想相關(guān)知識求解問題。

(2)推理論證能力：能正確根據(jù)運動合成與分解、類平拋規(guī)律、牛頓運動定律、幾何知識等分析問題解決問題。

(3)模型構(gòu)建能力：根據(jù)問題情境，建立勻強電場中類平拋模型及磁場中勻速圓周運動模型。

【學科素養(yǎng)】(1)考查物理觀念：①物質(zhì)觀，帶電粒子、電場、磁場；②運動觀，勻速圓周運動③相互作用觀,

洛倫茲力、電場力。

(2)科學思維：根據(jù)問題情境，電磁場的分布特點，能對帶電粒子進行準確的受力分析和運動分析，根據(jù)牛頓運

動定律、幾何知識等求解相關(guān)問題。

雷；⑵缶≤B≤繁；⑶粒子運動軌跡見解析,39-10√3

【答案】(1)z

-74-

【解析】(1)帶電粒子在勻強電場中做類平拋運動，由類平拋運動規(guī)律可知

X=%f①

ET②

粒子射入磁場時的速度方向與PQ的夾角為60。，有

tan30°=—=—③

匕%

粒子發(fā)射位置到P點的距離

s=^x2÷y2@

由①②③④式得

S號⑤

(2)帶電粒子在磁場運動在速度

V=J=j?⑥

COS30°3

帶電粒子在磁場中運動兩個臨界軌跡(分別從Q、N點射出)如圖所示

%”合W⑦

最大半徑

√2,

帶電粒子在磁場中做圓周運動的向心力由洛倫茲力提供，山向心力公式可知

"B=對⑨

r

由⑥⑦⑧⑨解得，磁感應(yīng)強度大小的取值范圍

2ffl?)^B<2mv0

(3+阮/—ql

(3)若粒子正好從QN的中點射出磁場時，帶電粒了運動軌跡如圖所示。

由幾何關(guān)系可知

Sine=

帶電粒子的運動半徑為

%

L丁?

3cos(30o+(9)

粒子在磁場中的軌跡與擋板MN的最近距離

"mM=(4Sin30。+/)-4?

山⑩??式解得

【題后總結(jié)】

1.安培力大小的計算公式：F=8〃SinW其中9為B與I之間的夾角).

(1)若磁場方向和電流方向垂直：F=BIL.

(2)若磁場方向和電流方向平行：F=O.

2.用準“兩個定則”

(I)對電流的磁場用安培定則.

(2)對通電導(dǎo)線在磁場中所受的安培力和帶電粒子在磁場中所受的洛倫茲力用左手定則.

3.畫好“兩個圖”

(1)對安培力作用下的靜止、運動問題畫好受力分析圖.

(2)對帶電粒子的勻速圓周運動問題畫好與圓有關(guān)的幾何圖.

4.記住“兩個注意”

(1)洛倫茲力永不做功.

(2)安培力可以做正功，也可以做負功.

5.靈活應(yīng)用帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的關(guān)系式

二.講核心問題提煉主干必備知識

核心問題一磁感應(yīng)強度的疊加問題

磁場的疊加

磁感應(yīng)強度為矢量，遵循平行四邊形定則，如圖所示.

［例1］如圖所示，兩根無限長導(dǎo)線，均通以恒定電流/.兩根導(dǎo)線的直線部分和坐標軸非常接近，彎曲部分是

以坐標原點。為圓心的、半徑相同的一段圓弧.規(guī)定垂直紙面向里的方向為磁感應(yīng)強度的正方向，已知直線部

分在原點。處不形成磁場，此時兩根導(dǎo)線在坐標原點處的磁感應(yīng)強度為A下列四個選項中均有四根同樣的、通

以恒定電流/的無限長導(dǎo)線，。處磁感應(yīng)強度也為8的是()

,y

OX

【答案】：A

【解析】：由安培定則知，兩根通電直導(dǎo)線在原點O處產(chǎn)生的磁場方向都垂直紙面向里，由磁場疊加原理知，

一根通電直導(dǎo)線在原點。處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的大小為?由安培定則及磁場疊加原理知，A項O處磁感應(yīng)強度

為B,B項。處磁感應(yīng)強度為2B,C、D項。處磁感應(yīng)強度為一A故本題正確選項應(yīng)為A.

【變式訓練11已知長直通電導(dǎo)線在周圍某點產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強度大小與電流成正比，與該點到導(dǎo)線的距

離成反比.如圖所示，四根電流相等的長直通電導(dǎo)線權(quán)c、d平行放置，它們的橫截面的連線構(gòu)成一個正方

形，。為正方形中心，a、b、C中電流方向垂直紙面向里，d中電流方向垂直紙面向外，則a、b、c、d長直通

電導(dǎo)線在。點產(chǎn)生的合磁場的磁感應(yīng)強度8()

α軟--------秘b

?\/\

\/3、：

：/、'、：

d⑨二__________?c

A.大小為零

B.大小不為零，方向由。指向d

C.大小不為零，方向由。指向C

D.大小不為零，方向由。指向“

【答案1D

【解析】：由安培定則可知，4、C中電流方向相同，兩導(dǎo)線在。處產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強度大小相等、方向相

反，合矢量為零：6、d兩導(dǎo)線中電流方向相反，由安培定則可知，兩導(dǎo)線在。處產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強度方向

均由。指向”,故D選項正確.

核心問題二磁場對通電導(dǎo)體的作用力問題

1.通電導(dǎo)體在磁場中受到的安培力

(I)方向：根據(jù)左手定則判斷.

(2)大?。篎=BIL.

①8、/與Z7三者兩兩垂直；

②L是有效長度，即垂直磁感應(yīng)強度方向的長度.

2.熟悉“兩個等效模型”

（1）變曲為直：圖甲所示通電導(dǎo)線，在計算安培力的大小和判斷方向時均可等效為“c直線電流.

（2）化電為磁：環(huán)形電流可等效為小磁針，通電螺線管可等效為條形磁體，如圖乙所示.

【例2】（2022年衡水中學調(diào)研）一通電直導(dǎo)線與X軸平行放置，勻強磁場的方向與XO），坐標平面平行，導(dǎo)線受

3

到的安培力為尸.若將該導(dǎo)線做成j圓環(huán)，放置在Xoy坐標平面內(nèi)，如圖所示，并保持通電的電流不變，兩端點

而連線也與X軸平行，則圓環(huán)受到的安培力大小為（）

【解析】設(shè)通電導(dǎo)線為L平行放置時受到的安培力為E制作成圓環(huán)時，圓環(huán)的半徑為R,則（χ2πR=L,

解得R=*,故岫的長度4=位?=嚶S故此時圓環(huán)受到的安培力”許=需凡故C正確，A、B、D錯

誤.

【方法技巧歸納總結(jié)】磁場中通電導(dǎo)體類問題的解題步驟

（1）選定研究對象進行受力分析，受力分析時要考慮安培力.

（2）作受力分析圖，標出輔助方向（如磁場的方向、通電直導(dǎo)線電流的方向等），有助于分析安培力的方向，由于

安培力F、電流/和磁感應(yīng)強度B的方向兩兩垂直，涉及三維空間，所以在受力分析時要善于用平面圖（側(cè)視圖、

剖面圖或俯視圖等）表示出三維的空間關(guān)系.

（3）根據(jù)平衡條件、牛頓第二定律或功能關(guān)系列式求解.

【變式訓練1】（2022?成都經(jīng)濟開發(fā)區(qū)實驗中學高三月考）在勻強磁場中有粗細均勻的同種導(dǎo)線制成的等邊三角

形線框abc磁場方向垂直于線框平面，αc兩點間接一直流電源，電流方向如圖所示。則（）

??

b

A.導(dǎo)線必受到的安培力大于導(dǎo)線αc受到的安培力

B.導(dǎo)線Hc受到的安培力大于導(dǎo)線αc受到的安培力

C.線框受到安培力的合力為零

D.線框受到安培力的合力方向垂直于訛向下

【答案】D

【解析】等效電路如圖所示，由于導(dǎo)線岫C與ac長度不同，qc中的電流∕∣大于而c?中的電流N則導(dǎo)線而

受到的安培力小于導(dǎo)線αc受到的安培力，故A錯誤；導(dǎo)線的有效長度等于αc的長度，F(xiàn)abc=HI2L,Fac=

BI1L,又Z2V又故F血VFUc，B錯誤;根據(jù)左手定則可知,線框"c受到的安培力的合力F=B加+F,,,=B（∕∣

+h）L=BIL,方向垂直于αc向下，故C錯誤，D正確。

【變式訓練2]（2022?嘉興市模擬）如圖所示，由4根相同導(dǎo)體棒連接而成的正方形線框固定于勻強磁場中，線

框平面與磁感應(yīng)強度方向垂直，頂點A、B與直流電源兩端相接，已知導(dǎo)體棒AB受到的安培力大小為凡則線

框受到的安培力的合力大小為（）

XXXXX

XIXXXlX

×××××

XX×××

?

A.∣FB.∣F

4

C.JD.4F

【答案】C

【解析】導(dǎo)體棒48與導(dǎo)體棒ADCB相當于并聯(lián)電路，電阻之比與長度成正比，則電阻之比為1：3,所以電

流之比為3：1,所以導(dǎo)體棒OC所受安培力是導(dǎo)體棒AB所受安培力的三分之一，導(dǎo)體棒4。與導(dǎo)體棒CB所受

的安培力大小相等、方向相反，所以線框ABCQ受到的安培力的大小為導(dǎo)體棒A8與導(dǎo)體棒OC所受的安培力

之和，則線框ABco受到的安培力的大小均F,C正確.

核心問題三帶電粒子在勻強磁場中的運動問題

1.基本公式：cμ）B=j∏-

HH,4、人mv一2π∕nE2πr

重要結(jié)論：「=聲’T=諭，7=元

2.基本思路

(1)畫軌跡：確定圓心，用幾何方法求半徑并畫出軌跡.

(2)找聯(lián)系：軌跡半徑與磁感應(yīng)強度、運動速度相聯(lián)系，偏轉(zhuǎn)角與圓心角、運動時間相聯(lián)系，在勻強磁場中運動

的時間與周期相聯(lián)系.

(3)用規(guī)律：利用牛頓第二定律和圓周運動的規(guī)律，特別是周期公式和半徑公式.

3.軌跡圓的幾個基本特點

(1)帶電粒子從同一直線邊界射入磁場和射出磁場時，入射角等于出射角.(如圖，仇=仇=仇)

(2)帶電粒子經(jīng)過勻強磁場時速度方向的偏轉(zhuǎn)角等于其軌跡的圓心角.(如圖，α1=α2)

(3)沿半徑方向射入圓形勻強磁場的粒子，出射時亦沿半徑方向，如圖.

4.半徑的確定

>777；-

方法一：由物理公式求.由于q°B=?，所以半徑/■=會nr?)；

方法二：由幾何關(guān)系求.一般由數(shù)學知識(勾股定理、三角函數(shù)等)通過計算來確定.

5.時間的確定

方法一：由圓心角求.

2π

方法二：由弧長求.f=?

6.臨界問題

(1)解決帶電粒子在勻強磁場中運動的臨界問題，關(guān)鍵在于運用動態(tài)思維，尋找臨界點，確定臨界狀態(tài)，根據(jù)粒

子的速度方向找出半徑方向，同時由磁場邊界和題設(shè)條件畫好軌跡，定好圓心，建立幾何關(guān)系.

(2)粒子射出或不射出磁場的臨界狀態(tài)是粒子運動軌跡與磁場邊界相切.

7.多解成因

(1)磁場方向不確定形成多解；

(2)帶電粒子電性不確定形成多解；

(3)速度不確定形成多解；

(4)運動的周期性形成多解.

【例3】(2020?全國卷∏,24)如圖，在O0r≤∕?,—∞<y<+8區(qū)域中存在方向垂直于紙面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度

2的大小可調(diào)，方向不變。一質(zhì)量為，小電荷量為q(g>O)的粒子以速度W從磁場區(qū)域左側(cè)沿X軸進入磁場，不

計重力。

(1)若粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后穿過y軸正半軸離開磁場，分析說明磁場的方向，并求在這種情況下磁感應(yīng)強度的最小

值Bm；

(2)如果磁感應(yīng)強度大小為守，粒子將通過虛線所示邊界上的一點離開磁場。求粒子在該點的運動方向與X軸正

方向的夾角及該點到X軸的距離。

【答案】⑴裁2(2)ξ(2—√3)A

【解析】(1)由題意，粒子剛進入磁場時應(yīng)受到方向向上的洛倫茲力，因此磁場方向垂直于紙面向里。設(shè)粒子

進入磁場中做圓周運動的半徑為R,根據(jù)洛倫茲力公式和圓周運動規(guī)律，有

qVoB=幅①

由此可得R=黃②

粒子穿過)，軸正半軸離開磁場，其在磁場中做圓周運動的圓心在y軸正半軸上，半徑應(yīng)滿足

RSh③

由題意，當磁感應(yīng)強度大小為Sm時，粒子的運動半徑最大，由此得

?

(2)若磁感應(yīng)強度大小為牛，粒子做圓周運動的圓心仍在y軸正半軸上，由②④式可得，此時圓弧半徑為

R=2h⑤

粒子會穿過圖中P點離開磁場，運動軌跡如圖所示。設(shè)粒子在尸點的運動方向與X軸正方向的夾角為α,由幾

何關(guān)系

sina=Kl

則a=給

由兒何關(guān)系可得，P點與X軸的距離為

y=2”(l—cosα)⑧

聯(lián)立⑦⑧式得y=(2-√5)/?⑨

【例4】(2022?湖南株洲市高三月考)如圖所示，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場，一個質(zhì)

量為，"，電量為q的帶電粒子從圓形邊界沿半徑方向以速度VO進入磁場，粒子射出磁場時的偏向角為60。，不

計粒子的重力。求：

(1)判斷粒子的帶電性質(zhì)；

(2)勻強磁場的磁感應(yīng)強度大??；

(3)粒子在磁場中運動的時間。

【答案】⑴負電(2湛第(3)零

【解析】(1)根據(jù)左手定則，初始位置粒子所受洛倫茲力的方向向下，則粒子帶負電。

(2)粒子軌跡如圖

根據(jù)幾何知識tan30o=?

解得R=yβr

根據(jù)qV()B=ιtr^-

解得B=嚕%

(3)粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角為6=60。，粒子在磁場中運動的周期為T=等

則粒子在磁場中運動的時間為，=繇T=陪。

【方法技巧歸納總結(jié)】帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的解題方法

（1）帶電粒子在勻強磁場中運動時，要抓住洛倫茲力提供向心力，即："B=誓得R=器，T=鬻，運動時間公

式f=4T,粒子在磁場中的運動半徑和速度有關(guān)，運動周期和速度無關(guān)，畫軌跡，定圓心，找半徑，結(jié)合幾何

Zπ

知識分析解題.

（2）如果磁場是圓形有界磁場，在找?guī)缀侮P(guān)系時要尤其注意帶電粒子在勻強磁場中的“四點、六線、三角

①四點：入射點B、出射點C、軌跡圓心A、入射速度直線與出射速度直線的交點。

②六線：圓弧兩端點所在的軌跡半徑八入射速度直線OB和出射速度直線0C、入射點與出射點的連線BC、

圓心與兩條速度垂線交點的連線40.

③三角：速度偏轉(zhuǎn)角/C。。、圓心角/BAC、弦切角NoBC,其中偏轉(zhuǎn)角等于圓心角，也等于弦切角的兩倍.

【變式訓練1】（多選）（2022?河北唐山市一模）如圖，直角三角形OAC區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強度大

小未知的勻強磁場，ZA=30o,OC邊長為3在C點有放射源S,可以向磁場內(nèi)各個方向發(fā)射速率為如的同

種帶正電的粒子，粒子的比荷為KS發(fā)射的粒子有］可以穿過04邊界，OA含在邊界以內(nèi)，不計重力及粒子之

間的相互影響.則（）

A.磁感應(yīng)強度大小為患

Z,ι?L

B.磁感應(yīng)強度大小為招

C.OA上粒子出射區(qū)域長度為L

D.04上粒子出射區(qū)域長度若

【答案】BC

2

【解析】S發(fā)射的粒子有，可以穿過OA邊界，根據(jù)左手定則可知，當人射角與OC夾角為30。的粒子剛好從。

點射出，根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子運動半徑為R=L,根據(jù)洛倫茲力提供向心力，則有WoB="片?,解得2=3,

AI?L

則沿。方向入射粒子運動最遠，半徑為"從OA上射出，故OA上粒子出射區(qū)域長度為L,故選B、C.

【變式訓練2】.（多選）（2022?河南高二月考）如圖所示，空間存在相鄰勻強磁場區(qū)域，磁場I方向垂直紙面向里，

磁感應(yīng)強度大小為8,磁場∏方向垂直紙面向外，寬度為去現(xiàn)讓質(zhì)量為〃?、電荷量為q的帶正電粒子以水平速

率V垂直磁場I從。點射入，當粒子從磁場∏邊緣C處射出時，速度也恰好水平。已知粒子在磁場I中運動時

間是磁場∏中運動時間的2倍，不計粒子重力，貝∣］（）

I×××XC

:X×.X×

II

IXXX×

：××X×

o2XX

X

I×××X

A.磁場II的磁感應(yīng)強度大小為B

B.磁場II的磁感應(yīng)強度大小為28

C.磁場I的寬度為24

D.磁場I的寬度為d

【答案】BD

【解析】根據(jù)題意，如圖，粒子在磁場I、1【中偏轉(zhuǎn)的圓心角，相同，粒子在磁場I中運動時間是磁場II中

運動時間的2倍，即卜多

根據(jù)

故B?=2B

選項A錯誤，B正確;

設(shè)磁場【的寬度為X,則有

sin3匹=梟

r?2/-2

根據(jù)r=戰(zhàn)，則￡=登=2,即r∣=2∕?2

可得X=",選項C錯誤，D正確。

核心問題四帶電粒子在組合場中的運動問題

1.做好“兩個區(qū)分”

(1)正確區(qū)分重力、電場力、洛倫茲力的大小、方向特點及做功特點.重力、電場力做功只與初、末位置有關(guān)，

與路徑無關(guān)，而洛倫茲力不做功.

(2)正確區(qū)分“電偏轉(zhuǎn)”和“磁偏轉(zhuǎn)”的不同.“電偏轉(zhuǎn)”是指帶電粒子在電場中做類平拋運動，而"磁偏轉(zhuǎn)''是指帶電

粒子在磁場中做勻速圓周運動.

2.抓住“兩個技巧”

(1)按照帶電粒子運動的先后順序，將整個運動過程劃分成不同特點的小過程.

(2)善于畫出幾何圖形處理邊、角關(guān)系，要有運用數(shù)學知識處理物理問題的習慣.

3.熟記帶電粒子在復(fù)合場中的三種運動

(1)靜止或勻速直線運動：當帶電粒子在復(fù)合場中所受合外力為零時，將處于靜止狀態(tài)或做勻速直線運動.

(2)勻速圓周運動：當帶電粒子所受的重力與電場力大小相等、方向相反時，帶電粒子在洛倫茲力的作用下，在

垂直于勻強磁場的平面內(nèi)做勻速圓周運動.

(3)非勻變速曲線運動：當帶電粒子所受的合外力的大小和方向均變化，且與初速度方向不在同一條直線上時，

粒子做非勻變速曲線運動，這時粒子運動軌跡既不是圓弧，也不是拋物線.

【例5】(2022年石家莊一模)在如圖所示的平面直角坐標系Xo)，中，第一象限有豎直向下的勻強電場，第三、

四象限有垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強度大小不同的勻強磁場.一質(zhì)量為〃八電量為+，/的帶電粒子沿X軸正向

以初速度W從40,1.5/)點射入第一象限，偏轉(zhuǎn)后打到X軸上的C(√5∕,0)點.已知第四象限勻強磁場的磁感應(yīng)

強度大小為黃，不計粒子重力.

(1)求第一象限勻強電場的電場強度大小;

(2)若第三象限勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為智，求粒子從C點運動到P(0,—3/)點所用的時間；

(3)為使從C點射入磁場的粒子經(jīng)過第三象限偏轉(zhuǎn)后直接回到A點，求第三象限磁場的磁感應(yīng)強度大小.

【解析】(1)粒子在第一象限內(nèi)做平拋運動√5∕=VM

1.51—^cιi1,Eq=ma解得E=%L^

(2)粒子y方向末速度Vy-at解得vy-yβvi)

22

合速度Vi=√V0+Vy=2V0

方向與X軸正向成60。角，斜向右下.

第四象限內(nèi)粒子做勻速圓周運動，運動半徑設(shè)為八,

常?解得r∣=2∕

設(shè)粒子運動的周期為T1

ffl4π2?-2πr∣ΛzT2π∕

qv?rB^-2門或「一?δ1?sT\—

τViVo

如圖，粒子從C到尸轉(zhuǎn)過爭

運動時間?=∣Γ1=∣^

粒子經(jīng)P點進入第三象限后，設(shè)運動半徑為r2,

時氏=-^-解得n=l

設(shè)粒子運動的周期為八，小I&=陪戶解得一=3

如圖，粒子從尸點再回到P點所用時間

Γ3?+T2=^

2Vo

粒子從C點運動到P點所用的時間為f2+f3=誓

JVo

故粒子從C點運動到P點所用的時間為尊或裂

JVO?vo

(3)粒子在第三象限或第二象限運動的軌跡如圖所示

設(shè)粒子在第三象限運動的軌道半徑為『3，?y軸正方向的夾角為θ

ASin仇an。=1.5/,r3c0sθ+Γ3=3l解得A=1/

?d,加力2如汨o,iO^VQ

HlCjv?By—門解在當-9g∕

【方法技巧歸納總結(jié)】帶電粒子在組合場中運動的處理方法

(1)明性質(zhì)：要清楚場的性質(zhì)、方向、強弱、范圍等，如例題中磁場在第三象限且垂直紙面向里，電場在第四象

限且豎直向上.

(2)定運動：帶電粒子依次通過不同場區(qū)時，由受力情況確定粒子在不同區(qū)域的運動情況，如在磁場中受洛倫茲

力做勻速圓周運動，在電場中受電場力做類平拋運動.

(3)畫軌跡：正確地畫出粒子的運動軌跡圖.

(4)用規(guī)律：根據(jù)區(qū)域和運動規(guī)律的不同，將粒子運動的過程劃分為幾個不同的階段，對不同的階段選取不同的

規(guī)律處理.

(5)找關(guān)系：要明確帶電粒子通過不同場區(qū)的交界處時速度大小和方向的關(guān)系，上一個區(qū)域的末速度是下一個區(qū)

域的初速度.

【變式訓練1】如圖所示，平行板電容器兩金屬板A、B長L=32cm,兩板間距離d=32cm,A板的電勢比B

板高。電荷量q=10i°C、質(zhì)量機=102Okg的帶正電的粒子，以初速度％=2xl06m7s沿兩板中心線垂直電場

線飛入電場。隨后，粒子從O點飛出平行板電容器(速度偏轉(zhuǎn)角為37。)，并進入方向垂直紙面向里、邊長為。

=24Cm的正方形勻強磁場區(qū)域。(sin37o=0.6,cos37o=0.8,粒子的重力不計)

AM

CD

I

XX*

BN.,rI--×--X-lX

(1)求A、B兩板的電勢差；

(2)粒子穿過磁場區(qū)域后打在放置于中心線上的熒光屏C。上，求磁感應(yīng)強度B的取值范圍。

【答案】(1)300V(2)1.7X1(Γ3TWBW3.75x10FT

【解析】(I)帶電粒子射出電場時

Votan

Vy=37°①

Vy=at?

在電場中

UG

√j=m0③

L=V0I(S)

聯(lián)立①②③④解得4、8兩板的電勢差為U=300V.

(2)粒子進入磁場的速度為

_Vo

V-COS37°

AM,

I

I

%；CD

帶電粒子射出電場時在電場方向上的位移為

y=料2

粒子要打在CC上，當磁感應(yīng)強度最大時，運動軌跡如圖線1所示，設(shè)此時的磁感應(yīng)強度為8∣,半徑為R,由

幾何關(guān)系可得y=Ri+Rcos37。

由洛倫茲力提供向心力可得qvB?=n^

粒子要打在CD上，當磁感應(yīng)強度最小時，假設(shè)運動軌跡與右邊界相切且打在。點,

設(shè)此時的半徑為此，由兒何關(guān)系可得

CD=R2+R2sin37°

解得&=15cm,又由于Rcos37。=12Cm=y,故粒子軌跡圓心恰好在CO上，且打在。點，如圖線2所示，

假設(shè)成立，設(shè)此時的磁感應(yīng)強度為當

由洛倫茲力提供向心力可得伏&=，友

聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)可得磁感應(yīng)強度2的取值范圍為1.7×103T<B<3.75×103K

【針對訓練2](2022?山西大同市高三月考)如圖所示，平面直角坐標系xθy的第∏、HI象限內(nèi)有場強大小為E、

沿)，軸負方向的勻強電場；第I、IV象限內(nèi)有方向垂直于坐標平面向里的圓形有界勻強磁場，磁感應(yīng)強度B=

裝與磁場的半徑為2L、邊界與)，軸相切于O點。一帶電粒子從P(-2L,小幻點以速度VO沿X軸正方向射出，

粒子經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后從。點離開電場進入磁場，最后從某點離開磁場。不考慮粒子的重力，求：

(1)粒子的比荷；

(2)粒子離開電場時速度的大小及方向；

(3)粒子在磁場中運動的時間。

【答案】⑴鼎(2)2W)與X軸正方向夾角為60。(3)TΓ

乙口LOVo

【解析】(1)粒子在電場中做類平拋運動，設(shè)其質(zhì)量為，“，電荷量為q

尤方向：2L=Vnt\

y方向：√3?=∣α∕?

粒子在電場中的加速度”=(

解得A=騫。

⑵粒子離開電場時的速度V的大小

v=??∕vfi+^

其中Vyz=?at\

解得V=2Vo

設(shè)粒子離開電場時的速度U與X軸正方向的夾角為仇

v

tanθ八=一V

VO

解得8=60。。

(3)設(shè)粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為r,由牛頓第二定律得qvB=my

解得r=2L

粒子的運動軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知粒子在磁場中運動的偏轉(zhuǎn)角為150°,粒子在磁場中做勻速圓周運動

的周期T=平

粒子在磁場中做勻速圓周運動的時間為B=患150°了

解得『泮

核心問題五帶電粒子在疊加場中的運動問題

1.疊加場：電場、磁場、重力場中的兩者或三者在同一區(qū)域共