2022-2023學(xué)年河南省信陽市高一年級下冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省信陽市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(4T)(α<0)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】先化簡復(fù)數(shù)z,即可判斷表示的點(diǎn)所在的象限.

【詳解】z=i("-i)=l+出表示的點(diǎn)為(l,α),

因為α<0,所以點(diǎn)(La)位于第四象限，

故選：D.

2.已知向量4=(2,㈤,6=(4,T),且(a-4,,+?，則實數(shù)加等于()

A.2B.~C.8D.±Jl3

【答案】D

【分析】根據(jù)(a-6),(α+q,由(α+4?(α-θ)=θ求解.

【詳解】解：因為向量”=(2,加)石=(4,一1),

所以〃一〃=(一2,m+l),α+h=(6,∕n-l),

因為(H)_!_(￡+〃),

所以(α+匕)?(α-6)=(-2)x6+(〃?+I)(ZM-I)=0,

解得m2=13,即"?=+?/f?，

故選：D

3.“a為第一象限角”是“tana>0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)正切函數(shù)在各個象限的符號，結(jié)合充分條件、必要條件的概念，即可得出答案.

【詳解】若a為第一象限角則必有tana>O;

反之，若tane>O,則α為第一或第三象限角.

故選：A.

4.在ΛBC中，若3b=2√Jasin8,CoSA=COSC,則一ABC形狀為()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理化邊為角求出SinA的值，再結(jié)合A=C,以及三角形的內(nèi)角和可求出ZB,

進(jìn)而可得正確選項.

【詳解】因為36=2?√5αsin8,

所以3sinB=2百SinAsinB,

因為0<8<180

所以SinBHO,

ZT

所以SinA=乜，可得4=60或120,

2

又因為CoSA=CoSC,O<Λ<180,0<C<180

所以ZA=NC

所以NA=60,ZC=60,ZB=180-60-60=60,

所以ΛBC為等邊三角形.

故選：C.

5.已知ae(θ,,__72

cosa+—則CoSa=()

I4一10,

?--Ib?iCYd?4

【答案】B

【分析】由α+弓的范圍判斷sin(α+j)的符號，再由cos"=cos[(a+,-T展開計算即可.

【詳解】因為αe]θ,手｝所以《+則Sin(T)>0,

πl(wèi)(π^∣π.(兀、.兀3

所以COSQ=CoS卜+(—=Cosaλ■—cos—+sma+—sin—

4j<k4J4<4J45

故選：B.

6.把函數(shù)y=∕(χ)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的g,縱坐標(biāo)不變.再把所得曲線向左平移:

個單位長度，得到函數(shù)

y=sin1t+W的圖象,則f(x)=()

xπX7π

A.sin—÷一B.sin—+一

312312

D.sinχ÷^

C.sin3x+一3

I12I12

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求解析式.

【詳解】函數(shù)y=sin(x+?)的圖象向右平移:個單位長度，得至IJy=Sin(I-(+m)=sin(x+])

再把所得的曲線所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，得到f(X)=sin(j+7∣)-

故選：A.

7.八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋.八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹,

先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣.八角星紋以白彩的成，

黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴(kuò)張的感覺.八角星紋延續(xù)的時間較長，傳播范圍亦廣,

在長江以南的時間稍晚的松澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋.圖2是圖1抽象

出來的圖形，在圖2中，圓中各個三角形(如一ACr>)為等腰直角三角形，點(diǎn)。為四心，中間部分

是正方形且邊長為2,定點(diǎn)A,B所在位置如圖所示，則AB?AO的值為()

【答案】C

【分析】利用轉(zhuǎn)化法得A8?A0=(A0+08)(A∕)+00),展開利用向量數(shù)量積的定義并代入相關(guān)數(shù)

據(jù)即可.

【詳解】如圖所示：連接。。，

因為中間陰影部分是正方形且邊長為2,

且圖中各個三角形為等腰直角三角形，

所以可得NADo=NOOB=?,IODI=√2,∣AD∣=4,ZADB

則ABAO=(AD+西(AD+￡)0),

=ADHAqIDθ?cos^-+DBAD+?Dβ?BokOS?

2

=4+4×>∕2×+2×y∕2×-=↑4.

2

故選：C.

ππ7π

8.函數(shù)/(x)=Sinωx+-（0>0）在內(nèi)恰有兩個最小值點(diǎn)，則3的范圍是（)

44,T

A.B.六

C.D.

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的最小值的性質(zhì)，結(jié)合題意進(jìn)行求解即可.

【詳解】當(dāng)s+m=2E+羋伏eZ）時，即一2?+彳時，函數(shù)有最小值,

42X—?κeL）

ω

令A(yù)=-l,0,l,2時，?*x=--,X=—,x=X=生

4ω4G4ω4ω

因為函數(shù)/（x）=Sin（5+：卜<υ>0）在（%彳）內(nèi)恰有兩個最小值點(diǎn)，<y>0,

π5π

—<——

44ω

13π7π13C

所以有:——<一=—<co≤3

4047

7兀21兀

——-----

44(υ

故選：B

二、多選題

9.已知一ABC中，a=x,b=2,B=45o,若三角形有兩解，則X不可能的取值是()

B.2.5D.3.5

【答案】ACD

【分析】若三角形有兩解，則"sinA<l,結(jié)合正弦定理即可求解

【詳解】解：因為&ABC中，a=x,b=2,B=45°,且三角形有兩解，

所以α>A,sinA<l,

由正弦定理得

sinAsinB

所以.A“sinB~γx√2x,解得χ<2√∑,

b24

因為α>b,所以x>2,

所以2<x<2√∑,

故選：ACD

10?若復(fù)數(shù)Z=G-i,貝U()

A.∣z∣=2B.∣z∣=4

C.Z的共扼復(fù)數(shù))=G+iD.z2=4-2√3z

【答案】AC

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的知識對選項進(jìn)行分析，由此確定正確選項.

【詳解】依題意閆=J(G)2+(-I)?=2,故A選項正確，B選項錯誤.

z=?/?+Z,C選項正確.

Z2=3-2^,+J2=2-2√3∕,D選項錯誤.

故選：AC

11.下列關(guān)于平面向量的命題正確的是()

A.若aHb■>b//c,則a〃C

B.兩個非零向量α,匕垂直的充要條件是：ah=0

C.若向量AB=8,則4B,C,。四點(diǎn)必在一條直線上

D.向量”("≠0〉與向量8共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)幾，使b="

【答案】BD

【分析】根據(jù)向量共線的概念判斷A,根據(jù)向量垂直的性質(zhì)判斷B,根據(jù)向量相等和向量概念判斷C,

根據(jù)向量共線定理判斷D.

【詳解】對于A,當(dāng)A=O時，不一定成立，???A錯誤；

對于B,兩個非零向量”,b,當(dāng)向量α,6垂直可得q∕=O,反之=O也一定有向量”,b垂直，??B

正確；

對于C,若向量AB=CRAB與Co方向和大小都相同，但AB,C,。四點(diǎn)不一定在一條直線上，.?.C

錯誤；

對于D,由向量共線定理可得向量”(α≠θ)與向量〃共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)力，使

h=λa,:.D正確.

故選：BD.

12.關(guān)于函數(shù)/(x)=COSX+αsinx("0)有以下四個選項，正確的是()

A.對任意的αwθ,/(x)都不是偶函數(shù)

B.存在αxθ,使/(x)是奇函數(shù)

C,存在4工0,使/(x+π)=/(X)

D.若的圖像關(guān)于X=；對稱，則α=l

【答案】AD

【分析】根據(jù)輔助角公式將函數(shù)/(x)化簡，然后結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，對選項逐一判斷即可.

【詳解】因為/(x)=COSX+αsinX=J/+1Sin(X+9),其中ta∏s=L

對于A,要使/(x)為偶函數(shù)，則e=5+fat,%eZ,且一方<夕<、，則無解，

即對任意的“，/(x)都不是偶函數(shù)，故正確；

對于B,要使/(x)為奇函數(shù)，則。=E,ZwZ,且-]<*<],又tan0=1,所以不存在”,使/(x)

是奇函數(shù)，故錯誤；

對于C,H>?∕(x+π)=+1sin(?+π+=-?∣a2+1sin(x+φ)≠/(x),故錯誤；

對于D,若F(X)的圖像關(guān)于Xq對稱，則=+0=5+E,Λ∈Z,

解得V+kπ,kwZ,且—W<g<g,所以>=￡,即tan?=L=Ina=I,故正確.

42244a

故選：AD

三、填空題

13.Cosl12.5°=

【答案］一也一也

2

【分析】首先由誘導(dǎo)公式求出COS225。，再利用二倍角公式計算可得;

【詳解】解：0J?cos225o=cos(180°+45°)=-cos45°=-?.

又COS225。=cos(2×112.5o)=2cos2112.5o-l=~~^，

所以cc√112.5。=立史，所以CoSII2.5。=±反近，

42

因為90°<112.5°<180°,所以CoSlI2.5。=-V"；

2

故答案為：“2.正

2

14.已知函數(shù)/(x)=Or3+bsinx+2022,若/⑵=2021,貝4(—2)=

【答案】2023

【分析】由條件可得"f)+"x)=4044,即可算出答案.

【詳解】因為/(—X)=—加一匕SinX+2022,所以/(—χ)+∕(χ)=4044,

因為/.(2)=2021,所以/(—2)=2023,

故答案為：2023.

15.如圖，中華中學(xué)某班級課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測量某座山峰的高氣度，先在山腳A處測得山頂

C處的仰角為60。，又利用無人機(jī)在離地面高40Om的M處(HllMQ=400),觀測到山頂C處的仰角

為15。，山腳A處的俯角為45。，則山高BC=m.

C

【答案】600

【分析】確定AM=4000，NACW=45。，AMAC=ISo,在AMAC中，利用正弦定理計算得到答

【詳解】ZAM￡>=45°,則4M=√∑MO=400√∑,NeM4=45°+15。=60°,NCAB=60。,

故ZMAC=180°-60°Y5°=75°,ZACM=I80°-75°-60°=45°,

ΔΓ

hπAC400√2

艮

在?M4C中，由正弦定理得由EIJ-------------=---------------

SinZACMsin60osin45o

解得4C=400,則BC=ACSin60°=600.

故答案為：600

16.在ΔAβC中，若B=?,AC=遂，則AB+2BC的最大值為.

【答案】2√7

AB_BC_√3_∕2、

【詳解】設(shè)^72―R-布一耳一，??AB=2sinγ-0,

sin-π-θ—13)

l?)2

BC=2smθ--AB+2BC=2sin^π-θ?+4sinθ=2y∕lsin(O+3)，最大值為2"

【解析】解三角形與三角函數(shù)化簡

點(diǎn)評：借助于正弦定理，三角形內(nèi)角和將邊長用一內(nèi)角表示，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，只需將三角

函數(shù)IL簡為Osin。+匕CoSe=Ja2+匕2sin(6+e)的形式

四、解答題

17.已知復(fù)數(shù)Z滿足：∣z∣+iz=l+3i.

⑴求復(fù)數(shù)z；

⑵化簡：-ΞT+∣Z-6∣.

【答案】⑴z=3+4i

97

(2)-+-i

22

【分析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)z=M+〃i（m,〃€R）,根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式結(jié)合復(fù)數(shù)相等的定義，列出方程

組，求出皿〃，從而可得出答案;

（2）根據(jù)共規(guī)復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的模的計算公式及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計算即可得解.

【詳解】（1）解：設(shè)復(fù)數(shù)z=>+〃i（八∕ι∈R）,

根據(jù)題意得標(biāo)+n2+i(∕n+wi)=l+3i,

yjnr+n2-n+m?=l+3i>

?∣m2+n2-n=↑=72=4

則

"2=3=3,

r.z=3+4i；

(2)解：由(1)得z=3+4i,

則??+κ卜?y÷∣3-4i-6∣

j3+4i)(l÷1)

C-i)(>÷i)1`1

-l+7iU

=---------+5

2

97.

=—+—1.

22

18.已知向量”,b滿足忖=1，忖=2,|3。-4=加.

⑴求向量α與向量匕的夾角;

（2）求向量匕在向量°_匕方向上的投影的模.

■收/八2π

【答案】（1）7

Q）近

7

【分析】（1）根據(jù)向量模的計算公式以及夾角公式即可求出；

（2）根據(jù)投影向量的求解公式即可解出.

【詳解】⑴由∣3α-*√i?可得，∣3a-*M一0=M,即“-6ah+b=19，

而M=LW=2，所以，α?6=-l,c°s〈a,力=4ij=-g,而o≤<α,6>v7t,

2兀

所以，向量〃與向量b的夾角為

(2)向量b在向量方向上的投影的模為：

∣-1-4∣_577

?∣a2-2a?h+b27

(1)求SinaCOSa+cos2?的值;

(2)若αw(0,乃),'∈(0,萬)，tan(α+^)=——,求2α+'的值.

【答案MlW

⑵子

【分析】(1)先根據(jù)降暴公式得tana=-；,再對原式構(gòu)造齊次式結(jié)合tana=-g即可求解.

(2)先求出tan(2a+0=tan(a+a+0=T,再根據(jù)角的范圍即可確定2α+尸的值.

【詳解】(1)由已知得2sinα=-CoSa,所以tanα=-J

SmaCOSa+cos-α-SIn-a

所以SinaCOSa+cos2α=

sin2cr+cos2a

tana+1-tan2a_1

tan2α+l5

e、，z?4/c、tana+tan(α+Z?)

(2)因為tan(2cr+β)-tan(α+σ+∕7)=--------------——--=-11

1-tancrtan(α+y0)

又tana=-^,O<a<π,.?^-<a<π,

,~I_3TT?3τr_?_

同理rrlN-Vα+戶<肛.?.Wv2α+4<2%

所以2α+/?=了.

4

20.在①cos?8-CoS2C-sin?A=-SinASin8,②二.一=史二這兩個條件中任選一個，補(bǔ)

ZSinB-SinAcosA

充在下面的橫線上，并解答.在一ABC中，角A,B,C所對的邊分別為mb,c,且滿足

⑴求角。的大小;

(2)若點(diǎn)。為邊BC上的一點(diǎn)，旦A￡>=3,BD=也,AB=與，求JICD的面積.

【答案】(l)C=。

⑵3員9

-4~

【分析】(1)分別選擇條件①和②，運(yùn)用正弦定理和余弦定理即可求解;

(2)作圖，先求NADB,再求NTMC,運(yùn)用面積公式即可.

【詳解】(1)選①，因為COS23-CoS*C-sin?A=-SinASin3,

所以I-Sin2B-(I-Sin*C)-sin2A=-SinASin3,

即sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB,

由正弦定理得/+從一

由余弦定理CoSC="+'-C"=1,

2ab2

因為c∈(0,m,所以c=7qT；

SinC_cosC

選②，因為

2sinB-sinAcosΛ

所以(2sin4-SinA)cosC=sinC?cosA,

所以SinCCOSA+sinA?cosC=2sinBCOSC,sinB=2si∏β?cosC,

因為8e(0∕),所以sinB≠O,所以cosC=；,

JT

因為Ce(O,τ),所以C=§；

π

(2)由第一問可知C=1,作圖如下：

*..?,,ccAD2+BD2-AB29+2-17-√2

iS?AλrBιrxD中，由余弦定理COSNAoB=-----------------------=----------尸=----,

2AD×BD2×3×>J22

所以NAOB=紅，ZADC=J

44

AC=3

ACAr)

在ZXADC中，由正弦定理即近3,

sinZADCsinZC

?~2

J/口f-/cqc兀715ττ

解ArT得AC=,Z.DAC~"??,

.πππ.π?f2+y∕β

sin—cos—+cos—sin—=-----------

43434

SΛΛDC=—ADxAC×sinZDAC

綜上，C=g,三角形A。C的面積為班巴

34

21.已知〃=(SinX+cosx,2COSe),b=I2sin^,-sin2x?.

Ir

⑴若c=(-3,4)且X=W,6fe(0,τt)時，〃與C的夾角為鈍角，求COSe的取值范圍;

⑵若。=三，函數(shù)/(x)=αd,求〃x)的最小值.

【答案】⑴(T-平)5-平,平)；

Q)；-娓.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積及共線向量的坐標(biāo)表示列式，求出COSe范圍作答.

(2)利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出函數(shù)/(X),再利用換元法結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解作答.

【詳解】(1)當(dāng)X=；時?，α=(√∑,2cosd),〃與C的夾角為鈍角，

于是“?c<O,且“與C不共線，

則a?c=-3y∕2+8cosθ<0>解得COS。<,又6w(θ,π),即COSew(—1,1),

,

則有-1<cos8<3,,又當(dāng)°與C共線時，40^+6cosd=O,解得CoSe=-12

因此α與C不共線時，COS9≠-迥,

3

所以CoSe的取值范圍是(-1,-半)7(-

(2)依題意，當(dāng)6=1時，f(x)=ah=(sinx+cosx,l)?(^,^sin2x)

=VJSinX+Gcos^+?sinIx=6(Sinx+cosx)+sinXCOSx,

4k/=sinx+cos?=√2sin(?+?)∈√2],則sin%CoSX=,

42

于是〃*)=瘋+一=，/+出『-2,而函數(shù)y=；(f+C)；2在f∈[-"應(yīng)]上為增函數(shù)，

則當(dāng)r=-√Σ時，y有最小值g-α,

所以/(x)的最小值為

22.已知函數(shù)/(x)=4cos0x-cos(0x-?)-l(0＞O)的部分圖像如圖所示，若A8?8C=[■-8,B,

C分別為最高點(diǎn)與最低點(diǎn).

(2)若函數(shù)y=∕(